Dnes se Savo Kusić zaměřuje na dřevěná okna, dřevohliníková okna, vlastní okna, dveře a žádosti o cenovou nabídku. Tento text zůstává jako archiv teorie konstrukcí a není nabídkou statického návrhu, stabilitních výpočtů nebo sanace konstrukcí.
Diferenciální rovnice ohybového boulení
Předpokládá se, že jsou splněny všechny idealizace, zejména
- že tyč je dokonale rovná
- že zatížení P působí v hřídeli tyče
- že napětí zůstávají pod hranicí úměrnosti
- že deformace jsou dostatečně malé, aby umožnily obvyklá zjednodušení výpočtů.
Pokud se tyč působením síly P a případně i zatížením q působícím v příčném směru ohne, pak musí být splněny známé podmínky rovnováhy mezi vnějšími zatíženími a silami v řezu. Kromě toho je přirozené, že by měly být známy vztahy mezi deformacemi a silami v řezu.
Obr. 1 – Zůstatek
Na Obr.1je prezentován ohnutý tyčový prvek délky ds. Sklon tečny v’ je malý, takže až do druhého řádu lze délku prvku nastavit tak, aby se rovnala průmětu ds=dz. Kromě toho v níže uvedených testech nebudou brány v úvahu případy, kdy se P neustále mění podél osy tyče, tj. normálová síla N≈P=konst. Ve třech rovnovážných podmínkách dostupných pro prvek pak lze určitý počet členů zanedbat. Pro značení a značky z Obr.10zůstanou pak v první aproximaci rovnice
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Příčná síla může být eliminována a pak M’‘=Pv’’-q drží. Bernoulli's zákon M=-EI/R poskytuje chybějící rovnici. Křivka osy tyče, jako obvykle, z teorie ohybu nosníku, je zjednodušena následovně
Je tak možné eliminovat ohybový moment; a s M=-EI*v’’ získáme diferenciální rovnici pro ohnutou tyč
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Ve speciálním případě konstantní ohybové tuhosti EI=konst. rovnice (1) je zjednodušená, takže je
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) a (1a) jsou lineární v v podle zmíněných zjednodušení.
Prakticky nejjednodušší případ konstantní ohybové tuhosti EI=konst. je obzvláště důležité, což slouží jako základ pro níže uvedené příklady.
Eulerův případ
Předpoklady pro klasický případ boulení jsou kromě zmíněných idealizací: p=0, tedy N=konst.=P, stejně jako konstantní tuhost bez tření, které leží přesně v ose tyče. Obyčejná diferenciální rovnice (1a) je čtvrtého řádu, lineární a homogenní díky q=0. Obecné řešení je:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kde A, B, C, D jsou čtyři integrační konstanty. Parametr má konečnou velikost kvůli předpokladu EI≠0. Dále α≠0 pro P>0.
Obr. 2
Protože lineární diferenciální rovnice (1a) je homogenní, řeší tento problém také n_∙__v(z)_, kde n je libovolná konstanta. Již z matematické klasifikace diferenciální rovnice (1a) je vidět, že velikost ohybu v nelze určit. Pro určení integračních konstant A, B, C, D v případě Euler\ (obr. 2) jsou k dispozici následující obrysové podmínky: Díky kloubové podpoře je ohybový moment na obou koncích tyče nulový, tzn.
v=0 a M=0 pro z=0
v=0 a M=0 pro z=s.
Vzhledem k M=-EI_∙_v’‘ z toho vyplývá, že M=0 je hodnota v’’=0, takže čtyři podmínky obrysu jsou:
v=0 a v’’=0 pro z=0
v=0 a v’’=0 pro z=s.
Výsledkem řešení (2) jsou tedy čtyři lineární rovnice:
Jeden.3
Tyto čtyři homogenní rovnice mají první tzv. triviální řešení A=B=C=D=0, což odpovídá v(z)=0. Neohnutá tyč v_(z_)=0 je obvyklá rovnovážná poloha pro libovolné, zejména malé hodnoty zatížení P. Zde nás především zajímají podmínky, za kterých se tyč ohýbá, tedy že v(z)≠0. Rovnice (3) nemají tak triviální řešení s A, B, C, D ≠ 0 pouze v případě, že determinant koeficientu je roven nule.
Jeden. 3a
Z podmínek vzpěru Δ = α4∙s∙sinαs =0 mk výpočtu kritických hodnot PK zátěže. Tato rovnice je splněna pouze tehdy, když sin αs =0, tedy pro αKms = mπ s m=1,2,3,… Odpovídající hodnoty vzpěrné síly Euler\ jsou PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pro každou hodnotu m se získá určitá vzpěrná síla. Ve většině případů je zajímavá pouze ta nejmenší z těchto sil, a to
PK1=EI(π/s)2.
V následující verzi bude index m, neboli 1 většinou vynechán, odkazující na nejnižší z kritických zatížení. Zajímavostí je odpovídající elastická linie. Z jedné (2) konstanty se získají B=C=D=0. Zbývající stav je A∙sin__αs=0. Pružná čára vzpěru pro výše uvedený případ m=1 je tedy v(z) = A_∙sinπz/s_, kde v(z) je pro αK resp. PK odpovídající vlastní funkce. Velikost A zůstává neurčená.
Podívejme se ještě jednou na celý nákladový prostor. Pro libovolné hodnoty P, zejména pro síly P_<_PK1 je v(z)=0, tyč zůstává rovná.
“Postupně narůstajícím” zatížením P je v klasické teorii stability míněna postupná řada velikostí P, kde bude stabilita sledovaného zatěžovacího stavu znovu a znovu testována pro každou jednotlivou úroveň zatížení P. Během testu stability zůstává velikost P určitě nezměněna. Pokud je jeden stav P určen jako stabilní, pak se zátěž o něco zvýší, a proto se test stability opakuje. Toto přesné určení je nutné, aby nedošlo k záměně s typem zátěže, která je základem pro Shanley\ efekt, při kterém dochází ke zvýšení zátěže při současném působení malých poruch. Při zkoumání stability podle Shanley\ v oblasti plastového vzpěru dochází k menší bifurkační síle než u klasického způsobu uvažování.
Následující úvahy předpokládají první způsob zvyšování zátěže: Postupným zvyšováním zátěže P v tomto smyslu je dosaženo PK1=EI_∙(π/s)_2nejprve k jedinému bifurkačnímu bodu elastické rovnováhy, s jednoduchou sinusovou čárou jako linií pružného vzpěru
proti1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A označuje neurčenou amplitudu pružné čáry. Pro zatížení _P*__>_PK1 je podle linearizované teorie Δ≠0, to je rovnováha tam není možná. Pouze pro vyšší vzpěrné síly PK2 atd. bude opět Δ=0a tedy také v(z)≠0. Příčina tohoto teoretického závěru, který neodpovídá skutečnému chování, spočívá v linearizaci diferenciální rovnice.
Vzpěr lisovaných tyčí složených ze dvou částí
Omezujeme se na dvoudílné lisované tyčinky a pro lisované tyčinky složené ze tří a více dílů platí obdobné vztahy.
Sl.3
Podle typu příčného spojení se příhradové tyče liší (obr.3a) a tyče rámu (obr.3E). Bez příčných vazeb by se každá část hole sama ohnula (obr.3b). Pokud je výplň relativně slabá, může se jedna pásová tyč ohnout, aniž by došlo k ohnutí tyče jako celku. Pro mřížovou tyč Obr.3c lze porovnat: vlevo pro závěsný systém, vpravo pro průběžné pásy; a pro tyč rámu Obr.3f vlevo pro měkké spojovací plechy, vpravo pro pevné spojovací plechy. Odtud je vidět, že štíhlost λ_ má velký vliv1__=s1/i1_. Pro jednotlivou část tyče byla umístěna I1=F1_∙_i12, s1 je rozestup polí (obr.3), i1 odkazuje na osu1-1(viz Obr.4).
Obr. 4
Vzpěrná síla složených prutů odpovídající pružným liniím vzpěru na obr. 3d nebo 3g bylo předmětem vyčerpávajících teoretických výzkumů. Pokud by byla tyč složena z jedinečných sekcí (např. s žebrem) nebo pokud by příčná spojení byla tak častá, že by se tyč ohnutá ze dvou částí svým účinkem nelišila od tyče jediné, pak by to bylo σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Zde označuje λ__y=sK/iy (obr. 4). Tohoto vzpěrného napětí však nebude v praxi plně dosaženo, protože k tomu není dostatek příčných spojů a navíc jsou elastické. Aproximaci, která ve většině případů vyhovuje, získáme, pokud dáme podle návrhu F. Engesser\a, že napětí v ohybu lisované tyče složené ze dvou částí je stejné
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi je tzv. ideální štíhlost.
Příčné úvazy musí být dostatečné co do počtu a musí být dostatečně pevné, aby přinutily obě části prutu ke společnému působení. S vyloučením sekundárních napětí zůstávají příčné články nenapjaté, dokud tyč zůstává rovná. Pouze při ohýbání musí přijímat síly a musí přenášet příčné síly, které se ohýbáním zvětšují. V případě, že se jedná o elastickou linku
příčná síla při I=konst. je rovná
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
S Obr. 5 m lze okamžitě přečíst Q(z)=PK∙v’(z). Nejvyšší hodnota na konci tyče je
Sl.5
Příčné spoje musí být schopny pojmout tuto příčnou sílu. Protože odpovídajícím zatížením je vzpěrná síla PK, stačí, když je pro to dosaženo meze únosnosti i v příčných vazbách - tedy současně s celou tyčí. Je zřejmé, že by bylo k ničemu, kdyby byly příčné vazby dimenzovány mnohem pevněji, než je nutné pro příjem Q0. Na druhou stranu příliš slabé příčné vazby by způsobily předčasné selhání prutu.
Výše uvedenou rovnici nelze zpočátku použít, protože velikost šipky vzpěru není známa. Tyč je pod PK v indiferentní rovnováze a může, alespoň v prvním stupni aproximace, nabývat libovolné hodnoty. Je proto podle návrhu F užitečné. Krohn-a, určit velikost tohoto vybočení maxv, při kterém ohnutá tyč ztrácí svou únosnost v důsledku poruchy v důsledku ohybu. K tomu jistě dojde, pokud je mez kluzu dosažena na konkávní straně ohybu (obr.6). Ohyby k tomu dále rostou a nelze aplikovat odpovídající ohybové momenty.
Obr. 6
Celkové napětí na konkávní straně ohybu je dle Obr.6pro ideální plastový materiál
Odtud pochází největší chvástání, které lze ještě vydržet
maxQ0 je odpovídající příčná síla na konci tyče.
Pokud se použije pro formulář σK Tetmeier\ a vložte σF=3,1t/cm2a sK=e/2∙ λy, což odpovídá iy≈e/2, pak se získá Krohn's přibližná hodnota maxQ0=F/28(Q v t, F v cm2).
Pro libovolné čáry se získá vzpěrné napětí
maxQ0=μK∙SK.
Koeficient μK se mění se štíhlostí tyče, záleží také na materiálu. Když se výše uvedená rovnice vydělí koeficientem bezpečnosti proti vzpěru, lze ji zapsat
dozv__Q=μ∙dozvS.
Vzpěr lineárních systémů
V případě lineárních systémů je pro srovnání běžné stanovit ohybovou délku sK=β∙h tyče, která je na obou koncích kloubově spojena a jejíž ohybová síla je PK=π2EI/s2K stejně velké. Pro příklady níže bude uvedena srovnávací “vzpěrná délka”.
a) Tyč upnutá na obou koncích (EI=konst.)
Sl.7
Pro případ Obr.7vzpěru je PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, porovnávací “vzpěrná délka” sK=h/2a čára pružného vzpěru v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Tyč na jednom konci volná (obr.8)
Sl. 8
Předpokládá se, že směr P se při ohýbání tyče nemění. Potom (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Konturové podmínky pro volný konec z=h zde čtěte
M=0 nebo v’’=0
Q=M’-Pv’=0 nebo v’’’+a2∙v’=0.
c) Tyč upnutá na jednom konci (obr. 9)
Sl.9
S obrysovými podmínkami
v=0 a v’=0 pro z=0
v=0 a v’’=0 pro z=h
se získá pro EI=konst. stav vzpěru
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
nebo ekvivalentní
tgαh=αh. (4)
Kořeny této transcendentální rovnice se nacházejí v tabulkách K. Hayashi's. Nejnižší vzpěrná síla je podle tabulek PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Srovnávací vzpěrná délka je sK = h / √2,046=0,699h.
d) Tyč upnutá na jednom konci s poruchou (obr.10)
Obr. 10
Budeme uvažovat případ posunutí hrotu konstantní velikosti. The contour conditions for that are
v=0a v’=0 pro z=0,
v=v1a v’’=0 pro z=h.
Je to problém rovnováhy s elastickou linií
Jmenovatel členu před {}-závorkami bude nula a vzpěr se zvýší nad všechny meze, pokud P→PK (viz podmínka vzpěru Eq. (4)). Pro chování prutu je charakteristické, že ohyby na středním a spodním konci prutu jsou zpočátku se vzrůstající zátěží P menší a své znaménko mění až u vyšší zátěže. Sl.10ukazuje ohyby v poloviční výšce.
e) Spojitá tyč přes dvě pole
Sl.11
Pro obě oblasti řešení (obr.11) použijeme nastavení
A_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Pro zjednodušení budiž (EI)1=(EI)2=EI. Chcete-li najít osm konstant A1, …, A2, … slouží jako podmínky obrysu
v=0 a v’=0 pro z1=0,
v=0 a v’’=0 pro z2=h,
a také přechodné podmínky mezi oblastmi I a II
v=0 pro z1=h a pro z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Podmíněné rovnice jsou uvedeny v tabulce níže
Pokud je determinant koeficientu roven nule, získá se podmínka vzpěru
Délka ohybu sK=0,878_h_, zatímco pro Obr. 35 nebo β=0,699. Vzpěrná síla se ve srovnání s 2,046 snížila: 1,297 díky přidání druhého pole, které je otočné. Pokud by bylo druhé pole sevřeno výše, vzpěrná síla by se opět zvýšila na vrchol. 2,04 PE.
Tato historická prezentace vzorců není projektem ani důkazem stability konstrukce. Klasické předpoklady ideálního přímého prvku, centrického zatížení a pružné plochy nemusí nutně zahrnovat počáteční imperfekce, zbytková napětí, excentricitu, tuhost spoje, nelinearitu materiálu, boční stabilitu a případně požár, seismické zatížení a montážní fáze. Výpočet skutečné konstrukce musí provést autorizovaný stavební inženýr podle platných předpisů a norem.