झुकना

आज, सावो कुसीक लकड़ी की खिड़कियां, लकड़ी-एल्यूमीनियम खिड़कियां, कस्टम खिड़कियां, दरवाजे और उद्धरण के लिए अनुरोध पर केंद्रित है। यह पाठ संरचनात्मक सिद्धांत के संग्रह के रूप में बना हुआ है और स्थिर डिजाइन, स्थिरता गणना या संरचनात्मक पुनर्वास की पेशकश नहीं है।

झुकने में बकलिंग अंतर समीकरण

यह माना जाता है कि सभी आदर्शीकरण संतुष्ट हैं, विशेषकर

• कि छड़ बिल्कुल सीधी है
• कि भार P छड़ के शाफ़्ट में कार्य करता है
• वह वोल्टेज आनुपातिकता की सीमा से नीचे रहता है
• गणनाओं के सामान्य सरलीकरण की अनुमति देने के लिए विकृतियाँ काफी छोटी हैं।

यदि छड़ बल P की कार्रवाई के तहत झुकती है और शायद अनुप्रस्थ दिशा में कार्य करने वाले भार q के कारण भी, तो बाहरी भार और अनुभाग में बलों के बीच संतुलन की ज्ञात स्थितियों को पूरा किया जाना चाहिए। इसके अलावा, यह स्वाभाविक है कि अनुभाग में विकृतियों और बलों के बीच ज्ञात संबंध होना चाहिए।

क्र.सं.1- संतुलन

अंजीर में। 1 लंबाई ds का एक मुड़ा हुआ रॉड तत्व है। v’ स्पर्शरेखा का ढलान छोटा है ताकि दूसरे क्रम तक, तत्व की लंबाई प्रक्षेपण ds=dz के बराबर सेट की जा सके। इसके अलावा, नीचे उल्लिखित परीक्षणों में, ऐसे मामले जिनमें P रॉड की धुरी के साथ लगातार बदलता रहता है, को ध्यान में नहीं रखा जाएगा, यानी सामान्य बल N≈P=const। तत्व के लिए उपलब्ध तीन संतुलन स्थितियों में, सदस्यों की एक निश्चित संख्या की उपेक्षा की जा सकती है। अंजीर से चिह्नों और संकेतों के लिए। 10 फिर समीकरण के पहले सन्निकटन में बने रहें

N=P,· M’=Q,· Q’=-q+Pv’’.

अनुप्रस्थ बल को समाप्त किया जा सकता है, और फिर M’‘=Pv’’-q धारण करता है। बर्नौली का नियम M=-EI/R लुप्त समीकरण प्रदान करता है। बीम झुकने के सिद्धांत से, हमेशा की तरह, रॉड की धुरी का वक्र निम्नानुसार सरल बनाया गया है

इस प्रकार झुकने वाले क्षण को समाप्त करना संभव है; और M=-EI*v’’ के साथ मुड़ी हुई छड़

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

निरंतर झुकने वाली कठोरता के विशेष मामले में EI=const. समीकरण (1) को सरल बनाया गया है, इसलिए यह

EIv’‘’‘+ Pv’’ = q.   (1a)

Eq. (1) और (1a) उल्लिखित सरलीकरण के अनुसार v में रैखिक हैं।

व्यावहारिक रूप से, निरंतर झुकने वाली कठोरता का सबसे सरल मामला EI=const. विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जो नीचे दिए गए उदाहरणों के लिए आधार के रूप में कार्य करता है।

यूलर का मामला

बकलिंग के शास्त्रीय मामले के लिए धारणाएं, उल्लिखित आदर्शीकरणों के अलावा हैं: p=0, इसलिए N=const.=P, साथ ही घर्षण के बिना निरंतर कठोरता, जो रॉड की धुरी पर बिल्कुल स्थित होती है। साधारण अंतर समीकरण (1a) q=0 के कारण चौथे क्रम का, रैखिक और सजातीय है। सामान्य समाधान है:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

जहां A, B, C, D चार एकीकरण स्थिरांक हैं। EI≠0 धारणा के कारण पैरामीटर सीमित आकार का है। इसके अलावा, α≠0 P>0.

चित्र। 2

चूँकि रैखिक अवकल समीकरण (1a) सजातीय है, इस समस्या को n_∙_v(z) द्वारा भी हल किया जाता है, जहाँ n एक मनमाना स्थिरांक है। पहले से ही अंतर समीकरण (1a) के गणितीय वर्गीकरण से यह देखा जा सकता है कि झुकने का परिमाण v निर्धारित नहीं किया जा सकता है। Euler\ मामले में एकीकरण स्थिरांक A, B, C, D निर्धारित करने के लिए (चित्र। 2) निम्नलिखित समोच्च स्थितियाँ उपलब्ध हैं: व्यक्त समर्थन के कारण, रॉड के दोनों सिरों पर झुकने का क्षण शून्य है, अर्थात।

v=0 और M=0 z=0 के लिए

v=0 और M=0 z=s के लिए।

M=-EI_∙_v’‘ के कारण, यह इस प्रकार है कि M=0 v’’=0 का मान है, इसलिए चार समोच्च स्थितियाँ पढ़ें:

v=0 और v’’=0 z=0 के लिए

v=0 और v’’=0 z=s के लिए।

समाधान (2) इस प्रकार चार रैखिक समीकरणों में परिणत होता है:

एक।3

इन चार सजातीय समीकरणों का पहला तथाकथित तुच्छ समाधान A=B=C=D=0 है, जो v(z)=0 से मेल खाता है। असंतुलित छड़ v_(z_)=0 मनमाने ढंग से, विशेष रूप से लोड P के छोटे मूल्यों के लिए सामान्य संतुलन स्थिति है। यहां, हम मुख्य रूप से उन स्थितियों में रुचि रखते हैं जिनके तहत रॉड झुकती है, यानी v(z)≠0। समीकरण (3) में A, B, C, D ≠ 0 के साथ ऐसा कोई तुच्छ समाधान नहीं है, केवल तभी जब गुणांक का निर्धारक शून्य के बराबर हो।

एक। 3a

बकलिंग स्थितियों से Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mहम लोड के महत्वपूर्ण मान PK की गणना कर सकते हैं। यह समीकरण तभी संतुष्ट होता है जब sin αs = 0, यानी αKms = mπ के साथ m=1,2,3,… Euler के बकलिंग बल के संबंधित मान PKm=EI_∙_α2Km = हैं EI(mπ/s)2. एम के प्रत्येक मान के लिए, एक निश्चित बकलिंग बल प्राप्त होता है। ज्यादातर मामलों में, इनमें से केवल सबसे छोटी ताकत ही दिलचस्पी की होती है, और वह

PK1=EI(π/s)2.

निम्नलिखित संस्करण में, एक सूचकांक m, या 1 होगा जिसे अधिकतर छोड़ दिया जाएगा, जो कि सबसे कम महत्वपूर्ण भार को संदर्भित करता है। रुचि की संगत लोचदार रेखा है। एक (2) से स्थिरांक B=C=D=0 प्राप्त होते हैं। शेष स्थिति A∙sin__αs=0 है। उपरोक्त मामले के लिए लोचदार बकलिंग लाइन m=1 है, इसलिए, v(z) = A_∙sinπz/s_, जहां v(z) αK सम्मान के लिए है। PK संगत eigenfunction. A का परिमाण अनिश्चित रहता है।

आइए संपूर्ण भार क्षेत्र पर एक और नज़र डालें। P के मनमाने मानों के लिए, विशेष रूप से बलों के लिए P_<_PK1 v(z)=0 है, छड़ सीधी रहती है।

स्थिरता के शास्त्रीय सिद्धांत में “धीरे-धीरे बढ़ने” वाली लोडिंग P से तात्पर्य P आकारों की एक क्रमिक श्रृंखला से है, जहां लोडिंग P के प्रत्येक व्यक्तिगत स्तर के लिए देखे गए लोड केस की स्थिरता का बार-बार परीक्षण किया जाएगा। स्थिरता परीक्षण के दौरान, P का आकार निश्चित रूप से अपरिवर्तित रहता है। यदि एक अवस्था P को स्थिर माना जाता है, तो भार कुछ बढ़ जाता है, और इसलिए स्थिरता परीक्षण दोहराया जाता है। यह सटीक निर्धारण आवश्यक है ताकि लोड के प्रकार के साथ कोई भ्रम न हो, जो शैनली\ प्रभाव का आधार है, जिसमें लोड में वृद्धि होती है जबकि छोटी गड़बड़ी एक ही समय में कार्य कर रही होती है। शैनली के अनुसार स्थिरता की जांच करते समय, प्लास्टिक बकलिंग के क्षेत्र में, विचार की शास्त्रीय पद्धति की तुलना में एक छोटा द्विभाजन बल उत्पन्न होता है।

निम्नलिखित विचार भार बढ़ाने का पहला तरीका मानते हैं: भार में क्रमिक वृद्धि के साथ P इस अर्थ में, PK तक पहुँच जाता है1=EI_∙(π/s)_2सबसे पहले लोचदार संतुलन के एकल द्विभाजन बिंदु पर, लोचदार बकलिंग रेखा के रूप में एक सरल साइन रेखा के साथ

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A लोचदार रेखा के अनिर्धारित आयाम को दर्शाता है। भार के लिए _P*__>__PK1_रेखीयकृत सिद्धांत Δ≠ के अनुसार है0, अर्थात वहां संतुलन संभव नहीं है। केवल उच्च बकलिंग बलों के लिए PK2 आदि यह फिर से Δ= होगा0और इस प्रकार v(z)≠ भी0. इस सैद्धांतिक निष्कर्ष का कारण, जो वास्तविक व्यवहार से मेल नहीं खाता, अंतर समीकरण के रैखिककरण में निहित है।

दो भागों से बनी दबी हुई छड़ों की बकलिंग

हम खुद को दो-भाग वाली दबी हुई छड़ियों तक सीमित रखते हैं, और तीन या अधिक भागों से बनी दबी हुई छड़ियों के लिए, समान संबंध लागू होते हैं।

क्र.सं.3

अनुप्रस्थ कनेक्शन के प्रकार के अनुसार, जाली की छड़ें (चित्र। 3a) और फ्रेम छड़ें (चित्र। 3e) प्रतिष्ठित हैं। क्रॉस टाई के बिना, छड़ी का प्रत्येक भाग अपने आप मुड़ जाएगा (चित्र 3b)। यदि फिलिंग अपेक्षाकृत कमजोर है, तो एक एकल बेल्ट रॉड पूरी रॉड को झुकाए बिना झुक सकती है। जाली रॉड के लिए अंजीर। 3c की तुलना की जा सकती है: हिंगेड सिस्टम के लिए बाएं, निरंतर बेल्ट के लिए दाएं; और फ्रेम रॉड के लिए अंजीर। नरम कनेक्टिंग प्लेटों के लिए बाईं ओर 3f, कठोर कनेक्टिंग प्लेटों के लिए दाईं ओर। वहां से यह देखा जा सकता है कि पतलापन λ__1_=s1/i1_ बहुत प्रभावशाली है। रॉड के अलग-अलग हिस्से के लिए, I1=F1_∙_i12 सेट है, s1 फ़ील्ड स्पेसिंग है (चित्र 3), i1 अक्ष को संदर्भित करता है 1-1 (अंजीर देखें। 4)।

चित्र। 4

अंजीर की लोचदार बकलिंग रेखाओं के अनुरूप मिश्रित छड़ों का बकलिंग बल। 3d, या 3g संपूर्ण सैद्धांतिक जांच का विषय था। यदि छड़ अद्वितीय खंडों से बनी होती है (उदाहरण के लिए एक पसली के साथ) या यदि अनुप्रस्थ कनेक्शन इतने बार-बार होते हैं कि दो भागों से मुड़ी हुई छड़ का प्रभाव एक छड़ से भिन्न नहीं होता है, तो यह σ__K_=_π__2__E/λ__y__2 होगा। वहां यह λ__y=sK/iy दर्शाता है (चित्र 4)। हालाँकि, यह बकलिंग तनाव व्यवहार में पूरी तरह से नहीं पहुँच पाएगा क्योंकि इसके लिए पर्याप्त अनुप्रस्थ कनेक्शन नहीं हैं, और वे लोचदार भी हैं। यदि हम प्रस्ताव F के अनुसार रखें तो अधिकांश मामलों में संतुष्ट करने वाला अनुमान प्राप्त होता है। संलग्नक\a कि दो भागों से बनी दबायी गयी छड़ का झुकने वाला तनाव बराबर होता है

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi तथाकथित आदर्श पतलापन है।

क्रॉस टाई की संख्या पर्याप्त होनी चाहिए और इतनी मजबूत होनी चाहिए कि रॉड के दोनों हिस्सों को एक साथ काम करने के लिए मजबूर किया जा सके। द्वितीयक तनावों को छोड़कर, जब तक छड़ सीधी रहती है तब तक अनुप्रस्थ कड़ियाँ अस्थिर रहती हैं। झुकने के साथ ही उन्हें बल प्राप्त करना होता है, और उन्हें अनुप्रस्थ बलों को संचारित करना होता है जो झुकने के साथ बढ़ते हैं। यदि यह एक लोचदार रेखा है

I=const पर अनुप्रस्थ बल। बराबर है

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

अंजीर के साथ. 5 m को तुरंत Q(z)=PK∙v’(z) पढ़ा जा सकता है। छड़ के अंत में उच्चतम मान है

क्र.सं.5

अनुप्रस्थ कनेक्शन इस अनुप्रस्थ बल को समायोजित करने में सक्षम होना चाहिए। चूँकि संबंधित भार बकलिंग बल PK है, यह पर्याप्त है यदि इसके लिए अनुप्रस्थ कनेक्शन में भी भार-वहन सीमा पूरी हो जाती है - यानी एक साथ पूरी छड़ के साथ। जाहिर है, इसका कोई फायदा नहीं होगा यदि क्रॉस-लिंक का आकार Q0 प्राप्त करने के लिए आवश्यकता से अधिक मजबूत हो। दूसरी ओर, बहुत कमज़ोर क्रॉस-लिंक के कारण रॉड समय से पहले ही ख़राब हो जाएगी।

उपरोक्त समीकरण का उपयोग शुरुआत से नहीं किया जा सकता क्योंकि बकलिंग तीर का परिमाण अज्ञात है। रॉड पीके के तहत उदासीन संतुलन में है और कम से कम सन्निकटन की पहली डिग्री में, एक मनमाना मूल्य ले सकता है। F के प्रस्ताव के अनुसार, यह इसलिए उपयोगी है। क्रोहन-ए, उस बकलिंग maxv का परिमाण निर्धारित करने के लिए जिस पर झुकने के कारण विफलता के कारण मुड़ी हुई छड़ अपनी असर क्षमता खो देती है। यह निश्चित रूप से घटित होगा यदि उपज बिंदु मोड़ के अवतल पक्ष पर पहुंच जाता है (चित्र। 6)। इसके लिए झुकना आगे बढ़ता है और संबंधित झुकने वाले क्षणों को लागू नहीं किया जा सकता है।

चित्र। 6

मोड़ के अवतल पक्ष पर कुल तनाव चित्र के अनुसार है। 6 आदर्श प्लास्टिक सामग्री के लिए

वहाँ से सबसे बड़ा मोड़ आता है जिसे अभी भी सहन किया जा सकता है

maxQ0 छड़ के अंत में संगत अनुप्रस्थ बल है।

यदि σK Tetmaier\ के फॉर्म के लिए उपयोग किया जाता है और σF=3,1 t/cm2 और sK=e/2 ∙ λy_ रखा जाता है iy≈e/2, तो Krohn\ का अनुमानित मान प्राप्त होता है maxQ0=F/28 (Q in t, F in cm2).

मनमाने ढंग से झुकने वाली तनाव रेखाओं के लिए, हमें

maxQ0=μK∙SK.

गुणांक μK रॉड की पतलीता के साथ बदलता है, यह सामग्री पर भी निर्भर करता है। जब उपरोक्त समीकरण को बकलिंग के विरुद्ध सुरक्षा के गुणांक से विभाजित किया जाता है तो इसे लिखा जा सकता है

dozv__Q=μ∙dozvS.

रैखिक प्रणालियों का बकलिंग

रैखिक प्रणालियों के मामले में, तुलना के लिए एक छड़ की झुकने की लंबाई sK=β∙h निर्धारित करना आम बात है, जो दोनों सिरों पर टिका है और जिसका झुकने वाला बल PK=π है।2ईआई/एस2के उतना ही बड़ा. नीचे दिए गए उदाहरणों के लिए एक तुलनात्मक “बकलिंग लंबाई” दी जाएगी।

ए) रॉड को दोनों सिरों पर क्लैंप किया गया (EI=const.)

चित्र। 7

अंजीर के मामले के लिए.7बकलिंग का मान PK= है4π2ईआई/एच2=4,0∙PE, तुलनात्मक “बकलिंग लंबाई” sK=h/2और लोचदार बकलिंग लाइन v(z)=D(1- क्योंकि2πz/h).

बी) एक छोर पर रॉड मुक्त (अंजीर)।8)

क्र.सं. 8

यह माना जाता है कि छड़ के मुड़ने पर P की दिशा नहीं बदलती है। फिर (EI=const.)

PK=π2ईआई/4h2=PE/4, sK=2एच

v(z)=D(1-cosπz/2एच)।

मुक्त सिरे z=h के लिए समोच्च स्थितियाँ यहाँ हैं

म=0या v’’=0

Q=M’-Pv’=0या v’‘’+a2∙v’=0.

ग) छड़ी एक सिरे पर चिपकी हुई है (चित्र।9)

चित्र। 9

समोच्च स्थितियों के साथ

v=0और v’=0_z_= के लिए0

v=0और v’’=0_z_=h के लिए

EI=const के लिए प्राप्त किया जाता है। झुकने की स्थिति

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

या समकक्ष

tgαh=αh.   (4)

इस पारलौकिक समीकरण की जड़ें तालिकाओं K में पाई जाती हैं। हयाशी'स. सबसे कम बकलिंग बल तालिकाओं के अनुसार है PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.

तुलनात्मक बकलिंग लंबाई sK = h / √2,046 = 0,699h.

d) रॉड एक सिरे पर विकार के साथ दब गई (चित्र 10)

चित्र। 10

हम स्थिर आकार के टिप विस्थापन के मामले का निरीक्षण करेंगे। उसके लिए समोच्च स्थितियाँ

v=0 और v’=0 z=0,

v=v1और वी’’=0 के लिए z=h.

यह एक लोचदार रेखा के साथ संतुलन की समस्या है

{}-कोष्ठक से पहले पद का हर शून्य होगा और बकलिंग सभी सीमाओं से ऊपर बढ़ जाती है यदि P→PK (बकलिंग स्थिति समीकरण देखें)।4)). छड़ के व्यवहार की यह विशेषता है कि छड़ के मध्य और निचले सिरे में मोड़ बढ़ते भार P के साथ शुरू में छोटे होते हैं और केवल अधिक भार के लिए अपना संकेत बदलते हैं। क्र.सं.10आधी ऊंचाई पर मोड़ दिखाता है।

ई) दो क्षेत्रों में लगातार चिपकना

क्र.सं.11

दोनों समाधान क्षेत्रों के लिए (चित्र।11) हम सेटिंग लागू करेंगे

और_। वी(जेड1) = ए1∙synαz1+ बी1∙cosαz1+सी1∙z1+ डी1,_

द्वितीय. v(z2) = ए2∙synαz2+ बी2∙cosαz2+सी2∙z2+ डी2.

सरलता के लिए इसे (EI) होने दें1=(EI)2=ईआई. आठ अचर ज्ञात करने के लिए A1, …, ए2, … समोच्च स्थितियों के रूप में कार्य करें

v=0 और v’=0 z1=0,

v=0 और v’’=0 z2=h के लिए,

साथ ही क्षेत्रों I और II के बीच संक्रमणकालीन स्थितियाँ

v=0 z1=h के लिए और z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

सशर्त समीकरण नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं

यह निर्धारित करते हुए कि गुणांक का निर्धारक शून्य के बराबर है, बकलिंग स्थिति प्राप्त की जाती है

झुकने की लंबाई sK=0,878_h_, जबकि अंजीर के लिए। 35 या β=0,699. 2,046 : 1,297 की तुलना में बकलिंग बल कम हो गया है, जो कि टिका हुआ एक दूसरा क्षेत्र जुड़ने के कारण है। यदि दूसरे क्षेत्र को ऊंचा दबाया जाता, तो बकलिंग बल फिर से चरम पर पहुंच जाता। 2,04 PE.

सूत्रों की यह ऐतिहासिक प्रस्तुति कोई परियोजना या संरचना की स्थिरता का प्रमाण नहीं है। आदर्श सीधे सदस्य, केंद्रित भार और लोचदार क्षेत्र की शास्त्रीय मान्यताओं में जरूरी नहीं कि प्रारंभिक खामियां, अवशिष्ट तनाव, विलक्षणता, कनेक्शन कठोरता, सामग्री गैर-रैखिकता, पार्श्व स्थिरता और न ही, जब लागू हो, आग, भूकंपीय कार्रवाई और असेंबली चरण शामिल हों। वास्तविक संरचना की गणना एक अधिकृत सिविल इंजीनियर द्वारा वैध नियमों और मानकों के अनुसार की जानी चाहिए।