Kiwari, Savo Kusić museurkeun kana jandela kayu, jandela kayu-aluminium, jandela custom, panto jeung pénta cutatan. Téks ieu tetep salaku arsip téori struktural sareng sanés tawaran desain statik, itungan stabilitas atanapi rehabilitasi struktural.
Persamaan diferensial tina bending buckling
Dianggap yén sakabéh idealisasi geus puas, utamana
- yén rod sampurna lempeng
- yén beban P tindakan dina aci rod
- yén tegangan tetep handap wates of proportionality
- yén deformasi anu cukup leutik pikeun ngidinan nyederhanakeun biasa itungan.
Lamun rod bends dina aksi gaya P jeung meureun ogé alatan beban q akting dina arah transverse, mangka kaayaan kasatimbangan dipikawanoh antara beban éksternal jeung gaya dina bagian kudu wareg. Sajaba ti éta, éta lumrah nu kudu dipikawanoh hubungan antara deformasi jeung gaya dina bagian.
Gbr. 1 - Kasaimbangan
Dina Gbr.1unsur rod ngagulung panjangna ds digambarkeun. Kemiringan tangent v’ leutik sahingga nepi ka urutan kadua, panjang unsur bisa diatur sarua jeung proyéksi ds=dz. Salaku tambahan, dina tés anu disebatkeun di handap, kasus dimana P terus-terusan robih sapanjang sumbu rod moal dipertimbangkeun, nyaéta gaya normal N≈P \ = const. Dina tilu kaayaan kasatimbangan sadia pikeun unsur, jumlah nu tangtu anggota lajeng bisa neglected. Pikeun tanda sareng tanda tina Gbr.10tetep lajeng dina pendekatan kahiji tina persamaan
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Gaya transversal bisa dileungitkeun, lajeng M’‘=Pv’’-q nahan. Bernoulli’s hukum M=-EI/R nyadiakeun persamaan leungit. Kurva sumbu rod, sapertos biasa, tina téori bending beam, disederhanakeun sapertos kieu
Ieu sahingga mungkin pikeun ngaleungitkeun momen bending; sarta kalawan M=-EI*v’’ persamaan diferensial pikeun rod bengkok
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Dina kasus husus tina stiffness bending konstan EI=const. persamaan (1) disederhanakeun, jadi
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Persamaan. (1) jeung (1a) linier dina v dumasar kana nyederhanakeun nu disebutkeun.
Sacara praktis, kasus pangbasajanna kaku bending konstan EI=const. penting pisan, anu dijadikeun dadasar pikeun conto di handap ieu.
Kasus Euler
Asumsi pikeun kasus klasik buckling nyaéta, sajaba ti idealizations disebutkeun: p=0, jadi N=const.=P, kitu ogé stiffness konstan tanpa gesekan, nu perenahna persis dina sumbu rod. Persamaan diferensial biasa (1a) mangrupa orde kaopat, linier jeung homogén alatan q=0. Solusi umum nyaéta:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
dimana A, B, C, D mangrupakeun opat konstanta integrasi. Parameter ukuranana terbatas kusabab asumsi EI≠0. Saterusna, α≠0 pikeun P>0.
Gbr. 2
Kusabab persamaan diferensial linier (1a) homogen, masalah ieu ogé direngsekeun ku n_∙__v(z)_, dimana n mangrupa konstanta arbitrer. Geus tina klasifikasi matematik tina persamaan diferensial (1a) bisa ditempo yén gedéna bending v teu bisa ditangtukeun. Pikeun nangtukeun konstanta integrasi A, B, C, D dina kasus Euler\ (gbr. 2) kaayaan kontur handap sadia: Alatan rojongan articulated, momen bending nol dina duanana tungtung rod, i.e.
v=0 jeung M=0 pikeun z=0
v=0 jeung M=0 pikeun z=s.
Kusabab M=-EI_∙__v’‘_, ieu kieu yén M=0 nyaéta nilai v’’=0, jadi opat kaayaan kontur berbunyi:
v=0 jeung v’’=0 pikeun z=0
v=0 jeung v’’=0 pikeun z=s.
Solusi (2) sahingga ngahasilkeun opat persamaan linier:
Hiji.3
Opat persamaan homogén ieu mibanda nu disebut solusi trivial kahiji A=B=C=D=0, nu pakait jeung v(z)=0. Batang unbent v_(z_)=0 nyaéta posisi kasatimbangan biasa pikeun wenang, utamana leutik nilai beban P. Di dieu, urang museurkeun utamana dina kaayaan nu rod bends, nyaéta yén v(z)≠0. Persamaan (3) teu boga solusi trivial sapertos A, B, C, D ≠ 0 ngan lamun determinan koefisien sarua jeung nol.
Hiji. 3a
Tina kaayaan buckling Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog keur ngitung nilai kritis PK tina beban. Persamaan ieu puas ngan lamun sin αs =0, nyaéta pikeun αKms = mπ kalawan m=1,2,3,… Nilai anu cocog tina gaya tekuk Euler nyaéta PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pikeun unggal nilai m, gaya buckling tangtu dicandak. Dina kalolobaan kasus, ngan pangleutikna gaya ieu dipikaresep, sarta éta
PK1=EI(π/s)2.
Dina versi di handap ieu, bakal aya indéks m, atawa 1 lolobana dileungitkeun, ngarujuk kana panghandapna tina beban kritis. Anu dipikaresep nyaéta garis elastis anu cocog. Tina hiji (2) konstanta B=C=D=0 dicandak. Kaayaan sésana nyaéta A∙sin__αs=0. Garis buckling elastis pikeun kasus di luhur m=1 nyaeta, v(z) = A_∙sinπz/s_, dimana v(z) pikeun αK resp. PK fungsi eigen saluyu. Gedéna A tetep teu ditangtukeun.
Hayu urang tingali deui dina sakabéh aréa beban. Pikeun nilai wenang P, utamana pikeun gaya P_<_PK1 nyaeta v(z)=0, rod tetep lempeng.
Dina téori stabilitas klasik, dina “laun ningkat” beban P dimaksudkeun runtuyan padeukeut nilai P, dimana stabilitas kasus beban observasi bakal diuji deui jeung deui pikeun tiap tingkat individu beban P. Salila uji stabilitas, ukuran P tetep teu robah. Lamun hiji kaayaan P ditangtukeun janten stabil, beban ngaronjat ku hiji hal, sarta ku kituna uji stabilitas diulang. Tekad akurat ieu diperlukeun ku kituna teu aya kabingungan jeung jenis beban, nu jadi dadasar pikeun Shanley\ pangaruh, nu aya paningkatan dina beban bari gangguan leutik nu nimpah dina waktos anu sareng. Nalika mariksa stabilitas numutkeun Shanley, di daérah palastik buckling, gaya bifurkasi anu langkung alit tibatan metode pertimbangan klasik.
Pertimbangan di handap ieu nganggap cara mimiti ningkatna beban: Dina paningkatan bertahap beban P dina harti ieu, hiji datang pikeun PK1=EI_∙(π/s)_2 kahiji dina hiji titik bifurcation tina garis elastis, jeung garis elastis. garis
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A nunjukkeun amplitudo garis elastis anu teu ditangtukeun. Pikeun beban _P*__>_PK1 dumasar kana téori linearized Δ≠0, nyaéta kasaimbangan teu mungkin aya. Ngan pikeun gaya buckling luhur PK2 jsb eta bakal jadi deui Δ=0 sahingga ogé v(z)≠0. Anu ngabalukarkeun kacindekan téoritis ieu, nu teu cocog jeung paripolah sabenerna, perenahna dina linearization tina persamaan diferensial.
Buckling tina rod dipencet diwangun ku dua bagian
Urang ngawatesan diri kana dua bagian iteuk dipencet, sarta pikeun iteuk dipencet diwangun ku tilu bagian atawa leuwih, babandingan sarupa lumaku.
Sl.3
Numutkeun jinis sambungan transversal, rod kisi béda (gbr.3a) jeung batang pigura (gbr.3e). Tanpa ikatan silang, unggal bagian tina rod bakal ngabengkokkeun sorangan (gbr.3b). Lamun keusikan kawilang lemah, rod sabuk tunggal bisa ngabengkokkeun tanpa bending rod sakabéhna. Pikeun kisi rod Gbr.3c bisa dibandingkeun: ditinggalkeun pikeun sistem hinged, katuhu pikeun belts kontinyu; sarta pikeun pigura rod Gbr.3f di kénca pikeun lambar sambungan lemes, di katuhu pikeun lambar sambungan kaku. Ti dinya, bisa ditempo yén slimness λ_ pangaruh hébat1__=s1/abdi1_. Pikeun bagian individu rod, I ieu disimpen1=F1_∙_abdi12, s1 nyaeta spasi widang (Gbr.3), abdi1 nujul kana sumbu1-1(tingali Gbr.4).
Sl.4
Gaya buckling rod sanyawa pakait jeung garis buckling elastis Gbr. 3d, atawa 3g ieu subyek panalungtikan téoritis tuntas. Lamun rod diwangun ku bagian unik (misalna ku tulang rusuk a) atawa lamun sambungan transverse éta jadi sering nu rod ngagulung ti dua bagian teu béda dina pangaruh na ti rod tunggal, mangka bakal jadi σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Aya hartina λ__y=sK/iy (gbr. 4). Sanajan kitu, stress buckling ieu moal pinuh ngahontal dina prakna sabab aya teu cukup sambungan transverse pikeun éta, sarta aranjeunna oge elastis. Hiji perkiraan nu satisfies di hal nu ilahar diala lamun urang nempatkeun nurutkeun proposal F. Engesser \ a yén stress bending tina rod dipencet diwangun ku dua bagian sarua
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi nyaéta anu disebut langsing idéal.
Cross dasi kudu cukup dina jumlah jeung cukup kuat maksa duanana bagian rod pikeun meta babarengan. Teu kaasup stresses sekundér, Tumbu transverse tetep unstressed salami rod tetep lempeng. Éta ngan ukur ku bending aranjeunna kedah nampi gaya, sareng aranjeunna kedah ngirimkeun gaya transversal anu ningkat ku bending. Bisi éta garis elastis
gaya transversal di I=const. nyaeta sarua
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Jeung Gbr. 5 m tiasa langsung dibaca Q(z)=PK∙v’(z). Nilai pangluhurna di tungtung rod nyaeta
Sl.5
Sambungan transversal kedah tiasa nampung gaya transversal ieu. Kusabab beban pakait nyaéta gaya buckling PK, éta cukup lamun wates beban-bearing ngahontal ieu ogé dina sambungan transverse - i.e.. sakaligus kalawan sakabéh rod. Jelas, moal aya mangpaatna upami cross-link ukuranana langkung kuat tibatan anu diperyogikeun pikeun nampi Q0. Di sisi séjén, cross-links anu lemah teuing bakal ngabalukarkeun rod gagal prematurely.
Persamaan di luhur teu bisa dipaké mimitina sabab gedena panah buckling teu kanyahoan. Rod aya dina kasatimbangan acuh dina PK sarta bisa, sahenteuna dina gelar mimiti pendekatan, nyandak hiji nilai sawenang. Éta kituna mangpaat, nurutkeun usulan F. Krohn-a, pikeun nangtukeun gedena éta buckling maxv di mana rod ngagulung leungiteun daya dukung na alatan gagalna alatan bending. Ieu pasti bakal lumangsung lamun titik ngahasilkeun ngahontal dina sisi kerung tina tikungan (Gbr.6). The bends pikeun ieu tumuwuh salajengna jeung moments bending pakait teu bisa dilarapkeun.
Gbr. 6
The total stress dina sisi kerung tina ngalipet nyaeta nurutkeun Gbr.6pikeun bahan plastik idéal
Ti dinya asalna swagger pangbadagna nu masih bisa endured
maxQ0 nyaéta gaya transversal pakait dina tungtung rod.
Upami dianggo pikeun σK Tetmeier's formulir sareng nempatkeun σF=3,1t/cm2jeung sK=e/2∙ λy nu pakait jeung iy≈e/2, mangka nilai perkiraan Krohn tina maxQ dicandak0=F/28(Q dina t, F dina cm2).
Pikeun garis sawenang stress buckling dicandak
maxQ0=μK∙SK.
Koéfisién μK robah ku slenderness of rod, éta ogé gumantung kana bahan. Lamun persamaan di luhur dibagi ku koefisien kaamanan ngalawan buckling bisa ditulis
dozv__Q=μ∙dozvS.
Buckling tina sistem linier
Dina kasus sistem linier, geus ilahar pikeun nangtukeun panjang bending sK=β∙h tina rod anu hinged dina duanana tungtung jeung gaya bendingna PK=π pikeun babandingan.2EI/s2K sagampil badag. A komparatif “panjang buckling” bakal dibikeun pikeun conto di handap.
a) Rod diapit dina kadua tungtung (EI=const.)
Sl.7
Pikeun kasus Gbr.7tina buckling nyaéta PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, komparatif “panjang buckling” sK=h/2jeung garis buckling elastis v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Rod bébas dina hiji tungtung (gbr.8)
Sl. 8
Hal ieu dianggap yén arah P teu robah jadi rod bends. Lajeng (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Kondisi kontur pikeun tungtung bébas z=h di dieu baca
M=0 atawa v’’=0
Q=M’-Pv’=0 atawa v’’’+a2∙v’=0.
c) Batang diapit dina hiji tungtung (gbr. 9)
Sl.9
Jeung kondisi kontur
v=0 jeung v’=0 pikeun z=0
v=0 jeung v’’=0 pikeun z=h
dicandak pikeun EI=const. kaayaan buckling
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
atawa sarimbag
tgαh=αh. (4)
Akar tina persamaan transendental ieu kapanggih dina tabél K. Hayashi urang. Gaya buckling panghandapna dumasar kana tabel PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Panjang buckling komparatif nyaéta sK = h / √2,046=0,699h.
d) Batang dijepit dina hiji tungtung kalayan gangguan (gbr.10)
Gbr. 10
Urang bakal mertimbangkeun kasus pamindahan tip tina ukuran konstan. Kaayaan kontur pikeun éta nyaéta
v=0jeung v’=0 keur z=0,
v=v1jeung v’’ =0 keur z=h.
Ieu masalah kasatimbangan kalawan garis elastis
Pangbagi istilah saméméh {}-kurung bakal nol jeung buckling naek luhureun sakabeh wates lamun P→PK (tingali kaayaan buckling Persamaan. (4)). Ieu ciri tina kabiasaan rod nu bends di tengah jeung tungtung handap rod mimitina leuwih leutik kalawan ngaronjatna beban P sarta ngarobah tanda maranéhanana ngan pikeun beban luhur. Sl.10nembongkeun bends dina satengah jangkungna.
e) iteuk kontinyu dina dua widang
Sl.11
Pikeun duanana wewengkon solusi (gbr.11) urang bakal nerapkeun setelan
Jeung_. v (z1) = A1∙ synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Pikeun kesederhanaan hayu (EI)1=(EI)2=EI. Pikeun manggihan dalapan konstanta A1, …, A2, … ngawula salaku kaayaan kontur
v=0 jeung v’=0 pikeun z1=0,
v=0 jeung v’’=0 pikeun z2=h,
sareng kaayaan transisi antara wewengkon I jeung II
v=0 pikeun z1=h jeung pikeun z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Persamaan kondisi dirumuskeun dina tabel di handap
Setelan yén determinan koefisien sarua jeung nol, kaayaan buckling dicandak
Panjang bending sK=0,878_h_, sedengkeun pikeun Gbr. 35 atanapi β=0,699. Gaya buckling geus turun dibandingkeun 2,046 : 1,297 alatan tambahan widang kadua nu hinged. Upami sawah anu sanés dicubit langkung luhur, maka gaya buckling bakal ningkat deui ka puncak. 2,04 PE.
Presentasi sajarah rumus ieu sanes proyek atanapi bukti stabilitas struktur. Asumsi klasik tina anggota lempeng idéal, beban centric jeung aréa elastis teu merta ngawengku imperfections awal, stresses residual, eccentricity, stiffness sambungan, non-linearity bahan, stabilitas gurat atawa, lamun lumaku, seuneu, aksi seismik jeung fase assembly. Itungan struktur saleresna kedah dilakukeun ku insinyur sipil anu otorisasi dumasar kana peraturan sareng standar anu sah.