I aso nei, o Savo Kusić o loʻo taulaʻi i faʻamalama laupapa, faamalama fafie-alumi, faamalama masani, faitotoa ma talosaga mo upusii. O lenei tusitusiga o loʻo tumau pea o se faʻamaumauga o aʻoaʻoga faʻavae ma e le o se ofo o le mamanu faʻamau, faʻatusatusaga mautu poʻo le toe faʻaleleia.
Fa’atusa ese’esega o le punou fa’amau
E fa’apea ua fa’amalieina fa’atonuga uma, aemaise lava
- e sa’o atoatoa le tootoo
- o le uta P galue i le au o le tootoo
- e tumau pea voltage i lalo ole tapula’a o le fa’atatau
- o le deformations e lava laititi e faʻataga ai faʻafaigofie masani o faʻatusatusaga.
Afai e punou le tootoo i lalo o le gaioiga a le malosi P ma atonu foi ona o le uta q o loʻo galue i le itu feʻaveaʻi, ona tatau lea ona faʻamalieina tulaga masani o le paleni i le va o uta i fafo ma le malosi i totonu o le vaega. E le gata i lea, e masani lava e tatau ona iloa sootaga i le va o suiga ma malosiaga i totonu o le vaega.
Fig. 1 - Paleni
I le fig.1o se elemene o se tootoo punou o le umi ds o lo’o fa’atusalia. E la’ititi le slope o le tangent v’ e o’o atu i le faasologa lona lua, e mafai ona seti le umi o le elemene e tutusa ma le projection ds=dz. E le gata i lea, i suʻega o loʻo taʻua i lalo, o mataupu e suia ai le P i luga o le axis o le tootoo o le a le amanaia, o lona uiga o le malosi masani N≈P=const. I tulaga paleni e tolu o loʻo avanoa mo le elemene, o se numera patino o sui e mafai ona le amanaiaina. Mo fa’ailoga ma fa’ailoga mai le mati.10tumau pea i le fa’atatau muamua o le fa’atusa
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
E mafai ona aveesea le malosi fela’ua’i, ona taofi lea M’‘=Pv’’-q. Bernoulli's tulafono M=-EI/R maua ai le fa’atusa misi. O le pupuni o le axis o le tootoo, e pei ona masani ai, mai le talitonuga o le beam bending, ua faafaigofieina e pei ona taua i lalo.
E mafai ona faʻaumatia le taimi punou; ma fa’atasi ai ma le M=-EI*v’’ e maua ai le fua fa’atatau mo le la’au pi’o
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
I le tulaga fa’apitoa o le ma’a’a punou faifaipea EI=const. o le fa’atusa (1) ua fa’afaigofieina, o lona uiga o le
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) ma le (1a) e laina i le v e tusa ai ma fa’afaigofie ua ta’ua.
Fa’ata’ita’iga, o le tulaga sili ona faigofie o le ma’a’a punou faifaipea EI=const. e faapitoa le taua, lea e avea ma faavae mo faataitaiga o loo i lalo.
mataupu a Euler
O manatu mo le tulaga masani o le buckling e, e ese mai i faʻataʻitaʻiga o loʻo taʻua: p=0, o lea N=const.=P, faʻapea foʻi ma le maʻaʻa faifai pea e aunoa ma le feteʻenaʻi, o loʻo taoto tonu i luga o le axis o le tootoo. Ole fa’atusa fa’avasega masani (1a) o le fa’atonuga fa, laina ma tutusa ona o le q=0. Ole fofo lautele ole:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
lea A, B, C, D o fa atasi fa’atasi. O le fa’amaufa’ailoga e fa’atapula’aina le lapopo’a ona o le manatu EI≠0. E lē gata i lea, α≠0 mo P>0.
Fig. 2
Talu ai ona o le fa’avasegaga fa’avasegaina (1a) e tutusa, o lenei fa’afitauli e fo’ia fo’i e le n_∙__v(z)_, o le n o se fa’aauau pea. Ua mae’a mai le fa’avasegaga fa’a-matematika o le fa’atusatusaga fa’avasega (1a) e mafai ona iloa e le mafai ona fa’amauina le tele o le punou v. Ina ia fuafuaina le tu’ufa’atasiga tumau A, B, C, D i le Euler\ case (fig. 2) o loʻo maua tulaga faʻasologa o loʻo i lalo: Ona o le lagolago faʻapitoa, o le taimi o le punou e zero i pito uma e lua o le tootoo, i.e.
v=0 ma M=0 mo z=0
v=0 ma M=0 mo z=s.
Ona o le M=-EI_∙__v’‘_, o lona uiga o le M=0 o le tau o le v’’=0, o lea e faitau ai le fa’asologa o tulaga:
v=0 ma v’’=0 mo z=0
v=0 ma v’’=0 mo z=s.
Ole fofo (2) fa’apea e maua ai fa’atusa laina fa:
Tasi.3
O nei fa’atusa tutusa e fa o lo’o i ai le vaifofo muamua e ta’ua o le fa’atauva’a A=B=C=D=0, e tutusa ma le v(z)=0. O le tootoo e le’i pi’o v_(z_)=0 o le tulaga paleni masani mo le fa’aletonu, aemaise lava tau laiti o le uta P. O iinei, tatou te matua fiafia lava i tulaga o loʻo punou ai le tootoo, o lona uiga o le v(z)≠0. O fa’atusatusaga (3) e leai se vaifofo fa’atauva’a fa’atasi ma le A, B, C, D ≠ 0 pe afai e tutusa le fua fa’atatau o le coefficient i le zero.
Tasi. 3a
Mai tulaga fa’amau Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog e fa’atatau le taua PK o le uta. E fa’amalieina lenei fa’atusa pe afai sin αs =0, e mo αKms = mπ ma m=1,2,3,… O tau tutusa o le malosi fa’amau a Euler o PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Mo tau ta’itasi o le m, e maua ai se malosi fa’apipi’i. I le tele o tulaga, naʻo le itiiti ifo o nei malosiaga e fiafia i ai, ma o lena
PK1=EI(π/s)2.
I le fa’aliliuga o lo’o mulimuli mai, o le ai ai se fa’ailoga m, po’o le 1 e tele lava ina le fa’aaogaina, e fa’atatau i le pito maualalo o uta taua. O le mea e fiafia i ai o le laina fa’asolosolo tutusa. Mai le tasi (2) tumau B=C=D=0 e maua. O le tulaga o totoe o le A∙sin__αs=0. O le laina fa’amau fa’amau mo le fa’ailoga o lo’o i luga m=1 o le mea lea, v(z) = A_∙sinπz/s_, lea v(z) e mo αK resp. PK fa’atatau eigenfunction. O le tele o le A e tumau pea le le mautinoa.
Sei o tatou toe tilotilo i le vaega atoa o uta. Mo fua fa’atatau o le P, aemaise lava mo malosi P_<_PK1 e v(z)=0, e tumau pea le sasa.
I le talitonuga masani o le mautu, i lalo o le uta “faasolosolo malie” P o lona uiga o se faasologa sosoo o tau P, lea o le a toe tofotofoina ai pea lava pea le mautu o le uta uta mo tulaga taitasi o le uta P. I le taimi ole su’ega mautu, ole tele ole P e mautinoa lava e le suia. Afai o le tasi setete P ua faʻamoemoe e mautu, ona faʻateleina lea o le uta i se mea, ma o lea e toe fai ai le suʻega mautu. O lenei filifiliga saʻo e manaʻomia ina ia leai se fenumiai ma le ituaiga o uta, o le faʻavae lea mo le Shanley\ aafiaga, lea o loʻo i ai le faʻaopoopoga o le uta aʻo faʻalavelave laiti o loʻo galue i le taimi e tasi. Pe a su’esu’eina le mautu e tusa ai ma Shanley, i le vaega o le palasitika fa’apipi’i, e la’ititi la’ititi le malosi o le bifurcation e tupu nai lo le faiga masani o le iloiloga.
O manatu nei e fa’atatau i le auala muamua o le fa’atuputeleina o le uta: I le fa’atupuina malie o le uta P i lenei tulaga, e taunu’u se tasi mo le PK1=EI_∙(π/s)_2 muamua i le tasi vaega bifurcation o le elastic equilibrium faigofie, laina
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A o lo’o fa’ailoa mai ai le maualuga e le’i fuafuaina o le laina fa’amau. Mo uta _P*__>_PK1 e tusa ma le linearized theory Δ≠0, o lona uiga e le mafai ona paleni iina. Na’o le maualuga o le malosi fa’amau PK2 ma isi. o le a toe Δ=0 ma fa’apea fo’i v(z)≠0. O le mafuaʻaga o lenei faʻamatalaga faʻapitoa, e le fetaui ma le amio moni, o loʻo taoto i le faʻaogaina o le faʻasologa o le eseesega.
Fa’amauina o la’au oomi e faia i ni vaega se lua
Matou te fa’atapula’aina i matou i fasilaau e lua-vaega, ma mo fasilaau oomi e tolu pe sili atu vaega, e fa’atatau tutusa.
Sl.3
E tusa ai ma le ituaiga o fesoʻotaʻiga faʻafefe, e eseese lattice rods (fig.3a) ma laau fa’avaa (ata.3e). A aunoa ma ni nonoa satauro, o le a punou na o vaega taitasi o le ai (ata.3e). Afai e vaivai le faʻatumu, ona mafai lea ona punou se fusi fusi e tasi e aunoa ma le punou atoa o le tootoo. Mo le lattice fig.3c e mafai ona faʻatusatusa: agavale mo faʻaoga faʻaoga, saʻo mo fusi faʻaauau; mo le au fa’alava mati.3f i le agavale mo pepa feso’ota’iga vaivai, i le itu taumatau mo pepa feso’ota’iga malo. Mai iina, e mafai ona iloa ai o le slimness λ_ e tele sona aafiaga1__=s1/i1_. Mo le vaega ta’itasi o le tootoo, sa tuuina atu ai au1=F1_∙_i12, s1 o le va o fanua (Fig.3), i1 e faasino i le axis1-1(silasila i le Ata.4).
Sl.4
O le malosi fa’afefeteina o la’au tu’ufa’atasia e tutusa ma laina fa’amau fa’amau o le mati. 3d, poʻo 3g o le mataupu o suʻesuʻega faʻapitoa faʻapitoa. Afai o le u’amea na faia i ni vaega tulaga ese (fa’ata’ita’iga ma se ivi ’aso’aso) pe afai e tele so’otaga fa’alava e le ese ai le a’afiaga o le to’oto’o mai vaega e lua mai le la’au e tasi, o lona uiga o le σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. O iina e fa’ailoa ai le λ__y=sK/iy (fig. 4). Ae ui i lea, o lenei faʻamamafa faʻafefe o le a le ausia atoatoa i le faʻatinoga ona e le lava fesoʻotaʻiga faʻafefe mo lena mea, ma e faʻamaʻi foi. O se fa’atusatusaga e fa’amalieina i le tele o tulaga e maua pe a tatou tu’uina e tusa ai ma le talosaga F. Engesser\a e tutusa le mamafa o le pi’o o se la’au oomi e lua vaega
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi o le mea e taʻua o le tino lelei.
O nonoa kolosi e tatau ona lava le numera ma lava le malosi e faʻamalosi ai vaega uma e lua o le uʻamea e galulue faʻatasi. E le aofia ai fa’amamafa lona lua, o so’otaga fela’ua’i e tumau pea le le fa’amalosi pe a tumau pea le la’au. E na’o le punou e tatau ona latou maua ai le malosi, ma e tatau ona latou faʻasalalau atu malosiaga faʻafefe e faʻateleina pe a punou. I le tulaga o se laina elastic
malosi fa’asaga i I=const. e tutusa
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Faatasi ai ma le mati. 5 m e mafai ona faitau vave Q(z)=PK∙v’(z). O le tau sili ona maualuga i le pito o le tootoo o le
Sl.5
O feso’ota’iga fela’ua’i e tatau ona mafai ona fa’aogaina lenei malosi fa’asaga. Talu ai o le uta tutusa o le malosi faʻapipiʻi PK, e lava pe a oʻo i le faʻatapulaʻaina o uta mo lenei mea faʻapea foʻi i fesoʻotaʻiga faʻafefe - o lona uiga, faʻatasi ma le tootoo atoa. E manino lava, e leai se aoga pe a fai e sili atu le malosi o feso’ota’iga nai lo le mana’omia e maua ai Q0. I le isi itu, o so’otaga fa’alava e vaivai tele o le a mafua ai ona pa’u vave le la’au.
Ole fa’atusa o lo’o i luga e le mafai ona fa’aaoga muamua ona e le o iloa le tele o le aū fa’afefe. O le tootoo o loʻo i totonu o le paleni le fiafia i lalo o le PK ma e mafai, a itiiti ifo i le tikeri muamua o le faʻatatau, ave se tau faʻatatau. O lea e aoga ai, e tusa ai ma le fautuaga a F. Krohn-a, e fuafua ai le tele o lena maxv pupuu lea e le maua ai e le tootoo pi’o lona gafatia ona o le toilalo ona o le punou. E mautinoa lava e tupu lenei mea pe a oʻo i le pito e maua i le itu faʻafefe o le piʻo (Fig.6). O le pi’o mo lenei mea e tupu atili ma e le mafai ona faʻaogaina taimi faʻapipiʻi tutusa.
Fig. 6
O le mamafa atoa o le itu pupuu o le pi’o e tusa ma le fig.6mo mea palasitika lelei
Mai iina e sau ai le fa’atauva’a sili e mafai lava ona onosaia
maxQ0 o le malosi felavasa’i tutusa i le pito tootoo.
Afai e fa’aoga mo σK Tetmeier's fomu ma tu’u σF=3,1t/cm2ma sK=e/2∙ λy lea e fetaui ma iy≈e/2, ona maua lea o le Krohn's maxQ0=F/28(Q i le t, F i cm2).
Mo laina fa’aletonu e maua ai le fa’amamafa fa’amau
maxQ0=μK∙SK.
O le coefficient μK e suia i le slenderness o le tootoo, e faʻalagolago foi i meafaitino. Pe a vaevaeina le fa’atusa i luga i le coefficient o le saogalemu e faasaga i buckling e mafai ona tusia
dozv__Q=μ∙dozvS.
Buckling o faiga laina
I le tulaga o faiga laina, e masani lava ona fuafua le umi o le punou sK=β∙h o se tootoo o loʻo faʻamau i pito uma e lua ma o lona malosi punou o le PK =π mo le faʻatusatusaga.2EI/s2K tutusa lava le tele. O le a tu’uina atu se fa’atusatusaga o le “buckling length” mo fa’ata’ita’iga o lo’o i lalo.
a) Ua pipii le uamea i pito uma e lua (EI=const.)
Sl.7
Mo le tulaga o le mati.7o le fa’amauina o le PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, fa’atusatusa “umi fa’amau” sK=h/2ma le laina fa’amau fa’amau v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Ua leai se tootoo i le tasi pito (fig.8)
Sl. 8
E faapea e le suia le itu o le P pe a punou le tootoo. Ona (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
O tulaga fa’ata’oto mo le pito fua z=h i’i faitau
M=0 poʻo v’’=0
Q=M’-Pv’=0 po’o le v’’’+a2∙v’=0.
c) Ua pipii le ua i le tasi pito (ata 9)
Sl.9
Fa’atasi ai ma tulaga fa’ata’oto
v=0 ma v’=0 mo z=0
v=0 ma v’’=0 mo z=h
maua mo EI=const. tulaga fa’amau
agasala_αh - αh∙cos_αh=0_,_
pe tutusa
tgαh=αh. (4)
O a’a o lenei fa’atusatusaga o lo’o maua i laulau K. Hayashi’s. Ole malosi fa’amaulalo pito maualalo e fa’atatau ile laulau PK1=4,49342/h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
O le fa’atusatusaga o le umi fa’amau e sK = h / √2,046=0,699h.
d) O se tootoo na pipii i le tasi pito ma se faaletonu (ata.10)
Fig. 10
O le a tatou mafaufau i le tulaga o le faʻaliliuina pito o le tele faifaipea. O tulaga ta’amilosaga mo lena mea
v=0ma v’=0 mo z=0,
v=v1ma v’’=0 mo z=h.
O se fa’afitauli paleni ma se laina fa’ama’i
O le fa’auiga o le fa’aupuina i luma o {}-brackets o le a zero ma o le fa’amaufa’ailoga e si’itia i luga a’e o tapula’a uma pe a P→PK (silasila i le tulaga fa’atusa Fa’atusa. (4)). O le uiga o le amio a le tootoo o le pi’o i le ogatotonu ma le pito pito i lalo o le u’amea e amata ona laʻititi ma faʻateleina le uta P ma suia a latou faʻailoga mo na o uta maualuga. Sl.10fa’aalia pi’o i le afa maualuga.
e) La’au fa’aauau i luga o fanua e lua
Sl.11
Mo vaega uma o fofo (fig.11) o le a matou faʻaogaina le seti
Ma_. v(z1) = A1∙ synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Mo le fa’afaigofie ia tu’u (EI)1=(EI)2=EI. E su’e ai mea tumau e valu A1, …, A2, … e fai ma fa’asologa o tulaga
v=0 ma v’=0 mo z1=0,
v=0 ma v’’=0 mo z2=h,
faʻapea foʻi ma tulaga tau suiga i le va o vaega I ma le II
v=0 mo z1=h ma mo z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
O fa’atusa fa’atatau o lo’o tu’uina atu i le siata i lalo
Fa’atonu o le fa’amauina o le coefficient e tutusa ma le zero, e maua le tulaga fa’apipi’i
Umi punou sK=0,878_h_, ae mo le mati. 35 poʻo β=0,699. Ua fa’aitiitia le malosi fa’amau fa’atusatusa i le 2,046 : 1,297 ona o le fa’aopoopoina o le fanua lona lua o lo’o fa’amau. Afai o le isi fanua e faʻapipiʻi maualuga atu, ona toe faʻateleina lea o le malosi faʻapipiʻi i le tumutumu. 2,04 PE.
O lenei faʻamatalaga faʻasolopito o fua faʻatatau e le o se poloketi poʻo se faʻamaoniga o le mautu o le fausaga. O manatu masani o le sui sa’o lelei, uta centric ma le vaega mauti e le tatau ona aofia ai le le atoatoa muamua, faʻamamafa totoe, faʻalavelave, malo o fesoʻotaʻiga, mea e le o laina, mautu i tua pe, pe a talafeagai, afi, gaioiga ma le faʻapotopotoga. Fa’atatauina o le fausaga moni e tatau ona faia e se enisinia fa’atagaina fa’aletulafono e tusa ai ma tulafono fa’atonutonu ma tulaga fa’ata’atia.