Nykyään Savo Kusić keskittyy puisiin ikkunoihin, puu-alumiini-ikkunat, muokatut ikkunat, ovi ja tarjouspyynnöt. Tämä teksti säilyy rakenneteorian arkistona, eikä se ole staattisen suunnittelun, vakavuuslaskelmien tai rakenteiden kunnostamisen tarjous.
Taivutuksen lommahduksen differentiaaliyhtälö
Oletetaan, että kaikki idealisaatiot täyttyvät, erityisesti
- että sauva on täysin suora
- että kuorma P vaikuttaa tangon akseliin
- että jännitteet jäävät suhteellisuusrajan alapuolelle
- että muodonmuutokset ovat riittävän pieniä salliakseen tavanomaiset laskelmien yksinkertaistukset.
Jos sauva taipuu voiman P vaikutuksesta ja ehkä myös poikittaissuunnassa vaikuttavan kuorman q vaikutuksesta, niin ulkoisten kuormien ja leikkauksen voimien välisten tunnettujen tasapainoehtojen on täytyttävä. Lisäksi on luonnollista, että muodonmuutosten ja voimien väliset suhteet leikkauksessa tunnetaan.
Kuva. 1 - saldo
Kuvassa1esitetään taivutettu tankoelementti, jonka pituus on ds. Tangentin v’ kaltevuus on pieni niin, että toiseen kertaluokkaan asti alkion pituudeksi voidaan asettaa projektio ds=dz. Lisäksi alla mainituissa testeissä ei oteta huomioon tapauksia, joissa P muuttuu jatkuvasti tangon akselia pitkin, eli normaalivoima N≈P=const. Elementille käytettävissä olevissa kolmessa tasapainoehdossa tietty määrä jäseniä voidaan sitten jättää huomiotta. Merkinnät ja kyltit kuvasta.10jäävät sitten yhtälön ensimmäiseen approksimaatioon
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Poikittaisvoima voidaan poistaa, ja sitten M’‘=Pv’’-q pätee. Bernoullin\ laki M=-EI/R tarjoaa puuttuvan yhtälön. Tangon akselin käyrä, kuten tavallista, palkin taivutusteoriasta, on yksinkertaistettu seuraavasti
Taivutusmomentti on siten mahdollista eliminoida; ja M=-EI*v’’ saadaan differentiaaliyhtälö taivutetulle tangolle
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Vakiotaivutusjäykkyyden erikoistapauksessa EI=vakio. yhtälö (1) on yksinkertaistettu, joten se on
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) ja (1a) ovat lineaarisia v:ssä mainittujen yksinkertaistustensa mukaisesti.
Käytännössä yksinkertaisin tapaus vakiotaivutusjäykkyydestä EI=const. on erityisen tärkeä, mikä toimii pohjana alla oleville esimerkeille.
Eulerin tapaus
Klassisen nurjahdustapauksen oletukset ovat mainittuja idealisaatioita lukuun ottamatta: p=0, eli N=const.=P, sekä vakio jäykkyys ilman kitkaa, jotka ovat täsmälleen tangon akselilla. Tavallinen differentiaaliyhtälö (1a) on neljännen asteen, lineaarinen ja homogeeninen johtuen q=0. Yleinen ratkaisu on:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
jossa A, B, C, D ovat neljä integrointivakiota. Parametri on äärellisen kokoinen johtuen oletuksesta EI≠0. Lisäksi α≠0 kohteelle P>0.
Kuva. 2
Koska lineaarinen differentiaaliyhtälö (1a) on homogeeninen, tämä ongelma ratkaistaan myös n_∙__v(z)_, jossa n on mielivaltainen vakio. Jo differentiaaliyhtälön (1a) matemaattisesta luokittelusta voidaan nähdä, että taivutuksen v suuruutta ei voida määrittää. Integrointivakioiden A, B, C, D määrittämiseksi Euler\ tapauksessa (kuva 2) ovat käytettävissä seuraavat ääriviivaehdot: Niveltuen ansiosta taivutusmomentti on nolla tangon molemmissa päissä, ts.
v=0 ja M=0 kohteelle z=0
v=0 ja M=0 kohteelle z=s.
Johtuen M=-EI_∙__v’‘_, tästä seuraa, että M=0 on v’’=0:n arvo, joten neljä ääriviivaehtoa ovat:
v=0 ja v’’=0 kohteelle z=0
v=0 ja v’’=0 kohteelle z=s.
Ratkaisu (2) johtaa siten neljään lineaariseen yhtälöön:
Yksi.3
Näillä neljällä homogeenisella yhtälöllä on ensimmäinen ns. triviaaliratkaisu A=B=C=D=0, joka vastaa v(z)=0. Taipumaton tanko v_(z_)=0 on tavallinen tasapainoasento mielivaltaisille, erityisesti pienille kuormituksen P arvoille. Tässä meitä kiinnostaa ensisijaisesti olosuhteet, joissa sauva taipuu, eli v(z)≠0. Yhtälöillä (3) ei ole tällaista triviaalia ratkaisua, jossa A, B, C, D ≠ 0 vain jos kertoimen determinantti on nolla.
Yksi. 3a
Nurjahdusolosuhteista Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog laskea kuorman kriittiset arvot PK. Tämä yhtälö täyttyy vain, jos sin αs =0, eli αKms = mπ ja m=1,2,3,… Eulerin nurjahdusvoiman vastaavat arvot ovat PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Jokaiselle m:n arvolle saadaan tietty nurjahdusvoima. Useimmissa tapauksissa vain pienin näistä voimista kiinnostaa, ja se
PK1=EI(π/s)2.
Seuraavassa versiossa indeksi m tai 1 jätetään suurimmaksi osaksi pois, mikä viittaa alhaisimpaan kriittiseen kuormaan. Mielenkiintoinen on vastaava elastinen viiva. Yhdestä (2) saadaan vakiot B=C=D=0. Jäljellä oleva ehto on A∙sin__αs=0. Elastinen nurjahdusviiva yllä olevassa tapauksessa m=1 on siis v(z) = A_∙sinπz/s_, missä v(z) on αK ja vastaavasti. PK vastaava ominaisfunktio. A:n suuruus jää määrittelemättömäksi.
Katsotaanpa vielä koko kuorma-aluetta. Satunnaisille P arvoille, erityisesti voimille P_<_PK1 on v(z)=0, sauva pysyy suorana.
Klassisessa vakausteoriassa “asteittain kasvavalla” kuormalla P tarkoitetaan peräkkäistä arvosarjaa P, jossa havaitun kuormitustilanteen vakautta testataan yhä uudelleen jokaiselle yksittäiselle kuormitustasolle P. Vakavuustestin aikana P:n koko pysyy varmasti ennallaan. Jos yksi tila P määritetään stabiiliksi, niin kuormitus kasvaa jollain, ja siksi stabiilisuustesti toistetaan. Tämä tarkka määritys on tarpeen, jotta ei synny sekaannusta kuormituksen tyypin kanssa, joka on perusta Shanley-ilmiölle, jossa kuormitus kasvaa samalla kun pienet häiriöt vaikuttavat. Vakavuutta Shanleyn\ mukaan tarkasteltaessa muovisen nurjahduksen alueella esiintyy pienempi haaroittumisvoima kuin klassisella harkintamenetelmällä.
Seuraavien näkökohtien oletetaan ensimmäistä tapaa lisätä kuormitusta: Kun kuormitusta P lisätään tässä mielessä asteittain, saadaan PK1=EI_∙(π/s)_2 ensin yhteen kimmoisen tasapainon bifurkaatiopisteeseen yksinkertaisena kimmoisena tasapainoviivana. rivi
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A tarkoittaa elastisen viivan määrittelemätöntä amplitudia. Kuormille _P*__>_PK1 on linearisoidun teorian mukaan Δ≠0, eli tasapaino ei ole siellä mahdollinen. Vain suuremmilla nurjahdusvoimilla PK2 jne. se on jälleen Δ=0 ja siten myös v(z)≠0. Syy tähän teoreettiseen päätelmään, joka ei vastaa todellista käyttäytymistä, on differentiaaliyhtälön linearisoinnissa.
Kahdesta osasta koostuvien puristettujen tankojen nurjahdus
Rajoitamme vain kaksiosaisiin puristetikkuihin, ja kolmesta tai useammasta osasta koostuvia puristettuja puikkoja sovelletaan vastaaviin suhteisiin.
Sl.3
Poikittaisliitoksen tyypin mukaan ristikotangot vaihtelevat (kuva 1).3a) ja rungon tangot (kuva3e). Ilman poikkisidoksia kukin tikun osa taipuisi itsestään (kuva 1).3b). Jos täyttö on suhteellisen heikkoa, niin yksittäinen hihnatanko voi taipua taivuttamatta tankoa kokonaisuudessaan. Hilatankoa varten kuva.3c voidaan verrata: vasen saranoidulle järjestelmälle, oikea jatkuville hihnoille; ja rungon tangolle kuva3f vasemmalla pehmeälle liitoslevylle, oikealla jäykille liitoslevyille. Sieltä voidaan nähdä, että hoikuudella λ_ on suuri vaikutus1__=s1/i1_. Vavan yksittäiselle osalle sijoitettiin I1=F1_∙_i12, s1 on kenttäväli (kuva.3), i1 viittaa akseliin1-1(katso kuva.4).
Sl.4
Yhdistelmätankojen nurjahdusvoima, joka vastaa kuvan 1 mukaisia elastisia nurjahduslinjoja.3d tai3g oli perusteellisten teoreettisten tutkimusten kohteena. Jos sauva koostuisi ainutlaatuisista osista (esim. ripalla) tai jos poikittaisliitokset olisivat niin tiheitä, että kahdesta osasta taivutettu sauva ei eroa vaikutukseltaan yhdestä tangosta, niin se olisi σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Siellä se tarkoittaa λ__y=sK/iy (Kuva.4). Tätä nurjahdusjännitystä ei kuitenkaan käytännössä täysin saavuteta, koska siihen ei ole tarpeeksi poikittaisliitoksia ja ne ovat myös joustavia. Useimmissa tapauksissa tyydyttävä likiarvo saadaan, jos laitamme ehdotuksen mukaan F. Engesser\a, että kahdesta osasta koostuvan puristetun tangon taivutusjännitys on yhtä suuri
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi on niin sanottu ihanteellinen hoikka.
Ristisiteet tulee olla riittävän suuria ja riittävän vahvoja pakottamaan tangon molemmat osat toimimaan yhdessä. Toissijaisia jännityksiä lukuun ottamatta poikittaislinkit pysyvät jännittämättöminä niin kauan kuin tanko pysyy suorana. Ainoastaan taivutettaessa niiden täytyy vastaanottaa voimia, ja niiden on siirrettävä poikittaisvoimat, jotka kasvavat taivutettaessa. Jos kyseessä on joustava viiva
poikittaisvoima kohdassa I=vakio. on tasa-arvoinen
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Kuvan kanssa 5 m voidaan lukea välittömästi Q(z)=PK∙v’(z). Suurin arvo tangon päässä on
Sl.5
Poikittaisliitosten on voitava ottaa huomioon tämä poikittaisvoima. Koska vastaava kuorma on nurjahdusvoima PK, riittää, että tälle saavutetaan kantoraja myös poikittaisliitoksissa - eli samanaikaisesti koko tangon kanssa. Ilmeisestikään ei olisi mitään hyötyä, jos ristilinkit koottaisiin paljon vahvemmiksi kuin on tarpeen Q0:n vastaanottamiseksi. Toisaalta liian heikot ristisidokset aiheuttaisivat sauvan ennenaikaisen epäonnistumisen.
Yllä olevaa yhtälöä ei voida käyttää aluksi, koska nurjahdusnuolen suuruutta ei tunneta. Tanko on välinpitämättömässä tasapainossa PK:n alla ja voi ainakin ensimmäisessä approksimaatioasteessa saada mielivaltaisen arvon. Siksi se on hyödyllinen F:n ehdotuksen mukaan. Krohn-a, määrittää sen nurjahduksen maxv suuruus, jossa taivutettu tanko menettää kantavuutensa taivutuksesta johtuvan vian vuoksi. Tämä tapahtuu varmasti, jos myötöraja saavutetaan mutkan koveralla puolella (kuva 1).6). Tätä varten olevat taivutukset kasvavat edelleen, eikä vastaavia taivutusmomentteja voida soveltaa.
Kuva. 6
Kokonaisjännitys mutkan koveralla puolella on kuvan 1 mukainen.6ihanteelliseen muovimateriaaliin
Sieltä tulee suurin swagger, joka voidaan vielä kestää
maxQ0 on vastaava poikittaisvoima tangon päässä.
Jos käytetään σK Tetmeier\ -lomakkeessa ja laita σF=3,1t/cm2ja sK=e/2∙ λy, joka vastaa iy≈e/2, niin saadaan Krohn\ likimääräinen arvo maxQ0=F/28(Q t, F cm2).
Mielivaltaisille viivoille saadaan nurjahdusjännitys
maxQ0=μK∙SK.
Kerroin μK muuttuu tangon hoikuuden mukaan, se riippuu myös materiaalista. Kun yllä oleva yhtälö jaetaan turvakertoimella nurjahdusta vastaan, se voidaan kirjoittaa
dozv__Q=μ∙dozvS.
Lineaaristen järjestelmien nurjahdus
Lineaarisissa järjestelmissä on yleistä määrittää taivutuspituus sK=β∙h tangolle, joka on saranoitu molemmista päistä ja jonka taivutusvoima on PK=π vertailua varten.2EI/s2K yhtä suuri. Alla oleville esimerkeille annetaan vertaileva “lommahduspituus”.
a) Tanko kiinnitetty molemmista päistä (EI=vakio)
Sl.7
Kuvan 1 tapauksessa7nurjahdus on PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, vertaileva “lommahduspituus” sK=h/2ja elastinen nurjahdusviiva v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Tanko vapaa toisesta päästä (kuva 1).8)
Sl. 8
Oletetaan, että P:n suunta ei muutu sauvan taipuessa. Sitten (EI=vakio.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Vapaan pään ääriviivaehdot z=h lue tästä
M=0 tai v’’=0
Q=M’-Pv’=0 tai v’’’+a2∙v’=0.
c) Tanko kiinnitetty toisesta päästä (kuva 9)
Sl.9
ääriviivaolosuhteilla
v=0 ja v’=0: z=0
v=0 ja v’’=0 for z=h
saadaan arvolle EI=const. nurjahdus kunto
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
tai vastaava
tgαh=αh. (4)
Tämän transsendentaalisen yhtälön juuret löytyvät taulukoista K. Hayashi’s. Pienin nurjahdusvoima on taulukoiden PK mukainen1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Vertaileva nurjahduspituus on sK = h / √2,046=0,699h.
d) Toisesta päästä kiinnitetty sauva häiriöllä (kuva 1).10)
Kuva. 10
Tarkastellaan tapausta, jossa kärjen siirtymä on vakiokokoinen. Sen ääriviivat ovat
v=0ja v’=0 arvolle z=0,
v=v1ja v’’=0 arvolle z=h.
Se on tasapainoongelma elastisen viivan kanssa
Terminin nimittäjä ennen {}-sulkuja on nolla ja nurjahdus kasvaa yli kaikkien rajojen, jos P→PK (katso nurjahdusehto yhtälö ()4)). Vavan käyttäytymiselle on ominaista, että tangon keski- ja alapäässä olevat mutkat ovat aluksi pienempiä kuormituksen P kasvaessa ja muuttavat etumerkkiään vain suurempia kuormia varten. Sl.10näyttää mutkat puolikorkeudessa.
e) Jatkuva kiinnitys kahdella kentällä
Sl.11
Molemmille ratkaisualueille (kuva.11) käytämme asetusta
Ja_. v(z1) = A1∙ synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Yksinkertaisuuden vuoksi olkoon (EI)1=(EI)2=EI. Kahdeksan vakion löytämiseksi A1, …, A2, … toimivat ääriviivaehtoina
v=0 ja v’=0 kohteelle z1=0,
v=0 ja v’’=0 kohteelle z2=h,
sekä siirtymäolosuhteet alueiden I ja II välillä
v=0 z1=h ja z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Ehdolliset yhtälöt on annettu alla olevassa taulukossa
Asettamalla, että kertoimen determinantti on nolla, saadaan nurjahdusehto
Taivutuspituus sK=0,878_h_, kun taas kuvalle 35 tai β=0,699. Nurjahdusvoima on vähentynyt verrattuna 2,046 : 1,297:iin, koska on lisätty toinen saranoitu kenttä. Jos toinen kenttä puristuisi korkeammalle, niin nurjahdusvoima kasvaisi jälleen huippuunsa. 2,04 PE.
Tämä kaavojen historiallinen esitys ei ole projekti tai todiste rakenteen stabiilisuudesta. Klassiset oletukset ihanteellisesta suorasta kappaleesta, keskikuormasta ja elastisesta alueesta eivät välttämättä sisällä alkuvirheitä, jäännösjännityksiä, epäkeskisyyttä, liitoksen jäykkyyttä, materiaalin epälineaarisuutta, sivuttaiskestävyyttä eivätkä soveltuvin osin paloa, seismistä vaikutusta ja kokoonpanovaiheita. Valtuutetun rakennusinsinöörin tulee laskea todellinen rakenne voimassa olevien määräysten ja standardien mukaisesti.