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Ecuación diferencial de pandeo en flexión
Se supone que todas las idealizaciones se cumplen, especialmente
- que la varilla esté perfectamente recta
- que la carga P actúa en el eje de la varilla
- que las tensiones permanezcan por debajo del límite de proporcionalidad
- que las deformaciones sean lo suficientemente pequeñas como para permitir las simplificaciones habituales de los cálculos.
Si la varilla se dobla bajo la acción de la fuerza P y quizás también debido a la carga q que actúa en la dirección transversal, entonces se deben satisfacer las condiciones conocidas de equilibrio entre las cargas externas y las fuerzas en la sección. Aparte de eso, es natural que existan relaciones conocidas entre deformaciones y fuerzas en la sección.
Fig. 1 - Saldo
En la fig. 1 es un elemento de varilla doblada de longitud ds. La pendiente de la tangente v’ es pequeña, de modo que hasta el segundo orden, la longitud del elemento se puede establecer para que sea igual a la proyección ds=dz. Además, en los ensayos mencionados a continuación no se tendrán en cuenta los casos en los que P cambie constantemente a lo largo del eje de la varilla, es decir, fuerza normal N≈P=const. En las tres condiciones de equilibrio disponibles para el elemento, se puede despreciar un cierto número de miembros. Para marcas y señales de la fig. 10 entonces permanece en la primera aproximación de la ecuación
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
La fuerza transversal se puede eliminar y luego se mantiene M’‘=Pv’’-q. La ley de Bernoulli M=-EI/R proporciona la ecuación que falta. La curva del eje de la varilla, como es habitual en la teoría de la flexión de la viga, se simplifica de la siguiente manera
Es posible así eliminar el momento flector; y con M=-EI*v’’ se obtiene la ecuación diferencial para la varilla doblada
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
En el caso especial de rigidez a flexión constante EI=const. la ecuación (1) está simplificada, por lo que es
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ec. (1) y (1a) son lineales en v según las simplificaciones mencionadas.
Prácticamente, el caso más simple de rigidez a flexión constante EI=const. es particularmente importante, lo que sirve como base para los ejemplos siguientes.
El caso de Euler
Los supuestos para el caso clásico de pandeo son, además de las idealizaciones mencionadas: p=0, por lo que N=const.=P, así como una rigidez constante sin fricción, que se encuentra exactamente en el eje de la varilla. La ecuación diferencial ordinaria (1a) es de cuarto orden, lineal y homogénea debido a q=0. La solución general es:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
donde A, B, C, D son las cuatro constantes de integración. El parámetro es de tamaño finito debido al supuesto EI≠0. Además, α≠0 para P>0.
Fig. 2
Dado que la ecuación diferencial lineal (1a) es homogénea, este problema también se resuelve con n_∙__v(z)_, donde n es una constante arbitraria. Ya de la clasificación matemática de la ecuación diferencial (1a) se puede ver que la magnitud de la flexión v no se puede determinar. Para determinar las constantes de integración A, B, C, D en el caso Euler\ (fig. 2) están disponibles las siguientes condiciones de contorno: Debido al soporte articulado, el momento flector es cero en ambos extremos de la varilla, es decir
v=0 y M=0 para z=0
v=0 y M=0 para z=s.
Debido a M=-EI_∙__v’‘_, se deduce que M=0 es el valor de v’’=0, por lo que las cuatro condiciones de contorno son:
v=0 y v’’=0 para z=0
v=0 y v’’=0 para z=s.
La solución (2) resulta así en cuatro ecuaciones lineales:
Ec. 3
Estas cuatro ecuaciones homogéneas tienen la primera solución trivial A=B=C=D=0, que corresponde a v(z)=0. La barra no doblada v_(z_)=0 es la posición de equilibrio habitual para valores de carga P arbitrarios, especialmente pequeños. Aquí, nos interesan principalmente las condiciones bajo las cuales la varilla se dobla, es decir, que v(z)≠0. Las ecuaciones (3) no tienen una solución tan trivial con A, B, C, D ≠ 0 solo si el determinante del coeficiente es igual a cero.
Uno. 3a
A partir de las condiciones de pandeo Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mpodemos calcular los valores críticos PK de la carga. Esta ecuación se satisface sólo si sin αs = 0, es decir, para αKms = mπ con m=1,2,3,… Los valores correspondientes de la fuerza de pandeo de Euler\ son PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Para cada valor de m se obtiene una determinada fuerza de pandeo. En la mayoría de los casos, sólo la más pequeña de estas fuerzas es de interés, y eso
PK1=EI(π/s)2.
En la siguiente versión, habrá un índice m, o 1 prácticamente omitido, que se refiere a la más baja de las cargas críticas. De interés es la línea elástica correspondiente. De uno (2) se obtienen las constantes B=C=D=0. La condición restante es A∙sin__αs=0. La línea de pandeo elástica para el caso anterior m=1 es, por lo tanto, v(z) = A_∙sinπz/s_, donde v(z) es para αK resp. PK función propia correspondiente. La magnitud de A permanece indeterminada.
Echemos otro vistazo a toda el área de carga. Para valores arbitrarios de P, especialmente para fuerzas P_<_PK1 es v(z)=0, la varilla permanece recta.
En la teoría clásica de la estabilidad, bajo carga “gradualmente creciente” P se entiende una serie consecutiva de valores P, donde la estabilidad del caso de carga observado se probará una y otra vez para cada nivel individual de carga P. Durante la prueba de estabilidad, el tamaño de P ciertamente permanece sin cambios. Si se determina que un estado P es estable, entonces la carga aumenta en algo y, por lo tanto, se repite la prueba de estabilidad. Esta determinación precisa es necesaria para que no haya confusión con el tipo de carga, que es la base del efecto Shanley, en el que hay un aumento de la carga mientras actúan pequeñas perturbaciones al mismo tiempo. Al examinar la estabilidad según Shanley, en el área de pandeo plástico se produce una fuerza de bifurcación menor que en el método de consideración clásico.
Las siguientes consideraciones asumen la primera forma de aumento de carga: Con un aumento gradual de la carga P en este sentido, se llega a PK1=EI_∙(π/s)_2 primero a un punto de bifurcación del equilibrio elástico, con una línea sinusoidal simple como línea de pandeo elástica
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A denota la amplitud indeterminada de la línea elástica. Para las cargas _P*__>_PK1 se cumple la teoría linealizada Δ≠0, es decir, allí no es posible el equilibrio. Sólo para fuerzas de pandeo mayores PK2 etc. será nuevamente Δ=0 y por lo tanto también v(z)≠0. La causa de esta conclusión teórica, que no se corresponde con el comportamiento real, reside en la linealización de la ecuación diferencial.
Pandeo de varillas prensadas formadas por dos partes
Nos limitamos a barras prensadas de dos partes, y para barras prensadas compuestas de tres o más partes, se aplican proporciones similares.
Fig. 3
Según el tipo de conexión transversal se distinguen varillas de celosía (fig. 3a) y varillas de marco (fig. 3e). Sin tirantes transversales, cada parte del palo se doblaría por sí sola (fig. 3b). Si el relleno es relativamente débil, entonces una sola varilla de la correa puede doblarse sin doblar la varilla en su conjunto. Para la varilla de celosía fig. 3c se puede comparar: izquierda para sistema articulado, derecha para correas continuas; y para la varilla del marco fig. 3f a la izquierda para placas de conexión blandas, a la derecha para placas de conexión rígidas. A partir de ahí se puede ver que la esbeltez λ__1_=s1/i1_ es de gran influencia. Para la parte individual de la varilla, se establece I1=F1_∙_i12, s1 es el espaciado de campo (fig. 3), i1 se refiere al eje 1-1 (ver figura 4).
Fig. 4
La fuerza de pandeo de las varillas compuestas correspondiente a las líneas de pandeo elástico de la fig. 3d, o 3g fue objeto de exhaustivas investigaciones teóricas. Si la varilla estuviera compuesta de secciones únicas (por ejemplo, con una nervadura) o si las conexiones transversales fueran tan frecuentes que una varilla doblada de dos partes no difiere en su efecto de una sola varilla, entonces sería σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Allí denota λ__y=sK/iy (fig. 4). Sin embargo, esta tensión de pandeo no se alcanza completamente en la práctica porque no hay suficientes conexiones transversales para ello y además son elásticas. Una aproximación que satisface en la mayoría de los casos se obtiene si ponemos según la propuesta F. Engesser\a que la tensión de flexión de una varilla prensada compuesta de dos partes es igual
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi es la llamada esbeltez ideal.
Las traviesas deben ser suficientes en número y lo suficientemente fuertes como para obligar a ambas partes de la varilla a actuar juntas. Excluyendo las tensiones secundarias, los eslabones transversales permanecen sin tensión mientras la varilla permanezca recta. Sólo con la flexión deben recibir fuerzas y deben transmitir fuerzas transversales que aumentan con la flexión. En caso de que sea una línea elástica
fuerza transversal en I=const. es igual
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Con higo. 5 m se puede leer inmediatamente Q(z)=PK∙v’(z). El valor más alto al final de la varilla es
Fig. 5
Las conexiones transversales deben poder absorber esta fuerza transversal. Dado que la carga correspondiente es la fuerza de pandeo PK, es suficiente que también se alcance el límite de carga en las uniones transversales, es decir, simultáneamente con toda la varilla. Obviamente, no sería de utilidad si los enlaces cruzados tuvieran un tamaño mucho más fuerte de lo necesario para recibir Q0. Por otro lado, los enlaces cruzados demasiado débiles provocarían que la varilla fallara prematuramente.
La ecuación anterior no se puede utilizar desde el principio porque se desconoce la magnitud de la flecha de pandeo. La varilla está en equilibrio indiferente bajo PK y puede, al menos en el primer grado de aproximación, tomar un valor arbitrario. Es por tanto útil, según la propuesta de F. Krohn-a, para determinar la magnitud de ese pandeo maxv al cual la varilla doblada pierde su capacidad portante debido a falla por flexión. Esto seguramente ocurrirá si el límite elástico se alcanza en el lado cóncavo de la curva (fig. 6). La flexión aumenta aún más y no se pueden aplicar los momentos de flexión correspondientes.
Fig. 6
La tensión total en el lado cóncavo de la curvatura es según la fig. 6 para material plástico ideal
De ahí surge la mayor flexión que aún se puede soportar
maxQ0 es la fuerza transversal correspondiente en el extremo de la varilla.
Si se usa para la forma σK Tetmaier\ y se pone σF=3,1 t/cm2 y sK=e/2 ∙ λy correspondiente a iy≈e/2, entonces Los Krohn se obtienen con el valor aproximado maxQ0=F/28 (Q en t, F en cm2).
Para líneas de tensión de pandeo arbitrarias, obtenemos
maxQ0=μK∙SK.
El coeficiente μK cambia con la esbeltez de la varilla, también depende del material. Cuando la ecuación anterior se divide por el coeficiente de seguridad contra pandeo se puede escribir
dozv__Q=μ∙dozvS.
Pandeo de sistemas de línea
En sistemas lineales, se acostumbra determinar, a modo de comparación, la longitud de flexión sK=β∙h de una varilla articulada en ambos extremos y cuya fuerza de flexión PK=π2EI/s2K es igualmente grande. Se proporcionará una “longitud de pandeo” comparativa para los ejemplos siguientes.
a) Varilla sujeta en ambos extremos (EI=const.)
Fig. 7
Para el caso de la fig. 7 de pandeo es PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, la “longitud de pandeo” comparativa sK=h/2 y la línea elástica de pandeo v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Varilla libre en un extremo (fig. 8)
SL. 8
Se supone que la dirección de P no cambia cuando la varilla se dobla. Entonces (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Las condiciones de contorno para el extremo libre z=h leen aquí
M=0 o v’’=0
Q=M’-Pv’=0 o v’’’+a2∙v’=0.
c) Varilla sujeta en un extremo (fig. 9)
Fig. 9
Con condiciones de contorno
v=0 y v’=0 para z=0
v=0 y v’’=0 para z=h
se obtiene para EI=const. condición de pandeo
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
o equivalente
tgαh=αh. (4)
Las raíces de esta ecuación trascendental se encuentran en las tablas K. Hayashi’s. La fuerza de pandeo más baja es según las tablas PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
La longitud de pandeo comparativa es sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Varilla pellizcada en un extremo con un desorden (fig. 10)
Fig. 10
Observaremos el caso de un desplazamiento de punta de tamaño constante. Las condiciones de contorno para eso son
v=0 y v’=0 para z=0,
v=v1 y v’’=0 para z=h.
Es un problema de equilibrio con una recta elástica
El denominador del término antes de los {}-paréntesis será cero y el pandeo aumenta por encima de todos los límites si P→PK (consulte la condición de pandeo Ec. (4)). Una característica del comportamiento de la varilla es que las curvaturas en el extremo medio e inferior de la varilla son inicialmente más pequeñas al aumentar la carga P y cambian de signo sólo con cargas mayores. SL. 10 muestra curvas a media altura.
e) Stick continuo sobre dos campos
Fig. 11
Para ambas áreas de solución (Fig. 11) aplicaremos la configuración
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Para simplificar, déjelo (EI)1=(EI)2=EI. Para encontrar las ocho constantes A1, …, A2, … se utilizan las condiciones de contorno
v=0 y v’=0 para z1=0,
v=0 y v’’=0 para z2=h,
así como condiciones transitorias entre las zonas I y II
v=0 para z1=h y para z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Las ecuaciones condicionales se dan en la siguiente tabla
Haciendo que el determinante del coeficiente sea igual a cero, se obtiene la condición de pandeo
Longitud de flexión sK=0,878_h_, mientras que para la fig. 35 o β=0,699. La fuerza de pandeo ha disminuido en comparación con 2,046: 1,297 debido a la adición de un segundo campo articulado. Si el otro campo se pellizcara más alto, entonces la fuerza de pandeo aumentaría nuevamente hasta el pico. 2,04 PE.
Esta presentación histórica de las fórmulas no es un proyecto ni una prueba de la estabilidad de la estructura. Los supuestos clásicos de miembro recto ideal, carga céntrica y área elástica no necesariamente incluyen imperfecciones iniciales, tensiones residuales, excentricidad, rigidez de la conexión, no linealidad del material, estabilidad lateral ni, cuando corresponda, fuego, acción sísmica y fases de montaje. El cálculo de la estructura real debe ser realizado por un ingeniero civil autorizado de acuerdo con las reglamentaciones y normas vigentes.