Днес Savo Kusić се фокусира върху дървени прозорци, дърво-алуминиеви прозорци, прозорци по поръчка, врати и заявки за оферта. Този текст остава като архив на структурната теория и не е предложение за статичен дизайн, изчисления на стабилност или структурна рехабилитация.
Диференциално уравнение на изкълчване при огъване
Предполага се, че всички идеализации са изпълнени, особено
- че прътът е идеално прав
- че товарът P действа във вала на пръта
- че напреженията остават под границата на пропорционалност
- че деформациите са достатъчно малки, за да позволят обичайните опростявания на изчисленията.
Ако прътът се огъва под действието на силата P и може би също поради натоварването q, действащо в напречна посока, тогава трябва да бъдат изпълнени известните условия на равновесие между външните натоварвания и силите в сечението. Освен това е естествено да има известни зависимости между деформациите и силите в сечението.
Фиг. 1 - Баланс
На фиг. 1 е елемент от огънат прът с дължина ds. Наклонът на допирателната v’ е малък, така че до втория ред дължината на елемента може да се настрои да бъде равна на проекцията ds=dz. В допълнение, в тестовете, споменати по-долу, няма да бъдат взети предвид случаите, в които P постоянно се променя по оста на пръта, т.е. нормална сила N≈P=const. В трите налични равновесни условия за елемента определен брой членове могат да бъдат пренебрегнати. За маркировки и знаци от фиг. 10 след това остават в първото приближение на уравнението
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Напречната сила може да бъде елиминирана и тогава M’‘=Pv’’-q се запазва. Законът на Бернули M=-EI/R предоставя липсващото уравнение. Кривата на оста на пръта, както обикновено, от теорията за огъване на лъча, е опростена, както следва
По този начин е възможно да се елиминира огъващият момент; и с M=-EI*v’’ се получава диференциалното уравнение за огънатия прът
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
В специалния случай на постоянна коравина на огъване EI=const. уравнението (1) е опростено, така че е
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) и (1a) са линейни в v според споменатите опростявания.
Практически най-простият случай на постоянна коравина на огъване EI=const., който служи като основа за примерите по-долу, е особено важен.
Случаят на Ойлер
Допусканията за класическия случай на изкълчване са, освен споменатите идеализации: p=0, така че N=const.=P, както и постоянна коравина без триене, които лежат точно по оста на пръта. Обикновеното диференциално уравнение (1a) е от четвърти ред, линейно и хомогенно поради q=0. Общото решение е:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
където A, B, C, D са четирите интеграционни константи. Параметърът е с краен размер поради предположението EI≠0. Освен това, α≠0 е валиден за P>0.
Фиг. 2
Тъй като линейното диференциално уравнение (1a) е хомогенно, този проблем също се решава чрез n_∙__v(z)_, където n е произволна константа. Още от математическата класификация на диференциалното уравнение (1a) може да се види, че величината на огъване v не може да бъде определена. За определяне на интеграционните константи A, B, C, D в случая Euler\ (фиг. 2) са налични следните контурни условия: Благодарение на шарнирната опора, огъващият момент е нула в двата края на пръта, т.е.
v=0 и M=0 за z=0
v=0 и M=0 за z=s.
Поради M=-EI_∙__v’‘_, следва, че M=0 е стойността на v’’=0, така че четирите контурни условия гласят:
v=0 и v’’=0 за z=0
v=0 и v’’=0 за z=s.
Така решението (2) води до четири линейни уравнения:
Eq. 3
Тези четири хомогенни уравнения имат първото така наречено тривиално решение A=B=C=D=0, което съответства на v(z)=0. Огънатият прът v_(z_)=0 е обичайното равновесно положение за произволни, особено малки стойности на натоварване P. Тук основно се интересуваме от условията, при които прътът се огъва, т.е. че v(z)≠0. Уравненията (3) нямат такова тривиално решение с A, B, C, D ≠ 0 само ако детерминантата на коефициента е равна на нула.
един. 3a
От условията на изкълчване Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m отидете, за да изчислите критичните стойности _PK_ на товара. Това уравнение е изпълнено само ако sin αs = 0, т.е. за αKms = mπ с m=1,2,3,… Съответните стойности на силата на изкълчване на Euler\ са PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. За всяка стойност на m се получава определена сила на изкълчване. В повечето случаи само най-малката от тези сили представлява интерес и то
PK1=EI(π/s)2.
В следващата версия ще има индекс m или 1, който ще бъде почти изпуснат, отнасящ се до най-ниското от критичните натоварвания. Интерес представлява съответната еластична линия. От една (2) се получават константи B=C=D=0. Оставащото условие е A∙sin__αs=0. Следователно еластичната линия на изкълчване за горния случай m=1 е v(z) = A_∙sinπz/s_, където v(z) е за αK респ. PK съответстваща собствена функция. Големината на A остава неопределена.
Нека да разгледаме отново цялата товарна площ. За произволни стойности на P, особено за сили P_<_PK1 е v(z)=0, прътът остава прав.
В класическата теория на стабилността, под “постепенно нарастващо” натоварване P се има предвид последователна поредица от стойности _P_, където стабилността на наблюдавания случай на натоварване ще бъде тествана отново и отново за всяко отделно ниво на натоварване P. По време на теста за стабилност размерът на P със сигурност остава непроменен. Ако едно състояние P се определи като стабилно, тогава натоварването се увеличава с нещо и следователно тестът за стабилност се повтаря. Това точно определяне е необходимо, за да няма объркване с вида на натоварването, което е в основата на ефекта Shanley, при който има увеличение на натоварването, докато в същото време действат малки смущения. При изследване на стабилността според Shanley, в областта на пластичното изкълчване, възниква по-малка бифуркационна сила, отколкото при класическия метод на разглеждане.
Следните съображения предполагат първия начин на увеличаване на натоварването: При постепенно увеличаване на натоварването P в този смисъл се достига до PK1=EI_∙(π/s)_2 първо в една точка на бифуркация на еластичното равновесие, с проста синусова линия като линията на еластично изкълчване
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A обозначава неопределената амплитуда на еластичната линия. За товари _P*__>_PK1 е според линеаризираната теория Δ≠0, т.е. балансът не е възможен там. Само за по-големи сили на изкълчване PK2 и т.н. ще бъде отново Δ=0 и следователно също v(z)≠0. Причината за това теоретично заключение, което не отговаря на действителното поведение, се крие в линеаризацията на диференциалното уравнение.
Изкълчване от пресовани пръти, съставени от две части
Ние се ограничаваме до пресовани пръчки от две части, а за пресовани пръчки, съставени от три или повече части, се прилагат подобни отношения.
Фиг. 3
Според вида на напречната връзка се разграничават решетъчни пръти (фиг. 3a) и рамкови пръти (фиг. 3e). Без напречни връзки, всяка част от пръчката би се огънала сама (фиг. 3b). Ако пълнежът е относително слаб, тогава единичен ремъчен прът може да се огъне, без да се огъне прътът като цяло. За решетъчния прът фиг. 3c може да се сравни: ляво за шарнирна система, дясно за непрекъснати колани; и за пръта на рамката фиг. 3f отляво за меки свързващи плочи, отдясно за твърди свързващи плочи. От там се вижда, че стройността λ__1_=s1/i1_ е от голямо влияние. За отделната част на пръта е зададено I1=F1_∙_i12, s1 е разстоянието на полето (фиг. 3), i1 се отнася за оста 1-1 (вижте фиг. 4).
Фиг. 4
Силата на изкълчване на съставните пръти, която съответства на еластичните линии на изкълчване, фиг. 3d, или 3g беше обект на изчерпателни теоретични изследвания. Ако прътът беше съставен от уникални секции (напр. с ребро) или ако напречните връзки бяха толкова чести, че прът, извит от две части, не се различава по ефекта си от единичен прът, тогава той би бил σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Там той обозначава λ__y=sK/iy (фиг. 4). Това напрежение на изкълчване обаче на практика няма да се постигне напълно, защото няма достатъчно напречни връзки за това, а те също са еластични. Приближение, което удовлетворява в повечето случаи, се получава, ако поставим според предложението F. Engesser\a, че напрежението на огъване на пресования прът, съставен от две части, е равно на
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi е така наречената идеална стройност.
Напречните връзки трябва да са достатъчно на брой и достатъчно здрави, за да принудят двете части на пръта да действат заедно. С изключение на вторичните напрежения, напречните връзки остават ненапрегнати, докато прътът остава прав. Само при огъване те трябва да приемат сили и трябва да предават напречни сили, които се увеличават с огъване. В случай, че еластичната линия
напречна сила при I=конст. е равно на
Q = M’ = - EI∙v’’’.
С фиг. 5 m може веднага да се прочете Q(z)=PK∙v’(z). Най-високата стойност в края на пръта е
Фиг. 5
Напречните връзки трябва да могат да поемат тази напречна сила. Тъй като съответното натоварване е силата на изкълчване PK, достатъчно е да се достигне границата на натоварване за това и в напречните връзки - т.е. едновременно с целия прът. Очевидно няма да има никаква полза, ако кръстосаните връзки са оразмерени много по-силно от необходимото за получаване на Q0. От друга страна, напречните връзки, които са твърде слаби, биха довели до преждевременна повреда на пръта.
Горното уравнение не може да се използва първоначално, тъй като величината на изкривяващата се стрелка е неизвестна. Прътът е в безразлично равновесие при PK и може, поне в първата степен на приближение, да приема произволна стойност. Следователно е полезно, според предложението на F. Krohn-a, за да се определи големината на това изкълчване maxv, при което огънатият прът губи своята носеща способност поради повреда поради огъване. Това със сигурност ще се случи, ако границата на провлачване бъде достигната от вдлъбнатата страна на завоя (фиг. 6). Завоите за това нарастват допълнително и съответните огъващи моменти не могат да бъдат приложени.
Фиг. 6
Общото напрежение върху вдлъбнатата страна на завоя е съгласно фиг. 6 за идеален пластмасов материал
Оттам идва най-голямото огъване, което все още може да се издържи
maxQ0 е съответната напречна сила в края на пръта.
Ако се използва за формата на σK Tetmaier\ и поставете σF=3,1 t/cm2 и sK=e/2 ∙ λy, съответстващи на iy≈e/2, тогава за Krohn се получава приблизителна стойност maxQ0=F/28 (Q в t, F в cm2).
За произволни линии на напрежение на изкълчване получаваме
maxQ0=μK∙SK.
Коефициентът μK се променя с тънкостта на пръта, зависи и от материала. Когато горното уравнение се раздели на коефициента на безопасност срещу изкълчване, може да се напише
dozv__Q=μ∙dozvS.
Изкривяване на линейни системи
В линейните системи е обичайно да се определя дължината на огъване sK=β∙h на прът, който е шарнирно закрепен в двата края и чиято сила на огъване PK=π2EI/s2K е еднакво голяма. Сравнителна “дължина на изкълчване” ще бъде дадена за примерите по-долу.
a) Прът, захванат в двата края (EI=конст.)
Фиг. 7
За случая на фиг. 7 на изкълчване е PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, сравнителната „дължина на изкълчване“ sK=h/2 и еластичната линия на изкълчване v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Прът свободен в единия край (фиг. 8)
Сл. 8
Предполага се, че посоката на P не се променя при огъване на пръта. Тогава (EI=конст.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Условията на контура за свободния край z=h тук се четат
M=0 или v’’=0
Q=M’-Pv’=0 или v’’’’+a2∙v’=0.
c) Прът, захванат в единия край (фиг. 9)
Фиг. 9
С контурни условия
v=0 и v’=0 за z=0
v=0 и v’’=0 за z=h
се получава за EI=const. състояние на изкълчване
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
или еквивалент
tgαh=αh. (4)
Корените на това трансцендентно уравнение се намират в таблици K. Хаяши. Най-ниската сила на изкълчване е според таблиците PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Сравнителната дължина на изкълчване е sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Пръчка, прищипана в единия край с нарушение (фиг. 10)
Фиг. 10
Ще наблюдаваме случая на пиково изместване с постоянен размер. Контурните условия за това са
v=0 и v’=0 за z=0,
v=v1 и v’’=0 за z=h.
Това е проблем за равновесие с еластична линия
Знаменателят на члена преди {}-скобите ще бъде нула и изкривяването се увеличава над всички граници, ако P→PK (вижте уравнението за условие за изкълчване (4)). Характерно за поведението на пръта е, че извивките в средата и долния край на пръта първоначално са по-малки с увеличаване на натоварването P и променят знака си само при по-големи натоварвания. Сл. 10 показва завои на половината височина.
e) Непрекъснат прът над две полета
Фиг. 11
И за двете области на решение (фиг. 11) ще приложим настройката
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
За опростяване нека бъде (EI)1=(EI)2=EI. За намиране на осемте константи A1, …, A2, … се използват контурните условия
v=0 и v’=0 за z1=0,
v=0 и v’’=0 за z2=h,
както и преходни условия между области I и II
v=0 за z1=h и за z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Условните уравнения са дадени в таблицата по-долу
Чрез определяне на детерминантата на коефициента на нула се получава условието за изкълчване
Дължина на огъване sK=0,878_h_, докато за фиг.35или β=0,699. Силата на изкълчване намалява в сравнение с2,046:1,297поради добавянето на второ поле, което е шарнирно. Ако другото поле беше притиснато по-високо, тогава силата на изкълчване ще се увеличи отново до пика.2,04_PE_.
Това историческо представяне на формулите не е проект или доказателство за стабилността на конструкцията. Класическите предположения за идеален прав елемент, центрично натоварване и еластична област не включват непременно първоначални несъвършенства, остатъчни напрежения, ексцентричност, твърдост на връзката, нелинейност на материала, странична стабилност, нито, когато е приложимо, пожар, сеизмично действие и фази на сглобяване. Изчисляването на действителното строителство трябва да се извърши от оторизиран строителен инженер съгласно действащите разпоредби и стандарти.