Deformazione flessionale

Oggi Savo Kusić si concentra su finestre in legno, finestre in legno-alluminio, finestre su misura, porte e richieste di preventivo. Questo testo rimane un archivio di teoria strutturale e non è un’offerta di progettazione statica, calcoli di stabilità o riabilitazione strutturale.

Equazione differenziale di instabilità in flessione

Si presuppone che tutte le idealizzazioni siano soddisfatte, in particolare

• che l’asta sia perfettamente dritta
• che il carico P agisce sull’albero dell’asta
• che le tensioni rimangano al di sotto del limite di proporzionalità
• che le deformazioni siano sufficientemente piccole da consentire le consuete semplificazioni di calcolo.

Se l’asta si piega sotto l’azione della forza P ed eventualmente anche a causa del carico q agente nella direzione trasversale, allora devono essere soddisfatte le note condizioni di equilibrio tra i carichi esterni e le forze nella sezione. A parte questo, è naturale che siano note le relazioni tra deformazioni e forze nella sezione.

Fig. 1 - Saldo

Nella fig. 1 è un elemento asta piegata di lunghezza ds. La pendenza della tangente v’ è piccola così che fino al secondo ordine la lunghezza dell’elemento può essere impostata uguale alla proiezione ds=dz. Inoltre, nelle prove sotto indicate, non verranno presi in considerazione i casi in cui P cambia costantemente lungo l’asse dell’asta, cioè forza normale N≈P=cost. Nelle tre condizioni di equilibrio disponibili per l’elemento, un certo numero di membri può quindi essere trascurato. Per marcature e segnali dalla fig. 10 quindi rimani nella prima approssimazione dell’equazione

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

La forza trasversale può essere eliminata e quindi M’‘=Pv’’-q regge. La legge di Bernoulli_M_=-EI/R fornisce l’equazione mancante. La curva dell’asse dell’asta, come al solito, dalla teoria della flessione della trave, è semplificata come segue

È così possibile eliminare il momento flettente; e con M=-EI*v’’ si ottiene l’equazione differenziale per l’asta piegata

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

Nel caso speciale di rigidezza a flessione costante EI=const. l’equazione (1) è semplificata, quindi è

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Eq. (1) e (1a) sono lineari in v secondo le semplificazioni menzionate.

In pratica, il caso più semplice di rigidezza a flessione costante EI=const. è particolarmente importante, che funge da base per gli esempi seguenti.

Il caso di Eulero

Le ipotesi per il caso classico di instabilità sono, a parte le idealizzazioni menzionate: p=0, quindi N=cost.=P, nonché rigidezza costante senza attrito, che giacciono esattamente sull’asse dell’asta. L’equazione differenziale ordinaria (1a) è del quarto ordine, lineare e omogenea a causa di q=0. La soluzione generale è:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

dove A, B, C, D sono le quattro costanti di integrazione. Il parametro è di dimensione finita a causa del presupposto EI≠0. Inoltre, α≠0 per P>0.

Fig. 2

Poiché l’equazione differenziale lineare (1a) è omogenea, anche questo problema è risolto da n_∙__v(z)_, dove n è una costante arbitraria. Già dalla classificazione matematica dell’equazione differenziale (1a) si può vedere che l’entità della flessione v non può essere determinata. Per determinare le costanti di integrazione A, B, C, D nel caso Eulero\ (fig. 2) sono disponibili le seguenti condizioni di contorno: A causa del supporto articolato, il momento flettente su entrambe le estremità dell’asta è zero, cioè

v=0 e M=0 per z=0

v=0 e M=0 per z=s.

A causa di M=-EI_∙__v’‘_, ne consegue che M=0 è il valore di v’’=0, quindi le quattro condizioni del contorno si leggono:

v=0 e v’’=0 per z=0

v=0 e v’’=0 per z=s.

La soluzione (2) risulta quindi in quattro equazioni lineari:

Eq. 3

Queste quattro equazioni omogenee hanno la prima soluzione cosiddetta banale A=B=C=D=0, che corrisponde a v(z)=0. L’asta non piegata v_(z_)=0 è la solita posizione di equilibrio per valori arbitrari, soprattutto piccoli, di carico P. Qui siamo interessati principalmente alle condizioni in cui l’asta si piega, vale a dire che v(z)≠0. Le equazioni (3) non hanno una soluzione così banale con A, B, C, D ≠ 0 solo se il determinante del coefficiente è uguale a zero.

Uno. 3a

Dalle condizioni di instabilità Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mandare a calcolare i valori critici PK del carico. Questa equazione è soddisfatta solo se sin αs = 0, cioè per αKms = mπ con m=1,2,3,… I valori corrispondenti della forza di stabilità di Eulero\ sono PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Per ogni valore di m si ottiene una certa forza di flessione. Nella maggior parte dei casi, solo la più piccola di queste forze è interessante, e basta

PK1=EI(π/s)2.

Nella versione successiva, ci sarà un indice m, o 1 per lo più omesso, riferito al più basso dei carichi critici. Di interesse è la corrispondente linea elastica. Da una (2) si ottengono le costanti B=C=D=0. La condizione rimanente è A∙sin__αs=0. La linea di instabilità elastica per il caso precedente m=1 è, quindi, v(z) = A_∙sinπz/s_, dove v(z) è per αK risp. PK autofunzione corrispondente. La grandezza di A rimane indeterminata.

Diamo un’altra occhiata all’intera area di carico. Per valori arbitrari di P, in particolare per le forze P_<_PK1 è v(z)=0, l’asta rimane dritta.

Nella teoria classica della stabilità, per carico “gradualmente crescente” P si intende una serie consecutiva di valori P, dove la stabilità del caso di carico osservato verrà testata più e più volte per ogni singolo livello di carico P. Durante il test di stabilità la dimensione di P rimane sicuramente invariata. Se uno stato P risulta stabile, il carico viene aumentato di qualcosa e quindi il test di stabilità viene ripetuto. Questa determinazione accurata è necessaria affinché non vi sia confusione con il tipo di carico, che è alla base dell’effetto Shanley, in cui si verifica un aumento del carico e contemporaneamente agiscono piccoli disturbi. Nell’esame della stabilità secondo Shanley\ nell’area dell’instabilità plastica si verifica una forza di biforcazione minore rispetto al metodo di considerazione classico.

Le seguenti considerazioni presuppongono il primo modo di aumento del carico: Con un aumento graduale del carico P in questo senso, si arriva per PK1=EI_∙(π/s)_2 prima ad un punto di biforcazione dell’equilibrio elastico, con una semplice linea sinusoidale come linea di instabilità elastica

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A denota l’ampiezza indeterminata della linea elastica. Per i carichi _P*__>_PK1 è secondo la teoria linearizzata Δ≠0, cioè lì il bilanciamento non è possibile. Solo per forze di instabilità maggiori PK2 ecc. sarà nuovamente Δ=0 ​​​​e quindi anche v(z)≠0. La causa di questa conclusione teorica, che non corrisponde al comportamento reale, risiede nella linearizzazione dell’equazione differenziale.

Deformazione di barre stampate composte da due parti

Ci limitiamo a bastoncini pressati in due parti e per bastoncini pressati composti da tre o più parti si applicano rapporti simili.

Fig. 3

In base al tipo di collegamento trasversale si distinguono le aste a traliccio (fig. 3a) e le aste a telaio (fig. 3e). Senza le traverse, ciascuna parte del bastoncino si piegherebbe da sola (fig. 3b). Se il riempimento è relativamente debole, una singola asta della cintura può piegarsi senza piegare l’intera asta. Per l’asta a traliccio fig. 3c può essere paragonato: sinistro per sistema a cerniera, destro per nastri continui; e per l’asta del telaio fig. 3f a sinistra per piastre di collegamento morbide, a destra per piastre di collegamento rigide. Da lì si può vedere che la snellezza λ__1_=s1/i1_ ha una grande influenza. Per la singola parte dell’asta, I1=F1_∙_i12 è impostato, s1 è la spaziatura del campo (fig. 3), i1 si riferisce all’asse 1-1 (vedi fig. 4).

Fig. 4

La forza di flessione delle aste composte corrispondenti alle linee di flessione elastica di fig. 3d, o 3g è stato oggetto di approfondite indagini teoriche. Se l’asta fosse composta da sezioni uniche (ad esempio con una nervatura) o se i collegamenti trasversali fossero così frequenti che un’asta piegata da due parti non differisca nell’effetto da un’asta singola, allora sarebbe σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Lì denota λ__y=sK/iy (fig. 4). Tuttavia, nella pratica, questa sollecitazione di instabilità non sarà completamente raggiunta perché non ci sono abbastanza collegamenti trasversali per questo, ed essi sono anche elastici. Un’approssimazione che soddisfa nella maggior parte dei casi si ottiene se poniamo secondo la proposta F. Engesser\a che lo sforzo di flessione di un’asta stampata composta da due parti sia uguale

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi è la cosiddetta snellezza ideale.

I tiranti trasversali devono essere in numero sufficiente e sufficientemente forti da forzare entrambe le parti dell’asta ad agire insieme. Escludendo le tensioni secondarie, i collegamenti trasversali rimangono non sollecitati finché l’asta rimane diritta. È solo con la flessione che devono ricevere forze e devono trasmettere forze trasversali che aumentano con la flessione. Nel caso in cui si tratti di una linea elastica

forza trasversale a I=cost. è uguale

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

Con la fig. 5 m può essere letto immediatamente Q(z)=PK∙v’(z). Il valore più alto all’estremità dell’asta è

Fig. 5

I collegamenti trasversali devono essere in grado di assorbire questa forza trasversale. Poiché il carico corrispondente è la forza di flessione PK, è sufficiente che il limite di portata venga raggiunto anche nei collegamenti trasversali, cioè contemporaneamente con l’intera barra. Ovviamente, non ci sarebbe alcun vantaggio se i legami incrociati fossero dimensionati molto più forti del necessario per ricevere Q0. D’altra parte, i legami incrociati troppo deboli causerebbero il cedimento prematuro dell’asta.

L’equazione di cui sopra non può essere utilizzata dall’inizio perché l’entità della freccia di instabilità è sconosciuta. L’asta è in equilibrio indifferente sotto PK e può, almeno in primo grado di approssimazione, assumere un valore arbitrario. È quindi utile, secondo la proposta di F. Krohn-a, per determinare l’entità di quell’instabilità maxv alla quale l’asta piegata perde la sua capacità portante a causa della rottura dovuta alla flessione. Ciò avverrà sicuramente se il punto di snervamento viene raggiunto sul lato concavo della curva (fig. 6). La flessione per questo motivo aumenta ulteriormente e i corrispondenti momenti flettenti non possono essere applicati.

Fig. 6

La sollecitazione totale sul lato concavo della piega è secondo la fig. 6 per materiale plastico ideale

Da lì nasce la più grande flessione che si possa ancora sopportare

maxQ0 è la forza trasversale corrispondente all’estremità dell’asta.

Se utilizzato per la forma di σK Tetmaier\ e inserire σF=3,1 t/cm2 e sK=e/2 ∙ λy corrispondente a iy≈e/2, quindi I Krohn si ottengono con il valore approssimativo maxQ0=F/28 (Q in t, F in cm2).

Per linee di tensione di instabilità arbitrarie, otteniamo

maxQ0=μK∙SK.

Il coefficiente μK cambia con la snellezza dell’asta, dipende anche dal materiale. Quando l’equazione di cui sopra viene divisa per il coefficiente di sicurezza contro l’instabilità, può essere scritta

dozv__Q=μ∙dozvS.

Instabilità dei sistemi di linea

Nei sistemi lineari, è consuetudine determinare per confronto la lunghezza di piegatura sK=β∙h di un’asta incernierata su entrambe le estremità e la cui forza di piegatura PK=π2EI/s2K è altrettanto grande. Per gli esempi seguenti verrà fornita la “lunghezza d’instabilità” comparativa.

a) Asta bloccata su entrambe le estremità (EI=cost.)

Fig. 7

Per il caso di fig. 7 di instabilità è PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, la “lunghezza di instabilità” comparativa sK=h/2 e la linea elastica di instabilità v(z)=D(1-cos2πz/h).

b) Asta libera ad un’estremità (fig. 8)

Sl. 8

Si presuppone che la direzione di P non cambi quando l’asta si piega. Quindi (EI=cost.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

Le condizioni del contorno per l’estremità libera z=h qui leggi

M=0 o v’’=0

Q=M’-Pv’=0 o v’’’+a2∙v’=0.

c) Asta bloccata ad un’estremità (fig. 9)

Fig. 9

Con condizioni di contorno

v=0 e v’=0 per z=0

v=0 e v’’=0 per z=h

si ottiene per EI=const. condizione di instabilità

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

o equivalente

tgαh=αh.   (4)

Le radici di questa equazione trascendente si trovano nelle tabelle K. Hayashi's. La forza di flessione più bassa è secondo le tabelle PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.

La lunghezza d’instabilità comparativa è sK = h / √2,046 = 0,699h.

d) Asta pizzicata ad un’estremità con disordine (fig. 10)

Fig. 10

Osserveremo il caso di uno spostamento della punta di dimensione costante. Le condizioni del contorno per questo sono

v=0 e v’=0 per z=0,

v=v1 e v’’=0 per z=h.

È un problema di equilibrio con una linea elastica

Il denominatore del termine prima delle parentesi {} sarà zero e l’instabilità aumenta sopra tutti i limiti se P→PK (vedere la condizione di instabilità Eq. (4)). Una caratteristica del comportamento dell’asta è che le pieghe all’estremità centrale e inferiore dell’asta inizialmente sono più piccole all’aumentare del carico P e cambiano segno solo con carichi maggiori. Sl. 10 mostra le curve a metà altezza.

e) Stick continuo su due campi

Fig. 11

Per entrambe le aree della soluzione (fig. 11) applicheremo l’impostazione

I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_

II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.

Per semplificazione sia (EI)1=(EI)2=EI. Per trovare le otto costanti A1, …, A2, … vengono utilizzate le condizioni del contorno

v=0 e v’=0 per z1=0,

v=0 e v’’=0 per z2=h,

nonché condizioni transitorie tra le aree I e II

v=0 per z1=h e per z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

Le equazioni condizionali sono riportate nella tabella seguente

Impostando che il determinante del coefficiente sia pari a zero, si ottiene la condizione di buckling

Lunghezza di piegatura sK=0,878_h_, mentre per la fig. 35 o β=0,699. La forza di flessione è diminuita rispetto a 2,046: 1,297 a causa dell’aggiunta di un secondo campo incernierato. Se l’altro campo venisse pizzicato più in alto, la forza di flessione aumenterebbe nuovamente fino al picco. 2,04 PE.

Questa presentazione storica delle formule non è un progetto né una prova della stabilità della struttura. Le assunzioni classiche di elemento rettilineo ideale, carico centrico e area elastica non includono necessariamente le imperfezioni iniziali, le tensioni residue, l’eccentricità, la rigidezza della connessione, la non linearità del materiale, la stabilità laterale né, quando applicabile, il fuoco, l’azione sismica e le fasi di assemblaggio. Il calcolo della struttura effettiva deve essere effettuato da un ingegnere civile autorizzato secondo le normative e gli standard vigenti.