الإبزيم المنحني

اليوم، تركز Savo Kusic على النوافذ الخشبية، نوافذ الخشب والألمنيوم، النوافذ المخصصة، الأبواب وطلبات عرض الأسعار. يظل هذا النص بمثابة أرشيف للنظرية البنيوية وليس عرضًا للتصميم الثابت أو حسابات الاستقرار أو إعادة التأهيل الهيكلي.

معادلة التواء التفاضلية في الانحناء

من المفترض أن جميع المثاليات مستوفاة، خاصة

• أن القضيب مستقيم تمامًا
• أن الحمل P يعمل في عمود القضيب
• أن تظل الفولتية أقل من حد التناسب
• أن التشوهات صغيرة بما يكفي للسماح بالتبسيط المعتاد للحسابات.

إذا انحنى القضيب تحت تأثير القوة P وربما أيضًا بسبب الحمل q المؤثر في الاتجاه العرضي، فيجب استيفاء شروط التوازن المعروفة بين الأحمال الخارجية والقوى في القسم. عدا عن ذلك فمن الطبيعي أن تكون هناك علاقات معروفة بين التشوهات والقوى في المقطع.

الشكل. 1 - الرصيد

في الشكل. 1 عبارة عن عنصر قضيب منحني بطول ds. يكون ميل المماس v’ صغيرًا بحيث يمكن ضبط طول العنصر حتى الترتيب الثاني ليكون مساويًا للإسقاط ds=dz. بالإضافة إلى ذلك، في الاختبارات المذكورة أدناه، لن تؤخذ في الاعتبار الحالات التي يتغير فيها P باستمرار على طول محور القضيب، أي القوة العمودية N≈P=const. وفي شروط التوازن الثلاثة المتاحة للعنصر، يمكن بعد ذلك إهمال عدد معين من الأعضاء. للحصول على علامات وعلامات من الشكل. 10 ثم تبقى في التقريب الأول للمعادلة

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

يمكن التخلص من القوة العرضية، ثم يثبت M’‘=Pv’’-q. قانون Bernoulli's M=-EI/R يوفر المعادلة المفقودة. تم تبسيط منحنى محور القضيب كالعادة من نظرية ثني الحزمة على النحو التالي

وبالتالي فمن الممكن القضاء على لحظة الانحناء؛ وبواسطة M=-EI*v’’ يتم الحصول على المعادلة التفاضلية للقضيب المنحني

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

في حالة خاصة من صلابة الانحناء المستمر EI=const. تم تبسيط المعادلة (1) فأصبحت

EIv’‘’ + Pv’’ = q.   (1أ)

Eq. (1) و (1a) خطيان في v حسب التبسيطات المذكورة.

عمليًا، أبسط حالة لصلابة الانحناء المستمر EI=const. مهم بشكل خاص، وهو بمثابة الأساس للأمثلة أدناه.

حالة أويلر

الافتراضات الخاصة بالحالة الكلاسيكية للانبعاج هي، بصرف النظر عن المثاليات المذكورة: p=0، إذن N=const.=P، بالإضافة إلى الصلابة الثابتة بدون احتكاك، والتي تقع تمامًا على محور القضيب. المعادلة التفاضلية العادية (1a) هي من الدرجة الرابعة، خطية ومتجانسة بسبب q=0. الحل العام هو:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

حيث A، B، C، D هي ثوابت التكامل الأربعة. المعلمة ذات حجم محدود بسبب الافتراض EI≠0. علاوة على ذلك، α≠0 لـ P>0.

الشكل. 2

بما أن المعادلة التفاضلية الخطية (1a) متجانسة، فقد تم حل هذه المشكلة أيضًا بواسطة n_∙__v(z)_، حيث n ثابت اعتباطي. بالفعل من التصنيف الرياضي للمعادلة التفاضلية (1a) يمكن ملاحظة أنه لا يمكن تحديد حجم الانحناء v. لتحديد ثوابت التكامل A، B، C، D في حالة Euler\ (الشكل 2) تتوفر شروط الكفاف التالية: بسبب الدعم المفصلي، يكون عزم الانحناء صفرًا عند طرفي القضيب، أي.

v=0 و M=0 لـ z=0

v=0 و M=0 لـ z=s.

نظرًا لـ M=-EI_∙__v’‘_، يترتب على ذلك أن M=0 هي قيمة v’’=0، وبالتالي فإن الشروط الكنتورية الأربعة كما يلي:

v=0 و v’’=0 لـ z=0

v=0 و v’’=0 لـ z=s.

وبالتالي فإن الحل (2) ينتج عنه أربع معادلات خطية:

Eq. 3

هذه المعادلات الأربع المتجانسة لها أول ما يسمى بالحل التافه A=B=C=D=0، والذي يتوافق مع v(z)=0. القضيب غير المثني v_(z_)=0 هو موضع التوازن المعتاد للقيم التعسفية، وخاصة الصغيرة للحمل P. نحن هنا مهتمون في المقام الأول بالظروف التي ينحني فيها القضيب، أي أن v(z)≠0. المعادلات (3) ليس لديها مثل هذا الحل التافه مع A, B, C, D ≠ 0 فقط إذا كان محدد المعامل يساوي صفر.

واحد. 3a

من شروط الإبزيم Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m يمكننا حساب القيم الحرجة ​​_PK_ للحمل. يتم تحقيق هذه المعادلة فقط إذا كانت sin αs = 0، أي بالنسبة لـ αKms = mπ مع m=1,2,3،… القيم المقابلة لقوة التواء Euler هي PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. لكل قيمة m، يتم الحصول على قوة انبعاج معينة. في معظم الحالات، فقط أصغر هذه القوى هو الذي يهم، وهذا هو

PK1=EI(π/s)2.

في الإصدار التالي، سيكون هناك مؤشر m، أو 1 تم حذفه في الغالب، في إشارة إلى أقل الأحمال الحرجة. المثير للاهتمام هو الخط المرن المقابل. من واحد (2) يتم الحصول على الثوابت B=C=D=0. الشرط المتبقي هو A∙sin__αs=0. وبالتالي فإن خط الإبزيم المرن للحالة أعلاه m=1 هو v(z) = A_∙sinπz/s_، حيث v(z) هو αK resp. PK الدالة الذاتية المقابلة. حجم A لا يزال غير محدد.

دعونا نلقي نظرة أخرى على منطقة التحميل بأكملها. بالنسبة للقيم التعسفية لـ P، خاصة للقوى P_<_PK1 هي v(z)=0، يظل القضيب مستقيمًا.

في النظرية الكلاسيكية للاستقرار، تحت الحمل “المتزايد تدريجيًا” P يُقصد به سلسلة متتالية من القيم P، حيث سيتم اختبار استقرار حالة الحمل المرصودة مرارًا وتكرارًا لكل مستوى فردي للحمل P. أثناء اختبار الاستقرار، يظل حجم P دون تغيير بالتأكيد. إذا تم تحديد حالة واحدة P على أنها مستقرة، فسيتم زيادة الحمل بمقدار شيء ما، وبالتالي يتم تكرار اختبار الاستقرار. وهذا التحديد الدقيق ضروري حتى لا يكون هناك لبس مع نوع الحمل الذي هو أساس تأثير Shanley\، والذي يحدث فيه زيادة في الحمل بينما تعمل اضطرابات صغيرة في نفس الوقت. عند فحص الثبات حسب شانلي\، في منطقة الانبعاج البلاستيكي تحدث قوة تشعب أصغر من الطريقة الكلاسيكية في الاعتبار.

تفترض الاعتبارات التالية الطريقة الأولى لزيادة الحمل: عند الزيادة التدريجية للحمل P بهذا المعنى، يتم الوصول إلى PK1=EI_∙(π/s)_2 أولاً عند نقطة تشعب واحدة للتوازن المرن، مع خط جيب بسيط مثل خط التواء مرن

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A يشير إلى السعة غير المحددة للخط المرن. بالنسبة للأحمال _P*__>_PK1 حسب النظرية الخطية Δ≠0، أي التوازن غير ممكن هناك. فقط لقوى الإبزيم الأعلى PK2 وما إلى ذلك، ستكون مرة أخرى Δ=0 ​​​​وبالتالي أيضًا v(z)≠0. سبب هذا الاستنتاج النظري الذي لا يتطابق مع السلوك الفعلي يكمن في خطية المعادلة التفاضلية.

ربط القضبان المضغوطة المكونة من جزأين

نقتصر على العصي المضغوطة المكونة من جزأين، وبالنسبة للعصي المضغوطة المكونة من ثلاثة أجزاء أو أكثر، تنطبق نسب مماثلة.

الشكل. 3

حسب نوع الاتصال العرضي، يتم التمييز بين القضبان الشبكية (الشكل 3a) وقضبان الإطار (الشكل 3e). بدون الروابط المتقاطعة، سينحني كل جزء من العصا من تلقاء نفسه (شكل 3b). إذا كانت الحشوة ضعيفة نسبيًا، فيمكن أن ينحني قضيب الحزام الواحد دون ثني القضيب ككل. لقضيب شعرية الشكل. يمكن مقارنة 3c: على اليسار للنظام المفصلي، على اليمين للأحزمة المستمرة؛ وللإطار قضيب الشكل. 3f على اليسار لألواح التوصيل الناعمة، على اليمين لألواح التوصيل الصلبة. من هناك يمكن أن نرى أن النحافة κ__1_=s1/i1_ لها تأثير كبير. بالنسبة للجزء الفردي من القضيب، تم ضبط I1=F1_∙_i12، s1 هو تباعد المجال (الشكل 3)، i1 يشير إلى المحور 1-1 (انظر الشكل 4).

الشكل. 4

قوة التواء القضبان المركبة المقابلة لخطوط التواء المرنة في نبات التين. كان 3d أو 3g موضوعًا لتحقيقات نظرية شاملة. إذا كان القضيب مكونًا من مقاطع فريدة (على سبيل المثال مع ضلع) أو إذا كانت الوصلات المستعرضة متكررة جدًا بحيث لا يختلف القضيب المثني من جزأين في تأثيره عن قضيب واحد، فسيكون σ__K_=π__2__E/lect__y__2. هناك تشير إلى _ lect__y=sK/iy (الشكل 4). ومع ذلك، فإن إجهاد الإبزيم هذا لن يتم الوصول إليه بشكل كامل عملياً لأنه لا يوجد ما يكفي من الوصلات العرضية لذلك، كما أنها مرنة. يتم الحصول على التقريب الذي يرضي في معظم الحالات إذا وضعنا وفقًا للاقتراح F. Engesser\a أن إجهاد الانحناء لقضيب مضغوط مكون من جزأين متساوي

σ__K_=_π__2__E/lect__yi__2.

μyi هو ما يسمى بالنحافة المثالية.

يجب أن تكون الروابط المتقاطعة كافية من حيث العدد وقوية بما يكفي لإجبار جزأين القضيب على العمل معًا. باستثناء الإجهادات الثانوية، تظل الوصلات العرضية غير مضغوطة طالما ظل القضيب مستقيمًا. فقط مع الانحناء يجب عليهم تلقي القوى، وعليهم نقل القوى العرضية التي تزداد مع الانحناء. في حال كان خطًا مرنًا

القوة العرضية عند I=const. يساوي

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

مع التين. يمكن قراءة 5 m على الفور Q(z)=PK∙v’(z). أعلى قيمة في نهاية القضيب هي

الشكل. 5

يجب أن تكون الوصلات العرضية قادرة على استيعاب هذه القوة العرضية. نظرًا لأن الحمل المقابل هو قوة الانبعاج PK، فإنه يكفي أن يتم الوصول إلى حد الحمل لهذا أيضًا في الوصلات العرضية - أي في وقت واحد مع القضيب بأكمله. من الواضح أنه لن يكون هناك أي فائدة إذا كان حجم الارتباطات المتقاطعة أكبر بكثير من اللازم لتلقي Q0. من ناحية أخرى، فإن الروابط المتقاطعة الضعيفة جدًا قد تتسبب في فشل القضيب قبل الأوان.

لا يمكن استخدام المعادلة أعلاه من البداية لأن حجم سهم التواء غير معروف. يكون القضيب في حالة توازن غير مبالٍ تحت PK ويمكنه، على الأقل في الدرجة الأولى من التقريب، أن يأخذ قيمة تعسفية. ولذلك فهو مفيد، وفقا لاقتراح F. Krohn-a، لتحديد مقدار هذا الانبعاج maxv الذي يفقد عنده القضيب المنحني قدرته على التحمل بسبب الفشل بسبب الانحناء. سيحدث هذا بالتأكيد إذا تم الوصول إلى نقطة الخضوع على الجانب المقعر من الانحناء (الشكل 6). ينمو الانحناء بشكل أكبر ولا يمكن تطبيق لحظات الانحناء المقابلة.

الشكل. 6

يكون الضغط الكلي على الجانب المقعر من الانحناء وفقًا للشكل. 6 للمواد البلاستيكية المثالية

من هناك يأتي أعظم الانحناء الذي لا يزال من الممكن تحمله

maxQ0 هي القوة العرضية المقابلة في نهاية القضيب.

إذا تم استخدامه لشكل σK Tetmaier\ ووضع σF=3,1 t/cm2 و_sK_=e/2 ∙ μy المطابق لـ iy≈e/2، إذن يتم الحصول على قيمة Krohn's التقريبية maxQ0=F/28 (Q في t، F في سم2).

لخطوط الضغط الملتوية بشكل عشوائي، نحصل على

maxQ0=μK∙SK.

يتغير المعامل μK مع رقة القضيب، ويعتمد أيضًا على المادة. عند قسمة المعادلة أعلاه على معامل الأمان ضد الإلتواء يمكن كتابتها

dozv__Q=μ∙dozvS.

التواء أنظمة الخط

في الأنظمة الخطية، من المعتاد تحديد طول الانحناء sK=β∙h للقضيب المفصلي عند كلا الطرفين للمقارنة وتكون قوة الانحناء الخاصة به PK=π2EI/s2K كبيرة بنفس القدر. سيتم إعطاء “طول الإبزيم” المقارن للأمثلة أدناه.

أ) قضيب مثبت من كلا الطرفين (EI=const.)

الشكل. 7

لحالة التين. 7 من الإبزيم هو PK=4π2EI/h2=4,0∙PE، “طول الإبزيم” المقارن sK=h/2 والخط المرن للإبزيم v(z)=D(1-cos2πz/h).

ب) قضيب مجاني من أحد الأطراف (شكل 8)

س. 8

من المفترض أن اتجاه P لا يتغير مع انحناء القضيب. ثم (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

شروط الكنتور للنهاية الحرة z=h هنا اقرأ

M=0 أو v’’=0

Q=M’-Pv’=0 أو v’‘’+a2∙v’=0.

ج) قضيب مثبت من أحد طرفيه (شكل 9)

الشكل. 9

مع شروط الكنتور

v=0 و v’=0 لـ z=0

v=0 و v’’=0 لـ z=h

لـ EI=const. حالة الإبزيم

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

أو ما يعادلها

tgαh=αh.   (4)

جذور هذه المعادلة المتعالية موجودة في الجداول K. هاياشي's. أقل قوة إبزيم وفقًا للجداول PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.

طول الإبزيم المقارن هو sK = h / √2,046 = 0,699h.

د) القضيب مضغوط من أحد طرفيه مع وجود اضطراب (شكل 10)

الشكل. 10

سوف نلاحظ حالة إزاحة الطرف ذات الحجم الثابت. الشروط الكنتورية لذلك هي

v=0 و v’=0 لـ z=0,

v=v1 و v’’=0 لـ z=h.

إنها مشكلة توازن مع خط مرن

سيكون مقام الحد قبل {}-بين قوسين صفرًا ويزداد الإبزيم فوق كل الحدود إذا كان P→PK (انظر معادلة شرط الإبزيم (4)). ومن خصائص سلوك القضيب أن الانحناءات في الطرف الأوسط والسفلي من القضيب تكون أصغر في البداية مع زيادة الحمل P ولا تتغير علامتها إلا للأحمال الأعلى. س. 10 يُظهر الانحناءات بنصف الارتفاع.

ه) عصا مستمرة فوق حقلين

الشكل. 11

بالنسبة لكلا منطقتي الحل (الشكل 11) سنطبق الإعداد

I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + د1،_

II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + د2.

للتبسيط فليكن (EI)1=(EI)2=EI. للعثور على الثوابت الثمانية A1، …، A2، … يتم استخدام شروط الكنتور

v=0 و v’=0 لـ z1=0,

v=0 و v’’=0 لـ z2=h,

وكذلك الظروف الانتقالية بين المنطقتين الأولى والثانية

v=0 لـ z1=h و لـ z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

المعادلات الشرطية موضحة في الجدول أدناه

بضبط محدد المعامل على الصفر، يتم الحصول على شرط الإبزيم

طول الانحناء sK=0,878_h_، بينما في الشكل. 35 أو β=0,699. انخفضت قوة الإبزيم مقارنة بـ 2,046 : 1,297 بسبب إضافة مجال ثانٍ مفصلي. إذا تم تضييق المجال الآخر إلى أعلى، فإن قوة الانبعاج ستزداد مرة أخرى إلى الذروة. 2,04 PE.

هذا العرض التاريخي للصيغ ليس مشروعًا أو دليلاً على ثبات الهيكل. لا تتضمن الافتراضات الكلاسيكية للعضو المستقيم المثالي، والحمل المركزي، والمنطقة المرنة بالضرورة العيوب الأولية، والضغوط المتبقية، والانحراف المركزي، وصلابة الاتصال، وعدم خطية المادة، والاستقرار الجانبي، ولا، عند الاقتضاء، الحريق والحركة الزلزالية ومراحل التجميع. يجب أن يتم حساب الهيكل الفعلي بواسطة مهندس مدني معتمد وفقًا للوائح والمعايير المعمول بها.