Danas je Savo Kusić fokusiran na drvene prozore, drvo-aluminijske prozore, prozore po narudžbi, vrata i zahtjeve za ponude. Ovaj tekst ostaje kao arhiva teorije konstrukcija i nije ponuda statičkog dizajna, proračuna stabilnosti ili strukturalne obnove.
Diferencijalna jednadžba izvijanja pri savijanju
Pretpostavlja se da su sve idealizacije zadovoljene, posebno
- da je štap potpuno ravan
- da u osovini štapa djeluje opterećenje P
- da naponi ostanu ispod granice proporcionalnosti
- da su deformacije dovoljno male da dopuste uobičajena pojednostavljenja izračuna.
Ako se štap savija pod djelovanjem sile P, a možda i zbog opterećenja q koje djeluje u poprečnom smjeru, tada moraju biti zadovoljeni poznati uvjeti ravnoteže između vanjskih opterećenja i sila u presjeku. Osim toga, prirodno je da postoje poznati odnosi između deformacija i sila u presjeku.
Sl. 1 - Saldo
Na sl. 1 je element savijene šipke duljine ds. Nagib tangente v’ je mali tako da se do drugog reda može postaviti duljina elementa jednaka projekciji ds=dz. Osim toga, u dolje navedenim ispitivanjima neće se uzeti u obzir slučajevi u kojima se P stalno mijenja duž osi štapa, tj. normalna sila N≈P=const. U tri uvjeta ravnoteže koja su dostupna za element, određeni broj članova može se zanemariti. Za oznake i znakove sa sl. 10 tada ostaje u prvoj aproksimaciji jednadžbe
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Poprečna sila se može eliminirati i tada vrijedi M’‘=Pv’’-q. Bernoullijev zakon M=-EI/R daje jednadžbu koja nedostaje. Krivulja osi štapa, kao i obično, iz teorije savijanja grede, pojednostavljena je na sljedeći način
Na taj način je moguće eliminirati moment savijanja; i s M=-EI*v’’ dobivamo diferencijalnu jednadžbu za savijenu šipku
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
U posebnom slučaju konstantne krutosti na savijanje EI=const. jednadžba (1) je pojednostavljena, pa je
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) i (1a) su linearni u v prema spomenutim pojednostavljenjima.
Praktički je posebno važan najjednostavniji slučaj konstantne krutosti na savijanje EI=konst., koji služi kao osnova za primjere u nastavku.
Eulerov slučaj
Pretpostavke za klasični slučaj izvijanja su, osim navedenih idealizacija: p=0, dakle N=const.=P, kao i konstantna krutost bez trenja, koje leže točno na osi štapa. Obična diferencijalna jednadžba (1a) je četvrtog reda, linearna i homogena zbog q=0. Općenito rješenje je:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
gdje su A, B, C, D četiri integracijske konstante. Parametar je konačne veličine zbog pretpostavke EI≠0. Nadalje, α≠0 vrijedi za P>0.
Sl. 2
Budući da je linearna diferencijalna jednadžba (1a) homogena, ovaj se problem također rješava pomoću n_∙__v(z)_, gdje je n proizvoljna konstanta. Već iz matematičke klasifikacije diferencijalne jednadžbe (1a) može se vidjeti da se veličina savijanja v ne može odrediti. Za određivanje integracijskih konstanti A, B, C, D u Eulerovom slučaju (sl. 2) dostupni su sljedeći konturni uvjeti: Zbog zglobne potpore, moment savijanja je nula na oba kraja šipke, tj.
v=0 i M=0 za z=0
v=0 i M=0 za z=s.
Zbog M=-EI_∙__v’‘_, slijedi da je M=0 vrijednost v’’=0, pa četiri uvjeta konture glase:
v=0 i v’’=0 za z=0
v=0 i v’’=0 za z=s.
Rješenje (2) stoga rezultira s četiri linearne jednadžbe:
Eq. 3
Ove četiri homogene jednadžbe imaju prvo takozvano trivijalno rješenje A=B=C=D=0, koje odgovara v(z)=0. Nesavijeni štap v_(z_)=0 uobičajeni je ravnotežni položaj za proizvoljne, posebno male vrijednosti opterećenja P. Ovdje nas prvenstveno zanimaju pod kojim uvjetima se štap savija, tj. da je v(z)≠0. Jednadžbe (3) nemaju tako trivijalno rješenje s A, B, C, D ≠ 0 samo ako je determinanta koeficijenta jednaka nuli.
Jedan. 3a
Iz uvjeta izvijanja Δ = α4∙s∙sinαs = 0 midite na izračun kritičnih vrijednosti PK opterećenja. Ova jednadžba je zadovoljena samo ako je sin αs = 0, tj. za αKms = mπ uz m=1,2,3,… Odgovarajuće vrijednosti Eulerove sile izvijanja su PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Za svaku vrijednost m dobiva se određena sila izvijanja. U većini slučajeva samo je najmanja od tih sila od interesa, i to
PK1=EI(π/s)2.
U sljedećoj verziji bit će indeks m, ili 1 uglavnom izostavljen, koji se odnosi na najniže od kritičnih opterećenja. Od interesa je odgovarajuća elastična linija. Iz jedne (2) dobiju se konstante B=C=D=0. Preostali uvjet je A∙sin__αs=0. Elastična linija izvijanja za gornji slučaj m=1 je, prema tome, v(z) = A_∙sinπz/s_, gdje je v(z) za αK odn. PK odgovarajuća svojstvena funkcija. Veličina A ostaje neodređena.
Pogledajmo još jednom cijeli teretni prostor. Za proizvoljne vrijednosti P, posebno za sile P_<_PK1 je v(z)=0, štap ostaje ravan.
U klasičnoj teoriji stabilnosti pod “postupno rastućim” opterećenjem P podrazumijeva se uzastopni niz vrijednosti _P_, gdje će se stabilnost promatranog slučaja opterećenja uvijek iznova testirati za svaku pojedinačnu razinu opterećenja P. Tijekom testa stabilnosti, veličina P ostaje sigurno nepromijenjena. Ako se za jedno stanje P utvrdi da je stabilno, tada se opterećenje za nešto povećava, pa se test stabilnosti ponavlja. Ovo točno određivanje je potrebno kako ne bi došlo do zabune s vrstom opterećenja, što je osnova za Shanley\ efekt, u kojem dolazi do povećanja opterećenja dok istovremeno djeluju mali poremećaji. Pri ispitivanju stabilnosti po Shanleyu, u području plastičnog izvijanja javlja se manja bifurkacijska sila nego kod klasične metode razmatranja.
Sljedeća razmatranja pretpostavljaju prvi način povećanja opterećenja: Pri postupnom povećanju opterećenja P u ovom smislu dolazi se do PK1=EI_∙(π/s)_2 prvo u jednoj točki bifurkacije elastične ravnoteže, s jednostavnom sinusnom linijom kao linijom elastičnog izvijanja
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A označava neodređenu amplitudu elastične linije. Za opterećenja _P*__>_PK1 je prema lineariziranoj teoriji Δ≠0, tj. ravnoteža tu nije moguća. Samo za veće sile izvijanja PK2 itd. bit će opet Δ=0, a time i v(z)≠0. Uzrok ovakvog teorijskog zaključka, koji ne odgovara stvarnom ponašanju, leži u linearizaciji diferencijalne jednadžbe.
Savijanje prešanih šipki sastavljenih od dva dijela
Ograničili smo se na dvodijelne prešane štapiće, a za prešane štapiće sastavljene od tri ili više dijelova vrijede slični odnosi.
Sl. 3
Prema vrsti poprečne veze razlikuju se rešetkaste šipke (sl. 3a) i okvirne šipke (sl. 3e). Bez poprečnih spona, svaki dio štapa bi se savio sam (sl. 3b). Ako je punjenje relativno slabo, tada se pojedinačna šipka remena može savijati bez savijanja šipke kao cjeline. Za rešetkastu šipku Sl. 3c može se usporediti: lijevo za zglobni sustav, desno za kontinuirane pojaseve; a za šipku okvira sl. 3f lijevo za meke spojne ploče, desno za krute spojne ploče. Odatle se može vidjeti da je vitkost λ__1_=s1/i1_ od velikog utjecaja. Za pojedinačni dio šipke postavljeno je I1=F1_∙_i12, s1 je razmak polja (sl. 3), i1 se odnosi na os 1-1 (pogledajte sliku 4).
Sl. 4
Sila izvijanja složenih šipki koja odgovara elastičnim linijama izvijanja sl. 3d, ili 3g bio je predmet iscrpnih teorijskih istraživanja. Da je štap sastavljen od jedinstvenih dijelova (npr. s rebrom) ili da su poprečni spojevi toliko česti da se štap savijen iz dva dijela ne razlikuje po svom učinku od jednog štapa, tada bi bio σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Ondje označava λ__y=sK/iy (sl. 4). Međutim, to naprezanje izvijanja u praksi neće biti u potpunosti postignuto jer za to nema dovoljno poprečnih veza, a one su i elastične. Aproksimacija koja zadovoljava u većini slučajeva dobiva se ako stavimo prema prijedlogu F. Engesser\a da je napon savijanja prešane šipke sastavljene od dva dijela jednak
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi je takozvana idealna vitkost.
Poprečnih spona mora biti dovoljno i dovoljno jakih da prisile oba dijela štapa da djeluju zajedno. Isključujući sekundarna naprezanja, poprečne veze ostaju nenapregnute sve dok je šipka ravna. Tek kod savijanja moraju primiti sile, a moraju prenijeti poprečne sile koje rastu sa savijanjem. U slučaju elastične linije
poprečna sila pri I=konst. jednako je
Q = M’ = - EI∙v’’’.
Sa smokvom. 5 m može se odmah pročitati Q(z)=PK∙v’(z). Najveća vrijednost na kraju štapa je
Sl. 5
Poprečni spojevi moraju moći prihvatiti ovu poprečnu silu. Budući da je odgovarajuće opterećenje sila izvijanja PK, za to je dovoljno da se dosegne granica nosivosti iu poprečnim spojevima - dakle istovremeno s cijelom šipkom. Očito, ne bi bilo nikakve koristi ako bi poprečne veze bile veličine mnogo jače nego što je potrebno za primanje Q0. S druge strane, poprečne veze koje su preslabe uzrokovale bi prerano otkazivanje šipke.
Gornja jednadžba ne može se koristiti u početku jer je veličina strelice izvijanja nepoznata. Štap je u indiferentnoj ravnoteži pod PK i može, barem u prvom stupnju aproksimacije, poprimiti proizvoljnu vrijednost. Korisno je dakle, prema prijedlogu F. Krohn-a, da se odredi veličina tog izvijanja maxv pri kojem savijena šipka gubi nosivost zbog sloma uslijed savijanja. To će se svakako dogoditi ako je granica popuštanja dosegnuta na konkavnoj strani zavoja (sl. 6). Zavoji za to rastu dalje i ne mogu se primijeniti odgovarajući momenti savijanja.
Sl. 6
Ukupno naprezanje na konkavnoj strani zavoja je prema sl. 6 za idealan plastični materijal
Odatle dolazi najveće savijanje koje se još može izdržati
maxQ0 je odgovarajuća poprečna sila na kraju štapa.
Ako se koristi za oblik σK Tetmaier\ i stavite σF=3,1 t/cm2 i sK=e/2 ∙ λy koji odgovara iy≈e/2, tada se Krohnova dobiva približna vrijednost maxQ0=F/28 (Q u t, F u cm2).
Za proizvoljne linije naprezanja izvijanja, dobivamo
maxQ0=μK∙SK.
Koeficijent μK se mijenja s vitkošću štapa, ovisi i o materijalu. Kada se gornja jednadžba podijeli s koeficijentom sigurnosti od izvijanja, može se napisati
dozv__Q=μ∙dozvS.
Izvijanje linijskog sustava
U linearnim sustavima uobičajeno je odrediti duljinu savijanja sK=β∙h štapa koji je zglobno spojen na oba kraja i čija je sila savijanja PK=π2EI/s2K jednako velika. Usporedna “duljina izvijanja” bit će dana za primjere u nastavku.
a) Šipka stegnuta na oba kraja (EI=konst.)
Sl. 7
Za slučaj na sl. 7 izvijanja je PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, komparativna “duljina izvijanja” sK=h/2 i elastična linija izvijanja v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Šipka slobodna na jednom kraju (sl. 8)
! Slobodan štap na jednom kraju, sl. 34
Sl. 8
Pretpostavlja se da se smjer P ne mijenja kako se šipka savija. Zatim (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Uvjeti konture za slobodni kraj z=h ovdje pročitajte
M=0 ili v’’=0
Q=M’-Pv’=0 ili v’’’’+a2∙v’=0.
c) Šipka stegnuta na jednom kraju (sl. 9)
Sl. 9
S konturnim uvjetima
v=0 i v’=0 za z=0
v=0 i v’’=0 za z=h
je dobiven za EI=const. stanje savijanja
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ili ekvivalent
tgαh=αh. (4)
Korijeni ove transcendentalne jednadžbe nalaze se u tablicama K. Hayashi’s. Najmanja sila izvijanja je prema tablicama PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Usporedna duljina izvijanja je sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Šipka priklještena na jednom kraju s poremećajem (sl. 10)
Sl. 10
Promatrat ćemo slučaj vršnog pomaka konstantne veličine. Uvjeti konture za to su
v=0 i v’=0 za z=0,
v=v1 i v’’=0 za z=h.
To je problem ravnoteže s elastičnom linijom
Imenitelj izraza ispred {}-zagrada bit će nula, a izvijanje se povećava iznad svih granica ako je P→PK (vidi jednadžbu uvjeta izvijanja (4)). Karakteristično za ponašanje štapa je da su zavoji na sredini i donjem kraju štapa u početku manji s povećanjem opterećenja P i mijenjaju predznak tek za veća opterećenja. Sl. 10 prikazuje zavoje na pola visine.
e) Kontinuirani štap preko dva polja
Sl. 11
Za oba područja rješenja (sl. 11) primijenit ćemo postavku
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1, _
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Za pojednostavljenje neka bude (EI)1=(EI)2=EI. Za pronalaženje osam konstanti A1, …, A2, … koriste se konturni uvjeti
v=0 i v’=0 za z1=0,
v=0 i v’’=0 za z2=h,
kao i prijelazne uvjete između područja I i II
v=0 za z1=h i za z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Uvjetne jednadžbe dane su u tablici ispod
Određivanjem da je determinanta koeficijenta jednaka nuli, dobiva se uvjet izvijanja
Duljina savijanja sK=0,878_h_, dok je za sl. 35 ili β=0,699. Sila izvijanja smanjila se u usporedbi s 2,046 : 1,297 zbog dodavanja drugog polja koje je zglobno spojeno. Ako je drugo polje bilo više ukliješteno, tada bi se sila izvijanja ponovno povećala do vrhunca. 2,04 PE.
Ovaj povijesni prikaz formula nije projekt niti dokaz stabilnosti strukture. Klasične pretpostavke o idealnom ravnom elementu, centričnom opterećenju i elastičnom području ne uključuju nužno početne nesavršenosti, zaostala naprezanja, ekscentričnost, krutost veze, nelinearnost materijala, bočnu stabilnost niti, kada je primjenjivo, požar, seizmičko djelovanje i faze montaže. Proračun stvarne konstrukcije mora izvršiti ovlašteni inženjer građevinarstva prema važećim propisima i standardima.