Tänapäeval on Savo Kusić keskendunud puitakendele, puit-alumiinium aknad, kohandatud aknad, uks ja hinnapakkumise taotlused. See tekst jääb konstruktsiooniteooria arhiiviks ega ole staatilise projekteerimise, stabiilsusarvutuste ega konstruktsiooni taastamise pakkumine.
Painde paindumise diferentsiaalvõrrand
Eeldatakse, et kõik idealisatsioonid on täidetud, eriti
- et varras on täiesti sirge
- et koormus P mõjub varda võllis
- et pinged jäävad alla proportsionaalsuse piiri
- et deformatsioonid on piisavalt väikesed, et võimaldada tavalisi arvutuste lihtsustusi.
Kui varras paindub jõu P mõjul ja võib-olla ka põikisuunas mõjuva koormuse q mõjul, siis peavad väliskoormuste ja lõigus olevate jõudude vahel teadaolevad tasakaalutingimused olema täidetud. Pealegi on loomulik, et lõigul on teada seosed deformatsioonide ja jõudude vahel.
Joon. 1 – saldo
Joonisel fig.1kujutatakse painutatud varda elementi pikkusega ds. Puutuja v’ kalle on väike, nii et kuni teise järguni saab elemendi pikkuseks määrata projektsiooniga ds=dz. Lisaks ei võeta allpool mainitud katsetes arvesse juhtumeid, kus P muutub pidevalt piki varda telge, st normaaljõudu N≈P=konst. Elemendi jaoks saadaolevas kolmes tasakaalutingimuses võib teatud arvu liikmeid tähelepanuta jätta. Märgistuste ja tähiste jaoks jooniselt fig.10jäävad siis võrrandi esimesse lähendusse
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Põikjõu saab kõrvaldada ja siis M’‘=Pv’’-q kehtib. Bernoulli\ seadus M=-EI/R esitab puuduva võrrandi. Varda telje kõver, nagu tavaliselt, on tala paindeteooriast lihtsustatud järgmiselt
Seega on võimalik paindemomenti kõrvaldada; ja M=-EI*v’’ saadakse painutatud varda
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Konstantse paindejäikuse erijuhul EI=konst. võrrand (1) on lihtsustatud, seega on see
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) ja (1a) on v-s lineaarsed vastavalt nimetatud lihtsustustele.
Praktiliselt lihtsaim konstantse paindejäikuse juhtum EI=const. on eriti oluline, mis on aluseks järgmistele näidetele.
Euleri juhtum
Klassikalise paindejuhtumi eeldused on peale mainitud idealisatsioonide: p=0, seega N=const.=P, samuti konstantne jäikus ilma hõõrdeta, mis asetsevad täpselt varda teljel. Tavaline diferentsiaalvõrrand (1a) on neljandat järku, lineaarne ja homogeenne q=0 tõttu. Üldine lahendus on:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kus A, B, C, D on neli integreerimiskonstandit. Parameeter on piiratud suurusega eelduse EI≠0 tõttu. Lisaks α≠0 jaoks P>0.
Joon. 2
Kuna lineaarne diferentsiaalvõrrand (1a) on homogeenne, lahendab selle ülesande ka n_∙__v(z)_, kus n on suvaline konstant. Juba diferentsiaalvõrrandi (1a) matemaatilisest klassifikatsioonist on näha, et painde v suurust ei ole võimalik määrata. Integreerimiskonstantide A, B, C, D määramiseks Euleri\ juhul (joonis 2) on saadaval järgmised kontuuritingimused: Liigendatud toe tõttu on paindemoment varda mõlemas otsas null, s.o.
v=0 ja M=0 jaoks z=0
v=0 ja M=0 z=s jaoks.
Tulenevalt M=-EI_∙__v’‘_, järeldub, et M=0 on v’’=0 väärtus, seega on neli kontuuritingimust järgmised:
v=0 ja v’’=0 jaoks z=0
v=0 ja v’’=0 z=s jaoks.
Lahendus (2) annab seega neli lineaarset võrrandit:
Üks.3
Nendel neljal homogeensel võrrandil on esimene nn triviaalne lahendus A=B=C=D=0, mis vastab v(z)=0. Painutamata varras v_(z_)=0 on tavaline tasakaaluasend suvaliste, eriti väikeste koormuse P väärtuste jaoks. Siin huvitavad meid eeskätt tingimused, mille korral varras paindub, st et v(z)≠0. Võrranditel (3) pole sellist triviaalset lahendit A, B, C, D ≠ 0 ainult siis, kui koefitsiendi determinant on võrdne nulliga.
Üks. 3a
Paindumise tingimustest Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog koormuse kriitiliste väärtuste PK arvutamiseks. See võrrand on täidetud ainult siis, kui sin αs =0, see tähendab, et αKms = mπ koos m=1,2,3,… Euleri paindejõu vastavad väärtused on PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Iga m väärtuse korral saadakse teatud paindejõud. Enamasti pakub huvi vaid väikseim neist jõududest ja sedagi
PK1=EI(π/s)2.
Järgmises versioonis on indeks m või 1 enamasti välja jäetud, mis viitab väikseimale kriitilisele koormusele. Huvitav on vastav elastne joon. Ühest (2) saadakse konstandid B=C=D=0. Ülejäänud tingimus on A∙sin__αs=0. Elastne paindejoon ülaltoodud juhul m=1 on seega v(z) = A_∙sinπz/s_, kus v(z) on αK resp. PK vastav omafunktsioon. A suurusjärk jääb määramata.
Vaatame veel kord kogu laadimisala. Suvaliste P väärtuste korral, eriti jõudude puhul P_<_PK1 on v(z)=0, jääb varras sirgeks.
Klassikalises stabiilsusteoorias “järk-järgult suureneva” koormuse P all mõeldakse järjestikust väärtuste jadat P, kus vaadeldava koormuse juhtumi stabiilsust testitakse ikka ja jälle iga üksiku koormuse taseme P puhul. Stabiilsustesti ajal jääb P suurus kindlasti muutumatuks. Kui üks olek P määratakse stabiilseks, siis koormust millegi võrra suurendatakse ja seetõttu korratakse stabiilsuskatset. See täpne määramine on vajalik, et ei tekiks segadust koormuse tüübiga, mis on aluseks Shanley\ efektile, mille puhul koormus suureneb, samal ajal mõjuvad väikesed häired. Stabiilsust Shanley\ järgi uurides tekib plastilise paindumise piirkonnas väiksem hargnemisjõud kui klassikalise arvestusmeetodi puhul.
Järgmised kaalutlused eeldavad koormuse suurendamise esimest viisi: koormuse P järkjärgulise suurenemise korral selles mõttes saavutatakse PK1=EI_∙(π/s)_2 kõigepealt elastse tasakaalu ühes bifurkatsioonipunktis lihtsa elastse tasakaalujoonena. rida
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A tähistab elastse joone määramata amplituudi. Koormuste puhul _P*__>_PK1 on lineariseeritud teooria järgi Δ≠0, st seal ei ole tasakaal võimalik. Ainult suuremate paindejõudude PK2 jne korral on see jällegi Δ=0 ja seega ka v(z)≠0. Selle teoreetilise järelduse, mis ei vasta tegelikule käitumisele, põhjus peitub diferentsiaalvõrrandi lineariseerimises.
Kahest osast koosnevate pressitud varraste paindumine
Me piirdume kaheosaliste presspulkadega ja kolmest või enamast osast koosnevate pressitud pulkade puhul kehtivad sarnased suhted.
Sl.3
Põikühenduse tüübi järgi erinevad võrevardad (joon.3a) ja raami vardad (joon.3e). Ilma ristsidemeteta painduks pulga iga osa ise (joon.3b). Kui täidis on suhteliselt nõrk, võib üksainus rihmavarras painduda ilma varrast tervikuna painutamata. Võrevarda jaoks joon.3c võib võrrelda: hingedega süsteemi puhul vasak, pidevate rihmade puhul parem; ja raami varda jaoks joon.3f vasakul pehmete ühenduslehtede jaoks, paremal jäikade ühenduslehtede jaoks. Sealt on näha, et saledusel λ_ on suur mõju1__=s1/i1_. Varda üksikule osale pandi I1=F1_∙_i12, s1 on väljade vahe (joon.3), i1 viitab teljele1-1(vt joonis fig.4).
Sl.4
Liitvarraste paindejõud, mis vastab joonisel fig.3d või3g oli põhjalike teoreetiliste uuringute objektiks. Kui ritv koosneks unikaalsetest osadest (nt ribiga) või kui põikühendused oleksid nii sagedased, et kahest osast painutatud varras ei erine oma toimelt ühest ridvast, siis oleks see σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Seal tähistab see λ__y=sK/iy (joon.4). Seda paindepinget aga praktikas täielikult ei saavutata, sest selleks ei jätku põikiühendusi ning need on ka elastsed. Enamasti rahuldav lähendus saadakse, kui panna vastavalt ettepanekule F. Engesser\a, et kahest osast koosneva pressitud varda paindepinge on võrdne
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi on nn ideaalne saledus.
Ristsidemed peavad olema piisava arvu ja piisavalt tugevad, et sundida mõlemad varda osad koos tegutsema. Jättes kõrvale sekundaarsed pinged, jäävad põiklülid pingestamata seni, kuni varras püsib sirgena. Ainult painutamisel peavad nad jõudu vastu võtma ja nad peavad edastama põikjõude, mis paindumisel suurenevad. Juhul, kui tegemist on elastse joonega
põikjõud I=konst. on võrdne
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Koos joonisega. 5 m saab kohe lugeda Q(z)=PK∙v’(z). Kõrgeim väärtus varda otsas on
Sl.5
Põikühendused peavad suutma seda põikjõudu vastu võtta. Kuna vastavaks koormuseks on paindejõud PK, siis piisab, kui selleks saavutatakse kandepiir ka põikiühendustes - st üheaegselt kogu vardaga. Ilmselgelt poleks sellest kasu, kui ristsidemed oleksid palju tugevamad kui Q0 vastuvõtmiseks vaja. Teisest küljest võivad liiga nõrgad ristsidemed põhjustada varda enneaegse rikke.
Ülaltoodud võrrandit ei saa esialgu kasutada, kuna paindumise noole suurus on teadmata. Varras on PK all ükskõikses tasakaalus ja võib vähemalt esimesel lähendusastmel võtta suvalise väärtuse. Seetõttu on see F ettepaneku kohaselt kasulik. Krohn-a, et määrata selle paindumise maxv suurus, mille juures painutatud varras kaotab paindumisest tingitud rikke tõttu oma kandevõime. See juhtub kindlasti siis, kui voolavuspiir saavutatakse kurvi nõgusal küljel (joon.6). Selle jaoks mõeldud painded kasvavad veelgi ja vastavaid paindemomente ei saa rakendada.
Joon. 6
Kogupinge painde nõgusal küljel on vastavalt joonisele fig.6ideaalseks plastmaterjaliks
Sealt pärineb suurim möll, mida veel taluda saab
maxQ0 on vastav põikjõud varda otsas.
Kui kasutatakse σK Tetmeieri\ vormi jaoks ja pane σF=3,1t/cm2ja sK=e/2∙ λy, mis vastab iy≈e/2, siis saadakse Krohn\ ligikaudne väärtus maxQ0=F/28(Q t, F cm2).
Suvaliste joonte korral saadakse paindepinge
maxQ0=μK∙SK.
Koefitsient μK muutub koos varda saledusega, oleneb ka materjalist. Kui ülaltoodud võrrand on jagatud paindumise vastase ohutuse koefitsiendiga, saab selle kirjutada
dozv__Q=μ∙dozvS.
Lineaarsete süsteemide paindumine
Lineaarsete süsteemide puhul on levinud võrdluseks määrata paindepikkus sK=β∙h vardale, mis on mõlemast otsast hingedega ja mille paindejõud on PK=π2EI/s2K sama suur. Allpool toodud näidete jaoks on toodud võrdlev “paindumise pikkus”.
a) Varras on mõlemast otsast kinnitatud (EI=konst.)
Sl.7
Joonisel fig.7paindumisest on PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, võrdleva “painutuse pikkus” sK=h/2ja elastne paindejoon v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Varras ühest otsast vaba (joon.8)
Sl. 8
Eeldatakse, et P suund ei muutu varda paindumisel. Seejärel (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Vaba otsa kontuuritingimused z=h loe siit
M=0 või v’’=0
Q=M’-Pv’=0 või v’’’+a2∙v’=0.
c) Varras on ühest otsast kinnitatud (joonis 9)
Sl.9
Kontuuritingimustega
v=0 ja v’=0 jaoks z=0
v=0 ja v’’=0 jaoks z=h
saadakse EI=const. paindeseisund
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
või samaväärne
tgαh=αh. (4)
Selle transtsendentaalse võrrandi juured on toodud tabelites K. Hayashi’s. Väikseim paindejõud on vastavalt tabelitele PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Võrdlev paindepikkus on sK = h / √2,046=0,699h.
d) Varras, mis on ühest otsast kinnitatud häirega (joon.10)
Joon. 10
Vaatleme konstantse suurusega otsa nihke juhtumit. Kontuuritingimused selleks on
v=0ja v’=0 z= jaoks0,
v=v1ja v’’=0 z=h jaoks.
See on elastse joonega tasakaaluprobleem
Termini nimetaja enne {}-sulgusid on null ja paindumine suureneb üle kõigist piiridest, kui P→PK (vt paindumise tingimust Eq. (4)). Varda käitumisele on iseloomulik, et varda keskmises ja alumises otsas olevad painded on koormuse P suurenemisel esialgu väiksemad ja muudavad oma märki ainult suuremate koormuste korral. Sl.10näitab painutusi poolel kõrgusel.
e) Pidev kleepimine kahel väljal
Sl.11
Mõlema lahendusala jaoks (joon.11) rakendame seadet
Ja_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Lihtsuse huvides olgu see nii (EI)1=(EI)2=EI. Kaheksa konstandi leidmiseks A1, …, A2, … toimivad kontuuritingimustena
v=0 ja v’=0 z1=0,
v=0 ja v’’=0 jaoks z2=h,
aga ka üleminekutingimused piirkondade I ja II vahel
v=0 jaoks z1=h ja z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Tingimusvõrrandid on toodud allolevas tabelis
Seadistades, et koefitsiendi determinant on võrdne nulliga, saadakse paindumise tingimus
Painde pikkus sK=0,878_h_, samas kui joon. 35 või β=0,699. Väljamurdmisjõud on võrreldes väärtusega 2,046 : 1,297 vähenenud, kuna on lisatud teine hingedega välja. Kui teine väli oleks näpistatud kõrgemale, suureneks paindejõud taas haripunktini. 2,04 PE.
See valemite ajalooline esitlus ei ole projekt ega tõend struktuuri stabiilsuse kohta. Ideaalse sirge elemendi, tsentrilise koormuse ja elastse ala klassikalised eeldused ei pruugi hõlmata esialgseid puudusi, jääkpingeid, ekstsentrilisust, ühenduse jäikust, materjali mittelineaarsust, külgstabiilsust ega vajaduse korral tulekahju, seismilist toimet ja montaažifaase. Tegeliku konstruktsiooni arvutamise peab tegema volitatud ehitusinsener vastavalt kehtivatele eeskirjadele ja standarditele.