موڑنے والی بکلنگ

متعلقہ معلومات: آپ کے منصوبے کے مطابق لکڑی کی کھڑکیاں بنائی گئی ہیں۔ · میڈ ٹو آرڈر لکڑی کی ایلومینیم کھڑکیاں۔ · گھروں، منصوبوں اور برآمدات کے لیے حسب ضرورت ونڈوز۔ · میڈ ٹو آرڈر لکڑی کے اور ایلومینیم کے دروازے۔ · اقتباس کے لیے درخواست بھیجیں۔

موڑنے والی بکلنگ کی تفریق مساوات

یہ فرض کیا جاتا ہے کہ تمام آئیڈیلائزیشنز مطمئن ہیں، خاص طور پر

• کہ چھڑی بالکل سیدھی ہے۔
• کہ بوجھ P چھڑی کے شافٹ میں کام کرتا ہے۔
• کہ وولٹیج تناسب کی حد سے نیچے رہتے ہیں۔
• کہ اختراعات اتنی چھوٹی ہیں کہ حساب کی معمول کی آسانیاں ممکن ہو سکیں۔

اگر چھڑی قوت P کے عمل کے تحت جھکتی ہے اور شاید بوجھ q کی وجہ سے بھی ٹرانسورس سمت میں کام کرتی ہے، تو بیرونی بوجھ اور سیکشن میں موجود قوتوں کے درمیان توازن کی معلوم شرائط کو پورا کرنا ضروری ہے۔ اس کے علاوہ، یہ فطری بات ہے کہ سیکشن میں خرابی اور قوتوں کے درمیان معلوم تعلق ہونا چاہیے۔

تصویر۔ 1 - بیلنس

انجیر میں۔1لمبائی ds کی ایک جھکی ہوئی چھڑی کا عنصر پیش کیا گیا ہے۔ v’ ٹینجنٹ کی ڈھلوان چھوٹی ہے تاکہ دوسری ترتیب تک، عنصر کی لمبائی پروجیکشن ds=dz کے برابر ہو سکے۔ اس کے علاوہ، ذیل میں بیان کردہ ٹیسٹوں میں، ایسے معاملات جن میں P چھڑی کے محور کے ساتھ مسلسل تبدیل ہوتے رہتے ہیں، کو مدنظر نہیں رکھا جائے گا، یعنی عام قوت N≈P=const۔ عنصر کے لیے دستیاب تین توازن کی شرائط میں، اراکین کی ایک مخصوص تعداد کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ انجیر سے نشانات اور نشانات کے لیے۔10پھر مساوات کے پہلے قربت میں رہیں

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

ٹرانسورس فورس کو ختم کیا جا سکتا ہے، اور پھر M’‘=Pv’’-q رکھتا ہے۔ برنولی کا قانون M=-EI/R غائب مساوات فراہم کرتا ہے۔ چھڑی کے محور کا وکر، معمول کے مطابق، بیم موڑنے کے نظریہ سے، اس طرح آسان بنایا گیا ہے

اس طرح موڑنے والے لمحے کو ختم کرنا ممکن ہے۔ اور M=-EI*v’’ کے ساتھ مڑی ہوئی راڈ

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q۔   (1)

مسلسل موڑنے والی سختی کی خصوصی صورت میں EI=const۔ مساوات (1) آسان ہے، لہذا یہ

EIv’‘’’ + Pv’’ = q۔   (1a)

Eq۔ (1) اور (1a) مذکور آسانیوں کے مطابق v میں لکیری ہیں۔

عملی طور پر، مسلسل موڑنے والی سختی کا آسان ترین کیس EI=const۔ خاص طور پر اہم ہے، جو ذیل کی مثالوں کی بنیاد کے طور پر کام کرتا ہے۔

Euler’s case

بکلنگ کے کلاسیکی کیس کے لیے مفروضے، ذکر کردہ آئیڈیلائزیشن کے علاوہ ہیں: p=0، تو N=const.=P، نیز بغیر رگڑ کے مستقل سختی، جو بالکل چھڑی کے محور پر ہوتی ہے۔ عام تفریق مساوات (1a) q=0 کی وجہ سے چوتھی ترتیب، لکیری اور یکساں ہے۔ عمومی حل یہ ہے:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

جہاں A, B, C, D چار انضمام مستقل ہیں۔ EI≠0 مفروضے کی وجہ سے پیرامیٹر محدود سائز کا ہے۔ مزید برآں، α≠0 برائے P>0.

نمبر2

چونکہ لکیری تفریق مساوات (1a) یکساں ہے، اس لیے یہ مسئلہ بھی n_∙_v(z) سے حل ہوتا ہے، جہاں n ایک صوابدیدی مستقل ہے۔ پہلے سے ہی تفریق مساوات (1a) کی ریاضیاتی درجہ بندی سے یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ موڑنے v کی شدت کا تعین نہیں کیا جا سکتا۔ Euler\ کیس (تصویر 2) میں انضمام مستقل A, B, C, D کا تعین کرنے کے لیے درج ذیل کنٹور حالات دستیاب ہیں: واضح سپورٹ کی وجہ سے، موڑنے کا لمحہ چھڑی کے دونوں سروں پر صفر ہے، یعنی

v=0 اور M=0 برائے z=0

v=0 اور M=0 برائے z=s۔

M=-EI_∙_v’‘ کی وجہ سے، یہ مندرجہ ذیل ہے کہ M=0 v’’=0 کی قدر ہے، لہذا چار سموچ کی شرائط پڑھیں:

v=0 اور v’=0 برائے z=0

v=0 اور v’=0 برائے z=s۔

اس طرح حل (2) کے نتیجے میں چار لکیری مساواتیں نکلتی ہیں:

ایک۔3

ان چار یکساں مساواتوں میں پہلا نام نہاد معمولی حل ہے A=B=C=D=0، جو v(z)=0 کے مساوی ہے۔ غیر جھکا ہوا راڈ v_(z_)=0 صوابدیدی، خاص طور پر بوجھ P کی چھوٹی قدروں کے لیے معمول کی توازن کی پوزیشن ہے۔ یہاں، ہم بنیادی طور پر ان حالات میں دلچسپی رکھتے ہیں جن کے تحت چھڑی موڑتی ہے، یعنی کہ v(z)≠0۔ مساوات (3) میں A, B, C, D ≠ 0 کے ساتھ اتنا معمولی حل نہیں ہوتا ہے صرف اس صورت میں جب عدد کا تعین کنندہ صفر کے برابر ہو۔

ایک۔ 3a

بکلنگ کنڈیشنز سے Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m ہم بوجھ کی اہم اقدار PK کا حساب لگا سکتے ہیں۔ یہ مساوات صرف اس صورت میں مطمئن ہوتی ہے جب sin αs = 0، یعنی αKms = mπ کے ساتھ m=1,2,3 کے لیے،… Euler's buckling force کی متعلقہ اقدار ہیں PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. m کی ہر قدر کے لیے، ایک خاص بکلنگ فورس حاصل کی جاتی ہے۔ زیادہ تر معاملات میں، ان قوتوں میں سے صرف سب سے چھوٹی قوتیں دلچسپی رکھتی ہیں، اور وہ

PK1=EI(π/s)2.

مندرجہ ذیل ورژن میں، ایک انڈیکس m، یا 1 زیادہ تر چھوڑ دیا جائے گا، جو اہم ترین بوجھ میں سے سب سے کم کا حوالہ دیتا ہے۔ دلچسپی کی متعلقہ لچکدار لائن ہے۔ ایک سے (2) مستقل B=C=D=0 حاصل کیے جاتے ہیں۔ باقی حالت A∙sin__αs=0 ہے۔ مندرجہ بالا کیس m=1 کے لیے لچکدار بکلنگ لائن ہے، لہذا، v(z) = A_∙sinπz/s_، جہاں v(z) αK resp کے لیے ہے۔ PK متعلقہ eigenfunction۔ A کی شدت غیر متعین ہے۔

آئیے پورے بوجھ کے علاقے پر ایک اور نظر ڈالیں۔ P کی صوابدیدی اقدار کے لیے، خاص طور پر فورسز کے لیے P_<_PK1 ہے v(z)=0، چھڑی سیدھی رہتی ہے۔

“آہستہ آہستہ بڑھتی ہوئی” لوڈنگ سے P کا مطلب استحکام کے کلاسیکی نظریہ میں سائز P کی ایک لگاتار سیریز ہے، جہاں مشاہدہ شدہ لوڈ کیس کے استحکام کو لوڈنگ کی ہر انفرادی سطح کے لیے بار بار جانچا جائے گا۔ استحکام ٹیسٹ کے دوران، P کا سائز یقینی طور پر کوئی تبدیلی نہیں کرتا ہے۔ اگر ایک حالت P کے مستحکم ہونے کا عزم کیا جاتا ہے، تو بوجھ کسی چیز سے بڑھ جاتا ہے، اور اسی وجہ سے استحکام ٹیسٹ دہرایا جاتا ہے۔ یہ درست تعین ضروری ہے تاکہ بوجھ کی قسم کے ساتھ کوئی الجھن نہ ہو، جو کہ Shanley\ اثر کی بنیاد ہے، جس میں بوجھ میں اضافہ ہوتا ہے جبکہ ایک ہی وقت میں چھوٹی رکاوٹیں کام کر رہی ہوتی ہیں۔ Shanley\ کے مطابق استحکام کی جانچ کرتے وقت، پلاسٹک بکلنگ کے علاقے میں، کلاسیکی طریقہ کار کے مقابلے میں ایک چھوٹی تقسیم قوت پیدا ہوتی ہے۔

مندرجہ ذیل تحفظات بوجھ کو بڑھانے کا پہلا طریقہ مانتے ہیں: بوجھ میں بتدریج اضافے کے ساتھ P اس معنی میں، PK تک پہنچ جاتا ہے1=EI_∙(π/s)_2سب سے پہلے لچکدار توازن کے ایک واحد تقسیم نقطہ تک، لچکدار بکلنگ لائن کے طور پر ایک سادہ سائن لائن کے ساتھ

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A لچکدار لائن کے غیر متعین طول و عرض کو ظاہر کرتا ہے۔ لوڈ کے لیے _P*__>_PK1 لکیری نظریہ Δ≠ کے مطابق ہے۔0یعنی وہاں توازن ممکن نہیں ہے۔ صرف اعلیٰ بکلنگ فورسز PK کے لیے2 وغیرہ۔ یہ دوبارہ Δ= ہوگا۔0اور اس طرح v(z)≠ بھی0. اس نظریاتی نتیجے کی وجہ، جو کہ اصل رویے سے میل نہیں کھاتی، تفریق مساوات کے خطوط میں مضمر ہے۔

دو حصوں پر مشتمل دبائی ہوئی سلاخوں کا بکسوا

ہم اپنے آپ کو دو حصوں کی دبائی ہوئی لاٹھیوں تک محدود رکھتے ہیں، اور تین یا زیادہ حصوں پر مشتمل دبائی ہوئی چھڑیوں کے لیے، اسی طرح کے تعلقات لاگو ہوتے ہیں۔

نمبر3

ٹرانسورس کنکشن کی قسم کے مطابق، جالی کی سلاخیں مختلف ہوتی ہیں (تصویر.3a) اور فریم کی سلاخیں (تصویر۔3e)۔ کراس ٹائی کے بغیر، چھڑی کا ہر حصہ خود بخود جھک جائے گا (تصویر۔3ب)۔ اگر بھرنا نسبتاً کمزور ہے، تو ایک ہی بیلٹ کی چھڑی پوری طرح سے چھڑی کو موڑنے کے بغیر موڑ سکتی ہے۔ جالی چھڑی انجیر کے لئے.3c کا موازنہ کیا جا سکتا ہے: قلابے والے نظام کے لیے بائیں، مسلسل بیلٹ کے لیے دائیں؛ اور فریم راڈ انجیر کے لیے۔3نرم کنکشن شیٹس کے لیے بائیں جانب f، سخت کنکشن شیٹس کے لیے دائیں جانب۔ وہاں سے، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ پتلا پن λ بہت زیادہ اثر و رسوخ کا حامل ہے۔1__=s1/i1_ چھڑی کے انفرادی حصے کے لیے، I رکھا گیا تھا۔1=ف1_∙_i12، s1 فیلڈ سپیسنگ ہے (تصویر۔3) i1 محور سے مراد ہے۔1-1(تصویر دیکھیں۔4)۔

نمبر4

انجیر کی لچکدار بکلنگ لائنوں کے مساوی مرکب سلاخوں کی بکلنگ فورس۔ 3d، یا 3g مکمل نظریاتی تحقیقات کا موضوع تھا۔ اگر چھڑی منفرد حصوں پر مشتمل تھی (مثلاً پسلی کے ساتھ) یا اگر ٹرانسورس کنکشن اتنی کثرت سے ہوتے ہیں کہ دو حصوں سے مڑی ہوئی چھڑی ایک چھڑی سے اپنے اثر میں مختلف نہیں ہوتی ہے، تو یہ σ__K=__π__2__E/λ__y__2. وہاں یہ λ__y=sK/iy (تصویر 4) کی نشاندہی کرتا ہے۔ تاہم، یہ بکلنگ تناؤ عملی طور پر مکمل طور پر نہیں پہنچ پائے گا کیونکہ اس کے لیے کافی ٹرانسورس کنکشن نہیں ہیں، اور وہ لچکدار بھی ہیں۔ ایک تخمینہ جو زیادہ تر صورتوں میں مطمئن ہو جاتا ہے اگر ہم تجویز F کے مطابق رکھیں۔ Engesser\a کہ دو حصوں پر مشتمل ایک دبائی ہوئی چھڑی کا موڑنے کا دباؤ برابر ہے۔

σ__K=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi نام نہاد مثالی پتلا پن ہے۔

کراس ٹائیز تعداد میں کافی اور مضبوط ہونے چاہئیں تاکہ چھڑی کے دونوں حصوں کو ایک ساتھ کام کرنے پر مجبور کیا جا سکے۔ ثانوی دباؤ کو چھوڑ کر، جب تک چھڑی سیدھی رہتی ہے، ٹرانسورس لنکس اس وقت تک دباؤ کے بغیر رہتے ہیں۔ یہ صرف موڑنے کے ساتھ ہی ہے کہ انہیں قوتیں حاصل کرنی پڑتی ہیں، اور انہیں ٹرانسورس قوتوں کو منتقل کرنا ہوتا ہے جو موڑنے کے ساتھ بڑھتی ہیں۔ اگر یہ ایک لچکدار لائن ہے۔

ٹرانسورس فورس I=const پر۔ برابر ہے

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

انجیر کے ساتھ۔ 5 m کو فوری طور پر پڑھا جا سکتا ہے Q(z)=PK∙v’(z)۔ چھڑی کے آخر میں سب سے زیادہ قیمت ہے

نمبر5

ٹرانسورس کنکشن اس ٹرانسورس فورس کو ایڈجسٹ کرنے کے قابل ہونا چاہئے۔ چونکہ متعلقہ بوجھ بکلنگ فورس PK ہے، اس لیے یہ کافی ہے اگر اس کے لیے ٹرانسورس کنکشن میں بھی بوجھ برداشت کرنے کی حد تک پہنچ جائے - یعنی بیک وقت پوری چھڑی کے ساتھ۔ ظاہر ہے، اس کا کوئی فائدہ نہیں ہوگا اگر Q0 وصول کرنے کے لیے کراس لنکس کا سائز ضروری سے زیادہ مضبوط ہو۔ دوسری طرف، کراس لنکس جو بہت کمزور ہیں، چھڑی کے وقت سے پہلے ناکام ہو جائیں گے۔

مندرجہ بالا مساوات کو ابتدائی طور پر استعمال نہیں کیا جا سکتا کیونکہ بکلنگ تیر کی شدت معلوم نہیں ہے۔ چھڑی PK کے تحت لاتعلق توازن میں ہے اور، کم از کم پہلی ڈگری میں، ایک صوابدیدی قدر لے سکتی ہے۔ اس لیے مفید ہے، F کی تجویز کے مطابق۔ Krohn-a، اس بکلنگ maxv کی شدت کا تعین کرنے کے لیے جس پر جھکی ہوئی راڈ موڑنے کی وجہ سے ناکامی کی وجہ سے اپنی برداشت کی صلاحیت کھو دیتی ہے۔ یہ یقینی طور پر ہو گا اگر پیداوار نقطہ موڑ کے مقعر کی طرف تک پہنچ جائے (تصویر 1)۔6)۔ اس کے لیے موڑ مزید بڑھتے ہیں اور متعلقہ موڑنے والے لمحات کو لاگو نہیں کیا جا سکتا۔

نمبر6

موڑ کے مقعر کی طرف کل تناؤ انجیر کے مطابق ہے۔6مثالی پلاسٹک مواد کے لئے

وہاں سے سب سے بڑا اُڑکتا ہے جو اب بھی برداشت کیا جا سکتا ہے۔

maxQ0 چھڑی کے سرے پر متعلقہ ٹرانسورس فورس ہے۔

اگر σK Tetmeier's فارم کے لیے استعمال کیا جائے اور σF= ڈالیں3,1t/cm2اور sK=e/2∙ λy جو iy≈e/ سے مساوی ہے2، پھر Krohn\ کی maxQ کی تخمینی قدر حاصل کی جاتی ہے۔0=F/28(Q میں t، F سینٹی میٹر میں2)۔

صوابدیدی لکیروں کے لیے بکلنگ تناؤ حاصل کیا جاتا ہے۔

maxQ0=μK∙SK.

گتانک μK چھڑی کی پتلی کے ساتھ تبدیل ہوتا ہے، یہ مواد پر بھی منحصر ہے۔ جب اوپر کی مساوات کو بکلنگ کے خلاف حفاظت کے گتانک سے تقسیم کیا جائے تو اسے لکھا جا سکتا ہے۔

dozv__Q=μ∙dozvS.

لکیری نظاموں کی بکلنگ

لکیری نظاموں کے معاملے میں، ایک چھڑی کی موڑنے کی لمبائی sK=β∙h کا تعین کرنا عام ہے جو دونوں سروں پر جکڑا ہوا ہے اور جس کی موڑنے والی قوت PK=π ہے موازنہ کے لیے2EI/s2K اتنا ہی بڑا۔ ذیل کی مثالوں کے لیے ایک تقابلی “بکلنگ لمبائی” دی جائے گی۔

a) دونوں سروں پر چھڑی بند کی گئی (EI=const.)

نمبر7

انجیر کے معاملے کے لیے۔7بکلنگ کا ہے PK=4π2EI/h2=4,0∙PE، مقابلہ “بکلنگ لمبائی” sK=h/2اور لچکدار بکلنگ لائن v(z)=D(1–.cos2πz/h)۔

b) ایک سرے پر چھڑی مفت (تصویر۔8)

نمبر 8

یہ فرض کیا جاتا ہے کہ چھڑی کے موڑنے کے ساتھ ہی P کی سمت تبدیل نہیں ہوتی ہے۔ پھر (EI=const.)

PK=π2ای آئی/4h2=PE/4,   sK=2h

_v(z)=D(1-cosπz/2h) _

مفت اختتام کے لیے سموچ کی شرائط z=h یہاں پڑھیں

M=0 or v’’=0

Q=M’-Pv’=0 or v’’+a2∙v’=0.

c) چھڑی ایک سرے پر بند ہے (تصویر 9)

نمبر9

سموچ حالات کے ساتھ

v=0 اور v’=0 برائے z=0

v=0 اور v’=0 برائے z=h

EI=const کے لیے حاصل کیا گیا ہے۔ بکلنگ کنڈیشن

sin_αh - αh∙cos_αh=0_،_

یا مساوی

tgαh=αh.   (4)

اس ماورائی مساوات کی جڑیں جدول K میں پائی جاتی ہیں۔ حیاشی کی سب سے کم بکلنگ فورس ٹیبلز PK کے مطابق ہے۔1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2

تقابلی بکسنگ کی لمبائی sK = h / √ ہے۔2,046=0,699h.

d) ایک چھڑی جس کے ایک سرے پر خرابی ہے (تصویر۔10)

تصویر۔ 10

ہم مسلسل سائز کے ٹپ کی نقل مکانی کے معاملے پر غور کریں گے۔ اس کے لیے کنٹور شرائط ہیں۔

v=0اور v’=0 برائے z=0،

v=v1اور v’’=0 کے لیے z=h۔

یہ ایک لچکدار لائن کے ساتھ توازن کا مسئلہ ہے۔

{}-بریکٹ سے پہلے کی اصطلاح کا ڈینومینیٹر صفر ہوگا اور بکلنگ تمام حدوں سے بڑھ جاتی ہے اگر P→PK (دیکھیں بکلنگ کنڈیشن Eq. (4))۔ چھڑی کے رویے کی یہ خصوصیت ہے کہ چھڑی کے درمیانی اور نچلے سرے میں موڑ شروع میں بڑھتے ہوئے بوجھ کے ساتھ چھوٹے ہوتے ہیں P اور صرف زیادہ بوجھ کے لیے اپنا نشان تبدیل کرتے ہیں۔ نمبر10نصف اونچائی پر موڑ دکھاتا ہے۔

e) دو شعبوں میں مسلسل چھڑی

نمبر11

دونوں حل والے علاقوں کے لئے (تصویر۔11) ہم ترتیب کا اطلاق کریں گے۔

اور_ v(z1) = اے1∙ synαz1+ بی1∙cosαz1+ سی1∙z1+ ڈی1,_

II v(z2) = اے2∙ synαz2+ بی2∙cosαz2+ سی2∙z2+ ڈی2.

سادگی کے لیے اسے رہنے دو (EI)1=(EI)2"EI آٹھ مستقل تلاش کرنے کے لیے A1، …، A2، … سموچ کے حالات کے طور پر کام کرتے ہیں۔

v=0اور v’=0 کے لیے z1=0,

v=0اور v’’=0 کے لیے z2=h،

نیز علاقوں I اور II کے درمیان عبوری حالات

v=0 کے لیے z1=h i برائے z2=0,

v’’ (z1=h)=v’(z2=0,

_v’’ (z1=h)=v’’(z2=0) _

مشروط مساوات نیچے دی گئی جدول میں دی گئی ہیں۔

صفر کے برابر گتانک کا تعین کرنے سے، بکلنگ کی حالت حاصل کی جاتی ہے

موڑنے کی لمبائی sK=0,878_h_، جبکہ انجیر کے لیے۔35یا تو β=0,699. کے مقابلے میں بکلنگ فورس کم ہوگئی2,046:1,297ایک دوسرے فیلڈ کے اضافے کی وجہ سے جو ہنگڈ ہے۔ اگر دوسرے میدان کو اونچا کر دیا جائے تو بکلنگ فورس دوبارہ چوٹی تک بڑھ جائے گی۔2,04_PE_

فارمولوں کی یہ تاریخی پیشکش کوئی منصوبہ یا ساخت کے استحکام کا ثبوت نہیں ہے۔ مثالی سیدھے رکن، مرکزی بوجھ اور لچکدار رقبے کے کلاسیکی مفروضوں میں ضروری نہیں کہ ابتدائی خامیاں، بقایا دباؤ، سنکی پن، کنکشن کی سختی، مادی غیر خطی، پس منظر کا استحکام اور نہ ہی، جب لاگو ہو، آگ، زلزلہ کی کارروائی اور اسمبلی کے مراحل شامل ہوں۔ اصل ڈھانچے کا حساب کتاب ایک مجاز سول انجینئر کو درست ضوابط اور معیارات کے مطابق کرنا چاہیے۔