Beygjubeygja

Í dag einbeitir Savo Kusić sér að viðargluggum, viðar-ál gluggar, sérsniðnir gluggar, hurð og tilboðsbeiðnir. Þessi texti er áfram sem safn burðarvirkjafræði og er ekki tilboð um kyrrstöðuhönnun, stöðugleikaútreikninga eða endurhæfingu burðarvirkja.

Mismunajafna fyrir beygjubeygju

Gert er ráð fyrir að öllum hugsjónum sé fullnægt, sérstaklega

• að stöngin sé alveg bein
• að álagið P virkar í skafti stangarinnar
• að spenna haldist undir meðalhófsmörkum
• að aflögunin sé nógu lítil til að hægt sé að einfalda venjulega útreikninga.

Ef stöngin beygist við virkni kraftsins P og ef til vill líka vegna álagsins q sem verkar í þverstefnu, þá þarf að uppfylla þekkt jafnvægisskilyrði milli ytri álags og krafta í kaflanum. Að auki er eðlilegt að þekkt tengsl séu á milli aflögunar og krafta í kaflanum.

Mynd. 1 - Jafnvægi

Í mynd.1boginn stangarþáttur að lengd ds er sýndur. Halli v’ snertilsins er lítill þannig að upp í aðra röð er hægt að stilla lengd staksins til að vera jöfn vörpun ds=dz. Að auki, í prófunum sem nefnd eru hér að neðan, verður ekki tekið tillit til tilvika þar sem P breytist stöðugt eftir ás stangarinnar, þ.e. eðlilegur kraftur N≈P=const. Í þeim þremur jafnvægisskilyrðum sem eru til staðar fyrir frumefnið er hægt að vanrækja ákveðinn fjölda meðlima. Fyrir merkingar og skilti frá mynd.10haldast þá í fyrstu nálgun jöfnunnar

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

Hægt er að útrýma þverkraftinum og þá heldur M’‘=Pv’’-q. Lögmál Bernoulli M=-EI/R gefur jöfnuna sem vantar. Ferill áss stangarinnar, eins og venjulega, frá kenningunni um beygju geisla, er einfölduð sem hér segir

Það er þannig hægt að útrýma beygjustundinni; og með M=-EI*v’’ fæst mismunajöfnu fyrir beygðu stöngina

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

Í sérstöku tilviki stöðugrar beygjustífni EI=const. jafnan (1) er einfölduð, þannig að hún er

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Jöfnun (1) og (1a) eru línulegar í v samkvæmt nefndum einföldunum.

Nánast einfaldasta tilvikið af stöðugum beygjustífleika EI=const. er sérstaklega mikilvægt, sem þjónar sem grunnur að dæmunum hér að neðan.

Eulers mál

Forsendurnar fyrir klassíska tilvikinu um beygju eru, fyrir utan nefndar hugsjónir: p=0, svo N=const.=P, auk stöðugrar stífni án núnings, sem liggja nákvæmlega á ás stangarinnar. Venjulega diffurjafnan (1a) er fjórða röð, línuleg og einsleit vegna q=0. Almenna lausnin er:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

þar sem A, B, C, D eru samþættingarfastarnir fjórir. Færibreytan er af endanlegri stærð vegna forsendu EI≠0. Ennfremur, α≠0 fyrir P>0.

Sl.2

Þar sem línulega diffurjöfnan (1a) er einsleit er þetta vandamál einnig leyst með n_∙__v(z)_, þar sem n er handahófsfasti. Þegar af stærðfræðilegri flokkun diffurjöfnunnar (1a) má sjá að ekki er hægt að ákvarða stærð beygjunnar v. Til að ákvarða samþættingarfastana A, B, C, D í Euler\ tilvikinu (mynd 2) eru eftirfarandi útlínuskilyrði í boði: Vegna liðaðs stuðnings er beygjukrafturinn núll á báðum endum stöngarinnar, þ.e.

v=0 og M=0 fyrir z=0

v=0 og M=0 fyrir z=s.

Vegna M=-EI_∙_v’‘ leiðir það af sér að M=0 er gildi v’’=0, svo útlínuskilyrðin fjögur eru:

v=0 og v’’=0 fyrir z=0

v=0 og v’’=0 fyrir z=s.

Lausnin (2) leiðir því af sér fjórar línulegar jöfnur:

Einn.3

Þessar fjórar einsleitu jöfnur hafa fyrstu svokölluðu léttvægu lausnina A=B=C=D=0, sem samsvarar v(z)=0. Óbeygða stöngin v_(z_)=0 er venjuleg jafnvægisstaða fyrir handahófskennd, sérstaklega lítil gildi álags P. Hér höfum við fyrst og fremst áhuga á þeim aðstæðum sem stöngin beygist við, þ.e.a.s. að v(z)≠0. Jöfnurnar (3) hafa ekki svona léttvæga lausn með A, B, C, D ≠ 0 aðeins ef ákvarðandi stuðullinn er jafn og núll.

Einn. 3a

Frá beygjuskilyrðum Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog til að reikna út mikilvæg gildi PK álagsins. Þessari jöfnu er aðeins fullnægt ef sin αs =0, það er fyrir αKms = mπ með m=1,2,3,… Samsvarandi gildi á beygjukrafti Euler\ eru PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Fyrir hvert gildi m fæst ákveðinn beygjukraftur. Í flestum tilfellum er aðeins sá minnsti af þessum öflum áhugaverður og það

PK1=EI(π/s)2.

Í eftirfarandi útgáfu verður vísitalan m, eða 1 að mestu sleppt, sem vísar til lægsta mikilvægu álagsins. Áhugavert er samsvarandi teygjanleg lína. Frá einum (2) fást fastar B=C=D=0. Eftirstandandi ástand er A∙sin__αs=0. Teygjanlega beygjulínan fyrir ofangreint tilvik m=1 er því v(z) = A_∙sinπz/s_, þar sem v(z) er fyrir αK resp. PK samsvarandi eiginfall. Stærð A er enn óákveðin.

Við skulum líta aftur á allt hleðslusvæðið. Fyrir handahófskennd gildi P, sérstaklega fyrir krafta P_<_PK1 er v(z)=0, helst stöngin bein.

Í klassískri kenningu um stöðugleika, undir “smám saman vaxandi” álagi P er átt við samfellda röð gilda P, þar sem stöðugleiki álagstilviksins sem sést verður prófaður aftur og aftur fyrir hvert einstakt álagsstig P. Á stöðugleikaprófinu helst stærð P vissulega óbreytt. Ef eitt ástand P er ákveðið að vera stöðugt, þá eykst álagið um eitthvað og því er stöðugleikaprófið endurtekið. Þessi nákvæma ákvörðun er nauðsynleg svo að ekki verði ruglingur á tegund álags, sem er grundvöllur Shanley\ áhrifanna, þar sem álagið er aukið á meðan litlar truflanir virka á sama tíma. Þegar stöðugleiki er skoðaður samkvæmt Shanley, á sviði plastbeygju, kemur fram minni bifurcation kraftur en með klassískri athugunaraðferð.

Eftirfarandi hugleiðingar gera ráð fyrir fyrstu leiðinni til að auka álag: Við hægfara aukningu á álagi P í þessum skilningi kemur maður fyrir PK1=EI_∙(π/s)_2 fyrst á einum klofningspunkti teygjulínunnar sem teygjanlegt jafnvægisjafnvægi. lína

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A táknar óákveðna amplitude teygjulínunnar. Fyrir álag _P*__>_PK1 er samkvæmt línulegri kenningunni Δ≠0, þ.e. jafnvægi er ekki mögulegt þar. Aðeins fyrir hærri beygjukrafta PK2 o.s.frv. verður það aftur Δ=0 og þar með einnig v(z)≠0. Orsök þessarar fræðilegu niðurstöðu, sem passar ekki við raunverulega hegðun, liggur í línuskipun diffurjöfnunnar.

Beygja pressaða stangir úr tveimur hlutum

Við takmörkum okkur við tveggja hluta pressaða prik og fyrir pressaða prik sem samanstendur af þremur eða fleiri hlutum gilda svipuð hlutföll.

Sl.3

Eftir tegund þvertengingar eru grindarstangir mismunandi (mynd.3a) og rammastangir (mynd.3e). Án krossbindinga myndi hver hluti priksins beygjast af sjálfu sér (mynd.3b). Ef fyllingin er tiltölulega veik þá getur ein beltisstang beygt án þess að beygja stöngina í heild sinni. Fyrir grindarstöngina mynd.3c má bera saman: vinstri fyrir lamir kerfi, hægri fyrir samfelld belti; og fyrir ramman stöng mynd.3f til vinstri fyrir mjúk tengiblöð, hægra megin fyrir stíf tengiblöð. Þaðan má sjá að grannur λ_ hefur mikil áhrif1__=s1/i1_. Fyrir einstaka hluta stöngarinnar var ég settur1=F1_∙_i12, s1 er reitbilið (mynd.3), i1 vísar til ássins1-1(sjá mynd.4).

Sl.4

Beygjukraftur samsettra stanga sem samsvarar teygjanlegu beygjulínunum á mynd. 3d, eða 3g var efni í tæmandi fræðilegar rannsóknir. Ef stöngin væri samsett úr einstökum hlutum (td með rifi) eða ef þvertengingar væru svo tíðar að stöng sem er bogin úr tveimur hlutum er ekki frábrugðin einni stöng, þá væri hún σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Þar táknar það λ__y=sK/iy (mynd 4). Hins vegar næst ekki að fullu í reynd þessu beygjuálagi vegna þess að það eru ekki nægar þvertengingar til þess og þær eru líka teygjanlegar. Nálgun sem fullnægir í flestum tilfellum fæst ef við setjum samkvæmt tillögunni F. Engesser\a að beygjuspenna pressaðrar stangar sem er samsettur úr tveimur hlutum sé jafn

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi er hin svokallaða hugsjóna mjótt.

Krossbönd verða að vera nægilega mörg og nógu sterk til að neyða báða hluta stöngarinnar til að virka saman. Að undanskildum aukaspennum haldast þvertenglar óspenntir svo lengi sem stöngin er bein. Það er aðeins með beygju sem þeir þurfa að taka á móti kraftum og þeir þurfa að senda þverkrafta sem aukast við beygingu. Ef það er teygjanleg lína

þverkraftur við I=konst. er jöfn

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

Með mynd. 5 m er strax hægt að lesa Q(z)=PK∙v’(z). Hæsta gildið í enda stöngarinnar er

Sl.5

Þvertengingarnar verða að geta tekið á móti þessum þverkrafti. Þar sem samsvarandi álag er beygjukrafturinn PK, nægir að burðarþolsmörkum sé náð fyrir þetta líka í þvertengingum - þ.e.a.s. samtímis með allri stönginni. Augljóslega væri enginn ávinningur ef krosstenglurnar væru stærri en nauðsynlegt er til að fá Q0. Aftur á móti myndu of veikir þvertengingar valda því að stöngin bilaði of snemma.

Ekki er hægt að nota jöfnuna hér að ofan til að byrja með vegna þess að stærð sveigjuörarinnar er óþekkt. Stöngin er í afskiptalausu jafnvægi undir PK og getur, að minnsta kosti í fyrstu gráðu nálgunar, tekið handahófskennt gildi. Það er því gagnlegt, samkvæmt tillögu F. Krohn-a, til að ákvarða stærð þeirrar beygju maxv þar sem beygða stöngin missir burðargetu vegna bilunar vegna beygju. Þetta mun örugglega gerast ef viðmiðunarmarki er náð á íhvolfu hlið beygjunnar (mynd.6). Beygjurnar fyrir þetta vaxa enn frekar og ekki er hægt að beita samsvarandi beygjustundum.

Mynd. 6

Heildarálag á íhvolfa hlið beygjunnar er samkvæmt mynd.6fyrir tilvalið plastefni

Þaðan kemur hið mesta vesen sem enn er hægt að þola

maxQ0 er samsvarandi þverkraftur á stangarendanum.

Ef það er notað fyrir form σK Tetmeier\ og settu σF=3,1t/cm2og sK=e/2∙ λy sem samsvarar iy≈e/2, þá fæst áætlað gildi Krohn\ á maxQ0=F/28(Q í t, F í cm2).

Fyrir handahófskenndar línur fæst beygjuspenna

maxQ0=μK∙SK.

Stuðullinn μK breytist með mjóleika stöngarinnar, það fer líka eftir efninu. Þegar ofangreind jöfnu er deilt með öryggisstuðlinum gegn beygjunni er hægt að skrifa hana

dozv__Q=μ∙dozvS.

Beygja línuleg kerfi

Þegar um línuleg kerfi er að ræða er algengt að ákvarða beygjulengd sK=β∙h á stöng sem er hengd á báða enda og hefur beygjukraftinn PK=π til samanburðar.2EI/s2K jafn stór. Samanburðar „buglengd“ verður gefin fyrir dæmin hér að neðan.

a) Stöng klemmd í báða enda (EI=const.)

Sl.7

Að því er varðar mynd.7af spennu er PK=4π2EI/klst2=4,0∙PE, samanburðar „buglengd“ sK=h/2og teygjanlega beygjulínan v(z)=D(1- því2πz/klst).

b) Stöng laus í öðrum enda (mynd.8)

Sl. 8

Gert er ráð fyrir að stefna P breytist ekki þegar stöngin beygist. Síðan (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

Útlínuskilyrðin fyrir lausa endann z=h hér lesið

M=0 eða v’’=0

Q=M’-Pv’=0 eða v’’’+a2∙v’=0.

c) Stöng klemmd í annan endann (mynd 9)

Sl.9

Með útlínuskilyrðum

v=0 og v’=0 fyrir z=0

v=0 og v’’=0 fyrir z=h

fæst fyrir EI=const. beygjuástand

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

eða samsvarandi

tgαh=αh.   (4)

Rætur þessarar yfirskilvitlegu jöfnu eru að finna í töflum K. Hayashi’s. Lægsti beygjukrafturinn er samkvæmt töflum PK1=4,49342/ klst2∙ EI =2,046π2EI/klst2.

Samanburðarlengdin er sK = h / √2,046=0,699h.

d) Stöng sem er klemmd í annan endann með röskun (mynd.10)

Mynd. 10

Við munum íhuga tilfellið af tilfærslu þjórfé af stöðugri stærð. Útlínuskilyrðin fyrir það eru

v=0og v’=0 fyrir z=0,

v=v1og v’’=0 fyrir z=h.

Það er jafnvægisvandamál með teygjanlegri línu

Nefnari hugtaksins á undan {}-svigunum verður núll og beygjan eykst umfram öll mörk ef P→PK (sjá sveifluskilyrði Jafngildi (4)). Það er einkennandi fyrir hegðun stangarinnar að beygjurnar í mið- og neðri enda stangarinnar eru í upphafi minni með auknu álagi P og breyta aðeins um merki fyrir hærra álag. Sl.10sýnir beygjur í hálfri hæð.

e) Stöðugt stöng yfir tvo reiti

Sl.11

Fyrir bæði lausnarsvæðin (mynd.11) við munum beita stillingunni

Og_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_

II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.

Til einföldunar láttu það vera (EI)1=(EI)2=EI. Til að finna fastana átta A1, …, A2, … þjóna sem útlínuskilyrði

v=0og v’=0 fyrir z1=0,

v=0og v’’=0 fyrir z2=h,

auk bráðabirgðaskilyrða milli svæða I og II

v=0 fyrir z1=h i fyrir z2=0,

v’’ (z1=h)=v’(z2=0),

v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).

Skilyrtu jöfnurnar eru gefnar upp í töflunni hér að neðan

Með því að stilla ákvarðandi stuðullinn jafnt og núll er beygjuskilyrði fengin

Beygjulengd sK=0,878_h_, en fyrir mynd.35annað hvort β=0,699. Beygjukrafturinn minnkaði miðað við2,046:1,297vegna þess að bætt er við öðru sviði sem er á lamir. Ef hitt sviðið var klemmt hærra, þá myndi svigkrafturinn aukast aftur til hámarks.2,04_PE_.

Þessi söguleg kynning á formúlunum er ekki verkefni eða sönnun um stöðugleika mannvirkisins. Klassískar forsendur um hugsjón beinan hluta, miðlægt álag og teygjanlegt svæði innihalda ekki endilega upphafsófullkomleika, afgangsspennu, sérvitring, tengingarstífleika, ólínuleika efnis, hliðarstöðugleika né, þegar við á, bruna, jarðskjálftavirkni og samsetningarfasa. Útreikningur á raunverulegu mannvirki verður að vera gerður af löggiltum byggingarverkfræðingi samkvæmt gildandi reglugerðum og stöðlum.