Karon, ang Savo Kusić nakatutok sa mga bintana nga kahoy, kahoy-aluminyo nga mga bintana, custom nga mga bintana, pultahan ug mga hangyo alang sa kinutlo. Kini nga teksto nagpabilin isip archive sa structural theory ug dili usa ka tanyag sa static nga disenyo, kalkulasyon sa kalig-on o structural rehabilitation.
Differential equation sa bending buckling
Gituohan nga ang tanang mga ideyalisasyon natagbaw, ilabina
- nga ang sungkod hingpit nga tul-id
- nga ang load P molihok sa shaft sa sungkod
- nga ang mga boltahe nagpabilin ubos sa limitasyon sa proporsyonalidad
- nga ang mga deformasyon gamay ra aron tugutan ang naandan nga pagpayano sa mga kalkulasyon.
Kung ang sungkod moliko ubos sa aksyon sa pwersa P ug tingali tungod usab sa load q nga naglihok sa transverse nga direksyon, nan ang nahibal-an nga mga kondisyon sa panimbang tali sa gawas nga mga karga ug sa mga pwersa sa seksyon kinahanglan nga matagbaw. Gawas pa, natural nga kinahanglan adunay nahibal-an nga mga relasyon tali sa mga deformation ug pwersa sa seksyon.
Fig. 1 - Balanse
Sa fig.1usa ka elemento sa usa ka gibawog nga sungkod sa gitas-on ds girepresentar. Ang bakilid sa tangent v’ gamay aron hangtod sa ikaduhang han-ay, ang gitas-on sa elemento mahimong itakda nga parehas sa projection ds=dz. Dugang pa, sa mga pagsulay nga gihisgutan sa ubos, ang mga kaso diin ang P kanunay nga nagbag-o sa daplin sa axis sa sungkod dili pagaisipon, i.e. normal nga puwersa N≈P=const. Sa tulo ka mga kondisyon sa panimbang nga anaa alang sa elemento, ang usa ka piho nga gidaghanon sa mga miyembro mahimong mapasagdan. Para sa mga marka ug mga timaan gikan sa fig.10magpabilin unya sa unang banabana sa equation
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Ang transverse force mahimong mawagtang, ug dayon M’‘=Pv’’-q hold. Ang balaod ni Bernoulli M=-EI/R naghatag sa nawala nga equation. Ang kurba sa axis sa sungkod, sama sa naandan, gikan sa teorya sa beam bending, gipasimple sama sa mosunod
Kini posible nga mawagtang ang bending moment; ug sa M=-EI*v’’ ang differential equation para sa gibawog nga sungkod
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Sa espesyal nga kaso sa kanunay nga pagkagahi sa pagduko EI=const. ang equation (1) gipasimple, mao nga
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) ug (1a) kay linear sa v sumala sa nahisgutang mga pagpasayon.
Praktikal, ang pinakasimple nga kaso sa kanunay nga pagkagahi sa pagduko EI=const. ilabinang importante, nga nagsilbing basehanan sa mga pananglitan sa ubos.
Kaso ni Euler
Ang mga pangagpas alang sa klasikal nga kaso sa buckling mao, gawas sa gihisgutan nga mga ideyalisasyon: p=0, mao nga N=const.=P, ingon man ang kanunay nga pagkagahi nga walay friction, nga nahimutang sa axis sa sungkod. Ang ordinaryo nga differential equation (1a) maoy ikaupat nga han-ay, linear ug homogenous tungod sa q=0. Ang kinatibuk-ang solusyon mao ang:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
diin A, B, C, D mao ang upat ka integration constants. Ang parameter kay limitado ang gidak-on tungod sa pangagpas EI≠0. Dugang pa, α≠0 para sa P>0.
Fig. 2
Tungod kay ang linear differential equation (1a) homogenous, kini nga problema masulbad usab sa n_∙__v(z)_, diin ang n usa ka arbitraryong constant. Gikan na sa mathematical classification sa differential equation (1a) makita nga dili matino ang kadako sa bending v. Aron matino ang integration constants A, B, C, D sa Euler\ case (fig. 2) ang mosunod nga contour condition anaa: Tungod sa articulated support, ang bending moment kay zero sa duha ka tumoy sa rod, i.e.
v=0 ug M=0 para sa z=0
v=0 ug M=0 para sa z=s.
Tungod sa M=-EI_∙__v’‘_, kini nagsunod nga ang M=0 mao ang bili sa v’’=0, mao nga ang upat ka contour condition mabasa:
v=0 ug v’’=0 para sa z=0
v=0 ug v’’=0 para sa z=s.
Ang solusyon (2) moresulta sa upat ka linear equation:
Usa.3
Kining upat ka homogenous equation adunay unang gitawag nga trivial solution A=B=C=D=0, nga katumbas sa v(z)=0. Ang unbent rod v_(z_)=0 mao ang naandan nga equilibrium nga posisyon para sa arbitraryo, ilabi na ang gagmay nga mga bili sa load P. Dinhi, kita nag-una nga interesado sa mga kondisyon diin ang sungkod miduko, i.e. nga v(z)≠0. Ang mga equation (3) walay ingon ka gamay nga solusyon nga adunay A, B, C, D ≠ 0 lamang kung ang determinant sa coefficient katumbas sa sero.
Usa. 3a
Gikan sa buckling nga mga kondisyon Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog aron makalkulo ang mga kritikal nga kantidad PK sa load. Kini nga equation matagbaw lamang kung sin αs =0, kana alang sa αKms = mπ nga adunay m=1,2,3,… Ang katugbang nga mga bili sa Euler's buckling force kay PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Alang sa matag bili sa m, usa ka piho nga pwersa sa pag-buckling ang makuha. Sa kadaghanan nga mga kaso, ang pinakagamay lamang niini nga mga pwersa ang interesado, ug kana
PK1=EI(π/s)2.
Sa mosunod nga bersyon, adunay index m, o 1 kasagarang wala iapil, nga nagtumong sa pinakaubos sa kritikal nga mga karga. Ang interes mao ang katugbang nga pagkamaunat-unat nga linya. Gikan sa usa ka (2) mga constant B=C=D=0 makuha. Ang nahabilin nga kondisyon mao ang A∙sin__αs=0. Ang elastic buckling line para sa case sa ibabaw m=1 kay, v(z) = A_∙sinπz/s_, diin v(z) kay para sa αK resp. PK katumbas nga eigenfunction. Ang gidak-on sa A nagpabilin nga wala matino.
Atong tan-awon ang tibuok nga load area. Para sa arbitraryong mga bili sa P, ilabi na sa mga pwersa P_<_PK1 kay v(z)=0, ang baras nagpabiling tul-id.
Pinaagi sa “anam-anam nga pagtaas” loading P nagpasabot sa klasikal nga teoriya sa kalig-on sa usa ka sunod-sunod nga serye sa mga gidak-on P, diin ang kalig-on sa nakita nga load kaso pagasulayan pag-usab ug usab alang sa matag indibidwal nga lebel sa loading P. Atol sa pagsulay sa kalig-on, ang gidak-on sa P nagpabilin nga wala mausab. Kung ang usa ka estado P determinado nga mahimong lig-on, nan ang load madugangan sa usa ka butang, ug busa ang pagsulay sa kalig-on gisubli. Kini nga tukma nga determinasyon gikinahanglan aron walay kalibog sa matang sa load, nga mao ang basehan sa Shanley\ nga epekto, diin adunay pagtaas sa load samtang ang gagmay nga mga kasamok naglihok sa samang higayon. Kung gisusi ang kalig-on sumala sa Shanley, sa lugar sa plastic buckling, usa ka gamay nga puwersa sa bifurcation ang mahitabo kaysa sa klasikal nga pamaagi sa konsiderasyon.
Ang mosunod nga mga konsiderasyon nag-isip sa unang paagi sa pagdugang sa load: Uban sa anam-anam nga pagtaas sa load P niini nga diwa, PK naabot1=EI_∙(π/s)_2una sa usa ka punto sa bifurcation sa pagkamaunat-unat nga panimbang, nga adunay usa ka yano nga linya sa sine ingon ang pagkamaunat nga linya sa buckling
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A nagpasabot sa wala matino nga amplitude sa pagkamaunat-unat nga linya. Para sa mga load _P*__>_PK1 sumala sa linearized theory Δ≠0, kana ang balanse dili mahimo didto. Alang lamang sa mas taas nga pwersa sa pag-buckling PK2 ug uban pa kini mahimong Δ= pag-usab0ug sa ingon usab v(z)≠0. Ang hinungdan niining teoretikal nga konklusyon, nga dili motakdo sa aktuwal nga kinaiya, anaa sa linearization sa differential equation.
Pag-ukit sa pinugos nga mga sanga nga gilangkoban sa duha ka bahin
Gilimitahan namo ang among mga kaugalingon sa duha ka bahin nga pinuga nga mga tukog, ug alang sa mga pinuga nga mga stick nga gilangkuban sa tulo o daghan pa nga mga bahin, parehas nga mga relasyon ang magamit.
Si Sl.3
Sumala sa matang sa transverse nga koneksyon, magkalahi ang mga lattice rod (fig.3a) ug frame rods (fig.3e). Kung walay mga cross ties, ang matag bahin sa sungkod moliko sa iyang kaugalingon (fig.3b). Kung ang pagpuno medyo huyang, nan ang usa ka sinturon nga bakus mahimong moliko nga wala gibawog ang sungkod sa kinatibuk-an. Alang sa lattice rod fig.3c mahimong itandi: wala alang sa hinged nga sistema, husto alang sa padayon nga mga bakus; ug alang sa bayanan sungkod fig.3f sa wala para sa humok nga koneksyon sheets, sa tuo alang sa rigid koneksyon sheets. Gikan didto, makita nga ang slimness λ_ dako og impluwensya1__=s1/i1_. Alang sa indibidwal nga bahin sa sungkod, ako gibutang1=F1_∙_ako12, s1 mao ang field spacing (Fig.3), i1 nagtumong sa axis1-1(tan-awa ang Fig.4).
Si Sl.4
Ang buckling force sa compound rods nga katumbas sa elastic buckling lines sa fig. Ang 3d, o 3g mao ang hilisgutan sa kompleto nga teoretikal nga imbestigasyon. Kung ang sungkod gilangkuban sa talagsaon nga mga seksyon (pananglitan adunay usa ka gusok) o kung ang mga transverse nga koneksyon kanunay nga ang usa ka sungkod nga gibawog gikan sa duha ka bahin dili lahi sa epekto niini gikan sa usa ka sungkod, nan kini mahimong σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Didto kini nagpasabot λ__y=sK/iy (fig. 4). Bisan pa, kini nga buckling stress dili hingpit nga maabut sa praktis tungod kay wala’y igo nga transverse nga koneksyon alang niana, ug sila usab pagkamaunat. Ang usa ka gibanabana nga makatagbaw sa kadaghanan nga mga kaso makuha kung atong ibutang sumala sa sugyot F. Engesser\a nga ang bending stress sa usa ka pinugos nga baras nga gilangkuban sa duha ka bahin managsama
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
Ang λyi mao ang gitawag nga ideal slenderness.
Ang mga cross ties kinahanglan nga igo ang gidaghanon ug lig-on aron mapugos ang duha ka bahin sa sungkod sa paglihok nga magkauban. Wala’y labot ang mga sekondaryang kabug-at, ang mga transverse nga mga sumpay nagpabilin nga wala’y gibug-aton basta ang sungkod magpabilin nga tul-id. Uban lamang sa pagduko nga sila kinahanglan nga makadawat og mga pwersa, ug sila kinahanglan nga magpadala sa mga transverse nga pwersa nga nagdugang uban sa pagduko. Kung kini usa ka pagkamaunat-unat nga linya
transverse force sa I=const. managsama
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Uban sa fig. 5 m mabasa dayon Q(z)=PK∙v’(z). Ang pinakataas nga bili sa katapusan sa sungkod mao ang
Si Sl.5
Ang mga transverse nga koneksyon kinahanglan nga maka-accommodate niining transverse force. Tungod kay ang katugbang nga karga mao ang buckling force PK, kini igo na kung ang load-bearing limit maabot alang niini usab sa mga transverse nga koneksyon - i.e. dungan sa tibuok sungkod. Dayag, walay kaayohan kon ang mga cross-link mas lig-on ang gidak-on kay sa gikinahanglan aron makadawat Q0. Sa laing bahin, ang mga cross-link nga huyang kaayo makapahimo sa sungkod nga mapakyas sa dili pa panahon.
Ang ibabaw nga equation dili magamit sa sinugdanan tungod kay ang gidak-on sa buckling arrow wala mahibal-an. Ang sungkod anaa sa walay pagtagad nga ekwilibriyo ubos sa PK ug mahimo, sa labing menos sa unang ang-ang sa pagbanabana, pagkuha sa usa ka arbitraryong bili. Busa kini mapuslanon, sumala sa sugyot sa F. Krohn-a, aron mahibal-an ang gidak-on nianang buckling maxv diin ang gibawog nga sungkod mawad-an sa kapasidad sa pagdala niini tungod sa pagkapakyas tungod sa pagduko. Kini mahitabo gayud kung ang abot nga punto maabot sa concave nga bahin sa liko (Fig.6). Ang mga liko alang niini mas motubo ug ang katugbang nga mga gutlo sa pagduko dili magamit.
Fig. 6
Ang kinatibuk-ang stress sa concave nga bahin sa liko mao ang sumala sa fig.6alang sa sulundon nga plastik nga materyal
Gikan didto moabut ang labing dako nga pagpasigarbo nga mahimo pa nga antuson
maxQ0 mao ang katumbas nga transverse force sa tumoy sa sungkod.
Kung gigamit para sa porma ni σK Tetmeier ug ibutang ang σF=3,1t/cm2ug sK=e/2∙ λy nga katumbas sa iy≈e/2, unya ang Krohn's gibanabana nga bili sa maxQ makuha0=F/28(Q sa t, F sa cm2).
Alang sa arbitraryong mga linya makuha ang buckling stress
maxQ0=μK∙SK.
Ang coefficient μK nagbag-o sa slenderness sa sungkod, nagdepende usab kini sa materyal. Kung ang equation sa ibabaw gibahin sa coefficient of safety batok sa buckling mahimo kining isulat
dozv__Q=μ∙dozvS.
Pagdugmok sa mga linear nga sistema
Sa kaso sa mga linear nga sistema, kasagaran ang pagtino sa gitas-on sa bending sK=β∙h sa usa ka baras nga gibitay sa duha ka tumoy ug kansang bending force kay PK=π para sa pagtandi.2EI/s2K basta dako. Ang usa ka pagtandi nga “buckling length” ihatag alang sa mga pananglitan sa ubos.
a) Rod gi-clamp sa duha ka tumoy (EI=const.)
Si Sl.7
Alang sa kaso sa fig.7sa buckling kay PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, comparative “buckling length” sK=h/2ug ang elastic buckling line v(z)=D(1- kay2πz/h).
b) Ang sungkod nga libre sa usa ka tumoy (fig.8)
Si Sl. 8
Gituohan nga ang direksyon sa P dili mausab samtang ang sungkod moliko. Unya (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Ang mga kondisyon sa contour para sa libre nga katapusan z=h dinhi basaha
M=0 o v’’=0
Q=M’-Pv’=0 o v’’’+a2∙v’=0.
c) Ang sungkod gitaod sa usa ka tumoy (fig. 9)
Si Sl.9
Adunay contour condition
v=0 ug v’=0 para sa z=0
v=0 ug v’’=0 para sa z=h
makuha para sa EI=const. buckling condition
sala_αh - αh∙cos_αh=0_,_
o katumbas
tgαh=αh. (4)
Ang mga gamot niining transendental nga equation makita sa mga lamesa K. Hayashi's. Ang pinakaubos nga buckling force kay sumala sa mga lamesa PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Ang comparative buckling gitas-on mao ang sK = h / √2,046=0,699h.
d) Usa ka sungkod nga gitaod sa usa ka tumoy nga adunay sakit (fig.10)
Fig. 10
Atong hisgotan ang kaso sa pagbalhin sa tumoy sa kanunay nga gidak-on. Ang mga kondisyon sa contour alang niana
v=0ug v =0 kay z=0,
v=v1ug v =0 kay z=h.
Kini usa ka problema sa panimbang nga adunay usa ka pagkamaunat-unat nga linya
Ang denominator sa termino sa wala pa ang {}-bracket mahimong sero ug ang buckling mosaka labaw sa tanang limitasyon kon P→PK (tan-awa ang buckling condition Eq. (4)). Kinaiya sa kinaiya sa sungkod nga ang mga liko sa tunga-tunga ug ubos nga tumoy sa sungkod sa sinugdan mas gamay uban sa pagtaas sa load P ug usbon ang ilang timaan alang lamang sa mas taas nga mga karga. Si Sl.10nagpakita bends sa tunga sa gitas-on.
e) Padayon nga stick sa duha ka field
Si Sl.11
Para sa duha ka solusyon nga lugar (fig.11) atong ipadapat ang setting
Ug_. v(z1) = A1∙ synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Alang sa kayano pasagdi kini (EI)1=(EI)2=EI. Aron makit-an ang walo ka mga constant A1, …, A2, … magsilbi nga contour nga kondisyon
v=0 ug v’=0 para sa z1=0,
v=0 ug v’’=0 para sa z2=h,
maingon man ang transisyonal nga kondisyon tali sa mga lugar I ug II
v=0 para sa z1=h ug para sa z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Conditional equation gihatag sa table sa ubos
Setting nga ang determinant sa coefficient katumbas sa zero, ang buckling condition makuha
Bending length sK=0,878_h_, samtang para sa fig. 35 o β=0,699. Ang buckling force mikunhod kumpara sa 2,046 : 1,297 tungod sa pagdugang sa ikaduha nga field nga may bisagra. Kung ang pikas natad giipit nga mas taas, nan ang kusog sa pag-buckling mosaka pag-usab sa kinatumyan. 2,04 PE.
Kining makasaysayanong presentasyon sa mga pormula dili usa ka proyekto o usa ka pruweba sa kalig-on sa istruktura. Ang klasikal nga mga pangagpas sa sulundon nga tul-id nga miyembro, centric load ug elastic nga lugar dili kinahanglan nga maglakip sa mga inisyal nga pagkadili hingpit, nahabilin nga mga stress, eccentricity, pagkagahi sa koneksyon, materyal nga non-linearity, lateral stability o, kung magamit, sunog, aksyon sa seismic ug mga hugna sa pag-assemble. Ang pagkalkula sa aktuwal nga istruktura kinahanglan nga buhaton sa usa ka awtorisado nga inhenyero sibil sumala sa balido nga mga regulasyon ug mga sumbanan.