Ngayon, ang Savo Kusić ay nakatuon sa mga bintanang kahoy, mga bintanang kahoy-aluminyo, pasadyang mga bintana, pinto at mga kahilingan para sa panipi. Ang tekstong ito ay nananatiling isang archive ng structural theory at hindi isang alok ng static na disenyo, stability calculations o structural rehabilitation.
Differential equation ng bending buckling
Ipinapalagay na ang lahat ng mga ideyalisasyon ay nasiyahan, lalo na
- na ang pamalo ay ganap na tuwid
- na ang load P ay kumikilos sa baras ng baras
- na ang mga boltahe ay mananatiling mas mababa sa limitasyon ng proporsyonalidad
- na ang mga deformation ay sapat na maliit upang payagan ang mga karaniwang pagpapasimple ng mga kalkulasyon.
Kung ang baras ay yumuko sa ilalim ng pagkilos ng puwersa P at marahil dahil din sa pagkarga q na kumikilos sa nakahalang direksyon, kung gayon ang mga kilalang kondisyon ng balanse sa pagitan ng mga panlabas na pag-load at ang mga puwersa sa seksyon ay dapat masiyahan. Bukod dito, natural na dapat magkaroon ng mga kilalang ugnayan sa pagitan ng mga deformation at pwersa sa seksyon.
Fig. 1 - Balanse
Sa fig.1isang elemento ng baluktot na baras na may haba na ds ay ipinakita. Ang slope ng v’ tangent ay maliit upang hanggang sa pangalawang pagkakasunud-sunod, ang haba ng elemento ay maaaring itakda na katumbas ng projection na ds=dz. Bilang karagdagan, sa mga pagsubok na binanggit sa ibaba, ang mga kaso kung saan ang P ay patuloy na nagbabago sa kahabaan ng axis ng baras ay hindi isasaalang-alang, ibig sabihin, normal na puwersa N≈P=const. Sa tatlong kondisyon ng ekwilibriyo na magagamit para sa elemento, maaaring mapabayaan ang isang tiyak na bilang ng mga miyembro. Para sa mga marka at palatandaan mula sa fig.10mananatili pagkatapos sa unang pagtatantya ng equation
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Maaaring alisin ang transverse force, at pagkatapos ay M’‘=Pv’’-q holds. Ang batas ni _Bernoulli M=-EI/R ay nagbibigay ng nawawalang equation. Ang curve ng axis ng baras, gaya ng dati, mula sa teorya ng beam bending, ay pinasimple bilang mga sumusunod
Ito ay kaya posible na alisin ang baluktot sandali; at sa M=-EI*v’’ ang differential equation para sa baluktot na baras
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Sa espesyal na kaso ng patuloy na paninigas ng baluktot EI=const. ang equation (1) ay pinasimple, kaya ito ay
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. Ang (1) at (1a) ay linear sa v ayon sa nabanggit na mga pagpapasimple.
Praktikal, ang pinakasimpleng kaso ng patuloy na paninigas ng baluktot EI=const. ay partikular na mahalaga, na nagsisilbing batayan para sa mga halimbawa sa ibaba.
kaso ni Euler
Ang mga pagpapalagay para sa klasikal na kaso ng buckling ay, bukod sa nabanggit na mga ideyalisasyon: p=0, kaya N=const.=P, pati na rin ang patuloy na paninigas na walang friction, na eksaktong nasa axis ng rod. Ang ordinaryong differential equation (1a) ay ikaapat na ayos, linear at homogenous dahil sa q=0. Ang pangkalahatang solusyon ay:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kung saan ang A, B, C, D ay ang apat na integration constant. Ang parameter ay may hangganan na laki dahil sa pagpapalagay na EI≠0. Higit pa rito, α≠0 para sa P>0.
Fig. 2
Dahil homogenous ang linear differential equation (1a), ang problemang ito ay nalulutas din ng n_∙__v(z)_, kung saan ang n ay isang arbitrary constant. Mula na sa mathematical classification ng differential equation (1a) makikita na ang magnitude ng bending v ay hindi matukoy. Upang matukoy ang integration constants A, B, C, D sa Euler\ case (fig. 2) ang mga sumusunod na contour condition ay magagamit: Dahil sa articulated support, ang bending moment ay zero sa magkabilang dulo ng rod, i.e.
v=0 at M=0 para sa z=0
v=0 at M=0 para sa z=s.
Dahil sa M=-EI_∙__v’‘_, sumusunod na ang M=0 ay ang halaga ng v’’=0, kaya ang apat na contour condition ay nabasa:
v=0 at v’’=0 para sa z=0
v=0 at v’’=0 para sa z=s.
Ang solusyon (2) kaya nagreresulta sa apat na linear equation:
Isa.3
Ang apat na homogenous na equation na ito ay may unang tinatawag na trivial solution na A=B=C=D=0, na tumutugma sa v(z)=0. Ang unbent rod v_(z_)=0 ay ang karaniwang equilibrium position para sa arbitrary, lalo na ang maliliit na value ng load P. Dito, pangunahing interesado kami sa mga kondisyon kung saan yumuyuko ang baras, ibig sabihin, ang v(z)≠0. Ang mga equation (3) ay walang ganoong maliit na solusyon na may A, B, C, D ≠ 0 lamang kung ang determinant ng coefficient ay katumbas ng zero.
Isa. 3a
Mula sa mga buckling na kondisyon Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog upang kalkulahin ang mga kritikal na halaga PK ng pagkarga. Ang equation na ito ay nasiyahan lamang kung sin αs =0, iyon ay para sa αKms = mπ na may m=1,2,3,… Ang mga katumbas na halaga ng buckling force ni Euler ay PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Para sa bawat halaga ng m, isang tiyak na puwersa ng buckling ay nakuha. Sa karamihan ng mga kaso, tanging ang pinakamaliit sa mga puwersang ito ay interesado, at iyon
PK1=EI(π/s)2.
Sa susunod na bersyon, magkakaroon ng index m, o 1 na kadalasang tinanggal, na tumutukoy sa pinakamababa sa mga kritikal na pag-load. Ang interes ay ang kaukulang nababanat na linya. Mula sa isang (2) constants B=C=D=0 ay nakuha. Ang natitirang kundisyon ay A∙sin__αs=0. Ang elastic buckling line para sa case sa itaas na m=1 ay, samakatuwid, v(z) = A_∙sinπz/s_, kung saan ang v(z) ay para sa αK resp. PK kaukulang eigenfunction. Ang magnitude ng A ay nananatiling hindi natukoy.
Tingnan natin muli ang buong lugar ng pagkarga. Para sa mga di-makatwirang halaga ng P, lalo na para sa mga puwersa P_<_PK1 ay v(z)=0, ang baras ay nananatiling tuwid.
Sa klasikal na teorya ng katatagan, sa ilalim ng “unti-unting pagtaas” ng pagkarga P ay nangangahulugang isang magkakasunod na serye ng mga halaga P, kung saan ang katatagan ng naobserbahang kaso ng pagkarga ay muling susuriin para sa bawat indibidwal na antas ng pagkarga P. Sa panahon ng pagsubok sa katatagan, ang laki ng P ay nananatiling tiyak na hindi nagbabago. Kung ang isang estado P ay tinutukoy na maging matatag, kung gayon ang pagkarga ay tataas ng isang bagay, at samakatuwid ang pagsubok sa katatagan ay paulit-ulit. Ang tumpak na pagpapasiya na ito ay kinakailangan upang walang kalituhan sa uri ng pagkarga, na siyang batayan para sa Shanley\ effect, kung saan mayroong pagtaas sa pagkarga habang ang mga maliliit na abala ay kumikilos nang sabay-sabay. Kapag sinusuri ang katatagan ayon kay Shanley, sa lugar ng plastic buckling, isang mas maliit na puwersa ng bifurcation ang nangyayari kaysa sa klasikal na paraan ng pagsasaalang-alang.
Ang mga sumusunod na pagsasaalang-alang ay ipinapalagay ang unang paraan ng pagtaas ng load: Sa isang unti-unting pagtaas ng load P sa ganitong kahulugan, ang isa ay dumarating para sa PK1=EI_∙(π/s)_2 una sa isang bifurcation point ng elastic equilibrium bilang elastic equilibrium, linya
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A ay tumutukoy sa hindi tiyak na amplitude ng elastic line. Para sa mga load _P*__>_PK1 ay ayon sa linearized theory Δ≠0, ibig sabihin, hindi posible ang balanse doon. Para lamang sa mas matataas na puwersang buckling PK2 atbp. ito ay magiging muli Δ=0 at sa gayon ay v(z)≠0 din. Ang sanhi ng teoretikal na konklusyon na ito, na hindi tumutugma sa aktwal na pag-uugali, ay nakasalalay sa linearization ng differential equation.
Buckling ng mga pinindot na rod na binubuo ng dalawang bahagi
Nililimitahan namin ang aming sarili sa dalawang bahagi na pinindot na mga stick, at para sa mga pinindot na stick na binubuo ng tatlo o higit pang mga bahagi, ang mga katulad na ratio ay nalalapat.
Sl.3
Ayon sa uri ng transverse na koneksyon, ang mga lattice rod ay naiiba (fig.3a) at mga frame rod (fig.3e). Kung walang mga cross ties, ang bawat bahagi ng stick ay baluktot nang mag-isa (fig.3b). Kung ang pagpuno ay medyo mahina, kung gayon ang isang solong pamalo ng sinturon ay maaaring yumuko nang hindi baluktot ang baras sa kabuuan. Para sa lattice rod fig.3c ay maaaring ihambing: kaliwa para sa hinged system, kanan para sa tuloy-tuloy na sinturon; at para sa frame rod fig.3f sa kaliwa para sa malambot na mga sheet ng koneksyon, sa kanan para sa mga matibay na sheet ng koneksyon. Mula doon, makikita na malaki ang impluwensya ng slimness λ__1_=s1/i1_. Para sa indibidwal na bahagi ng pamalo, ako ay inilagay1=F1_∙_i12, s1 ay ang field spacing (fig.3), i1 ay tumutukoy sa axis1-1(tingnan ang Fig.4).
Sl.4
Ang buckling force ng compound rods na tumutugma sa elastic buckling lines ng fig. Ang 3d, o 3g ay ang paksa ng mga kumpletong teoretikal na pagsisiyasat. Kung ang baras ay binubuo ng mga natatanging seksyon (hal. may tadyang) o kung ang mga nakahalang na koneksyon ay napakadalas na ang isang baras na nakabaluktot mula sa dalawang bahagi ay hindi naiiba sa epekto nito mula sa isang baras, ito ay magiging σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Doon ay nagsasaad ito ng λ__y=sK/iy (fig. 4). Gayunpaman, ang buckling stress na ito ay hindi ganap na maaabot sa pagsasanay dahil walang sapat na transverse na koneksyon para doon, at ang mga ito ay nababanat din. Ang isang pagtatantya na nakakatugon sa karamihan ng mga kaso ay nakuha kung ilalagay namin ayon sa panukala F. Engesser\a na ang bending stress ng isang pinindot na baras na binubuo ng dalawang bahagi ay pantay
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
Ang λyi ay ang tinatawag na ideal slenderness.
Ang mga cross ties ay dapat sapat sa bilang at sapat na malakas upang pilitin ang magkabilang bahagi ng baras na kumilos nang magkasama. Hindi kasama ang mga pangalawang stress, ang mga transverse link ay nananatiling hindi naka-stress hangga’t ang baras ay nananatiling tuwid. Sa pamamagitan lamang ng baluktot na kailangan nilang makatanggap ng mga puwersa, at kailangan nilang magpadala ng mga nakahalang pwersa na tumataas sa baluktot. Kung sakaling ito ay isang nababanat na linya
transverse force sa I=const. ay pantay
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Sa fig. Mababasa agad ang 5 m Q(z)=PK∙v’(z). Ang pinakamataas na halaga sa dulo ng pamalo ay
Sl.5
Ang mga nakahalang na koneksyon ay dapat na kayang tanggapin ang nakahalang puwersa na ito. Dahil ang kaukulang load ay ang buckling force PK, ito ay sapat na kung ang load-bearing limit ay maabot din para dito sa transverse connections - ibig sabihin, sabay-sabay sa buong baras. Malinaw, ito ay walang silbi kung ang mga cross-link ay may sukat na mas malakas kaysa sa kinakailangan upang makatanggap ng Q0. Sa kabilang banda, ang mga cross-link na masyadong mahina ay magiging sanhi ng pagbagsak ng pamalo nang maaga.
Ang equation sa itaas ay hindi maaaring gamitin sa simula dahil ang magnitude ng buckling arrow ay hindi alam. Ang baras ay nasa walang malasakit na ekwilibriyo sa ilalim ng PK at maaari, kahit sa unang antas ng pagtatantya, ay kumuha ng di-makatwirang halaga. Samakatuwid ito ay kapaki-pakinabang, ayon sa panukala ng F. Krohn-a, upang matukoy ang magnitude ng buckling maxv na iyon kung saan ang baluktot na baras ay nawawala ang kapasidad nitong tindig dahil sa pagkabigo dahil sa baluktot. Ito ay tiyak na magaganap kung ang yield point ay naabot sa malukong bahagi ng liko (Fig.6). Ang mga liko para dito ay lalong lumalaki at ang kaukulang mga baluktot na sandali ay hindi mailalapat.
Fig. 6
Ang kabuuang diin sa malukong bahagi ng liko ay ayon sa fig.6para sa perpektong materyal na plastik
Doon nagmumula ang pinakadakilang pagmamayabang na maaari pang tiisin
maxQ0 ay ang katumbas na transverse force sa dulo ng baras.
Kung ginamit para sa σK Tetmeier's form at ilagay ang σF=3,1t/cm2at sK=e/2∙ λy na tumutugma sa iy≈e/2, pagkatapos ay nakuha ang tinatayang halaga ng _maxQ ni Krohn_0=F/28(Q sa t, F sa cm2).
Para sa mga arbitrary na linya ang buckling stress ay nakuha
maxQ0=μK∙SK.
Ang koepisyent na μK ay nagbabago sa slenderness ng baras, depende rin ito sa materyal. Kapag ang equation sa itaas ay hinati sa coefficient of safety laban sa buckling maaari itong isulat
dozv__Q=μ∙dozvS.
Buckling ng mga linear system
Sa kaso ng mga linear system, karaniwan nang matukoy ang haba ng baluktot sK=β∙h ng isang baras na nakabitin sa magkabilang dulo at ang puwersa ng baluktot ay PK=π para sa paghahambing.2EI/s2K kasing laki. Ang isang paghahambing na “buckling length” ay ibibigay para sa mga halimbawa sa ibaba.
a) Naka-clamp ang rod sa magkabilang dulo (EI=const.)
Sl.7
Para sa kaso ng fig.7ng buckling ay PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, comparative “buckling length” sK=h/2at ang elastic buckling line v(z)=D(1- kasi2πz/h).
b) Walang tungkod sa isang dulo (fig.8)
Sl. 8
Ipinapalagay na ang direksyon ng P ay hindi nagbabago habang ang baras ay yumuyuko. Pagkatapos (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Ang mga kundisyon ng contour para sa libreng dulo z=h dito basahin
M=0 o v’’=0
Q=M’-Pv’=0 o v’’’+a2∙v’=0.
c) Naka-clamp ang rod sa isang dulo (fig. 9)
Sl.9
Na may contour condition
v=0 at v’=0 para sa z=0
v=0 at v’’=0 para sa z=h
ay nakuha para sa EI=const. buckling condition
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
o katumbas
tgαh=αh. (4)
Ang mga ugat ng transendental na equation na ito ay matatagpuan sa mga talahanayan K. Hayashi's. Ang pinakamababang buckling force ay ayon sa mga talahanayan PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Ang paghahambing na haba ng buckling ay sK = h / √2,046=0,699h.
d) Isang baras na naka-clamp sa isang dulo na may sakit (fig.10)
Fig. 10
Isasaalang-alang namin ang kaso ng pag-aalis ng tip ng pare-pareho ang laki. Ang mga kondisyon ng tabas para doon ay
v=0at v’=0 para sa z=0,
v=v1at v’’=0 para sa z=h.
Ito ay isang problema sa ekwilibriyo na may nababanat na linya
Ang denominator ng termino bago ang {}-bracket ay magiging zero at ang buckling ay tataas sa lahat ng limitasyon kung P→PK (tingnan ang buckling condition Eq. (4)). Ito ay katangian ng pag-uugali ng baras na ang mga liko sa gitna at ibabang dulo ng baras ay sa simula ay mas maliit na may pagtaas ng pagkarga P at binabago ang kanilang tanda para lamang sa mas mataas na pagkarga. Sl.10nagpapakita ng mga baluktot sa kalahating taas.
e) Tuloy-tuloy na stick sa dalawang field
Sl.11
Para sa parehong lugar ng solusyon (fig.11) ilalapat namin ang setting
At_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Para sa pagiging simple hayaan na lang (EI)1=(EI)2=EI. Upang mahanap ang walong constants A1, …, A2, … nagsisilbing contour condition
v=0 at v’=0 para sa z1=0,
v=0 at v’’=0 para sa z2=h,
pati na rin ang mga transisyonal na kondisyon sa pagitan ng mga lugar I at II
v=0 para sa z1=h at para sa z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Ang mga conditional equation ay ibinigay sa talahanayan sa ibaba
Pagtatakda na ang determinant ng coefficient ay katumbas ng zero, ang buckling condition ay nakuha
Baluktot na haba sK=0,878_h_, habang para sa fig. 35 o β=0,699. Ang buckling force ay bumaba kumpara sa 2,046 : 1,297 dahil sa pagdaragdag ng pangalawang field na naka-hinged. Kung ang kabilang field ay pinched mas mataas, pagkatapos ay ang buckling puwersa ay tataas muli sa tuktok. 2,04 PE.
Ang makasaysayang presentasyon ng mga formula ay hindi isang proyekto o isang patunay ng katatagan ng istraktura. Ang mga klasikal na pagpapalagay ng perpektong tuwid na miyembro, centric load at elastic na lugar ay hindi kinakailangang kasama ang mga paunang imperfections, natitirang mga stress, eccentricity, higpit ng koneksyon, materyal na hindi linearity, lateral stability o, kung naaangkop, sunog, seismic action at mga yugto ng pagpupulong. Ang pagkalkula ng aktwal na istraktura ay dapat gawin ng isang awtorisadong inhinyero ng sibil ayon sa wastong mga regulasyon at pamantayan.