Información relacionada: Fiestras de madeira feitas segundo o teu proxecto. · Fiestras de madeira e aluminio feitas por encargo. · Fiestras personalizadas para casas, proxectos e exportación. · Portas de madeira e madeira-aluminio feitas por encargo. · Enviar unha solicitude de cotización.
Ecuación diferencial do pandeo por flexión
Suponse que todas as idealizacións están satisfeitas, especialmente
- que a vara é perfectamente recta
- que a carga P actúa no eixe da vara
- que as tensións permanezan por debaixo do límite de proporcionalidade
- que as deformacións son o suficientemente pequenas como para permitir as simplificacións habituais dos cálculos.
Se a vara se dobra baixo a acción da forza P e quizais tamén pola carga q que actúa na dirección transversal, entón deben cumprirse as condicións coñecidas de equilibrio entre as cargas externas e as forzas na sección. Ademais, é natural que haxa relacións coñecidas entre as deformacións e as forzas na sección.
Fig. 1 - Saldo
Na fig.1represéntase un elemento dunha vara dobrada de lonxitude ds. A pendente da tanxente v’ é pequena, polo que ata a segunda orde, a lonxitude do elemento pode ser igual á proxección ds=dz. Ademais, nas probas mencionadas a continuación, non se terán en conta os casos nos que P cambia constantemente ao longo do eixe da vara, é dicir, a forza normal N≈P=const. Nas tres condicións de equilibrio dispoñibles para o elemento, pódese descoidar un certo número de membros. Para marcas e sinais da fig.10permanecen entón na primeira aproximación da ecuación
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Pódese eliminar a forza transversal e entón M’‘=Pv’’-q mantense. A lei de Bernoulli M=-EI/R proporciona a ecuación que falta. A curva do eixe da barra, como é habitual, a partir da teoría da flexión do feixe, simplifícase do seguinte xeito
É así posible eliminar o momento flector; e con M=-EI*v’’ obtense a ecuación diferencial para a varilla dobrada
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
No caso especial de rixidez á flexión constante EI=const. a ecuación (1) simplifícase, polo que é
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) e (1a) son lineais en v segundo as simplificacións mencionadas.
Practicamente, o caso máis sinxelo de rixidez á flexión constante EI=const. é particularmente importante, o que serve de base para os exemplos seguintes.
O caso de Euler
Os supostos para o caso clásico de pandeo son, ademais das idealizacións mencionadas: p=0, polo que N=const.=P, así como a rixidez constante sen rozamento, que se sitúan exactamente no eixe da vara. A ecuación diferencial ordinaria (1a) é de cuarta orde, lineal e homoxénea debido a q=0. A solución xeral é:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
onde A, B, C, D son as catro constantes de integración. O parámetro é de tamaño finito debido á suposición EI≠0. Ademais, α≠0 para P>0.
Fig. 2
Dado que a ecuación diferencial lineal (1a) é homoxénea, este problema tamén se resolve mediante n_∙__v(z)_, onde n é unha constante arbitraria. Xa a partir da clasificación matemática da ecuación diferencial (1a) pódese ver que non se pode determinar a magnitude da flexión v. Para determinar as constantes de integración A, B, C, D no caso Euler\ (fig. 2) están dispoñibles as seguintes condicións de contorno: Debido ao apoio articulado, o momento flector é cero en ambos os extremos da barra, é dicir.
v=0 e M=0 para z=0
v=0 e M=0 para z=s.
Debido a M=-EI_∙__v’‘_, despréndese que M=0 é o valor de v’’=0, polo que as catro condicións de contorno dise:
v=0 e v’’=0 para z=0
v=0 e v’’=0 para z=s.
A solución (2) resulta así en catro ecuacións lineais:
Un.3
Estas catro ecuacións homoxéneas teñen a primeira solución denominada trivial A=B=C=D=0, que corresponde a v(z)=0. A vara non dobrada v_(z_)=0 é a posición de equilibrio habitual para valores arbitrarios, especialmente pequenos, de carga P. Aquí, interésanos principalmente as condicións nas que se dobra a varilla, é dicir, que v(z)≠0. As ecuacións (3) non teñen unha solución tan trivial con A, B, C, D ≠ 0 só se o determinante do coeficiente é igual a cero.
Un. 3a
Das condicións de pandeo Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog para calcular os valores críticos PK da carga. Esta ecuación só se satisface se sen αs =0, é dicir, para αKms = mπ con m=1,2,3,… Os valores correspondentes da forza de pandeo de Euler son PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Para cada valor de m, obtense unha certa forza de pandeo. Na maioría dos casos, só interesa a máis pequena destas forzas, e iso
PK1=EI(π/s)2.
Na seguinte versión, haberá un índice m, ou 1 na súa maioría omitido, referido á máis baixa das cargas críticas. Interesa a liña elástica correspondente. A partir dunha (2) obtéñense as constantes B=C=D=0. A condición restante é A∙sin__αs=0. A liña de pandeo elástico para o caso anterior m=1 é, polo tanto, v(z) = A_∙sinπz/s_, onde v(z) é para αK resp. PK función propia correspondente. A magnitude de A segue sen determinar.
Vexamos de novo toda a área de carga. Para valores arbitrarios de P, especialmente para forzas P_<_PK1 é v(z)=0, a varilla permanece recta.
Por “aumento gradual” de carga P enténdese na teoría clásica da estabilidade unha serie sucesiva de tamaños P, onde a estabilidade do caso de carga observado será probada unha e outra vez para cada nivel individual de carga P. Durante a proba de estabilidade, o tamaño de P permanece sen cambios. Se se determina que un estado P é estable, entón a carga aumenta en algo e, polo tanto, repítese a proba de estabilidade. Esta determinación precisa é necesaria para que non haxa confusión co tipo de carga, que é a base do efecto Shanley, no que se produce un aumento da carga mentres actúan pequenas perturbacións ao mesmo tempo. Ao examinar a estabilidade segundo Shanley, na área de pandeo plástico, prodúcese unha forza de bifurcación menor que co método clásico de consideración.
As seguintes consideracións asumen a primeira forma de aumentar a carga: Cun aumento gradual da carga P neste sentido, chégase PK1=EI_∙(π/s)_2primeiro a un único punto de bifurcación de equilibrio elástico, cunha liña sinusoidal simple como liña de pandeo elástico
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A denota a amplitude indeterminada da liña elástica. Para cargas _P*__>_PK1 é segundo a teoría linealizada Δ≠0, é dicir, o equilibrio non é posible alí. Só para forzas de pandeo máis altas PK2 etc. será Δ= de novo0e así tamén v(z)≠0. A causa desta conclusión teórica, que non coincide co comportamento real, reside na linealización da ecuación diferencial.
Pandeo de varillas prensadas composta por dúas partes
Limitámonos a paus prensados de dúas partes, e para os paus prensados compostos por tres ou máis partes, aplícanse relacións similares.
Sl.3
Segundo o tipo de conexión transversal, as varillas de celosía difiren (fig.3a) e varas do marco (fig.3e). Sen ataduras cruzadas, cada parte da varilla dobraríase por si mesma (fig.3b). Se o recheo é relativamente débil, entón unha única varilla de cinto pode dobrarse sen dobrar a varilla no seu conxunto. Para a vara de celosía fig.3c pódese comparar: esquerda para sistema articulado, dereita para correas continuas; e para a vara do marco fig.3f á esquerda para as follas de conexión brandas, á dereita para as follas de conexión ríxidas. A partir de aí, pódese ver que a delgadez λ_ é de gran influencia1__=s1/i1_. Para a parte individual da vara, púxoseme1=F1_∙_i12, s1 é o espazamento de campos (Fig.3), i1 refírese ao eixe1-1(ver Fig.4).
Sl.4
A forza de pandeo das varillas compostas correspondente ás liñas de pandeo elástico da fig. 3d, ou 3g foi obxecto de exhaustivas investigacións teóricas. Se a vara estivese composta de seccións únicas (por exemplo, cunha costela) ou se as conexións transversais fosen tan frecuentes que unha vara dobrada de dúas partes non difire no seu efecto dunha única vara, entón sería σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Alí denota λ__y=sK/iy (fig. 4). Non obstante, esta tensión de pandeo non se alcanzará completamente na práctica porque non hai suficientes conexións transversais para iso, e tamén son elásticas. Unha aproximación que satisfaga na maioría dos casos obtense se poñemos segundo a proposta F. Engesser\a que a tensión de flexión dunha varilla prensada composta por dúas partes é igual
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi é a chamada esbeltez ideal.
Os lazos cruzados deben ser suficientes en número e o suficientemente fortes como para forzar as dúas partes da vara a actuar xuntas. Excluíndo os esforzos secundarios, os enlaces transversais permanecen sen tensión mentres a barra permanece recta. Só coa flexión teñen que recibir forzas, e teñen que transmitir forzas transversais que aumentan coa flexión. No caso de que se trate dunha liña elástica
forza transversal en I=const. é igual
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Coa fig. 5 m pódese ler inmediatamente Q(z)=PK∙v’(z). O valor máis alto ao final da vara é
Sl.5
As conexións transversais deben ser capaces de acomodar esta forza transversal. Dado que a carga correspondente é a forza de pandeo PK, é suficiente que se alcance o límite de carga para iso tamén nas conexións transversais, é dicir, simultaneamente con toda a varilla. Obviamente, non habería ningún beneficio se os enlaces cruzados tivesen un tamaño moito máis forte do necesario para recibir Q0. Por outra banda, os enlaces cruzados demasiado débiles farían que a vara fallase prematuramente.
A ecuación anterior non se pode usar inicialmente porque se descoñece a magnitude da frecha de pandeo. A vara está en equilibrio indiferente baixo PK e pode, polo menos no primeiro grao de aproximación, tomar un valor arbitrario. É polo tanto útil, segundo a proposta de F. Krohn-a, para determinar a magnitude dese pandeo maxv en que a varilla dobrada perde a súa capacidade de carga debido a unha falla por flexión. Isto certamente ocorrerá se se alcanza o punto de fluencia no lado cóncavo da curva (Fig.6). As curvaturas para isto medran aínda máis e non se poden aplicar os momentos de flexión correspondentes.
Fig. 6
A tensión total no lado cóncavo da curva é segundo a fig.6para o material plástico ideal
De aí vén a maior fanfarronería que aínda se pode soportar
maxQ0 é a forza transversal correspondente no extremo da varilla.
Se se usa para a forma de σK Tetmeier\ e pon σF=3,1t/cm2e sK=e/2∙ λy que corresponde a iy≈e/2, entón obtense o valor aproximado de _maxQ de Krohn_0=F/28(Q en t, F en cm2).
Para liñas arbitrarias obtense a tensión de pandeo
maxQ0=μK∙SK.
O coeficiente μK cambia coa esbeltez da vara, tamén depende do material. Cando a ecuación anterior se divide polo coeficiente de seguridade contra o pandeo pódese escribir
dozv__Q=μ∙dozvS.
Pandeo de sistemas lineais
No caso dos sistemas lineais, é habitual determinar a lonxitude de flexión sK=β∙h dunha varilla que está articulada en ambos os extremos e cuxa forza de flexión é PK=π para comparación.2EI/s2K igual de grande. Darase unha “lonxitude de pandeo” comparativa para os exemplos seguintes.
a) Vara suxeita nos dous extremos (EI=const.)
Sl.7
Para o caso da fig.7de pandeo é PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, “longitud de pandeo” comparativa sK=h/2e a liña de pandeo elástico v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Vara libre nun extremo (fig.8)
Sl. 8
Suponse que a dirección de P non cambia cando a vara se dobra. Entón (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
As condicións de contorno para o extremo libre z=h aquí ler
M=0 ou v’’=0
Q=M’-Pv’=0 ou v’’’+a2∙v’=0.
c) Varilla fixada nun extremo (fig. 9)
Sl.9
Con condicións de contorno
v=0 e v’=0 para z=0
v=0 e v’’=0 para z=h
obtense para EI=const. condición de pandeo
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ou equivalente
tgαh=αh. (4)
As raíces desta ecuación transcendental atópanse nas táboas K. Hayashi's. A forza de pandeo máis baixa é segundo as táboas PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
A lonxitude de pandeo comparativa é sK = h / √2,046=0,699h.
d) Unha vara suxeita nun extremo cun desorde (fig.10)
Fig. 10
Consideraremos o caso do desprazamento da punta de tamaño constante. As condicións de contorno para iso son
v=0e v’=0 para z=0,
v=v1e v’’=0 para z=h.
É un problema de equilibrio cunha liña elástica
O denominador do termo antes dos paréntesis {} será cero e o pandeo aumenta por riba de todos os límites se P→PK (ver condición de pandeo Eq. (4)). É característico do comportamento da vara que as curvas no extremo medio e inferior da vara son inicialmente máis pequenas co aumento da carga P e cambian de signo só para cargas máis altas. Sl.10mostra curvas a media altura.
e) Vara continua en dous campos
Sl.11
Para ambas áreas de solución (fig.11) aplicaremos a configuración
E_. v (z1) = A1∙sinaz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙sinaz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Por simplicidade déixao ser (EI)1=(EI)2=EI. Para atopar as oito constantes A1, …, A2, … serven como condicións de contorno
v=0 e v’=0 para z1=0,
v=0 e v’’=0 para z2=h,
así como as condicións de transición entre as áreas I e II
v=0 para z1=h e para z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
As ecuacións condicionais aparecen na seguinte táboa
Definindo que o determinante do coeficiente sexa igual a cero, obtense a condición de pandeo
Lonxitude de flexión sK=0,878_h_, mentres que para a fig. 35 ou β=0,699. A forza de pandeo diminuíu en comparación con 2,046 : 1,297 debido á adición dun segundo campo que está articulado. Se o outro campo estivese beliscar máis alto, entón a forza de pandeo aumentaría de novo ata o pico. 2,04 PE.
Esta presentación histórica das fórmulas non é un proxecto nin unha proba da estabilidade da estrutura. Os supostos clásicos de membro recto ideal, carga céntrica e área elástica non inclúen necesariamente imperfeccións iniciais, esforzos residuais, excentricidade, rixidez de conexión, non linealidade do material, estabilidade lateral nin, cando proceda, incendio, acción sísmica e fases de montaxe. O cálculo da estrutura real debe ser feito por un enxeñeiro civil autorizado segundo as normas e normas vixentes.