Flexão

Hoje, Savo Kusić está focado em janelas de madeira, janelas de madeira-alumínio, janelas personalizadas, portas e pedidos de orçamento. Este texto permanece como um arquivo da teoria estrutural e não é uma oferta de projeto estático, cálculos de estabilidade ou reabilitação estrutural.

Equação diferencial de flambagem na flexão

Supõe-se que todas as idealizações sejam satisfeitas, especialmente

• que a haste está perfeitamente reta
• que a carga P atua no eixo da haste
• que as tensões permaneçam abaixo do limite de proporcionalidade
• que as deformações são suficientemente pequenas para permitir as simplificações habituais dos cálculos.

Se a haste dobra sob a ação da força P e talvez também devido à carga q atuando na direção transversal, então as condições conhecidas de equilíbrio entre as cargas externas e as forças na seção devem ser satisfeitas. Além disso, é natural que sejam conhecidas relações entre deformações e forças na seção.

Fig. 1 - Saldo

Na fig. 1 é um elemento de haste dobrada de comprimento ds. A inclinação da tangente v’ é pequena de modo que até a segunda ordem o comprimento do elemento pode ser definido para ser igual à projeção ds=dz. Além disso, nos testes mencionados abaixo, não serão levados em consideração os casos em que P muda constantemente ao longo do eixo da haste, ou seja, força normal N≈P=const. Nas três condições de equilíbrio disponíveis para o elemento, um certo número de membros pode então ser desprezado. Para marcações e sinais da fig. 10 então permanece na primeira aproximação da equação

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

A força transversal pode ser eliminada e então M’‘=Pv’’-q se mantém. A lei de Bernoulli M=-EI/R fornece a equação que falta. A curva do eixo da haste, como de costume, da teoria da flexão da viga, é simplificada da seguinte forma

É assim possível eliminar o momento fletor; e com M=-EI*v’’ a equação diferencial para a haste dobrada

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

No caso especial de rigidez à flexão constante EI=const. a equação (1) é simplificada, então é

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Eq. (1) e (1a) são lineares em v de acordo com as simplificações mencionadas.

Praticamente, o caso mais simples de rigidez à flexão constante EI=const. é particularmente importante, que serve de base para os exemplos abaixo.

Caso de Euler

As suposições para o caso clássico de flambagem são, além das idealizações mencionadas: p=0, então N=const.=P, bem como rigidez constante sem atrito, que fica exatamente no eixo da haste. A equação diferencial ordinária (1a) é de quarta ordem, linear e homogênea devido a q=0. A solução geral é:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

onde A, B, C, D são as quatro constantes de integração. O parâmetro é de tamanho finito devido à suposição EI≠0. Além disso, α≠0 para P>0.

Fig. 2

Como a equação diferencial linear (1a) é homogênea, este problema também é resolvido por n_∙__v(z)_, onde n é uma constante arbitrária. Já a partir da classificação matemática da equação diferencial (1a) pode-se observar que a magnitude da flexão v não pode ser determinada. Para determinar as constantes de integração A, B, C, D no caso Euler\ (fig. 2) as seguintes condições de contorno estão disponíveis: Devido ao apoio articulado, o momento fletor é zero em ambas as extremidades da haste, ou seja,

v=0 e M=0 para z=0

v=0 e M=0 para z=s.

Devido a M=-EI_∙__v’‘_, segue-se que M=0 é o valor de v’’=0, então as quatro condições de contorno são lidas:

v=0 e v’’=0 para z=0

v=0 e v’’=0 para z=s.

A solução (2) resulta assim em quatro equações lineares:

Eq. 3

Essas quatro equações homogêneas têm a primeira solução chamada trivial A=B=C=D=0, que corresponde a v(z)=0. A haste não dobrada v_(z_)=0 é a posição de equilíbrio usual para valores arbitrários, especialmente pequenos, de carga P. Aqui, estamos principalmente interessados ​​nas condições sob as quais a haste se dobra, ou seja, que v(z)≠0. As equações (3) não possuem uma solução tão trivial com A, B, C, D ≠ 0 somente se o determinante do coeficiente for igual a zero.

Um. 3a

A partir das condições de flambagem Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mpodemos calcular os valores críticos PK da carga. Esta equação é satisfeita apenas se sin αs = 0, ou seja, para αKms = mπ com m=1,2,3,… Os valores correspondentes da força de flambagem de Euler são PKm =EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Para cada valor de m, obtém-se uma certa força de flambagem. Na maioria dos casos, apenas a menor destas forças é de interesse, e isso

PK1=EI(π/s)2.

Na versão seguinte, haverá um índice m, ou 1 principalmente omitido, referindo-se à menor das cargas críticas. De interesse é a linha elástica correspondente. De um (2) constantes B=C=D=0 são obtidas. A condição restante é A∙sin__αs=0. A linha de flambagem elástica para o caso acima m=1 é, portanto, v(z) = A_∙sinπz/s_, onde v(z) é para αK resp. PK autofunção correspondente. A magnitude de A permanece indeterminada.

Vamos dar uma outra olhada em toda a área de carga. Para valores arbitrários de P, especialmente para forças P_<_PK1 é v(z)=0, a haste permanece reta.

Na teoria clássica de estabilidade, sob carga “aumentando gradualmente” P entende-se uma série consecutiva de valores P, onde a estabilidade do caso de carga observado será testada repetidamente para cada nível individual de carga P. Durante o teste de estabilidade, o tamanho de P permanece certamente inalterado. Se um estado P for determinado como estável, então a carga aumenta em alguma coisa e, portanto, o teste de estabilidade é repetido. Esta determinação precisa é necessária para que não haja confusão com o tipo de carga, que é a base do efeito Shanley, no qual há um aumento da carga enquanto pequenas perturbações atuam ao mesmo tempo. Ao examinar a estabilidade de acordo com Shanley, na área de flambagem plástica, ocorre uma força de bifurcação menor do que com o método clássico de consideração.

As considerações a seguir assumem a primeira forma de aumento de carga: Em um aumento gradual da carga P neste sentido, chega-se a PK1=EI_∙(π/s)_2 primeiro em um ponto de bifurcação do equilíbrio elástico, com uma linha senoidal simples como a linha de flambagem elástica

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A denota a amplitude indeterminada da linha elástica. Para cargas _P*__>_PK1 está de acordo com a teoria linearizada Δ≠0, ou seja, o equilíbrio não é possível lá. Somente para forças de flambagem maiores PK2 etc. será novamente Δ=0 ​​​​e, portanto, também v(z)≠0. A causa desta conclusão teórica, que não corresponde ao comportamento real, está na linearização da equação diferencial.

Flambagem de hastes prensadas compostas por duas partes

Nós nos limitamos a bastões prensados de duas partes, e para bastões prensados compostos de três ou mais partes, proporções semelhantes se aplicam.

Fig. 3

De acordo com o tipo de conexão transversal, as hastes treliçadas (fig. 3a) e as hastes da estrutura (fig. 3e) são diferenciadas. Sem amarrações cruzadas, cada parte do bastão dobraria sozinha (fig. 3b). Se o enchimento for relativamente fraco, então uma única haste da correia pode dobrar sem dobrar a haste como um todo. Para a haste treliçada fig. 3c pode ser comparado: esquerda para sistema articulado, direita para correias contínuas; e para a haste do quadro fig. 3f à esquerda para placas de conexão macias, à direita para placas de conexão rígidas. A partir daí pode-se perceber que a esbeltez λ__1_=s1/i1_ é ​​de grande influência. Para a parte individual da haste, I1=F1_∙_i12 está definido, s1 é o espaçamento do campo (fig. 3), i1 refere-se ao eixo 1-1 (ver fig. 4).

Fig. 4

A força de flambagem das hastes compostas correspondente às linhas de flambagem elástica da fig. 3d, ou 3g foi objeto de exaustivas investigações teóricas. Se a haste fosse composta de seções únicas (por exemplo, com uma nervura) ou se as conexões transversais fossem tão frequentes que uma haste dobrada a partir de duas partes não diferesse em seu efeito de uma única haste, então seria σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Lá denota λ__y=sK/iy (fig. 4). Porém, esta tensão de flambagem não será totalmente alcançada na prática porque não existem ligações transversais suficientes para isso, e elas também são elásticas. Uma aproximação que satisfaz na maioria dos casos é obtida se colocarmos de acordo com a proposta F. Engesser\a que a tensão de flexão de uma haste prensada composta de duas partes é igual

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi é a chamada esbeltez ideal.

As amarrações cruzadas devem ser em número suficiente e fortes o suficiente para forçar ambas as partes da haste a agirem juntas. Excluindo as tensões secundárias, os elos transversais permanecem sem tensão enquanto a haste permanecer reta. É somente com a flexão que eles devem receber forças e transmitir forças transversais que aumentam com a flexão. Caso seja uma linha elástica

força transversal em I=const. é igual

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

Com fig. 5 m pode ser lido imediatamente Q(z)=PK∙v’(z). O valor mais alto na extremidade da haste é

Fig. 5

As ligações transversais devem ser capazes de acomodar esta força transversal. Como a carga correspondente é a força de flambagem PK, é suficiente que o limite de carga seja atingido também nas ligações transversais - ou seja, simultaneamente com toda a haste. Obviamente, seria inútil se as ligações cruzadas fossem dimensionadas muito mais fortes do que o necessário para receber Q0. Por outro lado, ligações cruzadas muito fracas fariam com que a haste falhasse prematuramente.

A equação acima não pode ser usada desde o início porque a magnitude da flecha de flambagem é desconhecida. A barra está em equilíbrio indiferente sob PK e pode, pelo menos no primeiro grau de aproximação, assumir um valor arbitrário. É portanto útil, segundo a proposta de F. Krohn-a, para determinar a magnitude daquela flambagem maxv na qual a haste dobrada perde sua capacidade de carga devido à falha devido à flexão. Isto certamente ocorrerá se o ponto de escoamento for atingido no lado côncavo da curva (fig. 6). A flexão aumenta ainda mais e os momentos de flexão correspondentes não podem ser aplicados.

Fig. 6

A tensão total no lado côncavo da curva está de acordo com a fig. 6 para material plástico ideal

De lá vem a maior flexão que ainda pode ser suportada

maxQ0 é a força transversal correspondente na extremidade da haste.

Se usado para a forma σK Tetmaier e colocar σF=3,1 t/cm2 e sK=e/2 ∙ λy correspondente a iy≈e/2, então Krohn são valores aproximados obtidos maxQ0=F/28 (Q em t, F em cm2).

Para linhas de tensão de flambagem arbitrárias, obtemos

maxQ0=μK∙SK.

O coeficiente μK muda com a esbelteza da haste, também depende do material. Quando a equação acima é dividida pelo coeficiente de segurança contra flambagem ela pode ser escrita

dozv__Q=μ∙dozvS.

Flambagem de sistemas de linha

Em sistemas lineares, é habitual determinar para comparação o comprimento de flexão sK=β∙h de uma haste que é articulada em ambas as extremidades e cuja força de flexão PK=π2EI/s2K é igualmente grande. O “comprimento de flambagem” comparativo será fornecido para os exemplos abaixo.

a) Haste fixada em ambas as extremidades (EI=const.)

Fig. 7

Para o caso da fig. 7 de flambagem é PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, o “comprimento de flambagem” comparativo sK=h/2 e a linha elástica de flambagem v(z)=D(1-cos2πz/h).

b) Haste livre em uma extremidade (fig. 8)

Sl. 8

Supõe-se que a direção de P não muda à medida que a haste dobra. Então (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

As condições de contorno para a extremidade livre z=h leia aqui

M=0 ou v’’=0

Q=M’-Pv’=0 ou v’’’+a2∙v’=0.

c) Haste fixada em uma extremidade (fig. 9)

Fig. 9

Com condições de contorno

v=0 e v’=0 para z=0

v=0 e v’’=0 para z=h

é obtido para EI=const. condição de flambagem

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

ou equivalente

tgαh=αh.   (4)

As raízes desta equação transcendental são encontradas nas tabelas K. Hayashi. A menor força de flambagem está de acordo com as tabelas PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.

O comprimento de flambagem comparativo é sK = h / √2,046 = 0,699h.

d) Haste presa em uma extremidade com desordem (fig. 10)

Fig. 10

Observaremos o caso de deslocamento da ponta de tamanho constante. As condições de contorno para isso são

v=0 e v’=0 para z=0,

v=v1 e v’’=0 para z=h.

É um problema de equilíbrio com uma linha elástica

O denominador do termo antes dos colchetes {} será zero e a flambagem aumentará acima de todos os limites se P→PK (veja condição de flambagem Eq. (4)). É característico do comportamento da haste que as curvas nas extremidades média e inferior da haste sejam inicialmente menores com o aumento da carga P e mudem de sinal apenas para cargas mais altas. Sl. 10 mostra curvas na meia altura.

e) Fixação contínua em dois campos

Fig. 11

Para ambas as áreas de solução (fig. 11) aplicaremos a configuração

I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_

II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.

Para simplificação, seja (EI)1=(EI)2=EI. Para encontrar as oito constantes A1, …, A2, … as condições de contorno

v=0 e v’=0 para z1=0,

v=0 e v’’=0 para z2=h,

bem como condições de transição entre as áreas I e II

v=0 para z1=h e para z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

As equações condicionais são fornecidas na tabela abaixo

Definindo que o determinante do coeficiente é igual a zero, a condição de flambagem é obtida

Comprimento de dobra sK=0,878_h_, enquanto para a fig. 35 ou β=0,699. A força de flambagem diminuiu em comparação com 2,046: 1,297 devido à adição de um segundo campo que é articulado. Se o outro campo fosse comprimido mais alto, a força de flambagem aumentaria novamente até o pico. 2,04 PE.

Esta apresentação histórica das fórmulas não é um projeto nem uma prova da estabilidade da estrutura. Os pressupostos clássicos de barra reta ideal, carga central e área elástica não incluem necessariamente imperfeições iniciais, tensões residuais, excentricidade, rigidez de ligação, não linearidade do material, estabilidade lateral nem, quando aplicável, incêndio, ação sísmica e fases de montagem. O cálculo da estrutura real deve ser feito por um engenheiro civil autorizado de acordo com regulamentos e normas válidas.