Danas je Savo Kusić fokusiran na drvene prozore, drvo-aluminijum prozori, prilagođeni prozori, vrata i zahtjevi za ponudu. Ovaj tekst ostaje kao arhiva teorije konstrukcija i nije ponuda statičkog projektiranja, proračuna stabilnosti ili sanacije konstrukcije.
Diferencijalna jednadžba izvijanja pri savijanju
Pretpostavlja se da su sve idealizacije zadovoljene, posebno
- da je štap savršeno ravan
- da opterećenje P djeluje na osovinu šipke
- da naponi ostanu ispod granice proporcionalnosti
- da su deformacije dovoljno male da omoguće uobičajena pojednostavljenja proračuna.
Ako se štap savija pod djelovanjem sile P, a možda i zbog opterećenja q koji djeluje u poprečnom smjeru, tada moraju biti zadovoljeni poznati uvjeti ravnoteže između vanjskih opterećenja i sila u presjeku. Osim toga, prirodno je da postoje poznati odnosi između deformacija i sila u presjeku.
Sl.1- Balans
Na sl.1predstavljen je element savijene šipke dužine ds. Nagib tangente v’ je mali tako da se do drugog reda dužina elementa može postaviti da bude jednaka projekciji ds=dz. Osim toga, u dolje navedenim testovima neće se uzeti u obzir slučajevi u kojima se P stalno mijenja duž ose štapa, tj. normalna sila N≈P=const. U tri ravnotežna uslova dostupna za element, određeni broj članova se tada može zanemariti. Za oznake i znakove sa sl.10ostaju tada u prvoj aproksimaciji jednačine
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Poprečna sila se može eliminisati, i tada ostaje M’‘=Pv’’-q. _Bernoullijev zakon M=-EI/R daje jednačinu koja nedostaje. Krivulja ose štapa, kao i obično, iz teorije savijanja grede, pojednostavljuje se na sljedeći način
Na taj način je moguće eliminisati moment savijanja; i sa M=-EI*v’’ dobijamo diferencijalnu jednačinu za savijenu šipku
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
U posebnom slučaju konstantne krutosti na savijanje EI=const. jednadžba (1) je pojednostavljena, pa je
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) i (1a) su linearni u v prema pomenutim pojednostavljenjima.
Praktično, najjednostavniji slučaj konstantne krutosti na savijanje EI=const., koji služi kao osnova za primjere ispod, je posebno važan.
Ojlerov slučaj
Pretpostavke za klasični slučaj izvijanja su, osim navedenih idealizacija: p=0, dakle N=const.=P, kao i konstantna krutost bez trenja, koja leže tačno na osi štapa. Obična diferencijalna jednačina (1a) je četvrtog reda, linearna i homogena zbog q=0. Opšte rješenje je:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
gdje su A, B, C, D četiri integracijske konstante. Parametar je konačne veličine zbog pretpostavke EI≠0. Nadalje, α≠0 važi za P>0.
Sl.2
Pošto je linearna diferencijalna jednadžba (1a) homogena, ovaj problem je također riješen pomoću n_∙__v(z)_, gdje je n proizvoljna konstanta. Već iz matematičke klasifikacije diferencijalne jednadžbe (1a) može se vidjeti da se veličina savijanja v ne može odrediti. Za određivanje integracijskih konstanti A, B, C, D u slučaju Euler\ (sl. 2) dostupni su sljedeći konturni uvjeti: Zbog zglobnog oslonca, moment savijanja je nula na oba kraja šipke, tj.
v=0 i M=0 za z=0
v=0 i M=0 za z=s.
Zbog M=-EI_∙__v’‘_, slijedi da je M=0 vrijednost v’’=0, tako da četiri uslova konture glase:
v=0 i v’’=0 za z=0
v=0 i v’’=0 za z=s.
Rješenje (2) tako rezultira četiri linearne jednadžbe:
Jedan.3
Ove četiri homogene jednadžbe imaju prvo takozvano trivijalno rješenje A=B=C=D=0, što odgovara v(z)=0. Nesavijena šipka v_(z_)=0 je uobičajena ravnotežna pozicija za proizvoljne, posebno male vrijednosti opterećenja P. Ovdje nas prvenstveno zanimaju uslovi pod kojima se štap savija, odnosno da je v(z)≠0. Jednačine (3) nemaju tako trivijalno rješenje sa A, B, C, D ≠ 0 samo ako je determinanta koeficijenta jednaka nuli.
Jedan. 3a
Iz uslova izvijanja Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog za izračunavanje kritičnih vrijednosti PK opterećenja. Ova jednadžba je zadovoljena samo ako je sin αs =0, odnosno za αKms = mπ sa m=1,2,3,… Odgovarajuće vrijednosti Eulerove sile izvijanja su PKm=EI∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Za svaku vrijednost m, dobiva se određena sila izvijanja. U većini slučajeva, samo najmanja od ovih sila je od interesa, i to
PK1=EI(π/s)2.
U sljedećoj verziji će biti indeks m, ili 1 uglavnom izostavljen, koji se odnosi na najniže od kritičnih opterećenja. Zanimljiva je odgovarajuća elastična linija. Iz jedne (2) konstante se dobijaju B=C=D=0. Preostali uslov je A∙sin__αs=0. Elastična linija izvijanja za gornji slučaj m=1 je, dakle, v(z) = A_∙sinπz/s_, gdje je v(z) za αK odn. PK odgovarajuća vlastita funkcija. Veličina A ostaje neodređena.
Pogledajmo još jednom cijelo područje opterećenja. Za proizvoljne vrijednosti P, posebno za sile P_<_PK1 je v(z)=0, štap ostaje ravan.
Pod “postepenim povećanjem” opterećenja P se u klasičnoj teoriji stabilnosti podrazumijeva uzastopni niz veličina P, gdje će se stabilnost promatranog slučaja opterećenja iznova i iznova testirati za svaki pojedinačni nivo opterećenja P. Tokom testa stabilnosti, veličina P sigurno ostaje nepromijenjena. Ako se utvrdi da je jedno stanje P stabilno, onda se opterećenje za nešto povećava i stoga se test stabilnosti ponavlja. Ovo precizno određivanje je neophodno kako ne bi došlo do zabune sa vrstom opterećenja, što je osnova za Shanley\ efekat, u kojem dolazi do povećanja opterećenja dok istovremeno djeluju mali poremećaji. Prilikom ispitivanja stabilnosti prema Shanley, u području plastičnog izvijanja javlja se manja bifurkacijska sila nego kod klasične metode razmatranja.
Sljedeća razmatranja pretpostavljaju prvi način povećanja opterećenja: Postepenim povećanjem opterećenja P u tom smislu, postiže se PK1=EI_∙(π/s)_2prvo do jedne tačke bifurkacije elastične ravnoteže, sa jednostavnom sinusnom linijom kao elastičnom linijom izvijanja
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A označava neodređenu amplitudu elastične linije. Za opterećenja _P*__>_PK1 je prema lineariziranoj teoriji Δ≠0, tj. balans tamo nije moguć. Samo za veće sile izvijanja PK2 itd. bit će opet Δ=0 a time i v(z)≠0. Uzrok ovog teorijskog zaključka, koji ne odgovara stvarnom ponašanju, leži u linearizaciji diferencijalne jednadžbe.
Izvijanje presovanih šipki sastavljeno od dva dijela
Ograničavamo se na dvodelne presovane štapove, a za presovane štapove sastavljene od tri ili više delova važe slični odnosi.
Sl.3
Prema vrsti poprečne veze razlikuju se šipke rešetke (sl.3a) i šipke okvira (sl.3e). Bez poprečnih vezica, svaki dio štapa bi se sam savijao (sl.3b). Ako je punjenje relativno slabo, onda se jedna šipka remena može saviti bez savijanja šipke u cjelini. Za rešetkastu šipku sl.3c se može uporediti: lijevo za sistem sa šarkama, desno za kontinuirane kaiševe; a za šipku okvira sl.3f lijevo za meke priključne ploče, desno za krute priključne ploče. Odatle se vidi da je vitkost λ_ od velikog uticaja1__=s1/i1_. Za pojedinačni dio štapa postavljen je I1=F1_∙_i12, s1 je razmak polja (sl.3), i1 se odnosi na osu1-1(vidi sl.4).
Sl.4
Sila izvijanja složenih šipki koja odgovara elastičnim linijama izvijanja na sl.3d, ili3g je bio predmet iscrpnih teorijskih istraživanja. Ako je štap sastavljen od jedinstvenih dijelova (npr. sa rebrom) ili ako su poprečne veze bile toliko česte da se štap savijen iz dva dijela ne razlikuje po svom djelovanju od jednog štapa, onda bi to bilo σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Tamo označava λ__y=sK/iy (Sl.4). Međutim, ovo naprezanje izvijanja neće se u potpunosti postići u praksi jer za to nema dovoljno poprečnih spojeva, a oni su i elastični. Aproksimacija koja zadovoljava u većini slučajeva dobija se ako prema prijedlogu postavimo F. Engesser\a da je napon savijanja presovane šipke sastavljene od dva dijela jednak
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi je takozvana idealna vitkost.
Poprečne vezice moraju biti dovoljnog broja i dovoljno jake da prisile oba dijela štapa da djeluju zajedno. Isključujući sekundarna naprezanja, poprečne veze ostaju nenapregnute sve dok šipka ostaje ravna. Samo savijanjem moraju primiti sile, a moraju prenijeti poprečne sile koje se povećavaju savijanjem. U slučaju da se radi o elastičnoj liniji
poprečna sila pri I=const. je jednako
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Sa sl. 5 m se može odmah pročitati Q(z)=PK∙v’(z). Najveća vrijednost na kraju štapa je
Sl.5
Poprečne veze moraju biti u stanju da podnesu ovu poprečnu silu. Budući da je odgovarajuće opterećenje sila izvijanja PK, dovoljno je da se za to postigne granica nosivosti i u poprečnim spojevima - dakle istovremeno sa cijelom šipkom. Očigledno, ne bi bilo nikakve koristi da su unakrsne veze veličine mnogo jače nego što je potrebno za primanje Q0. S druge strane, poprečne veze koje su preslabe uzrokovale bi prerano kvar štapa.
Gornja jednadžba se ne može koristiti u početku jer je veličina strelice koja se izvija nije poznata. Štap je u indiferentnoj ravnoteži pod PK i može, barem u prvom stepenu aproksimacije, uzeti proizvoljnu vrijednost. Stoga je korisno, prema prijedlogu F. Krohn-a, za određivanje veličine tog izvijanja maxv pri kojem savijena šipka gubi svoju nosivost zbog kvara uslijed savijanja. Ovo će se sigurno dogoditi ako se dostigne tačka popuštanja na konkavnoj strani krivine (sl. 6). Zavoji za to rastu dalje i odgovarajući momenti savijanja se ne mogu primijeniti.
Sl. 6
Ukupni napon na konkavnoj strani krivine je prema sl.6za idealan plastični materijal
Odatle dolazi najveće razmetanje koje se još može podnijeti
maxQ0 je odgovarajuća poprečna sila na kraju štapa.
Ako se koristi za obrazac σK Tetmeier\ i stavite σF=3,1t/cm2i sK=e/2∙ λy što odgovara iy≈e/2, tada se dobije Krohn's približna vrijednost maxQ0=F/28(Q u t, F u cm2).
Za proizvoljne linije dobiva se napon izvijanja
maxQ0=μK∙SK.
Koeficijent μK se mijenja s vitkošću štapa, također ovisi o materijalu. Kada se gornja jednačina podijeli sa koeficijentom sigurnosti od izvijanja, može se napisati
dozv__Q=μ∙dozvS.
Izvijanje linearnih sistema
U slučaju linearnih sistema, uobičajeno je odrediti dužinu savijanja sK=β∙h štapa koji je zglobno spojen na oba kraja i čija je sila savijanja PK=π radi poređenja2EI/s2K isto tako veliki. Uporedna “dužina izvijanja” će biti data za primjere u nastavku.
a) Štap je stegnut na oba kraja (EI=konst.)
Sl. 7
Za slučaj sa sl.7izvijanja je PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, uporedna “dužina izvijanja” sK=h/2i elastična linija izvijanja v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Štap slobodan na jednom kraju (sl.8)
Sl. 8
Pretpostavlja se da se smjer P ne mijenja kako se štap savija. Zatim (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Uvjeti konture za slobodni kraj z=h ovdje pročitajte
M=0 ili v’’=0
Q=M’-Pv’=0 ili v’’’’+a2∙v’=0.
c) Štap je stegnut na jednom kraju (sl. 9)
Sl. 9
Sa uslovima konture
v=0 i v’=0 za z=0
v=0 i v’’=0 za z=h
se dobija za EI=const. stanje izvijanja
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ili ekvivalent
tgαh=αh. (4)
Korijeni ove transcendentne jednadžbe nalaze se u tabelama K. Hayashi's. Najmanja sila izvijanja je prema tabelama PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Uporedna dužina izvijanja je sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Štap je uklješten na jednom kraju sa neredom (sl. 10)
Sl. 10
Mi ćemo promatrati slučaj pomaka vrha konstantne veličine. Uslovi konture za to su
v=0 i v’=0 za z=0,
v=v1 i v’’=0 za z=h.
To je problem ravnoteže sa elastičnom linijom
Imenilac člana ispred {}-zagrada će biti nula i izvijanje se povećava iznad svih granica ako je P→PK (pogledajte jednadžbu uslova izvijanja (4)). Za ponašanje štapa je karakteristično da su zavoji na srednjem i donjem kraju štapa u početku manji s povećanjem opterećenja P i mijenjaju svoj predznak samo za veća opterećenja. Sl. 10 pokazuje krivine na pola visine.
e) Kontinuirani štap preko dva polja
Sl.11
Za oba područja rješenja (sl.11) primijenit ćemo postavku
And_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Radi jednostavnosti neka bude (EI)1=(EI)2=EI. Da pronađemo osam konstanti A1, …, A2, … služe kao uslovi konture
v=0i v’=0 za z1=0,
v=0i v’’=0 za z2=h,
kao i prelazni uslovi između područja I i II
v=0 za z1=h i za z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
Uslovne jednačine su date u tabeli ispod
Podešavanjem da je determinanta koeficijenta jednaka nuli, dobija se uslov izvijanja
Dužina savijanja sK=0,878_h_, dok je za sl. 35 ili β=0,699. Sila izvijanja je smanjena u poređenju sa 2,046 : 1,297 zbog dodavanja drugog polja koje je zglobno. Ako je drugo polje stisnuto više, tada bi se sila izvijanja ponovo povećala do vrha. 2,04 PE.
Ova istorijska prezentacija formula nije projekat ili dokaz stabilnosti strukture. Klasične pretpostavke o idealnom ravnom elementu, centričnom opterećenju i elastičnoj površini ne uključuju nužno početne nesavršenosti, zaostala naprezanja, ekscentricitet, krutost veze, nelinearnost materijala, bočnu stabilnost niti, kada je primjenjivo, požar, seizmičko djelovanje i faze montaže. Proračun stvarne konstrukcije mora izvršiti ovlašteni građevinski inženjer prema važećim propisima i standardima.