Σήμερα, ο Savo Kusić επικεντρώνεται στα ξύλινα παράθυρα, παράθυρα από ξύλο-αλουμίνιο, προσαρμοσμένα παράθυρα, πόρτα και αιτήματα για προσφορά. Αυτό το κείμενο παραμένει ως αρχείο δομικής θεωρίας και δεν αποτελεί προσφορά στατικού σχεδιασμού, υπολογισμών ευστάθειας ή δομικής αποκατάστασης.
Διαφορική εξίσωση κάμψης λυγισμού
Υποτίθεται ότι όλες οι εξιδανικεύσεις ικανοποιούνται, ειδικά
- ότι η ράβδος είναι τέλεια ίσια
- ότι το φορτίο P δρα στον άξονα της ράβδου
- ότι οι τάσεις παραμένουν κάτω από το όριο της αναλογικότητας
- ότι οι παραμορφώσεις είναι αρκετά μικρές ώστε να επιτρέπουν τις συνήθεις απλοποιήσεις των υπολογισμών.
Εάν η ράβδος κάμπτεται υπό την επίδραση της δύναμης P και ίσως και λόγω του φορτίου q που ενεργεί στην εγκάρσια διεύθυνση, τότε πρέπει να ικανοποιούνται οι γνωστές συνθήκες ισορροπίας μεταξύ των εξωτερικών φορτίων και των δυνάμεων στο τμήμα. Εξάλλου, είναι φυσικό να υπάρχουν γνωστές σχέσεις μεταξύ παραμορφώσεων και δυνάμεων στην τομή.
Εικ. 1 - Υπόλοιπο
Στο σχ.1παρουσιάζεται ένα λυγισμένο στοιχείο ράβδου μήκους ds. Η κλίση της εφαπτομένης v’ είναι μικρή, ώστε μέχρι τη δεύτερη τάξη, το μήκος του στοιχείου να μπορεί να οριστεί να είναι ίσο με την προβολή ds=dz. Επιπλέον, στις δοκιμές που αναφέρονται παρακάτω, δεν θα ληφθούν υπόψη περιπτώσεις κατά τις οποίες το P αλλάζει συνεχώς κατά τον άξονα της ράβδου, δηλαδή κανονική δύναμη N≈P=const. Στις τρεις συνθήκες ισορροπίας που είναι διαθέσιμες για το στοιχείο, ένας ορισμένος αριθμός μελών μπορεί στη συνέχεια να παραμεληθεί. Για σημάνσεις και πινακίδες από το σχ.10παραμένουν τότε στην πρώτη προσέγγιση της εξίσωσης
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Η εγκάρσια δύναμη μπορεί να εξαλειφθεί και τότε ισχύει M’‘=Pv’’-q. Ο νόμος του Bernoulli__M=-EI/R παρέχει την εξίσωση που λείπει. Η καμπύλη του άξονα της ράβδου, ως συνήθως, από τη θεωρία της κάμψης της δοκού, απλοποιείται ως εξής
Είναι επομένως δυνατό να εξαλειφθεί η ροπή κάμψης. και με M=-EI*v’’ προκύπτει η διαφορική εξίσωση για την λυγισμένη ράβδο
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Στην ειδική περίπτωση σταθερής ακαμψίας κάμψης EI=const. η εξίσωση (1) είναι απλοποιημένη, άρα είναι
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Εξ. (1) και (1a) είναι γραμμικά σε v σύμφωνα με τις αναφερόμενες απλουστεύσεις.
Πρακτικά, η απλούστερη περίπτωση σταθερής ακαμψίας κάμψης EI=const. είναι ιδιαίτερα σημαντικό, το οποίο χρησιμεύει ως βάση για τα παρακάτω παραδείγματα.
Περίπτωση Euler
Οι υποθέσεις για την κλασική περίπτωση του λυγισμού είναι, εκτός από τις αναφερόμενες εξιδανικεύσεις: p=0, άρα N=const.=P, καθώς και σταθερή ακαμψία χωρίς τριβή, που βρίσκονται ακριβώς στον άξονα της ράβδου. Η συνηθισμένη διαφορική εξίσωση (1a) είναι τέταρτης τάξης, γραμμική και ομοιογενής λόγω του q=0. Η γενική λύση είναι:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
όπου A, B, C, D είναι οι τέσσερις σταθερές ολοκλήρωσης. Η παράμετρος είναι πεπερασμένου μεγέθους λόγω της υπόθεσης EI≠0. Επιπλέον, α≠0 για P>0.
Εικ. 2
Εφόσον η γραμμική διαφορική εξίσωση (1a) είναι ομοιογενής, αυτό το πρόβλημα λύνεται επίσης με n_∙__v(z)_, όπου n είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Ήδη από τη μαθηματική ταξινόμηση της διαφορικής εξίσωσης (1a) φαίνεται ότι το μέγεθος της κάμψης v δεν μπορεί να προσδιοριστεί. Για τον προσδιορισμό των σταθερών ολοκλήρωσης A, B, C, D στην περίπτωση Euler\ (εικ. 2) είναι διαθέσιμες οι ακόλουθες συνθήκες περιγράμματος: Λόγω του αρθρωτού στηρίγματος, η ροπή κάμψης είναι μηδέν και στα δύο άκρα της ράβδου, δηλ.
v=0 και M=0 για z=0
v=0 και M=0 για z=s.
Λόγω του M=-EI_∙__v’‘_, προκύπτει ότι M=0 είναι η τιμή του v’’=0, επομένως οι τέσσερις συνθήκες περιγράμματος διαβάζουν:
v=0 και v’’=0 για z=0
v=0 και v’’=0 για z=s.
Η λύση (2) καταλήγει λοιπόν σε τέσσερις γραμμικές εξισώσεις:
Ενας.3
Αυτές οι τέσσερις ομοιογενείς εξισώσεις έχουν την πρώτη λεγόμενη τετριμμένη λύση A=B=C=D=0, η οποία αντιστοιχεί σε v(z)=0. Η μη λυγισμένη ράβδος v_(z_)=0 είναι η συνήθης θέση ισορροπίας για αυθαίρετες, ιδιαίτερα μικρές τιμές φορτίου P. Εδώ, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως οι συνθήκες κάτω από τις οποίες κάμπτεται η ράβδος, δηλαδή ότι v(z)≠0. Οι εξισώσεις (3) δεν έχουν τόσο τετριμμένη λύση με A, B, C, D ≠ 0 μόνο αν η ορίζουσα του συντελεστή είναι ίση με μηδέν.
Ενας. 3a
Από τις συνθήκες λυγισμού Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog για τον υπολογισμό των κρίσιμων τιμών PK του φορτίου. Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται μόνο αν sin αs =0, δηλαδή για αKms = mπ με m=1,2,3,… Οι αντίστοιχες τιμές της δύναμης λυγισμού του Euler\ είναι PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Για κάθε τιμή του m, προκύπτει μια ορισμένη δύναμη λυγισμού. Στις περισσότερες περιπτώσεις, μόνο η μικρότερη από αυτές τις δυνάμεις ενδιαφέρει και αυτό
PK1=EI(π/s)2.
Στην ακόλουθη έκδοση, θα υπάρχει ένας δείκτης m, ή 1 που συνήθως παραλείπεται, που αναφέρεται στο χαμηλότερο από τα κρίσιμα φορτία. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η αντίστοιχη ελαστική γραμμή. Από μία (2) λαμβάνονται σταθερές B=C=D=0. Η υπόλοιπη συνθήκη είναι A∙sin__αs=0. Η ελαστική γραμμή λυγισμού για την παραπάνω περίπτωση m=1 είναι, επομένως, v(z) = A_∙sinπz/s_, όπου v(z) είναι για αK αντιστοιχ. PK αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση. Το μέγεθος του A παραμένει απροσδιόριστο.
Ας ρίξουμε μια άλλη ματιά σε ολόκληρη την περιοχή φόρτωσης. Για αυθαίρετες τιμές του P, ειδικά για τις δυνάμεις P_<_PK1 είναι v(z)=0, η ράβδος παραμένει ευθεία.
Στην κλασική θεωρία της ευστάθειας, υπό «σταδιακά αυξανόμενο» φορτίο P εννοείται μια διαδοχική σειρά τιμών P, όπου η σταθερότητα της παρατηρούμενης περίπτωσης φορτίου θα ελέγχεται ξανά και ξανά για κάθε επιμέρους επίπεδο φορτίου P. Κατά τη διάρκεια της δοκιμής σταθερότητας, το μέγεθος του P παραμένει σίγουρα αμετάβλητο. Εάν μια κατάσταση P προσδιορίζεται ως σταθερή, τότε το φορτίο αυξάνεται κατά κάτι, και επομένως η δοκιμή ευστάθειας επαναλαμβάνεται. Αυτός ο ακριβής προσδιορισμός είναι απαραίτητος ώστε να μην υπάρχει σύγχυση με τον τύπο του φορτίου, που είναι η βάση για το φαινόμενο Shanley, στο οποίο υπάρχει αύξηση του φορτίου ενώ δρουν ταυτόχρονα μικρές διαταραχές. Κατά την εξέταση της ευστάθειας σύμφωνα με το Shanley, στην περιοχή του πλαστικού λυγισμού, εμφανίζεται μια μικρότερη δύναμη διακλάδωσης σε σχέση με την κλασική μέθοδο εξέτασης.
Οι παρακάτω εκτιμήσεις προϋποθέτουν τον πρώτο τρόπο αύξησης του φορτίου: Με μια σταδιακή αύξηση του φορτίου P με αυτή την έννοια, φθάνει κανείς για PK1=EI_∙(π/s)_2 πρώτα σε ένα σημείο διακλάδωσης της γραμμής του ελαστικού, που ισούται με την ελαστική ευθεία. γραμμή
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A υποδηλώνει το απροσδιόριστο πλάτος της ελαστικής γραμμής. Για φορτία _P*__>_PK1 είναι σύμφωνα με τη γραμμικοποιημένη θεωρία Δ≠0, δηλαδή η ισορροπία δεν είναι δυνατή εκεί. Μόνο για υψηλότερες δυνάμεις λυγισμού PK2 κ.λπ. θα είναι πάλι Δ=0 και επομένως επίσης v(z)≠0. Η αιτία αυτού του θεωρητικού συμπεράσματος, που δεν ταιριάζει με την πραγματική συμπεριφορά, έγκειται στη γραμμικοποίηση της διαφορικής εξίσωσης.
Λυγισμός συμπιεσμένων ράβδων που αποτελούνται από δύο μέρη
Περιοριζόμαστε σε πρεσαριστές ράβδους δύο μερών και για πρεσαριστές ράβδους που αποτελούνται από τρία ή περισσότερα μέρη, ισχύουν παρόμοιες αναλογίες.
Sl.3
Ανάλογα με τον τύπο της εγκάρσιας σύνδεσης, οι ράβδοι πλέγματος διαφέρουν (εικ.3α) και ράβδοι πλαισίου (εικ.3μι). Χωρίς σταυρωτά δεσίματα, κάθε μέρος του ραβδιού θα λύγιζε μόνο του (εικ.3σι). Εάν το γέμισμα είναι σχετικά αδύναμο, τότε μια ράβδος μονής ζώνης μπορεί να λυγίσει χωρίς να λυγίσει τη ράβδο ως σύνολο. Για τη ράβδο πλέγματος σχ.3Το c μπορεί να συγκριθεί: αριστερά για αρθρωτό σύστημα, δεξιά για συνεχείς ιμάντες. και για τη ράβδο πλαισίου εικ.3f στα αριστερά για μαλακά φύλλα σύνδεσης, στα δεξιά για άκαμπτα φύλλα σύνδεσης. Από εκεί φαίνεται ότι η λεπτότητα λ_ έχει μεγάλη επιρροή1__=s1/εγώ1_. Για το μεμονωμένο μέρος της ράβδου, τοποθετήθηκα1=F1_∙_i12, s1 είναι η απόσταση πεδίων (εικ.3), i1 αναφέρεται στον άξονα1-1(βλ. Εικ.4).
Sl.4
Η δύναμη λυγισμού των σύνθετων ράβδων που αντιστοιχεί στις ελαστικές γραμμές λυγισμού του σχ.3δ, ή3ζ αποτέλεσε αντικείμενο εξαντλητικών θεωρητικών ερευνών. Εάν η ράβδος αποτελείται από μοναδικά τμήματα (π.χ. με ένα νεύρο) ή εάν οι εγκάρσιες συνδέσεις ήταν τόσο συχνές ώστε μια ράβδος που λυγίζει από δύο μέρη δεν διαφέρει ως προς την επίδρασή της από μια ράβδο, τότε θα ήταν σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Εκεί δηλώνει λ__y=sK/iy (Εικ.4). Ωστόσο, αυτή η τάση λυγισμού δεν θα επιτευχθεί πλήρως στην πράξη, επειδή δεν υπάρχουν αρκετές εγκάρσιες συνδέσεις για αυτό, και είναι επίσης ελαστικές. Μια προσέγγιση που ικανοποιεί στις περισσότερες περιπτώσεις προκύπτει αν βάλουμε σύμφωνα με την πρόταση F. Engesser\a ότι η τάση κάμψης μιας πιεσμένης ράβδου που αποτελείται από δύο μέρη είναι ίση
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
Το λύι είναι η λεγόμενη ιδανική λυγεία.
Οι εγκάρσιοι δεσμοί πρέπει να είναι επαρκείς σε αριθμό και αρκετά δυνατοί ώστε να αναγκάζουν και τα δύο μέρη της ράβδου να ενεργούν μαζί. Εξαιρουμένων των δευτερευουσών τάσεων, οι εγκάρσιοι σύνδεσμοι παραμένουν άτονοι όσο η ράβδος παραμένει ευθεία. Μόνο με την κάμψη πρέπει να δέχονται δυνάμεις και πρέπει να μεταδίδουν εγκάρσιες δυνάμεις που αυξάνονται με την κάμψη. Σε περίπτωση που πρόκειται για ελαστική γραμμή
εγκάρσια δύναμη στο I=στ. είναι ίσο
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Με το σχ. Το 5 m μπορεί να διαβαστεί αμέσως Q(z)=PK∙v’(z). Η υψηλότερη τιμή στο άκρο της ράβδου είναι
Sl.5
Οι εγκάρσιες συνδέσεις πρέπει να μπορούν να δεχτούν αυτή την εγκάρσια δύναμη. Εφόσον το αντίστοιχο φορτίο είναι η δύναμη λυγισμού PK, αρκεί να επιτευχθεί το φέρον όριο και για αυτό στις εγκάρσιες συνδέσεις - δηλαδή ταυτόχρονα με ολόκληρη τη ράβδο. Προφανώς, δεν θα ήταν χρήσιμο εάν οι διασταυρούμενες συνδέσεις είχαν μέγεθος πολύ μεγαλύτερο από αυτό που απαιτείται για τη λήψη Q0. Από την άλλη πλευρά, οι διασταυρώσεις που είναι πολύ αδύναμες θα προκαλούσαν πρόωρη αστοχία της ράβδου.
Η παραπάνω εξίσωση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αρχικά επειδή το μέγεθος του βέλους λυγισμού είναι άγνωστο. Η ράβδος βρίσκεται σε αδιάφορη ισορροπία υπό PK και μπορεί, τουλάχιστον στον πρώτο βαθμό προσέγγισης, να πάρει μια αυθαίρετη τιμή. Χρήσιμο λοιπόν, σύμφωνα με την πρόταση του Φ. Krohn-a, για να προσδιοριστεί το μέγεθος εκείνου του λυγισμού maxv στο οποίο η λυγισμένη ράβδος χάνει τη φέρουσα ικανότητα της λόγω αστοχίας λόγω κάμψης. Αυτό θα συμβεί σίγουρα εάν επιτευχθεί το σημείο υποχώρησης στην κοίλη πλευρά της καμπής (Εικ.6). Οι στροφές για αυτό μεγαλώνουν περαιτέρω και οι αντίστοιχες ροπές κάμψης δεν μπορούν να εφαρμοστούν.
Εικ. 6
Η συνολική τάση στην κοίλη πλευρά της καμπής είναι σύμφωνα με το σχ.6για ιδανικό πλαστικό υλικό
Από εκεί έρχεται η μεγαλύτερη κωμωδία που μπορεί ακόμα να αντέξει
maxQ0 είναι η αντίστοιχη εγκάρσια δύναμη στο άκρο της ράβδου.
Εάν χρησιμοποιείται για τη φόρμα σK Tetmeier\ και βάλτε σF=3,1t/cm2και sK=e/2∙ λy που αντιστοιχεί σε iy≈e/2, τότε λαμβάνεται η κατά προσέγγιση τιμή _maxQ του Krohn_0=F/28(Q σε t, F σε cm2).
Για αυθαίρετες γραμμές επιτυγχάνεται η τάση λυγισμού
maxQ0=μK∙SK.
Ο συντελεστής μΚ αλλάζει με την λεπτότητα της ράβδου, εξαρτάται και από το υλικό. Όταν η παραπάνω εξίσωση διαιρεθεί με τον συντελεστή ασφάλειας έναντι λυγισμού μπορεί να γραφτεί
dozv__Q=μ∙dozvS.
Λυγισμός γραμμικών συστημάτων
Στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων, είναι κοινός ο προσδιορισμός του μήκους κάμψης sK=β∙h μιας ράβδου που είναι αρθρωμένη και στα δύο άκρα και της οποίας η δύναμη κάμψης είναι PK=π για σύγκριση2EI/s2Κ εξίσου μεγάλο. Ένα συγκριτικό “μήκος λυγισμού” θα δοθεί για τα παρακάτω παραδείγματα.
α) Ράβδος συσφιγμένη και στα δύο άκρα (EI=const.)
Sl.7
Για την περίπτωση του σχ.7του λυγισμού είναι PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, συγκριτικό “μήκος λυγισμού” sK=h/2και η ελαστική γραμμή λυγισμού v(z)=D(1- cos2πz/h).
β) Χωρίς ράβδο στο ένα άκρο (εικ.8)
Sl. 8
Υποτίθεται ότι η κατεύθυνση του P δεν αλλάζει καθώς η ράβδος κάμπτεται. Στη συνέχεια (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2η).
Οι συνθήκες περιγράμματος για το ελεύθερο άκρο z=h διαβάστε εδώ
M=0 ή v’’=0
Q=M’-Pv’=0 ή v’’’+a2∙v’=0.
γ) Ράβδος σφιγμένη στο ένα άκρο (εικ. 9)
Sl.9
Με συνθήκες περιγράμματος
v=0 και v’=0 για z=0
v=0 και v’’=0 για z=h
λαμβάνεται για EI=const. κατάσταση λυγισμού
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ή ισοδύναμο
tgαh=αh. (4)
Οι ρίζες αυτής της υπερβατικής εξίσωσης βρίσκονται στους πίνακες Κ. Hayashi’s. Η χαμηλότερη δύναμη λυγισμού είναι σύμφωνα με τους πίνακες PK1=4,49342/ h2∙ ΕΙ =2,046π2EI/h2.
Το συγκριτικό μήκος λυγισμού είναι sK = h / √2,046=0,699h.
δ) Μια ράβδος σφιγμένη στο ένα άκρο με ανωμαλία (εικ.10)
Εικ. 10
Θα εξετάσουμε την περίπτωση μετατόπισης αιχμής σταθερού μεγέθους. Οι συνθήκες περιγράμματος για αυτό είναι
v=0και v’=0 για z=0,
v=v1και v’’=0 για z=h.
Είναι ένα πρόβλημα ισορροπίας με ελαστική γραμμή
Ο παρονομαστής του όρου πριν από τις αγκύλες {} θα είναι μηδέν και ο λυγισμός αυξάνεται πάνω από όλα τα όρια εάν P→PK (βλ. συνθήκη λυγισμού Εξ.4)). Χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς της ράβδου είναι ότι οι στροφές στο μεσαίο και κάτω άκρο της ράβδου είναι αρχικά μικρότερες με αυξανόμενο φορτίο P και αλλάζουν το πρόσημά τους μόνο για μεγαλύτερα φορτία. Sl.10δείχνει κάμψεις στο μισό ύψος.
ε) Συνεχές ραβδί σε δύο πεδία
Sl.11
Και για τις δύο περιοχές λύσης (εικ.11) θα εφαρμόσουμε τη ρύθμιση
Και_. v(z1) = Α1∙synαz1+ Β1∙cosαz1+ Γ1∙z1+ Δ1,_
II. v(z2) = Α2∙synαz2+ Β2∙cosαz2+ Γ2∙z2+ Δ2.
Για απλότητα ας είναι (EI)1=(EI)2=EI. Για να βρείτε τις οκτώ σταθερές Α1, …, Α2, … χρησιμεύουν ως συνθήκες περιγράμματος
v=0 και v’=0 για z1=0,
v=0 και v’’=0 για z2=h,
καθώς και μεταβατικές συνθήκες μεταξύ των περιοχών I και II
v=0 για z1=h και για z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Οι εξισώσεις υπό όρους δίνονται στον παρακάτω πίνακα
Ορίζοντας ότι η ορίζουσα του συντελεστή είναι ίση με μηδέν, προκύπτει η συνθήκη λυγισμού
Μήκος κάμψης sK=0,878_h_, ενώ για το σχ. 35 ή β=0,699. Η δύναμη λυγισμού έχει μειωθεί σε σύγκριση με το 2,046 : 1,297 λόγω της προσθήκης ενός δεύτερου πεδίου που είναι αρθρωτό. Εάν το άλλο πεδίο ήταν τσιμπημένο ψηλότερα, τότε η δύναμη λυγισμού θα αυξανόταν ξανά στην κορυφή. 2,04 PE.
Αυτή η ιστορική παρουσίαση των τύπων δεν είναι έργο ή απόδειξη της σταθερότητας της δομής. Οι κλασικές παραδοχές του ιδανικού ευθύγραμμου μέλους, του κεντρικού φορτίου και της ελαστικής περιοχής δεν περιλαμβάνουν απαραίτητα αρχικές ατέλειες, παραμένουσες τάσεις, εκκεντρότητα, ακαμψία σύνδεσης, μη γραμμικότητα υλικού, πλευρική ευστάθεια ούτε, κατά περίπτωση, φωτιά, σεισμική δράση και φάσεις συναρμολόγησης. Ο υπολογισμός της πραγματικής κατασκευής πρέπει να γίνει από εξουσιοδοτημένο πολιτικό μηχανικό σύμφωνα με ισχύοντες κανονισμούς και πρότυπα.