Сёння Savo Kusić засяроджаны на драўляных вокнах, дрэва-алюмініевых вокнах, вокнах на заказ, дзвярах і запытах цытат. Гэты тэкст застаецца ў якасці архіва тэорыі канструкцыі і не з’яўляецца прапановай статычнага праектавання, разлікаў устойлівасці або структурнага аднаўлення.
Дыферэнцыяльнае ўраўненне выгінання пры выгібе
Мяркуецца, што ўсе ідэалізацыі выкананы, асабліва
- каб стрыжань быў ідэальна прамым
- што нагрузка Р дзейнічае ў вале стрыжня
- што напружання застаюцца ніжэй за мяжу прапарцыянальнасці
- што дэфармацыі досыць малыя, каб дазволіць звычайныя спрашчэнні разлікаў.
Калі стрыжань згінаецца пад дзеяннем сілы P і, магчыма, таксама з-за нагрузкі q, якая дзейнічае ў папярочным кірунку, то павінны выконвацца вядомыя ўмовы раўнавагі паміж знешнімі нагрузкамі і сіламі ў сячэнні. Акрамя гэтага, натуральна, што павінны быць вядомыя залежнасці паміж дэфармацыямі і сіламі ў сячэнні.
Мал. 1 - Баланс
На мал. 1 - гэта сагнуты стрыжань даўжынёй ds. Нахіл датычнай v’ малы, так што да другога парадку даўжыню элемента можна ўсталяваць роўнай праекцыі ds=dz. Акрамя таго, у выпрабаваннях, згаданых ніжэй, не будуць улічвацца выпадкі, калі P пастаянна змяняецца ўздоўж восі стрыжня, г.зн. нармальная сіла N≈P=const. У трох умовах раўнавагі, даступных для элемента, пэўнай колькасцю членаў можна занядбаць. Для разметкі і знакаў з мал. 10 тады застаюцца ў першым набліжэнні ўраўнення
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Папярочную сілу можна ліквідаваць, і тады выконваецца M’‘=Pv’’-q. Закон Бернулі\ M=-EI/R забяспечвае адсутнае ўраўненне. Крывая восі стрыжня, як звычайна, з тэорыі выгібу бэлькі, спрашчаецца наступным чынам
Такім чынам можна ліквідаваць выгінальны момант; і з M=-EI*v’’ атрымліваецца дыферэнцыяльнае ўраўненне для сагнутага стрыжня
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
У асаблівым выпадку пастаяннай калянасці на выгіб EI=const. ураўненне (1) спрошчана, таму яно
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) і (1a) з’яўляюцца лінейнымі ў v у адпаведнасці са згаданымі спрашчэннямі.
Практычна, найпросты выпадак пастаяннай калянасці на выгіб EI=const. асабліва важны, які служыць асновай для прыведзеных ніжэй прыкладаў.
Справа Эйлера
Дапушчэннямі для класічнага выпадку выпучвання з’яўляюцца, акрамя згаданых ідэалізацый: p=0, таму N=const.=P, а таксама пастаянная калянасць без трэння, якія ляжаць дакладна на восі стрыжня. Звычайнае дыферэнцыяльнае ўраўненне (1a) з’яўляецца лінейным і аднародным чацвёртага парадку з-за q=0. Агульнае рашэнне:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
дзе A, B, C, D чатыры канстанты інтэгравання. Параметр мае канечны памер з-за здагадкі EI≠0. Акрамя таго, α≠0 для P>0.
Мал. 2
Паколькі лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне (1a) аднароднае, гэтая задача таксама вырашаецца з дапамогай n_∙__v(z)_, дзе n адвольная канстанта. Ужо з матэматычнай класіфікацыі дыферэнцыяльнага ўраўнення (1a) відаць, што велічыню выгібу v нельга вызначыць. Для вызначэння канстант інтэгравання A, B, C, D у выпадку Эйлера\ (мал. 2) даступныя наступныя контурныя ўмовы: з-за шарнірнай апоры згінальны момант роўны нулю на абодвух канцах стрыжня, г.зн.
v=0 і M=0 для z=0
v=0 і M=0 для z=s.
З-за M=-EI_∙_v’‘ вынікае, што M=0 з’яўляецца значэннем v’’=0, таму чатыры контурныя ўмовы гучаць:
v=0 і v’’=0 для z=0
v=0 і v’’=0 для z=s.
Такім чынам, рашэнне (2) прыводзіць да чатырох лінейных ураўненняў:
Eq. 3
Гэтыя чатыры аднародныя ўраўненні маюць першае так званае трывіяльнае рашэнне A=B=C=D=0, якое адпавядае v(z)=0. Разагнуты стрыжань v_(z_)=0 - звычайнае становішча раўнавагі пры адвольных, асабліва малых значэннях нагрузкі P. Тут нас перш за ўсё цікавяць умовы, пры якіх стрыжань згінаецца, гэта значыць, што v(z)≠0. Ураўненні (3) не маюць такога трывіяльнага рашэння з A, B, C, D ≠ 0, толькі калі дэтэрмінант каэфіцыента роўны нулю.
адзін. 3a
Ад умоў прадольнага прагіну Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mперайдзіце да разліку крытычных значэнняў PK нагрузкі. Гэта ўраўненне выконваецца, толькі калі sin αs = 0, г.зн. для αKms = mπ з m=1,2,3,… Адпаведныя значэнні сілы выгінання Эйлера: PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Для кожнага значэння m атрымліваецца пэўная сіла прагіну. У большасці выпадкаў цікавіць толькі самая малая з гэтых сіл, і гэта
PK1=EI(π/с)2.
У наступнай версіі індэкс m, або 1, у асноўным будзе апускацца, што адносіцца да самай нізкай крытычнай нагрузкі. Цікавасць уяўляе адпаведная пругкая лінія. З аднаго (2) атрыманы канстанты B=C=D=0. Астатняя ўмова: A∙sin__αs=0. Такім чынам, лінія пругкага выгінання для прыведзенага вышэй выпадку m=1 роўная v(z) = A_∙sinπz/s_, дзе v(z) для αK адпаведна. PK адпаведная ўласная функцыя. Велічыня A застаецца нявызначанай.
Давайце яшчэ раз паглядзім на ўсю грузавую зону. Для адвольных значэнняў P, асабліва для сіл P_<_PK1 роўна v(z)=0, стрыжань застаецца прамым.
У класічнай тэорыі ўстойлівасці пад «паступова ўзрастаючай» нагрузкай P маецца на ўвазе паслядоўная серыя значэнняў P, дзе ўстойлівасць назіранага выпадку нагрузкі будзе правярацца зноў і зноў для кожнага асобнага ўзроўню нагрузкі P. Падчас тэсту на стабільнасць памер P застаецца нязменным. Калі адзін стан P вызначаецца як стабільны, то нагрузка на нешта павялічваецца, і таму тэст на стабільнасць паўтараецца. Такое дакладнае вызначэнне неабходна для таго, каб не было блытаніны з тыпам нагрузкі, якая з’яўляецца асновай для эфекту Шэнлі, пры якім назіраецца павелічэнне нагрузкі, адначасова дзейнічаючы невялікія абурэньні. Пры даследаванні ўстойлівасці паводле Shanley\ у зоне пластычнага прагіну ўзнікае меншая сіла біфуркацыі, чым пры класічным метадзе разліку.
У наступных меркаваннях мяркуецца першы спосаб павелічэння нагрузкі: пры паступовым павелічэнні нагрузкі P у гэтым сэнсе PK1=EI_∙(π/s)_2 спачатку ў адной кропцы біфуркацыі пругкай раўнавагі з простай лініяй сінуса ў якасці лініі пругкай пагіннасці
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A абазначае нявызначаную амплітуду пругкай лініі. Для нагрузак _P*__>_PK1 адпаведна лінеарызаванай тэорыі Δ≠0, г.зн. баланс там немагчымы. Толькі для больш высокіх сіл прагіну PK2 і г.д. зноў будзе Δ=0 і, такім чынам, таксама v(z)≠0. Прычына гэтай тэарэтычнай высновы, якая не адпавядае рэальным паводзінам, заключаецца ў лінеарызацыі дыферэнцыяльнага ўраўнення.
Выгнутасць прэсаваных стрыжняў, якія складаюцца з дзвюх частак
Мы абмяжоўваемся прэсаванымі палачкамі з дзвюх частак, а для прэсаваных палачак, якія складаюцца з трох і больш частак, прымяняюцца падобныя суадносіны.
Мал. 3
Па тыпу папярочнай сувязі адрозніваюць стрыжні рашоткі (мал. 3а) і каркасныя стрыжні (мал. 3д). Без папярочных сцяжак кожная частка палкі згіналася б сама па сабе (мал. 3b). Калі начынне адносна слабое, то адзін стрыжань рамяня можа сагнуцца без згінання стрыжня ў цэлым. Для стрыжня рашоткі Мал. 3c можна параўнаць: злева для шарнірнай сістэмы, справа для суцэльных рамянёў; і для стрыжня каркаса Мал. 3f злева для мяккіх злучальных пласцін, справа для цвёрдых злучальных пласцін. Адсюль відаць, што стройнасць λ__1_=s1/i1_ мае вялікі ўплыў. Для асобнай часткі стрыжня задаецца I1=F1_∙_i12, s1 — інтэрвал поля (мал. 3), i1 адносіцца да восі 1-1 (гл. мал. 4).
Мал. 4
Сіла пагінання складаных стрыжняў, адпаведная лініям пругкага пагінання на мал. 3d, або 3g быў прадметам вычарпальных тэарэтычных даследаванняў. Калі б стрыжань быў складзены з унікальных секцый (напрыклад, з рабром) або калі б папярочныя злучэнні былі настолькі частымі, што стрыжань, сагнуты з дзвюх частак, не адрозніваўся б па сваім уздзеянні ад аднаго стрыжня, то гэта было б σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Там ён пазначае λ__y=sK/iy (мал. 4). Аднак на практыцы гэтае напружанне прагіну не будзе цалкам дасягнута, таму што для гэтага недастаткова папярочных злучэнняў, да таго ж яны пругкія. Набліжэнне, якое задавальняе ў большасці выпадкаў, атрымліваецца, калі мы змяшчаем у адпаведнасці з прапановай F. Engesser\a, што напружанне выгібу спрэсаванага стрыжня, складзенага з дзвюх частак, роўнае
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi - так званая ідэальная стройнасць.
Папярочныя сцяжкі павінны быць дастатковай колькасцю і дастаткова моцнымі, каб прымусіць абедзве часткі стрыжня дзейнічаць разам. Без уліку другасных напружанняў, папярочныя звёны застаюцца ненапружанымі, пакуль стрыжань застаецца прамым. Толькі пры згінанні яны павінны прымаць сілы, і яны павінны перадаваць папярочныя сілы, якія павялічваюцца пры згінанні. У выпадку, калі гэта эластычная лінія
папярочная сіла пры I=const. роўны
Q = M’ = - EI∙v’‘’’.
З мал. 5 m можна адразу прачытаць Q(z)=PK∙v’(z). Самае высокае значэнне на канцы стрыжня
Мал. 5
Папярочныя злучэнні павінны быць у стане прыняць гэтую папярочную сілу. Паколькі адпаведная нагрузка з’яўляецца сілай прагіну PK, дастаткова, калі мяжа апорнай нагрузкі дасягнута для гэтага таксама ў папярочных злучэннях - гэта значыць адначасова з усім стрыжнем. Відавочна, што не было б карысці, калі б памер крыжаваных сувязяў быў значна мацнейшым, чым неабходна для атрымання Q0. З іншага боку, занадта слабыя папярочныя сувязі прывядуць да заўчаснага выхаду з ладу стрыжня.
Вышэйпрыведзенае ўраўненне не можа быць выкарыстана з самага пачатку, таму што велічыня стралы, якая выгінаецца, невядомая. Стрыжань знаходзіцца ў абыякавай раўнавазе пры PK і можа, прынамсі ў першай ступені набліжэння, прымаць адвольнае значэнне. Таму гэта карысна, згодна з прапановай F. Krohn-a, для вызначэння велічыні таго выпінання maxv, пры якім сагнуты стрыжань губляе апорную здольнасць з-за разбурэння з-за выгібу. Гэта абавязкова адбудзецца, калі мяжа цякучасці будзе дасягнута на ўвагнутым баку згіну (мал. 6). Выгіб для гэтага павялічваецца, і адпаведныя згінальныя моманты не могуць быць прыкладзены.
Мал. 6
Агульная нагрузка на ўвагнутым баку згіну згодна з мал. 6 для ідэальнага пластыка
Адсюль адбываецца найвялікшае выгіб, якое яшчэ можна вытрымаць
maxQ0 - гэта адпаведная папярочная сіла на канцы стрыжня.
Калі выкарыстоўваецца для формы σK Tetmaier\ і пастаўце σF=3,1 t/cm2 і sK=e/2 ∙ λy адпаведным iy≈e/2, то Krohn's атрымаюць прыблізнае значэнне maxQ0=F/28 (Q у t, F у см2).
Для адвольных ліній напружання выпучвання мы атрымліваем
maxQ0=μK∙SK.
Каэфіцыент μK змяняецца ў залежнасці ад тонкасці стрыжня, ён таксама залежыць ад матэрыялу. Калі прыведзенае вышэй ураўненне падзяліць на каэфіцыент трываласці супраць прагіну, гэта можна запісаць
dozv__Q=μ∙dozvS.
Выгнутасць лінейных сістэм
У лінейных сістэмах прынята вызначаць для параўнання даўжыню выгібу sK=β∙h стрыжня, шарнірна замацаванага на абодвух канцах і сіла выгібу якога PK=π2EI/s2K аднолькава вялікая. Параўнальная “даўжыня выгнутасці” будзе дадзена для прыкладаў ніжэй.
a) Стрыжань, заціснуты з абодвух канцоў (EI=канст.)
Мал. 7
Для выпадку мал. 7 прагіну роўная PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, параўнальная «даўжыня пагінання» sK=h/2 і пругкая лінія пагінання v(z)=D(1-cos2πz/г).
b) стрыжань свабодны на адным канцы (мал. 8)
! Свабодны адзін канец, мал. 34
Сл. 8
Мяркуецца, што кірунак P не змяняецца пры згінанні стрыжня. Тады (EI=канст.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Умовы контуру для вольнага канца z=h чытайце тут
M=0 або v’’=0
Q=M’-Pv’=0 або v’’’+a2∙v’=0.
c) Стрыжань, заціснуты на адным канцы (мал. 9)
Мал. 9
З контурнымі ўмовамі
v=0 і v’=0 для z=0
v=0 і v’’=0 для z=h
атрымліваецца для EI=const. стан прагіну
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ці эквівалент
tgαh=αh. (4)
Карані гэтага трансцэндэнтнага ўраўнення знаходзяцца ў табліцах K. Hayashi's. Найменшая сіла прагіну ў адпаведнасці з табліцамі PK1=4,49342/г2 ∙ EI = 2,046 π2EI/г2.
Параўнальная даўжыня выгнутасці sK = г / √2,046 = 0,699г.
d) Стрыжань заціснуты на адным канцы з парушэннем (мал. 10)
Мал. 10
Мы будзем назіраць выпадак зрушэння наканечніка пастаяннага памеру. Умовы контуру для гэтага:
v=0 і v’=0 для z=0,
v=v1 і v’’=0 для z=h.
Гэта задача раўнавагі з пругкай лініяй
Назоўнік члена перад {}-дужкамі будзе роўны нулю, а пагінанне ўзрастае вышэй за ўсе межы, калі P→PK (гл. ураўненне пагінання (4)). Для паводзін стрыжня характэрна, што выгібы ў сярэдзіне і ніжнім канцы стрыжня першапачаткова становяцца меншымі з павелічэннем нагрузкі P і мяняюць свой знак толькі пры больш высокіх нагрузках. Сл. 10 паказвае выгібы напалову вышыні.
e) Бесперапынная палка над двума палямі
Мал. 11
Для абедзвюх абласцей рашэння (мал. 11) мы будзем прымяняць наладу
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Для спрашчэння няхай будзе (EI)1=(EI)2=EI. Каб знайсці восем канстант A1, …, A2, … выкарыстоўваюцца контурныя ўмовы
v=0 і v’=0 для z1=0,
v=0 і v’’=0 для z2=h,
а таксама пераходныя ўмовы паміж абласцямі I і II
v=0 для z1=h і для z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Ураўненні ўмоў прыведзены ў табліцы ніжэй
Усталяваўшы, што вызначальнік каэфіцыента роўны нулю, атрымліваецца ўмова прадольнага прагіну
Даўжыня выгібу sK=0,878_h_, у той час як для мал. 35 або β=0,699. Сіла прагіну зменшылася ў параўнанні з 2,046: 1,297 з-за дадання другога поля, якое з’яўляецца шарнірным. Калі б іншае поле было заціснута вышэй, то сіла прагіну зноў павялічылася б да піка. 2,04 PE.
Гэтая гістарычная прэзентацыя формул не з’яўляецца праектам або доказам стабільнасці структуры. Класічныя дапушчэнні ідэальнага прамога элемента, цэнтральнай нагрузкі і пругкай плошчы не абавязкова ўключаюць пачатковыя недахопы, рэшткавыя напружання, эксцэнтрысітэт, калянасць злучэння, нелінейнасць матэрыялу, бакавую ўстойлівасць, а таксама, калі гэта дастасавальна, агонь, сейсмічныя ўздзеяння і фазы зборкі. Разлік фактычнай канструкцыі павінен быць выкананы ўпаўнаважаным інжынерам-будаўніком у адпаведнасці з дзеючымі правіламі і стандартамі.