Astăzi, Savo Kusić se concentrează pe ferestre din lemn, ferestre lemn-aluminiu, ferestre personalizate, usa și cereri de ofertă. Acest text rămâne ca o arhivă a teoriei structurale și nu este o ofertă de proiectare statică, calcule de stabilitate sau reabilitare structurală.
Ecuația diferențială a flambajului la îndoire
Se presupune că toate idealizările sunt satisfăcute, în special
- că tija este perfect dreaptă
- că sarcina P acţionează în arborele tijei
- că tensiunile rămân sub limita proporționalității
- că deformaţiile sunt suficient de mici pentru a permite simplificările obişnuite ale calculelor.
Dacă tija se îndoaie sub acțiunea forței P și poate și datorită sarcinii q care acționează în direcția transversală, atunci trebuie îndeplinite condițiile cunoscute de echilibru între sarcinile externe și forțele din secțiune. În plus, este firesc să existe relații cunoscute între deformații și forțe în secțiune.
Fig. 1 - Sold
În fig.1este prezentat un element de tijă îndoită de lungime ds. Panta tangentei v’ este mică, astfel încât până la al doilea ordin, lungimea elementului poate fi setată să fie egală cu proiecția ds=dz. În plus, în testele menționate mai jos, nu vor fi luate în considerare cazurile în care P se modifică constant de-a lungul axei tijei, adică forța normală N≈P=const. În cele trei condiții de echilibru disponibile pentru element, un anumit număr de membri poate fi apoi neglijat. Pentru marcajele și indicatoarele din fig.10rămân atunci în prima aproximare a ecuaţiei
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Forța transversală poate fi eliminată și apoi M’‘=Pv’’-q ține. Legea lui Bernoulli M=-EI/R furnizează ecuația lipsă. Curba axei tijei, ca de obicei, din teoria îndoirii fasciculului, este simplificată după cum urmează
Este astfel posibilă eliminarea momentului încovoietor; iar cu M=-EI*v’’ se obține ecuația diferențială pentru tija îndoită
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
În cazul special al rigidității constante la încovoiere EI=const. ecuația (1) este simplificată, deci este
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) și (1a) sunt liniare în v conform simplificărilor menționate.
Practic, cel mai simplu caz de rigiditate constantă la încovoiere EI=const. este deosebit de important, care servește drept bază pentru exemplele de mai jos.
Cazul lui Euler
Ipotezele pentru cazul clasic de flambaj sunt, în afară de idealizările menționate: p=0, deci N=const.=P, precum și rigiditatea constantă fără frecare, care se află exact pe axa tijei. Ecuația diferențială obișnuită (1a) este de ordinul al patrulea, liniară și omogenă datorită q=0. Soluția generală este:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
unde A, B, C, D sunt cele patru constante de integrare. Parametrul este de dimensiune finită datorită ipotezei EI≠0. În plus, α≠0 pentru P>0.
Fig. 2
Deoarece ecuația diferențială liniară (1a) este omogenă, această problemă se rezolvă și prin n_∙__v(z)_, unde n este o constantă arbitrară. Deja din clasificarea matematică a ecuației diferențiale (1a) se poate observa că mărimea îndoirii v nu poate fi determinată. Pentru determinarea constantelor de integrare A, B, C, D în cazul Euler\ (fig. 2) sunt disponibile următoarele condiţii de contur: Datorită suportului articulat, momentul încovoietor este nul la ambele capete ale tijei, adică.
v=0 și M=0 pentru z=0
v=0 și M=0 pentru z=s.
Din cauza M=-EI_∙__v’‘_, rezultă că M=0 este valoarea lui v’’=0, deci cele patru condiții de contur arată:
v=0 și v’’=0 pentru z=0
v=0 și v’’=0 pentru z=s.
Soluția (2) rezultă astfel în patru ecuații liniare:
Unul.3
Aceste patru ecuații omogene au prima așa-numită soluție trivială A=B=C=D=0, care corespunde cu v(z)=0. Tija neîndoită v_(z_)=0 este poziția obișnuită de echilibru pentru valori arbitrare, în special mici ale sarcinii P. Aici, ne interesează în primul rând condițiile în care tija se îndoaie, adică v(z)≠0. Ecuațiile (3) nu au o astfel de soluție banală cu A, B, C, D ≠ 0 numai dacă determinantul coeficientului este egal cu zero.
Unul. 3a
Din condițiile de flambaj Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog pentru a calcula valorile critice PK ale sarcinii. Această ecuație este satisfăcută numai dacă sin αs =0, adică pentru αKms = mπ cu m=1,2,3,… Valorile corespunzătoare ale forței de flambaj a lui Euler sunt PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pentru fiecare valoare a lui m se obține o anumită forță de flambaj. În cele mai multe cazuri, doar cea mai mică dintre aceste forțe prezintă interes și asta
PK1=EI(π/s)2.
În versiunea următoare, va exista un indice m, sau 1 în mare parte omis, referindu-se la cea mai mică dintre sarcinile critice. De interes este linia elastică corespunzătoare. Dintr-una (2) se obțin constante B=C=D=0. Condiția rămasă este A∙sin__αs=0. Linia elastică de flambaj pentru cazul de mai sus m=1 este, prin urmare, v(z) = A_∙sinπz/s_, unde v(z) este pentru αK resp. PK funcția proprie corespunzătoare. Mărimea lui A rămâne nedeterminată.
Să aruncăm o altă privire asupra întregii zone de încărcare. Pentru valorile arbitrare ale P, în special pentru forțele P_<_PK1 este v(z)=0, tija rămâne dreaptă.
În teoria clasică a stabilității, sub sarcină „în creștere treptată” P se înțelege o serie consecutivă de valori P, unde stabilitatea cazului de sarcină observat va fi testată din nou și din nou pentru fiecare nivel individual de sarcină P. În timpul testului de stabilitate, dimensiunea lui P rămâne cu siguranță neschimbată. Dacă o stare P este determinată a fi stabilă, atunci sarcina este crescută cu ceva și, prin urmare, testul de stabilitate este repetat. Această determinare precisă este necesară astfel încât să nu existe confuzii cu tipul de sarcină, care stă la baza efectului Shanley, în care există o creștere a sarcinii în timp ce mici perturbări acționează în același timp. La examinarea stabilității conform Shanley, în zona flambajului plastic, apare o forță de bifurcare mai mică decât în cazul metodei clasice de considerare.
Următoarele considerații presupun prima modalitate de creștere a sarcinii: La o creștere treptată a sarcinii P în acest sens, se ajunge pentru PK1=EI_∙(π/s)_2 mai întâi la un punct de bifurcare al echilibrului elastic, cu o linie de sinusoială simplă
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A denotă amplitudinea nedeterminată a liniei elastice. Pentru sarcini _P*__>_PK1 este conform teoriei liniarizate Δ≠0, adică echilibrul nu este posibil acolo. Numai pentru forțe de flambaj mai mari PK2 etc. va fi din nou Δ=0 și astfel și v(z)≠0. Cauza acestei concluzii teoretice, care nu se potrivește cu comportamentul real, constă în liniarizarea ecuației diferențiale.
Flambarea tijelor presate formată din două părți
Ne limităm la bețișoare presate din două părți, iar pentru bețișoarele presate compuse din trei sau mai multe părți, se aplică rapoarte similare.
Sl.3
În funcție de tipul conexiunii transversale, tijele de zăbrele diferă (fig.3a) și tije de cadru (fig.3e). Fără legături încrucișate, fiecare parte a bățului s-ar îndoi singură (fig.3b). Dacă umplutura este relativ slabă, atunci o singură tijă de centură se poate îndoi fără a îndoi tija în întregime. Pentru tija de zăbrele fig.3c poate fi comparat: stânga pentru sistem cu balamale, dreapta pentru curele continue; iar pentru tija cadru fig.3f în stânga pentru foile de conectare moi, în dreapta pentru foile de conectare rigide. De acolo, se poate observa că suplețea λ_ are o mare influență1__=s1/i1_. Pentru partea individuală a tijei, am fost plasat1=F1_∙_i12, s1 este distanța dintre câmpuri (fig.3), i1 se referă la axă1-1(vezi fig.4).
Sl.4
Forța de flambaj a tijelor compuse corespunzătoare liniilor elastice de flambaj din fig. 3d, sau 3g a făcut obiectul unor investigații teoretice exhaustive. Dacă tija era compusă din secțiuni unice (de exemplu, cu o nervură) sau dacă conexiunile transversale erau atât de frecvente încât o tijă îndoită din două părți nu diferă ca efect de o singură tijă, atunci ar fi σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Acolo denotă λ__y=sK/iy (fig. 4). Cu toate acestea, această tensiune de flambaj nu va fi atinsă pe deplin în practică, deoarece nu există suficiente conexiuni transversale pentru asta și sunt, de asemenea, elastice. O aproximare care satisface in majoritatea cazurilor se obtine daca punem conform propunerii F. Engesser\a că tensiunea de încovoiere a unei tije presate compusă din două părți este egală
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi este așa-numita zveltețe ideală.
Legăturile încrucișate trebuie să fie suficiente ca număr și suficient de puternice pentru a forța ambele părți ale tijei să acționeze împreună. Excluzând tensiunile secundare, legăturile transversale rămân netensionate atâta timp cât tija rămâne dreaptă. Numai la îndoire ei trebuie să primească forțe și trebuie să transmită forțe transversale care cresc odată cu îndoirea. În cazul în care este o linie elastică
forță transversală la I=const. este egal
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Cu fig. 5 m poate fi citit imediat Q(z)=PK∙v’(z). Cea mai mare valoare la capătul tijei este
Sl.5
Conexiunile transversale trebuie să fie capabile să suporte această forță transversală. Întrucât sarcina corespunzătoare este forța de flambaj PK, este suficient ca limita de încărcare să fie atinsă pentru aceasta și în conexiunile transversale - adică simultan cu întreaga tijă. Evident, nu ar fi de nici un folos dacă legăturile încrucișate ar fi dimensionate mult mai puternic decât este necesar pentru a primi Q0. Pe de altă parte, legăturile încrucișate care sunt prea slabe ar duce la defectarea prematură a tijei.
Ecuația de mai sus nu poate fi utilizată inițial deoarece mărimea săgeții de flambaj este necunoscută. Tija este în echilibru indiferent sub PK și poate, cel puțin în primul grad de aproximare, să ia o valoare arbitrară. Este deci util, conform propunerii lui F. Krohn-a, pentru a determina magnitudinea acelui flambaj maxv la care tija îndoită își pierde capacitatea portantă din cauza defecțiunii din cauza îndoirii. Acest lucru se va întâmpla cu siguranță dacă punctul de curgere este atins pe partea concavă a cotului (Fig.6). Îndoirile pentru aceasta cresc și mai mult și momentele de încovoiere corespunzătoare nu pot fi aplicate.
Fig. 6
Tensiunea totală pe partea concavă a cotului este conform fig.6pentru material plastic ideal
De acolo vine cea mai mare tâmpenie care poate fi încă îndurată
maxQ0 este forța transversală corespunzătoare la capătul tijei.
Dacă este folosit pentru forma σK Tetmeier\ și puneți σF=3,1t/cm2și sK=e/2∙ λy care corespunde lui iy≈e/2, atunci se obține valoarea aproximativă a lui _maxQ a lui Krohn_0=F/28(Q în t, F în cm2).
Pentru liniile arbitrare se obține efortul de flambaj
maxQ0=μK∙SK.
Coeficientul μK se modifică odată cu suplețea tijei, depinde și de material. Când ecuația de mai sus este împărțită la coeficientul de siguranță împotriva flambajului, se poate scrie
dozv__Q=μ∙dozvS.
Flambarea sistemelor liniare
În cazul sistemelor liniare, este obișnuit să se determine lungimea de încovoiere sK=β∙h a unei tije care este articulată la ambele capete și a cărei forță de îndoire este PK=π pentru comparație2EI/s2K la fel de mare. O „lungime de flambaj” comparativă va fi dată pentru exemplele de mai jos.
a) Tija prinsă la ambele capete (EI=const.)
Sl.7
Pentru cazul fig.7de flambaj este PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, „lungimea de flambaj” comparativă sK=h/2iar linia elastică de flambaj v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Tija liberă la un capăt (fig.8)
Sl. 8
Se presupune că direcția lui P nu se schimbă pe măsură ce tija se îndoaie. Apoi (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Condițiile de contur pentru capătul liber z=h citiți aici
M=0 sau v’’=0
Q=M’-Pv’=0 sau v’’’+a2∙v’=0.
c) Tija prinsă la un capăt (fig. 9)
Sl.9
Cu condiții de contur
v=0 și v’=0 pentru z=0
v=0 și v’’=0 pentru z=h
se obține pentru EI=const. stare de flambaj
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
sau echivalent
tgαh=αh. (4)
Rădăcinile acestei ecuații transcendentale se găsesc în tabelele _K. lui Hayashi. Cea mai mică forță de flambaj este conform tabelelor PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Lungimea de flambaj comparativă este sK = h / √2,046=0,699h.
d) O tijă prinsă la un capăt cu o dezordine (fig.10)
Fig. 10
Vom lua în considerare cazul deplasării vârfului de dimensiune constantă. Condițiile de contur pentru asta sunt
v=0și v’=0 pentru z=0,
v=v1și v’’=0 pentru z=h.
Este o problemă de echilibru cu o linie elastică
Numitorul termenului dinaintea parantezelor {} va fi zero, iar flambajul crește peste toate limitele dacă P→PK (vezi condiția de flambaj Eq. (4)). Caracteristic comportamentului tijei este faptul că îndoirile din capătul mijlociu și inferior al tijei sunt inițial mai mici odată cu creșterea sarcinii P și își schimbă semnul doar pentru sarcini mai mari. Sl.10prezintă coturi la jumătate de înălțime.
e) Lipire continuă pe două câmpuri
Sl.11
Pentru ambele zone de soluție (fig.11) vom aplica setarea
Şi_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Pentru simplitate, să fie (EI)1=(EI)2=EI. Pentru a găsi cele opt constante A1, …, A2, … servesc ca condiții de contur
v=0 și v’=0 pentru z1=0,
v=0 și v’’=0 pentru z2=h,
precum și condițiile de tranziție între zonele I și II
v=0 pentru z1=h și pentru z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Ecuațiile condiționate sunt date în tabelul de mai jos
Setând ca determinantul coeficientului să fie egal cu zero, se obține condiția de flambaj
Lungimea de îndoire sK=0,878_h_, în timp ce pentru fig. 35 sau β=0,699. Forța de flambaj a scăzut în comparație cu 2,046 : 1,297 datorită adăugării unui al doilea câmp care este articulat. Dacă celălalt câmp a fost ciupit mai sus, atunci forța de flambaj ar crește din nou până la vârf. 2,04 PE.
Această prezentare istorică a formulelor nu este un proiect sau o dovadă a stabilității structurii. Ipotezele clasice ale elementului drept ideal, sarcină centrică și aria elastică nu includ neapărat imperfecțiunile inițiale, tensiunile reziduale, excentricitatea, rigiditatea conexiunii, neliniaritatea materialului, stabilitatea laterală și nici, atunci când este cazul, fazele de incendiu, acțiune seismică și asamblare. Calculul structurii efective trebuie făcut de un inginer civil autorizat conform reglementărilor și standardelor în vigoare.