오늘 Savo Kusić는 목재 창, 목재-알루미늄 창, 맞춤형 창, 문 및 견적 요청에 중점을 두고 있습니다. 이 텍스트는 구조 이론의 아카이브로 남아 있으며 정적 설계, 안정성 계산 또는 구조적 재활을 제공하지 않습니다.
굽힘 시 좌굴 미분 방정식
모든 이상화가 충족된 것으로 가정되며, 특히
- 막대가 완벽하게 직선이라는 것
- 하중 _P_가 로드의 샤프트에 작용한다는 것
- 전압이 비례 한계 미만으로 유지됨
- 변형은 일반적인 계산 단순화를 허용할 만큼 충분히 작습니다.
로드가 힘 _P_의 작용으로 그리고 아마도 가로 방향으로 작용하는 하중 _q_로 인해 구부러지면 외부 하중과 단면의 힘 사이의 알려진 평형 조건이 충족되어야 합니다. 그 외에도 단면의 변형과 힘 사이의 관계가 알려져 있어야 하는 것은 당연합니다.
그림. 1 - 잔액
그림에서. 1는 길이 _ds_의 구부러진 로드 요소입니다. v’ 접선의 기울기가 작아서 2차까지 요소의 길이를 투영 _ds=dz_와 동일하게 설정할 수 있습니다. 또한 아래에 언급된 테스트에서는 _P_가 로드 축을 따라 지속적으로 변경되는 경우, 즉 수직항력 N≒P=const는 고려되지 않습니다. 요소에 사용할 수 있는 세 가지 평형 조건에서 특정 수의 부재를 무시할 수 있습니다. 그림의 표시 및 표시. 10 그런 다음 방정식의 첫 번째 근사값을 유지합니다
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
횡력이 제거되면 M’‘=Pv’’-_q_가 유지됩니다. Bernoulli\의 법칙 M=-_EI/R_은 누락된 방정식을 제공합니다. 평소와 같이 빔 굽힘 이론에서 막대 축의 곡선은 다음과 같이 단순화됩니다
따라서 굽힘 모멘트를 제거하는 것이 가능합니다. _M=-EI*v’’_를 사용하면 구부러진 막대
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
일정 굽힘 강성이 있는 특별한 경우 EI=const. 방정식(1)이 단순화되었으므로
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) 및 (1a)는 언급된 단순화에 따라 _v_에서 선형입니다.
실질적으로 굽힘 강성이 일정한 가장 간단한 경우 EI=const. 특히 중요하며 이는 아래 예시의 기초가 됩니다.
오일러의 사례
좌굴의 고전적인 경우에 대한 가정은 앞서 언급한 이상화와 별도로 p=0이므로 N=const.=_P_이며 마찰 없이 일정한 강성과 정확히 로드 축에 위치합니다. 상미분 방정식(1a)은 q=0로 인해 4차 선형 및 동차 방정식입니다. 일반적인 해결책은 다음과 같습니다:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
여기서 _A, B, C, D_는 4개의 적분 상수입니다. EI≠0 가정으로 인해 매개변수의 크기는 유한합니다. 또한 P>0.
그림. 2
선형 미분 방정식(1a)은 동질적이므로 이 문제는 n_∙__v(z)_로도 해결됩니다. 여기서 _n_은 임의의 상수입니다. 이미 미분 방정식(1a)의 수학적 분류를 통해 굽힘의 크기 _v_를 결정할 수 없음을 알 수 있습니다. Euler\ 사례(그림 2)에서 적분 상수 _A, B, C, D_를 결정하기 위해 다음 윤곽 조건을 사용할 수 있습니다. 관절형 지지대 때문에 굽힘 모멘트는 막대의 양쪽 끝에서 0입니다.
z=0의 경우 v=0 및 M=0
z=_s_의 경우 v=0 및 M=0.
M=-EI_∙__v’‘_로 인해 M=0는 v’’=0의 값이므로 4가지 윤곽선 조건은 다음과 같습니다.
v=0 및 v’’=0(z=0의 경우)
z=_s_의 경우 v=0 및 v’’=0.
따라서 해(2)는 4개의 선형 방정식을 생성합니다.
Eq. 3
이들 4개의 동종 방정식에는 v(z)=0에 해당하는 첫 번째 소위 자명해 A=B=C=D=0가 있습니다. 구부러지지 않은 로드 v_(z_)=0는 임의, 특히 작은 하중 값 _P_에 대한 일반적인 평형 위치입니다. 여기서 우리는 막대가 구부러지는 조건, 즉 v(z)≠0에 주로 관심이 있습니다. 방정식(3)에는 계수의 행렬식이 0인 경우에만 A, B, C, D ≠ 0에 대한 간단한 해법이 없습니다.
하나. 3a
좌굴 조건 Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m에서 하중의 임계값 _PK_을 계산할 수 있습니다. 이 방정식은 sin αs = 0인 경우에만 충족됩니다. 즉, αKms = mπ_의 경우 m=1,2,3,… Euler\의 좌굴력에 해당하는 값은 PKm=EI∙_α2Km =입니다. EI(mπ/s)2. m의 각 값에 대해 특정 좌굴력이 얻어집니다. 대부분의 경우 이러한 힘 중 가장 작은 힘만이 관심 대상입니다.
PK1=EI(π/초)2.
다음 버전에서는 가장 낮은 임계 부하를 나타내는 인덱스 m 또는 1가 대부분 생략됩니다. 흥미로운 것은 해당 탄성선입니다. 하나의 (2) 상수에서 B=C=D=0를 얻습니다. 나머지 조건은 A∙sin__αs=0입니다. 따라서 위의 경우 m=1에 대한 탄성 좌굴선은 v(z) = A_∙sinπz/s_입니다. 여기서 v(z)는 αK resp에 대한 것입니다. PK 해당 고유함수. _A_의 크기는 아직 결정되지 않았습니다.
전체 적재 영역을 다시 살펴보겠습니다. P_의 임의 값의 경우, 특히 힘 P<__PK1_이 v(z)=0인 경우 로드는 직선을 유지합니다.
안정성에 대한 고전적 이론에서 “점진적으로 증가하는” 하중 _P_은 연속적인 일련의 값 _P_을 의미하며, 여기서 관찰된 하중 사례의 안정성은 각 개별 하중 수준 _P_에 대해 계속해서 테스트됩니다. 안정성 테스트 중에 _P_의 크기는 확실히 변경되지 않았습니다. 한 상태 _P_가 안정적이라고 판단되면 부하가 어느 정도 증가하므로 안정성 테스트가 반복됩니다. 부하의 종류와 혼동이 없도록 정확한 판단이 필요하며, 이는 작은 교란이 동시에 작용하면서 부하가 증가하는 Shanley\ 효과의 기초가 됩니다. Shanley\에 따른 안정성을 검토할 때 소성 좌굴 영역에서는 고전적인 고려 방법보다 작은 분기력이 발생합니다.
다음 고려 사항은 하중 증가의 첫 번째 방법을 가정합니다. 이러한 의미에서 하중 P_의 점진적인 증가에서 탄성 평형의 한 분기점에 먼저 PK1=EI∙(π/s)_2에 도달하고 탄성 좌굴 선으로 간단한 사인선
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=_A_는 결정되지 않은 탄성선의 진폭을 나타냅니다. 하중의 경우 _P*__>__PK1_는 선형 이론 Δ≠0에 따릅니다. 즉, 균형이 불가능합니다. 더 높은 좌굴력 PK2 등에 대해서만 다시 Δ=0 따라서 v(z)≠0도 됩니다. 실제 거동과 일치하지 않는 이러한 이론적 결론의 원인은 미분방정식의 선형화에 있습니다.
두 부분으로 구성된 압축봉의 버클링
저희는 두 부분으로 구성된 프레스 스틱으로 제한하며, 세 부분 이상으로 구성된 프레스 스틱의 경우 유사한 비율을 적용합니다.
그림. 3
가로 연결 유형에 따라 격자 막대(그림 3a)와 프레임 막대(그림 3e)가 구별됩니다. 크로스 타이가 없으면 스틱의 각 부분이 저절로 구부러집니다(그림 3b). 충전재가 상대적으로 약하면 로드 전체가 구부러지지 않고 단일 벨트 로드가 구부러질 수 있습니다. 격자 막대의 경우 그림. 3c 비교 가능: 왼쪽은 힌지 시스템, 오른쪽은 연속 벨트; 프레임 막대의 경우 그림. 3f는 부드러운 연결 플레이트의 경우 왼쪽, 견고한 연결 플레이트의 경우 오른쪽입니다. 거기에서 보면 날씬한 정도 λ__1_=s1/i1_가 큰 영향을 미치는 것을 알 수 있습니다. 막대의 개별 부분에 대해 I1=F1_∙__i12_가 설정되고, _s1_는 필드 간격(그림 3), _i1_은 축을 나타냅니다. 1-1(그림 4 참조).
그림. 4
그림의 탄성 좌굴선에 해당하는 복합봉의 좌굴력. 3d 또는 3g는 철저한 이론적 조사의 대상이었습니다. 막대가 고유한 부분(예: 리브 포함)으로 구성되었거나 가로 연결이 너무 빈번하여 두 부분에서 구부러진 막대가 단일 막대와 효과가 다르지 않은 경우 σ__K_=__π__2__E/_λ__y__2_가 됩니다. 여기서는 λ__y=sK/iy_를 나타냅니다(그림 4). 그러나 이 좌굴 응력은 가로 연결이 충분하지 않고 탄성이 있기 때문에 실제로는 완전히 도달되지 않습니다. 제안 F에 따라 놓으면 대부분의 경우 만족하는 근사치를 얻을 수 있습니다. Engester\a 두 부분으로 구성된 압축봉의 굽힘 응력이 동일하다는 것
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi는 소위 이상적인 날씬함입니다.
크로스 타이는 막대의 두 부분이 함께 작용할 수 있을 만큼 충분한 수와 강도를 가져야 합니다. 2차 응력을 제외하면 가로 링크는 로드가 직선으로 유지되는 한 응력을 받지 않은 상태로 유지됩니다. 굽힘을 통해서만 힘을 받아야 하며, 굽힘에 따라 증가하는 횡력을 전달해야 합니다. 탄력있는 라인인 경우
I=const에서의 횡력. 동등하다
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
그림으로. 5 m는 _Q(z)=PK∙v’(z)_로 즉시 읽을 수 있습니다. 막대 끝의 가장 높은 값은 다음과 같습니다.
그림. 5
횡방향 연결부는 이러한 횡력을 수용할 수 있어야 합니다. 해당 하중은 좌굴력 _PK_이므로 가로 연결부에서도 하중 지지 한계에 도달하면 충분합니다. 즉 전체 로드와 동시에 가능합니다. 분명히, 교차 링크의 크기가 _Q0_을 수신하는 데 필요한 것보다 훨씬 더 강하다면 아무 소용이 없을 것입니다. 반면에 너무 약한 교차 결합은 로드가 조기에 파손되는 원인이 됩니다.
위 방정식은 좌굴화살의 크기를 알 수 없기 때문에 처음부터 사용할 수 없습니다. 막대는 PK 하에서 무차별 평형 상태에 있으며 적어도 첫 번째 근사값에서는 임의의 값을 취할 수 있습니다. 따라서 F의 제안에 따르면 유용합니다. Krohn-a, 구부러진 막대가 굽힘으로 인한 파손으로 인해 지지력을 잃는 좌굴 _maxv_의 크기를 결정합니다. 이는 굽힘의 오목한 면에서 항복점에 도달하면 확실히 발생합니다(그림 6). 이를 위한 굽힘이 더욱 커지며 해당 굽힘 모멘트를 적용할 수 없습니다.
그림. 6
굽힘의 오목한 면에 대한 총 응력은 그림에 따릅니다. 6 이상적인 플라스틱 소재
거기서 여전히 견딜 수 있는 최대의 굽힘이 옵니다
_maxQ0_는 로드 끝 부분의 해당 횡력입니다.
σK Tetmaier\의 형식에 사용하고 σF=3,1 t/cm2 및 iy≒e/2에 해당하는 sK=e/2 ∙ _λy_를 넣으면 Krohn's는 대략적인 값 maxQ0=F/28(Q(t), F(cm2))을 구합니다.
임의의 좌굴 응력선의 경우
maxQ0=μK∙SK.
계수 μK는 로드의 가느다란 정도에 따라 달라지며 재질에 따라 달라집니다. 위의 방정식을 좌굴에 대한 안전계수로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있습니다
dozv__Q=μ∙dozvS.
라인 시스템 버클링
선형 시스템에서는 양쪽 끝이 힌지로 연결된 막대의 굽힘 길이 sK=β∙h와 굽힘력 PK=π2EI/s2K가 동일하게 큰 비교를 결정하는 것이 일반적입니다. 아래 예에 대한 비교 “좌굴 길이”가 제공됩니다.
a) 양쪽 끝이 고정된 로드 (EI=const.)
그림. 7
그림의 경우. 7 버클링은 PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, 비교 “버클 길이” sK=h/2 및 버클링 탄성선입니다. v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) 한쪽 끝이 비어 있는 막대(그림 8)
Sl. 8
로드가 휘어져도 _P_의 방향은 변하지 않는다고 가정합니다. 그러면 (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
자유단 z=_h_에 대한 윤곽 조건은 여기를 참조하세요
M=0 또는 v’’=0
Q=M’-Pv’=0 또는 v’‘’+a2∙v’=0.
c) 한쪽 끝이 고정된 로드(그림 9)
그림. 9
윤곽 조건 포함
v=0 및 v’=0(z=0
v=0 및 v’’=0(z=h
는 EI=const에 대해 획득됩니다. 좌굴상태
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
또는 이에 상응하는
tgαh=αh. (4)
이 초월 방정식의 근본은 표 K에서 찾을 수 있습니다. 하야시's. 가장 낮은 좌굴력은 표에 따라 다릅니다. PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
비교 좌굴 길이는 sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) 한쪽 끝이 장애로 인해 끼임(그림 10)
그림. 10
팁이 일정한 크기로 변위되는 경우를 관찰하겠습니다. 이에 대한 등고선 조건은
v=0 및 v’=0(z=0,
v=v1 및 v’’=0 for z=h.
탄성선으로 인한 평형 문제
{}-괄호 앞의 항의 분모는 0이 되며 _P→PK_인 경우 좌굴은 모든 한계 이상으로 증가합니다(좌굴 조건 방정식(4) 참조). 로드의 중간 및 하단 끝 부분의 굽힘은 처음에는 하중 _P_가 증가함에 따라 더 작아지고 하중이 더 높은 경우에만 표시가 변경되는 것이 로드 동작의 특징입니다. Sl. 10는 절반 높이의 굴곡을 보여줍니다.
e) 두 필드에 연속 스틱
그림. 11
두 솔루션 영역(그림 11)에 대해 설정
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
간소화를 위해 (EI)1=(EI)2=_EI_라고 하겠습니다. 8개의 상수 A1, …, A2, …을 찾으려면 윤곽 조건
z1=0의 경우 v=0 및 v’=0,
z2=h의 경우 v=0 및 v’’=0,
영역 I과 II 사이의 과도기적 조건
z1=h의 경우 v=0, z2=0의 경우,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
조건 방정식은 아래 표에 나와 있습니다.
계수의 행렬식을 0으로 설정하면 좌굴 조건이 얻어집니다.
굽힘 길이는 sK=0,878_h_입니다. 35 또는 β=0,699 중 하나입니다. 2,046 : 1,297에 비해 힌지형 2차 필드 추가로 좌굴력이 감소되었습니다. 다른 필드가 더 높게 조여지면 좌굴력이 다시 최고점까지 증가합니다. 2,04 PE.
이 공식의 역사적 제시는 프로젝트나 구조의 안정성에 대한 증거가 아닙니다. 이상적인 직선 부재, 중심 하중 및 탄성 영역에 대한 고전적 가정에는 초기 결함, 잔류 응력, 편심, 연결 강성, 재료 비선형성, 측면 안정성이 반드시 포함되지 않으며 해당하는 경우 화재, 지진 작용 및 조립 단계도 포함되지 않습니다. 실제 구조물의 계산은 유효한 규정 및 표준에 따라 공인 토목 기술자가 수행해야 합니다.