Buigknik

Vandaag richt Savo Kusić zich op houten ramen, hout-aluminium ramen, op maat gemaakte ramen, deuren en offerteaanvragen. Deze tekst blijft een archief van structurele theorie en is geen aanbod voor statisch ontwerp, stabiliteitsberekeningen of structurele rehabilitatie.

Knikdifferentiaalvergelijking bij buigen

Er wordt aangenomen dat aan alle idealiseringen is voldaan, vooral

• dat de staaf perfect recht is
• dat de belasting P in de schacht van de stang werkt
• dat de spanningen onder de evenredigheidsgrens blijven
• dat de vervormingen klein genoeg zijn om de gebruikelijke vereenvoudigingen van berekeningen mogelijk te maken.

Als de staaf buigt onder invloed van de kracht P en misschien ook als gevolg van de belasting q die in de dwarsrichting werkt, dan moet aan de bekende evenwichtsvoorwaarden tussen de externe belastingen en de krachten in de sectie worden voldaan. Afgezien daarvan is het vanzelfsprekend dat er bekende relaties zijn tussen vervormingen en krachten in de doorsnede.

Afb. 1 - Saldo

In afb. 1 is een gebogen staafelement met lengte ds. De helling van de raaklijn v’ is klein, zodat tot in de tweede orde de lengte van het element gelijk kan worden gesteld aan de projectie ds=dz. Bovendien wordt bij de hieronder genoemde tests geen rekening gehouden met gevallen waarin P voortdurend verandert langs de as van de staaf, d.w.z. normaalkracht N≈P=const. In de drie evenwichtsomstandigheden die voor het element beschikbaar zijn, kan een bepaald aantal leden dan worden verwaarloosd. Voor markeringen en borden vanaf afb. 10 blijf dan in de eerste benadering van de vergelijking

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

De dwarskracht kan worden geëlimineerd, en dan geldt M’‘=Pv’’-q. De wet van Bernoulli_'s M=-EI/R levert de ontbrekende vergelijking. De curve van de as van de staaf wordt, zoals gebruikelijk, uit de theorie van het buigen van de balk als volgt vereenvoudigd

Het is dus mogelijk om het buigmoment te elimineren; en met M=-EI*v’’ wordt de differentiaalvergelijking voor de gebogen staaf

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

In het speciale geval van constante buigstijfheid EI=const. de vergelijking (1) is vereenvoudigd, dus het is

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Vgl. (1) en (1a) zijn lineair in v volgens de genoemde vereenvoudigingen.

Praktisch gezien is het eenvoudigste geval van constante buigstijfheid EI=const. is bijzonder belangrijk en dient als basis voor de onderstaande voorbeelden.

Euler’s zaak

De aannames voor het klassieke geval van knik zijn, afgezien van de genoemde idealiseringen: p=0, dus N=const.=P, evenals constante stijfheid zonder wrijving, die precies op de as van de staaf liggen. De gewone differentiaalvergelijking (1a) is van de vierde orde, lineair en homogeen vanwege q=0. De algemene oplossing is:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

waarbij A, B, C, D de vier integratieconstanten zijn. De parameter heeft een eindige grootte vanwege de aanname EI≠0. Verder α≠0 voor P>0.

Afb. 2

Omdat de lineaire differentiaalvergelijking (1a) homogeen is, wordt dit probleem ook opgelost door n_∙__v(z)_, waarbij n een willekeurige constante is. Reeds uit de wiskundige classificatie van de differentiaalvergelijking (1a) blijkt dat de grootte van de buiging v niet kan worden bepaald. Om de integratieconstanten A, B, C, D in het geval Euler\ (fig. 2) te bepalen, zijn de volgende contourvoorwaarden beschikbaar: Vanwege de gelede ondersteuning is het buigmoment nul aan beide uiteinden van de staaf, d.w.z.

v=0 en M=0 voor z=0

v=0 en M=0 voor z=s.

Vanwege M=-EI_∙_v’‘ volgt hieruit dat M=0 de waarde is van v’’=0, dus luiden de vier contourvoorwaarden:

v=0 en v’’=0 voor z=0

v=0 en v’’=0 voor z=s.

De oplossing (2) resulteert dus in vier lineaire vergelijkingen:

Vgl. 3

Deze vier homogene vergelijkingen hebben de eerste zogenaamde triviale oplossing A=B=C=D=0, wat overeenkomt met v(z)=0. De ongebogen staaf v_(z_)=0 is de gebruikelijke evenwichtspositie voor willekeurige, vooral kleine waarden van belasting P. Hier zijn we vooral geïnteresseerd in de omstandigheden waaronder de staaf buigt, dat wil zeggen dat v(z)≠0. De vergelijkingen (3) hebben alleen niet zo’n triviale oplossing met A, B, C, D ≠ 0 als de determinant van de coëfficiënt gelijk is aan nul.

Een. 3a

Ga uit de knikomstandigheden Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mnaar de kritische waarden PK van de lading berekenen. Aan deze vergelijking wordt alleen voldaan als sin αs = 0, d.w.z. voor αKms = mπ met m=1,2,3,… De overeenkomstige waarden van de knikkracht van Euler zijn PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Voor elke waarde van m wordt een bepaalde knikkracht verkregen. In de meeste gevallen is alleen de kleinste van deze krachten van belang, en dat ook

PK1=EI(π/s)2.

In de volgende versie zal er een index m zijn, of 1 meestal weggelaten, verwijzend naar de laagste van de kritische belastingen. Van belang is de overeenkomstige elastische lijn. Uit één (2) worden constanten B=C=D=0 verkregen. De resterende voorwaarde is A∙sin__αs=0. De elastische kniklijn voor het bovenstaande geval m=1 is daarom v(z) = A_∙sinπz/s_, waarbij v(z) is voor αK resp. PK corresponderende eigenfunctie. De omvang van A blijft onbepaald.

Laten we nog eens naar de hele laadruimte kijken. Voor willekeurige waarden van P, vooral voor krachten P_<_PK1 is v(z)=0, blijft de staaf recht.

In de klassieke stabiliteitstheorie wordt onder “geleidelijk toenemende” belasting P een opeenvolgende reeks waarden P bedoeld, waarbij de stabiliteit van het waargenomen belastingsgeval keer op keer zal worden getest voor elk individueel belastingsniveau P. Tijdens de stabiliteitstest blijft de grootte van P zeker ongewijzigd. Als wordt vastgesteld dat één toestand P stabiel is, wordt de belasting met iets verhoogd en daarom wordt de stabiliteitstest herhaald. Deze nauwkeurige bepaling is nodig zodat er geen verwarring ontstaat met het type belasting, dat de basis vormt voor het Shanley-effect, waarbij er sprake is van een toename van de belasting terwijl er tegelijkertijd kleine verstoringen optreden. Bij het onderzoeken van de stabiliteit volgens Shanley\ treedt op het gebied van plastische knik een kleinere bifurcatiekracht op dan bij de klassieke beoordelingsmethode.

De volgende overwegingen gaan uit van de eerste manier van belastingstoename: Bij een geleidelijke toename van de belasting P in deze zin komt men voor PK1=EI_∙(π/s)_2 eerst op één splitsingspunt van het elastische evenwicht, met een eenvoudige sinuslijn als de elastische kniklijn

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A geeft de onbepaalde amplitude van de elastische lijn aan. Voor belastingen _P*__>_PK1 is volgens de gelineariseerde theorie Δ≠0, d.w.z. daar is evenwicht niet mogelijk. Alleen bij hogere knikkrachten PK2 etc. wordt het weer Δ=0 ​​​​en dus ook v(z)≠0. De oorzaak van deze theoretische conclusie, die niet overeenkomt met het daadwerkelijke gedrag, ligt in de linearisatie van de differentiaalvergelijking.

Knik van geperste staven bestaande uit twee delen

Wij beperken ons tot tweedelige geperste stokken, en voor geperste stokken bestaande uit drie of meer delen gelden vergelijkbare verhoudingen.

Afb. 3

Afhankelijk van het type dwarsverbinding worden traliestaven (fig. 3a) en framestaven (fig. 3e) onderscheiden. Zonder dwarsverbindingen zou elk deel van de stok vanzelf buigen (fig. 3b). Als de vulling relatief zwak is, kan een enkele riemstang buigen zonder de stang als geheel te buigen. Voor de traliestaaf fig. 3c kan worden vergeleken: links voor scharnierend systeem, rechts voor doorlopende banden; en voor de framestang fig. 3f links voor zachte verbindingsplaten, rechts voor stijve verbindingsplaten. Van daaruit is te zien dat de slankheid λ__1_=s1/i1_ van grote invloed is. Voor het individuele deel van de staaf is I1=F1_∙_i12 ingesteld, s1 is de veldafstand (fig. 3), i1 verwijst naar de as 1-1 (zie afb. 4).

Fig. 4

De knikkracht van samengestelde staven die overeenkomt met de elastische kniklijnen van Fig. 3d, of 3g was het onderwerp van uitgebreid theoretisch onderzoek. Als de staaf uit unieke delen bestond (bijvoorbeeld met een ribbe) of als de dwarsverbindingen zo frequent waren dat een uit twee delen gebogen staaf qua effect niet verschilt van een enkele staaf, dan zou het σ__K_=_π__2__E/λ__y__2 zijn. Daar duidt het λ__y=sK/iy aan (fig. 4). Deze knikspanning zal in de praktijk echter niet volledig worden bereikt, omdat daarvoor niet voldoende dwarsverbindingen zijn en deze bovendien elastisch zijn. Een benadering die in de meeste gevallen voldoet, wordt verkregen als we volgens het voorstel F stellen. Engesser\a dat de buigspanning van een geperste staaf bestaande uit twee delen gelijk is

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi is de zogenaamde ideale slankheid.

Dwarsverbindingen moeten voldoende in aantal zijn en sterk genoeg om beide delen van de staaf te dwingen samen te werken. Met uitzondering van secundaire spanningen blijven de dwarsschakels ongespannen zolang de staaf recht blijft. Alleen bij het buigen moeten ze krachten opvangen, en ze moeten dwarskrachten overbrengen die toenemen bij het buigen. Als het een elastische lijn is

dwarskracht bij I=const. is gelijk

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

Met afb. 5 m kan onmiddellijk worden gelezen Q(z)=PK∙v’(z). De hoogste waarde aan het einde van de staaf is

Afb. 5

De dwarsverbindingen moeten deze dwarskracht kunnen opvangen. Omdat de overeenkomstige belasting de knikkracht PK is, is het voldoende als de draagkrachtgrens hiervoor ook in de dwarsverbindingen - dus gelijktijdig met de gehele staaf - wordt bereikt. Het is duidelijk dat er geen voordeel zou zijn als de verknopingen veel sterker zouden worden gedimensioneerd dan nodig was om Q0 te ontvangen. Aan de andere kant zouden te zwakke verknopingen ervoor zorgen dat de staaf voortijdig faalt.

De bovenstaande vergelijking kan niet vanaf het begin worden gebruikt omdat de grootte van de knikpijl onbekend is. De staaf bevindt zich onder PK in een onverschillig evenwicht en kan, althans in de eerste graad van benadering, een willekeurige waarde aannemen. Het is daarom nuttig, volgens het voorstel van F. Krohn-a, om de grootte van de knik maxv te bepalen waarbij de gebogen staaf zijn draagvermogen verliest als gevolg van falen als gevolg van buiging. Dit zal zeker gebeuren als het vloeipunt aan de concave zijde van de bocht wordt bereikt (fig. 6). Het buigen hiervoor groeit verder en overeenkomstige buigmomenten kunnen niet worden toegepast.

Afb. 6

De totale spanning op de concave zijde van de bocht is volgens Fig. 6 voor ideaal kunststofmateriaal

Van daaruit komt de grootste buiging die nog kan worden verdragen

maxQ0 is de overeenkomstige dwarskracht aan het uiteinde van de staaf.

Indien gebruikt voor de vorm van σK Tetmaier\ en plaats σF=3,1 t/cm2 en sK=e/2 ∙ λy overeenkomend met iy≈e/2, dan worden Krohn's verkregen bij benadering de waarde maxQ0=F/28 (Q in t, F in cm2).

Voor willekeurige knikspanningslijnen krijgen we

maxQ0=μK∙SK.

De coëfficiënt μK verandert met de slankheid van de staaf en is ook afhankelijk van het materiaal. Wanneer de bovenstaande vergelijking wordt gedeeld door de veiligheidscoëfficiënt tegen knikken, kan deze worden geschreven als

dozv__Q=μ∙dozvS.

Kniklijnsystemen

In lineaire systemen is het gebruikelijk om ter vergelijking de buiglengte sK=β∙h te bepalen van een staaf die aan beide uiteinden scharniert en waarvan de buigkracht PK=π2EI/s2K even groot is. Voor de onderstaande voorbeelden wordt een vergelijkende “kniklengte” gegeven.

a) Stang aan beide uiteinden geklemd (EI=const.)

Afb. 7

Voor het geval van afb. 7 knik is PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, de vergelijkende “kniklengte” sK=h/2 en de elastische kniklijn v(z)=D(1-cos2πz/h).

b) Stang vrij aan één uiteinde (fig. 8)

Sl. 8

Er wordt aangenomen dat de richting van P niet verandert als de staaf buigt. Dan (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

De contourvoorwaarden voor het vrije uiteinde z=h lees hier

M=0 of v’’=0

Q=M’-Pv’=0 of v’’’+a2∙v’=0.

c) Stang aan één uiteinde vastgeklemd (fig. 9)

Afb. 9

Met contourvoorwaarden

v=0 en v’=0 voor z=0

v=0 en v’’=0 voor z=h

wordt verkregen voor EI=const. knikconditie

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

of gelijkwaardig

tgαh=αh.   (4)

De wortels van deze transcendentale vergelijking zijn te vinden in tabellen K. Hayashi's. De laagste knikkracht is volgens de tabellen PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.

Vergelijkende kniklengte is sK = h / √2,046 = 0,699h.

d) Staaf geknepen aan één uiteinde met een stoornis (fig. 10)

Afb. 10

We zullen het geval observeren van een tipverplaatsing van constante grootte. De contourvoorwaarden daarvoor zijn

v=0 en v’=0 voor z=0,

v=v1 en v’’=0 voor z=h.

Het is een evenwichtsprobleem met een elastische lijn

De noemer van de term vóór de {}-haakjes zal nul zijn en de knik neemt toe boven alle grenzen als P→PK (zie knikvoorwaarde Eq. (4)). Kenmerkend voor het gedrag van de staaf is dat de bochten in het midden en het onderste uiteinde van de staaf aanvankelijk kleiner worden bij toenemende belasting P en pas bij hogere belastingen van teken veranderen. Sl. 10 toont bochten op halve hoogte.

e) Doorlopende stick over twee velden

Afb. 11

Voor beide oplossingsgebieden (fig. 11) passen we de instelling

I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_

II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.

Voor de vereenvoudiging: (EI)1=(EI)2=EI. Om de acht constanten A1, …, A2, … te vinden, worden de contourvoorwaarden

v=0 en v’=0 voor z1=0,

v=0 en v’’=0 voor z2=h,

evenals overgangsvoorwaarden tussen gebieden I en II

v=0 voor z1=h en voor z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

Conditionele vergelijkingen worden gegeven in de onderstaande tabel

Instelling dat de determinant van de coëfficiënt gelijk is aan nul, wordt de knikvoorwaarde verkregen

Buiglengte sK=0,878_h_, terwijl voor fig. 35 of β=0,699. De knikkracht is afgenomen vergeleken met 2,046 : 1,297 door de toevoeging van een tweede veld dat scharnierend is. Als het andere veld hoger zou worden geknepen, zou de knikkracht weer toenemen tot de piek. 2,04 PE.

Deze historische presentatie van de formules is geen project of bewijs van de stabiliteit van de constructie. De klassieke aannames van het ideale rechte element, de centrische belasting en het elastische gebied omvatten niet noodzakelijkerwijs initiële onvolkomenheden, restspanningen, excentriciteit, verbindingsstijfheid, niet-lineariteit van het materiaal, laterale stabiliteit noch, indien van toepassing, brand-, seismische actie- en montagefasen. De berekening van de werkelijke constructie moet worden uitgevoerd door een bevoegde burgerlijk ingenieur volgens de geldende voorschriften en normen.