Hari ini, Savo Kusić tertumpu pada tingkap kayu, tingkap kayu-aluminium, tingkap tersuai, pintu dan permintaan untuk sebut harga. Teks ini kekal sebagai arkib teori struktur dan bukan tawaran reka bentuk statik, pengiraan kestabilan atau pemulihan struktur.
Persamaan pembezaan lenturan lentur
Adalah diandaikan bahawa semua idealisasi dipenuhi, terutamanya
- bahawa joran itu betul-betul lurus
- bahawa beban P bertindak dalam aci rod
- bahawa voltan kekal di bawah had kekadaran
- bahawa ubah bentuk adalah cukup kecil untuk membolehkan penyederhanaan biasa pengiraan.
Jika rod bengkok di bawah tindakan daya P dan mungkin juga disebabkan oleh beban q yang bertindak dalam arah melintang, maka keadaan keseimbangan yang diketahui antara beban luar dan daya dalam bahagian mesti dipenuhi. Selain itu, adalah wajar bahawa terdapat hubungan yang diketahui antara ubah bentuk dan daya dalam bahagian tersebut.
Gamb. 1 - Baki
Dalam rajah.1elemen rod bengkok panjang ds dibentangkan. Cerun tangen v’ adalah kecil supaya sehingga tertib kedua, panjang elemen boleh ditetapkan supaya sama dengan unjuran ds=dz. Di samping itu, dalam ujian yang dinyatakan di bawah, kes di mana P sentiasa berubah di sepanjang paksi rod tidak akan diambil kira, iaitu daya biasa N≈P=const. Dalam tiga keadaan keseimbangan yang tersedia untuk unsur, sebilangan ahli kemudiannya boleh diabaikan. Untuk tanda dan tanda dari rajah.10kekal kemudian dalam penghampiran pertama persamaan
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Daya melintang boleh dihapuskan, dan kemudian M’‘=Pv’’-q tahan. Hukum Bernoulli M=-EI/R menyediakan persamaan yang hilang. Lengkung paksi rod, seperti biasa, daripada teori lenturan rasuk, dipermudahkan seperti berikut
Ia adalah mungkin untuk menghapuskan momen lentur; dan dengan M=-EI*v’’ persamaan pembezaan untuk rod bengkok
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Dalam kes khas kekakuan lentur yang berterusan EI=const. persamaan (1) dipermudahkan, jadi
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Persamaan. (1) dan (1a) adalah linear dalam v mengikut pemudahan yang disebutkan.
Secara praktikal, kes paling mudah bagi kekakuan lentur yang berterusan EI=const. amat penting, yang menjadi asas untuk contoh di bawah.
Kes Euler
Andaian untuk kes klasik lengkokan adalah, selain daripada idealisasi yang disebutkan: p=0, jadi N=const.=P, serta kekakuan berterusan tanpa geseran, yang terletak tepat pada paksi rod. Persamaan pembezaan biasa (1a) ialah tertib keempat, linear dan homogen disebabkan oleh q=0. Penyelesaian umum ialah:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
di mana A, B, C, D ialah empat pemalar penyepaduan. Parameter adalah saiz terhingga kerana andaian EI≠0. Tambahan pula, α≠0 untuk P>0.
Gamb. 2
Oleh kerana persamaan pembezaan linear (1a) adalah homogen, masalah ini juga diselesaikan oleh n_∙__v(z)_, di mana n ialah pemalar arbitrari. Dari klasifikasi matematik persamaan pembezaan (1a) dapat dilihat bahawa magnitud lentur v tidak dapat ditentukan. Untuk menentukan pemalar penyepaduan A, B, C, D dalam kes Euler\ (rajah 2) keadaan kontur berikut tersedia: Disebabkan sokongan bersuara, momen lentur adalah sifar pada kedua-dua hujung rod, i.e.
v=0 dan M=0 untuk z=0
v=0 dan M=0 untuk z=s.
Disebabkan oleh M=-EI_∙__v’‘_, maka M=0 ialah nilai v’’=0, jadi empat keadaan kontur dibaca:
v=0 dan v’’=0 untuk z=0
v=0 dan v’’=0 untuk z=s.
Penyelesaian (2) dengan itu menghasilkan empat persamaan linear:
satu.3
Empat persamaan homogen ini mempunyai penyelesaian remeh pertama yang dipanggil A=B=C=D=0, yang sepadan dengan v(z)=0. Rod tidak bengkok v_(z_)=0 ialah kedudukan keseimbangan biasa untuk sewenang-wenangnya, terutamanya nilai kecil beban P. Di sini, kami amat berminat dengan keadaan di mana rod membengkok, iaitu v(z)≠0. Persamaan (3) tidak mempunyai penyelesaian remeh seperti itu dengan A, B, C, D ≠ 0 hanya jika penentu pekali adalah sama dengan sifar.
satu. 3a
Daripada keadaan lengkokan Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog untuk mengira nilai kritikal PK beban. Persamaan ini dipenuhi hanya jika sin αs =0, iaitu untuk αKms = mπ dengan m=1,2,3,… Nilai yang sepadan bagi daya lengkok Euler ialah PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Bagi setiap nilai m, daya lengkok tertentu diperolehi. Dalam kebanyakan kes, hanya kuasa terkecil ini yang menarik minat, dan itu
PK1=EI(π/s)2.
Dalam versi berikut, akan terdapat indeks m, atau 1 kebanyakannya ditinggalkan, merujuk kepada beban kritikal yang paling rendah. Yang menarik ialah garis elastik yang sepadan. Daripada satu (2) pemalar B=C=D=0 diperolehi. Syarat selebihnya ialah A∙sin__αs=0. Oleh itu, garisan lengkok elastik untuk bekas di atas m=1 ialah v(z) = A_∙sinπz/s_, di mana v(z) adalah untuk αK resp. PK fungsi eigen yang sepadan. Magnitud A masih tidak ditentukan.
Mari kita lihat lagi keseluruhan kawasan muatan. Untuk nilai arbitrari P, terutamanya untuk daya P_<_PK1 ialah v(z)=0, rod kekal lurus.
Dalam teori kestabilan klasik, di bawah beban “bertambah secara beransur-ansur” P bermaksud siri nilai berturut-turut P, di mana kestabilan bekas beban yang diperhatikan akan diuji berulang kali untuk setiap tahap beban individu P. Semasa ujian kestabilan, saiz P pastinya tidak berubah. Jika satu keadaan P ditentukan untuk stabil, maka beban itu dinaikkan oleh sesuatu, dan oleh itu ujian kestabilan diulang. Penentuan tepat ini adalah perlu supaya tidak ada kekeliruan dengan jenis beban, yang merupakan asas untuk kesan Shanley, di mana terdapat peningkatan dalam beban manakala gangguan kecil bertindak pada masa yang sama. Apabila memeriksa kestabilan mengikut Shanley, dalam bidang lekuk plastik, daya bifurkasi yang lebih kecil berlaku berbanding dengan kaedah pertimbangan klasik.
Pertimbangan berikut menganggap cara pertama pertambahan beban: Pada pertambahan beban secara beransur-ansur P dalam pengertian ini, seseorang tiba untuk PK1=EI_∙(π/s)_2 pertama pada satu titik bifurkasi bagi keseimbangan elastik sebagai sineckling mudah. talian
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A menandakan amplitud yang tidak ditentukan bagi garis anjal. Untuk beban _P*__>_PK1 adalah mengikut teori linear Δ≠0, iaitu baki tidak mungkin di sana. Hanya untuk daya lengkok yang lebih tinggi PK2 dsb. ia akan menjadi Δ=0 dan dengan itu juga v(z)≠0. Punca kesimpulan teori ini, yang tidak sepadan dengan tingkah laku sebenar, terletak pada linearisasi persamaan pembezaan.
Lencongan rod yang ditekan terdiri daripada dua bahagian
Kami mengehadkan diri kami kepada kayu ditekan dua bahagian, dan untuk kayu ditekan yang terdiri daripada tiga bahagian atau lebih, nisbah yang serupa dikenakan.
Sl.3
Mengikut jenis sambungan melintang, rod kekisi berbeza (rajah.3a) dan batang bingkai (rajah.3e). Tanpa ikatan silang, setiap bahagian kayu akan bengkok dengan sendirinya (rajah.3b). Sekiranya pengisian agak lemah, maka batang tali pinggang tunggal boleh membengkok tanpa membengkokkan batang secara keseluruhan. Untuk batang kekisi ara.3c boleh dibandingkan: kiri untuk sistem berengsel, kanan untuk tali pinggang berterusan; dan untuk batang rangka rajah.3f di sebelah kiri untuk helaian sambungan lembut, di sebelah kanan untuk helaian sambungan tegar. Dari situ, dapat dilihat bahawa kelangsingan λ_ mempunyai pengaruh yang besar1__=s1/i1_. Untuk bahagian individu rod, saya diletakkan1=F1_∙_i12, s1 ialah jarak medan (rajah.3), i1 merujuk kepada paksi1-1(lihat Rajah.4).
Sl.4
Daya lengkokan rod majmuk sepadan dengan garisan lekuk anjal rajah. 3d, atau 3g ialah subjek penyiasatan teori yang menyeluruh. Jika rod itu terdiri daripada bahagian yang unik (cth dengan rusuk) atau jika sambungan melintang terlalu kerap sehingga rod yang dibengkokkan dari dua bahagian tidak berbeza kesannya daripada satu rod, maka ia akan menjadi σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Di sana ia menandakan λ__y=sK/iy (rajah 4). Walau bagaimanapun, tegasan lengkok ini tidak akan dicapai sepenuhnya dalam amalan kerana tidak terdapat sambungan melintang yang mencukupi untuk itu, dan ia juga anjal. Anggaran yang memuaskan dalam kebanyakan kes diperoleh jika kita meletakkan mengikut cadangan F. Engesser\a bahawa tegasan lentur rod yang ditekan terdiri daripada dua bahagian adalah sama
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi ialah apa yang dipanggil kelangsingan ideal.
Ikatan silang mestilah mencukupi bilangan dan cukup kuat untuk memaksa kedua-dua bahagian rod bertindak bersama. Tidak termasuk tegasan sekunder, pautan melintang kekal tidak tertekan selagi rod kekal lurus. Hanya dengan lenturan mereka perlu menerima daya, dan mereka perlu menghantar daya melintang yang meningkat dengan lenturan. Sekiranya ia adalah garis anjal
daya melintang pada I=const. adalah sama
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Dengan ara. 5 m boleh dibaca serta-merta Q(z)=PK∙v’(z). Nilai tertinggi pada hujung joran ialah
Sl.5
Sambungan melintang mesti dapat menampung daya melintang ini. Oleh kerana beban yang sepadan ialah daya lengkok PK, adalah memadai jika had galas beban dicapai untuk ini juga dalam sambungan melintang - iaitu serentak dengan keseluruhan rod. Jelas sekali, ia tidak akan berguna jika pautan silang bersaiz lebih kuat daripada yang diperlukan untuk menerima Q0. Sebaliknya, pautan silang yang terlalu lemah akan menyebabkan joran gagal sebelum waktunya.
Persamaan di atas tidak boleh digunakan pada mulanya kerana magnitud anak panah lengkok tidak diketahui. Rod berada dalam keseimbangan acuh tak acuh di bawah PK dan boleh, sekurang-kurangnya dalam tahap penghampiran pertama, mengambil nilai sewenang-wenangnya. Oleh itu ia berguna, menurut cadangan F. Krohn-a, untuk menentukan magnitud maxv lengkok itu di mana rod bengkok kehilangan kapasiti galasnya akibat kegagalan akibat lenturan. Ini pasti akan berlaku jika titik hasil dicapai pada bahagian cekung selekoh (Gamb.6). Selekoh untuk ini berkembang lebih jauh dan momen lentur yang sepadan tidak boleh digunakan.
Gamb. 6
Jumlah tegasan pada bahagian cekung selekoh adalah mengikut rajah.6untuk bahan plastik yang ideal
Dari situ timbul keangkuhan terbesar yang masih boleh ditanggung
maxQ0 ialah daya melintang yang sepadan pada hujung rod.
Jika digunakan untuk borang σK Tetmeier\ dan letakkan σF=3,1t/cm2dan sK=e/2∙ λy yang sepadan dengan iy≈e/2, maka nilai anggaran Krohn's maxQ diperolehi0=F/28(Q dalam t, F dalam cm2).
Untuk garisan sewenang-wenangnya, tegasan lengkok diperolehi
maxQ0=μK∙SK.
Pekali μK berubah dengan kelangsingan rod, ia juga bergantung pada bahan. Apabila persamaan di atas dibahagikan dengan pekali keselamatan terhadap lengkokan ia boleh ditulis
dozv__Q=μ∙dozvS.
Lencongan sistem linear
Dalam kes sistem linear, adalah perkara biasa untuk menentukan panjang lentur sK=β∙h rod yang berengsel pada kedua-dua hujung dan daya lenturnya ialah PK=π sebagai perbandingan2EI/s2K sama besar. Perbandingan “panjang lekuk” akan diberikan untuk contoh di bawah.
a) Batang diapit pada kedua-dua hujung (EI=const.)
Sl.7
Untuk kes ara.7lengkokan ialah PK=4π2EI/j2=4,0∙PE, perbandingan “panjang lekuk” sK=h/2dan garis lekuk anjal v(z)=D(1- cos2πz/j).
b) Rod bebas pada satu hujung (rajah.8)
Sl. 8
Diandaikan bahawa arah P tidak berubah apabila rod membengkok. Kemudian (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Keadaan kontur untuk hujung percuma z=h di sini baca
M=0 atau v’’=0
Q=M’-Pv’=0 atau v’’’+a2∙v’=0.
c) Batang diapit pada satu hujung (rajah 9)
Sl.9
Dengan keadaan kontur
v=0 dan v’=0 untuk z=0
v=0 dan v’’=0 untuk z=h
diperoleh untuk EI=const. keadaan lekuk
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
atau setara
tgαh=αh. (4)
Punca-punca persamaan transendental ini terdapat dalam jadual K. Hayashi's. Daya lengkok yang paling rendah adalah mengikut jadual PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/j2.
Panjang lengkokan perbandingan ialah sK = h / √2,046=0,699h.
d) Batang diapit pada satu hujung dengan gangguan (rajah.10)
Gamb. 10
Kami akan mempertimbangkan kes anjakan hujung saiz malar. Syarat kontur untuk itu ialah
v=0dan v’=0 untuk z=0,
v=v1dan v’’=0 untuk z=h.
Ia adalah masalah keseimbangan dengan garis anjal
Penyebut sebutan sebelum {}-kurung akan menjadi sifar dan lengkokan meningkat melebihi semua had jika P→PK (lihat Persamaan keadaan lengkokan (4)). Ia adalah ciri tingkah laku rod bahawa lenturan di bahagian tengah dan hujung bawah rod pada mulanya lebih kecil dengan peningkatan beban P dan menukar tandanya hanya untuk beban yang lebih tinggi. Sl.10menunjukkan selekoh pada separuh ketinggian.
e) Melekat berterusan merentasi dua medan
Sl.11
Untuk kedua-dua kawasan penyelesaian (rajah.11) kami akan menggunakan tetapan
Dan_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Untuk kesederhanaan biarlah (EI)1=(EI)2=EI. Untuk mencari lapan pemalar A1, …, A2, … berfungsi sebagai keadaan kontur
v=0 dan v’=0 untuk z1=0,
v=0 dan v’’=0 untuk z2=h,
serta keadaan peralihan antara kawasan I dan II
v=0 untuk z1=j dan untuk z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Persamaan bersyarat diberikan dalam jadual di bawah
Menetapkan bahawa penentu pekali adalah sama dengan sifar, keadaan lengkok diperoleh
Panjang lentur sK=0,878_h_, manakala untuk rajah. 35 atau β=0,699. Daya lengkokan telah berkurangan berbanding 2,046 : 1,297 disebabkan penambahan medan kedua yang berengsel. Jika medan lain dicubit lebih tinggi, maka daya lengkok akan meningkat semula ke puncak. 2,04 PE.
Persembahan sejarah formula ini bukan projek atau bukti kestabilan struktur. Andaian klasik bagi anggota lurus ideal, beban sentrik dan kawasan keanjalan tidak semestinya termasuk ketidaksempurnaan awal, tegasan baki, kesipian, kekakuan sambungan, bahan bukan linear, kestabilan sisi atau, apabila berkenaan, kebakaran, tindakan seismik dan fasa pemasangan. Pengiraan struktur sebenar mesti dilakukan oleh jurutera awam yang diberi kuasa mengikut peraturan dan piawaian yang sah.