Mūsdienās Savo Kusić koncentrējas uz koka logiem, koka-alumīnija logi, pielāgoti logi, durvis un piedāvājuma pieprasījumi. Šis teksts paliek kā konstrukciju teorijas arhīvs un nav piedāvājums ne statiskai konstrukcijai, ne stabilitātes aprēķiniem, ne konstrukciju atjaunošanai.
Liekšanas izliekuma diferenciālvienādojums
Tiek pieņemts, ka visas idealizācijas ir izpildītas, īpaši
- ka stienis ir pilnīgi taisns
- ka slodze P iedarbojas stieņa vārpstā
- ka spriegumi paliek zem proporcionalitātes robežas
- ka deformācijas ir pietiekami mazas, lai pieļautu parasto aprēķinu vienkāršošanu.
Ja stienis izliecas spēka P iedarbībā un varbūt arī šķērsvirzienā iedarbojoties slodzei q, tad ir jāizpilda zināmie līdzsvara nosacījumi starp ārējām slodzēm un spēkiem griezumā. Turklāt ir likumsakarīgi, ka griezumā ir zināmas attiecības starp deformācijām un spēkiem.
att. 1 — atlikums
attēlā.1uzrādīts saliekts stieņa elements ar garumu ds. Pieskares v’ slīpums ir mazs, lai līdz otrajai secībai elementa garumu varētu iestatīt vienādu ar projekciju ds=dz. Turklāt turpmāk minētajos testos netiks ņemti vērā gadījumi, kad P pastāvīgi mainās pa stieņa asi, t.i., normālspēks N≈P=konst. Trīs līdzsvara apstākļos, kas ir pieejami elementam, noteiktu skaitu locekļu var neņemt vērā. Marķējumiem un zīmēm no att.10tad paliek vienādojuma pirmajā tuvinājumā
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Šķērsvirziena spēku var novērst, un tad M’‘=Pv’’-q ir spēkā. Bernuli likums M=-EI/R nodrošina trūkstošo vienādojumu. Stieņa ass līkne, kā parasti, no sijas lieces teorijas, ir vienkāršota šādi
Tādējādi ir iespējams novērst lieces momentu; un ar M=-EI*v’’ tiek iegūts diferenciālvienādojums izliektajam stieņam
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Īpašā nemainīgas lieces stinguma gadījumā EI=konst. vienādojums (1) ir vienkāršots, tāpēc tas ir
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) un (1a) ir lineāri v atbilstoši minētajiem vienkāršojumiem.
Praktiski vienkāršākais pastāvīgās lieces stingrības gadījums EI=const. ir īpaši svarīga, kas kalpo par pamatu tālāk minētajiem piemēriem.
Eilera gadījums
Klasiskā izliekšanās gadījuma pieņēmumi ir, ja neskaita minētās idealizācijas: p=0, tātad N=const.=P, kā arī nemainīgs stingums bez berzes, kas atrodas tieši uz stieņa ass. Parastais diferenciālvienādojums (1a) ir ceturtās kārtas, lineārs un viendabīgs sakarā ar q=0. Vispārējais risinājums ir:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kur A, B, C, D ir četras integrācijas konstantes. Parametram ir ierobežots lielums pieņēmuma EI≠0 dēļ. Turklāt α≠0 priekš P>0.
att. 2
Tā kā lineārais diferenciālvienādojums (1a) ir viendabīgs, šo problēmu atrisina arī n_∙__v(z)_, kur n ir patvaļīga konstante. Jau no diferenciālvienādojuma (1a) matemātiskās klasifikācijas var redzēt, ka lieces v lielumu nevar noteikt. Integrācijas konstantu A, B, C, D noteikšanai Euler\ gadījumā (att. 2) ir pieejami šādi kontūras nosacījumi: Šarnīrveida balsta dēļ lieces moments abos stieņa galos ir nulle, t.i.
v=0 un M=0 priekš z=0
v=0 un M=0 z=s.
Sakarā ar M=-EI_∙__v’‘_, no tā izriet, ka M=0 ir v’’=0 vērtība, tāpēc četri kontūras nosacījumi skan:
v=0 un v’’=0 z=0
v=0 un v’’=0 z=s.
Tādējādi risinājums (2) rada četrus lineārus vienādojumus:
Viens.3
Šiem četriem viendabīgajiem vienādojumiem ir pirmais tā sauktais triviālais risinājums A=B=C=D=0, kas atbilst v(z)=0. Nesaliektais stienis v_(z_)=0 ir parastā līdzsvara pozīcija patvaļīgām, īpaši mazām slodzes P vērtībām. Šeit mūs galvenokārt interesē apstākļi, kādos stienis liecas, t.i., ka v(z)≠0. Vienādojumiem (3) nav tik triviāla atrisinājuma ar A, B, C, D ≠ 0 tikai tad, ja koeficienta determinants ir vienāds ar nulli.
Viens. 3a
No izliekšanās apstākļiem Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog, lai aprēķinātu slodzes kritiskās vērtības PK. Šis vienādojums ir izpildīts tikai tad, ja sin αs =0, tas ir, ja αKms = mπ ar m=1,2,3,… Atbilstošās Eulera izliekuma spēka vērtības ir PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Katrai m vērtībai tiek iegūts noteikts izliekuma spēks. Vairumā gadījumu interesē tikai mazākais no šiem spēkiem, un tas
PK1=EI(π/s)2.
Nākamajā versijā indekss m vai 1 lielākoties tiks izlaists, kas attiecas uz zemāko no kritiskajām slodzēm. Interesanta ir atbilstošā elastīgā līnija. No vienas (2) tiek iegūtas konstantes B=C=D=0. Atlikušais nosacījums ir A∙sin__αs=0. Tāpēc elastīgā izliekuma līnija iepriekšminētajam gadījumam m=1 ir v(z) = A_∙sinπz/s_, kur v(z) ir αK resp. PK atbilstošā īpašfunkcija. A lielums paliek nenoteikts.
Vēlreiz apskatīsim visu slodzes laukumu. Patvaļīgām P vērtībām, īpaši spēkiem P_<_PK1 ir v(z)=0, stienis paliek taisns.
Klasiskajā stabilitātes teorijā pie “pakāpeniski pieaugošas” slodzes P tiek domāta secīga vērtību virkne P, kurā atkal un atkal tiks pārbaudīta novērotā slodzes gadījuma stabilitāte katram atsevišķam slodzes līmenim P. Stabilitātes testa laikā P izmērs noteikti paliek nemainīgs. Ja viens stāvoklis P tiek noteikts kā stabils, tad slodze ar kaut ko tiek palielināta, un tāpēc stabilitātes tests tiek atkārtots. Šī precīzā noteikšana ir nepieciešama, lai nebūtu neskaidrību ar slodzes veidu, kas ir pamatā Shanley\ efektam, kurā notiek slodzes palielināšanās, vienlaikus iedarbojoties maziem traucējumiem. Pārbaudot stabilitāti saskaņā ar Shanley, plastiskā izliekuma zonā rodas mazāks bifurkācijas spēks nekā ar klasisko apsvēršanas metodi.
Šajos apsvērumos tiek pieņemts pirmais slodzes palielināšanas veids: Pakāpeniski palielinot slodzi P šajā nozīmē, PK1=EI_∙(π/s)_2 vispirms nonāk vienā elastīgā līdzsvara bifurkācijas punktā, izmantojot vienkāršu elastīgā līdzsvara līniju. līnija
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A apzīmē elastīgās līnijas nenoteikto amplitūdu. Slodzēm _P*__>_PK1 ir saskaņā ar linearizēto teoriju Δ≠0, t.i., līdzsvars tur nav iespējams. Tikai lielākiem izliekuma spēkiem PK2 utt. tas atkal būs Δ=0 un līdz ar to arī v(z)≠0. Šī teorētiskā secinājuma iemesls, kas neatbilst faktiskajai uzvedībai, ir diferenciālvienādojuma linearizācijā.
No divām daļām veidotu presētu stieņu izliekšanās
Mēs aprobežojamies ar divu daļu presētiem kociņiem, un presētajām nūjām, kas sastāv no trīs vai vairāk daļām, tiek piemērotas līdzīgas attiecības.
Sl.3
Atkarībā no šķērseniskā savienojuma veida režģu stieņi atšķiras (att.3a) un rāmja stieņi (att.3e). Bez krusteniskām saitēm katra nūjas daļa pati noliecās (att.3b). Ja pildījums ir salīdzinoši vājš, tad viens jostas stienis var izlocīties, nesaliecot stieni kopumā. Režģa stienim att.3c var salīdzināt: pa kreisi eņģes sistēmai, pa labi vienlaidu jostām; un rāmja stienim att.3f kreisajā pusē mīkstajām savienojuma loksnēm, labajā pusē stingrām savienojuma loksnēm. No turienes var redzēt, ka slaidumam λ_ ir liela ietekme1__=s1/i1_. Atsevišķai stieņa daļai tika likts es1=F1_∙_i12, s1 ir lauku atstarpe (att.3), i1 attiecas uz asi1-1(skatiet att.4).
Sl.4
Salikto stieņu izliekuma spēks, kas atbilst elastīgajām izliekuma līnijām attēlā.3d vai3g bija izsmeļošu teorētisko pētījumu priekšmets. Ja stienis sastāvētu no unikālām sekcijām (piemēram, ar ribu) vai ja šķērssavienojumi būtu tik bieži, ka no divām daļām izliekts stienis pēc savas iedarbības neatšķiras no viena stieņa, tad tas būtu σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Tur tas apzīmē λ__y=sK/iy (Zīm.4). Taču praksē šis izliekuma spriegums pilnībā netiks sasniegts, jo tam nav pietiekami daudz šķērssavienojumu, turklāt tie ir elastīgi. Aproksimāciju, kas apmierina vairumā gadījumu, iegūst, ja ievietojam atbilstoši priekšlikumam F. Engesser\a, ka presēta stieņa, kas sastāv no divām daļām, lieces spriegums ir vienāds
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi ir tā sauktais ideālais slaidums.
Šķērssaišu skaitam un jābūt pietiekami spēcīgām, lai piespiestu abas stieņa daļas darboties kopā. Izņemot sekundāros spriegumus, šķērssaites paliek nenospriegotas, kamēr stienis paliek taisns. Tikai ar lieci viņiem ir jāsaņem spēki, un tiem ir jāpārraida šķērsvirziena spēki, kas palielinās līdz ar lieci. Gadījumā, ja tā ir elastīga līnija
šķērsvirziena spēks pie I=konst. ir vienāds
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Ar att. 5 m var uzreiz nolasīt Q(z)=PK∙v’(z). Augstākā vērtība stieņa galā ir
Sl.5
Šķērssavienojumiem ir jāspēj uzņemt šo šķērsspēku. Tā kā atbilstošā slodze ir izliekuma spēks PK, tad pietiek, ja tam tiek sasniegta nestspējas robeža arī šķērssavienojumos - t.i., vienlaicīgi ar visu stieni. Acīmredzot nebūtu lietderīgi, ja šķērssaites būtu daudz spēcīgākas, nekā nepieciešams, lai saņemtu Q0. No otras puses, pārāk vājas šķērssaites izraisītu stieņa priekšlaicīgu atteici.
Iepriekš minēto vienādojumu nevar izmantot sākotnēji, jo nav zināms izliekuma bultiņas lielums. Stienis atrodas vienaldzīgā līdzsvarā saskaņā ar PK un var iegūt patvaļīgu vērtību vismaz pirmajā tuvināšanas pakāpē. Līdz ar to ir lietderīgi, saskaņā ar F priekšlikumu. Krohn-a, lai noteiktu tās izliekuma maxv lielumu, pie kura saliektais stienis zaudē savu nestspēju lieces dēļ. Tas noteikti notiks, ja izliekuma robeža tiek sasniegta līkuma ieliektajā pusē (Zīm.6). Šim nolūkam paredzētie līkumi aug tālāk un nevar piemērot atbilstošus lieces momentus.
att. 6
Kopējais spriegums līkuma ieliektajā pusē ir saskaņā ar att.6ideālam plastmasas materiālam
No turienes nāk vislielākā ķemmēšana, ko vēl var izturēt
maxQ0 ir atbilstošais šķērsspēks stieņa galā.
Ja to izmanto σK Tetmeier\ veidlapai un ievieto σF=3,1t/cm2un sK=e/2∙ λy, kas atbilst iy≈e/2, tad tiek iegūta Krohn\ aptuvenā vērtība maxQ0=F/28(Q t, F cm2).
Patvaļīgām līnijām tiek iegūts izliekuma spriegums
maxQ0=μK∙SK.
Koeficients μK mainās līdz ar stieņa slaidumu, tas ir atkarīgs arī no materiāla. Ja iepriekš minēto vienādojumu dala ar drošības koeficientu pret izliekšanos, to var uzrakstīt
dozv__Q=μ∙dozvS.
Lineāro sistēmu izliekšanās
Lineāro sistēmu gadījumā salīdzinājumam parasti nosaka stieņa lieces garumu sK=β∙h, kura abos galos ir šarnīrsavienojums un kura lieces spēks ir PK=π2EI/s2K tikpat liels. Tālāk minētajiem piemēriem tiks sniegts salīdzinošais “izliekuma garums”.
a) Stienis ar skavām abos galos (EI=konst.)
Sl.7
Att. gadījumam.7no izliekuma ir PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, salīdzinošais “izliekuma garums” sK=h/2un elastīgā izliekuma līnija v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Stienis vienā galā brīvs (att.8)
Sl. 8
Tiek pieņemts, ka stienim liecoties, P virziens nemainās. Pēc tam (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Kontūras nosacījumi brīvajam galam z=h šeit lasiet
M=0 vai v’’=0
Q=M’-Pv’=0 vai v’’’+a2∙v’=0.
c) Stienis vienā galā ar skavām (9 att.)
Sl.9
Ar kontūras nosacījumiem
v=0 un v’=0 priekš z=0
v=0 un v’’=0 priekš z=h
tiek iegūts EI=const. izliekuma stāvoklis
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
vai līdzvērtīgs
tgαh=αh. (4)
Šī transcendentālā vienādojuma saknes ir atrodamas tabulās K. Hayashi's. Mazākais izliekuma spēks ir saskaņā ar tabulām PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Salīdzinošais izliekuma garums ir sK = h / √2,046=0,699h.
d) Stienis, kas vienā galā ir saspiests ar traucējumiem (att.10)
att. 10
Mēs apsvērsim konstanta izmēra uzgaļa nobīdes gadījumu. Kontūras nosacījumi tam ir
v=0un v’=0 par z=0,
v=v1un v’’=0 ja z=h.
Tā ir līdzsvara problēma ar elastīgu līniju
Vārda saucējs pirms {}-iekavām būs nulle, un izliekums palielinās virs visām robežām, ja P→PK (sk. izliekuma nosacījumu vienādojums ()4)). Stieņa uzvedībai raksturīgi, ka līkumi stieņa vidus un apakšējā galā sākotnēji ir mazāki, palielinoties slodzei P un maina savu zīmi tikai pie lielākām slodzēm. Sl.10rāda līkumus pusaugstumā.
e) Nepārtraukta spiešana pa diviem laukiem
Sl.11
Abām risinājuma zonām (att.11) mēs piemērosim iestatījumu
Un_. v(z1) = A1∙ synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Vienkāršības labad lai tā būtu (EI)1=(EI)2=EI. Lai atrastu astoņas konstantes A1, …, A2, … kalpo kā kontūras nosacījumi
v=0 un v’=0 z1=0,
v=0 un v’’=0 z2=h,
, kā arī pārejas apstākļi starp I un II apgabalu
v=0 z1=h un z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Nosacījumu vienādojumi ir norādīti zemāk esošajā tabulā
Iestatot, ka koeficienta determinants ir vienāds ar nulli, tiek iegūts izliekuma nosacījums
Liekuma garums sK=0,878_h_, savukārt att. 35 vai β=0,699. Izliekuma spēks ir samazinājies, salīdzinot ar 2,046 : 1,297, jo ir pievienots otrs lauks, kas ir ar eņģēm. Ja otrs lauks tiktu saspiests augstāk, tad izliekuma spēks atkal palielinātos līdz maksimumam. 2,04 PE.
Šis formulu vēsturiskais attēlojums nav projekts vai struktūras stabilitātes pierādījums. Klasiskie pieņēmumi par ideālu taisnu elementu, centrālo slodzi un elastīgo laukumu ne vienmēr ietver sākotnējās nepilnības, atlikušos spriegumus, ekscentriskumu, savienojuma stingrību, materiāla nelinearitāti, sānu stabilitāti un, ja iespējams, ugunsgrēku, seismisko darbību un montāžas fāzes. Faktiskās konstrukcijas aprēķini jāveic pilnvarotam būvinženierim saskaņā ar spēkā esošajiem noteikumiem un standartiem.