संबंधित माहिती: तुमच्या प्रकल्पानुसार बनवलेल्या लाकडी खिडक्या. · ऑर्डर-टू-ऑर्डर लाकडी-ॲल्युमिनियम खिडक्या. · घरे, प्रकल्प आणि निर्यातीसाठी कस्टम विंडो. · ऑर्डर-टू-ऑर्डर लाकडी आणि लाकूड-ॲल्युमिनियम दरवाजे. · कोट विनंती पाठवा.
बेंडिंग बकलिंगचे भिन्न समीकरण
असे गृहीत धरले जाते की सर्व आदर्शीकरणे समाधानी आहेत, विशेषतः
- की रॉड पूर्णपणे सरळ आहे
- की लोड P रॉडच्या शाफ्टमध्ये कार्य करते
- की व्होल्टेज आनुपातिकतेच्या मर्यादेपेक्षा कमी राहतात
- गणनेच्या नेहमीच्या सरलीकरणास अनुमती देण्यासाठी विकृती पुरेसे लहान आहेत.
जर रॉड P शक्तीच्या क्रियेखाली वाकत असेल आणि कदाचित q भारामुळे देखील आडवा दिशेने कार्य करत असेल, तर बाह्य भार आणि विभागातील बल यांच्यातील समतोलतेच्या ज्ञात परिस्थितीचे समाधान करणे आवश्यक आहे. याशिवाय, विभागातील विकृती आणि शक्ती यांच्यात ज्ञात संबंध असणे स्वाभाविक आहे.
क्र. 1 - शिल्लक
अंजीर मध्ये.1_ds_ लांबीचा वाकलेला रॉड घटक सादर केला आहे. v’ स्पर्शिकेचा उतार लहान आहे ज्यामुळे दुसऱ्या क्रमापर्यंत, घटकाची लांबी प्रोजेक्शन ds=dz च्या बरोबरीने सेट केली जाऊ शकते. या व्यतिरिक्त, खाली नमूद केलेल्या चाचण्यांमध्ये, ज्या प्रकरणांमध्ये P रॉडच्या अक्षासह सतत बदलत असतात ते विचारात घेतले जाणार नाहीत, म्हणजे सामान्य बल N≈P=const. घटकासाठी उपलब्ध असलेल्या तीन समतोल स्थितींमध्ये, सदस्यांची ठराविक संख्या दुर्लक्षित केली जाऊ शकते. अंजीर पासून खुणा आणि चिन्हे साठी.10नंतर समीकरणाच्या पहिल्या अंदाजात राहा
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
आडवा बल काढून टाकला जाऊ शकतो, आणि नंतर M’‘=Pv’’-q धरतो. _बर्नौली_चा कायदा M=-EI/R गहाळ समीकरण प्रदान करतो. रॉडच्या अक्षाचा वक्र, नेहमीप्रमाणे, बीम बेंडिंगच्या सिद्धांतावरून, खालीलप्रमाणे सरलीकृत आहे
अशा प्रकारे झुकणारा क्षण दूर करणे शक्य आहे; आणि M=-EI*v’’ सह वाकलेल्या रॉड
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
सतत वाकलेल्या कडकपणाच्या विशेष बाबतीत EI=const. समीकरण (1) सोपे केले आहे, म्हणून ते
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) आणि (1a) नमूद केलेल्या सरलीकरणानुसार v मध्ये रेखीय आहेत.
व्यावहारिकदृष्ट्या, सतत वाकलेल्या कडकपणाची सर्वात सोपी केस EI=const. विशेषतः महत्वाचे आहे, जे खालील उदाहरणांसाठी आधार म्हणून काम करते.
यूलर केस
बकलिंगच्या शास्त्रीय केसची गृहितके, नमूद केलेल्या आदर्शीकरणांव्यतिरिक्त आहेत: p=0, म्हणून N=const.=P, तसेच घर्षणाशिवाय स्थिर ताठरता, जी रॉडच्या अक्षावर असते. सामान्य विभेदक समीकरण (1a) q=0 मुळे चौथा क्रम, रेखीय आणि एकसंध आहे. सामान्य उपाय आहे:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
जिथे A, B, C, D हे चार एकीकरण स्थिरांक आहेत. EI≠0 या गृहीतकामुळे पॅरामीटर मर्यादित आकाराचा आहे. शिवाय, P>0.
क्र.2
रेखीय विभेदक समीकरण (1a) एकसंध असल्याने, ही समस्या n_∙_v(z) द्वारे देखील सोडविली जाते, जेथे n एक अनियंत्रित स्थिरांक आहे. विभेदक समीकरण (1a) च्या गणितीय वर्गीकरणावरून हे पाहिले जाऊ शकते की v ची विशालता निर्धारित केली जाऊ शकत नाही. Euler\ केस (अंजीर 2) मध्ये एकीकरण स्थिरांक A, B, C, D निर्धारित करण्यासाठी खालील समोच्च परिस्थिती उपलब्ध आहेत: स्पष्ट समर्थनामुळे, रॉडच्या दोन्ही टोकांना झुकणारा क्षण शून्य आहे, म्हणजे.
z=0 साठी v=0 आणि M=0
z=s साठी v=0 आणि M=0.
M=-EI_∙_v’‘ मुळे ते M= चे अनुसरण करते0मूल्य v’’=0, म्हणून चार समोच्च अटी आहेत:
v=0 आणि v’=0 साठी z=0
z=s साठी v=0 आणि v’=0.
समाधान (2) अशा प्रकारे चार रेखीय समीकरणांमध्ये परिणाम करते:
एक.3
या चार एकसंध समीकरणांमध्ये पहिले तथाकथित क्षुल्लक समाधान आहे A=B=C=D=0, जे v(z)=0 शी संबंधित आहे. अनबेंट रॉड v_(z_)=0 ही अनियंत्रित, विशेषत: लोड P च्या लहान मूल्यांसाठी नेहमीची समतोल स्थिती आहे. येथे, आम्हाला प्रामुख्याने रॉड ज्या स्थितीत वाकतो त्यामध्ये स्वारस्य आहे, म्हणजे v(z)≠0. समीकरणे (3) मध्ये A, B, C, D ≠ 0 सह इतके क्षुल्लक समाधान नाही जर गुणांकाचा निर्धारक शून्य असेल.
एक. 3a
बकलिंग स्थितींवरून Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m आपण लोडची PK गंभीर मूल्ये काढू शकतो. sin αs = 0, म्हणजे m=1,2,3 सह αKms = mπ साठी,… Euler\ च्या बकलिंग फोर्सची संबंधित मूल्ये असतील तरच हे समीकरण समाधानी आहे PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. m च्या प्रत्येक मूल्यासाठी, एक विशिष्ट बकलिंग शक्ती प्राप्त केली जाते. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, यापैकी फक्त सर्वात लहान शक्तींमध्ये स्वारस्य असते आणि ते
PK1=EI(π/s)2.
खालील आवृत्तीमध्ये, सर्वात कमी गंभीर भारांचा संदर्भ देत, m निर्देशांक किंवा 1 बहुतेक वगळले जाईल. स्वारस्य संबंधित लवचिक ओळ आहे. एका (2) पासून स्थिरांक B=C=D=0 मिळतात. उर्वरित स्थिती A∙sin__αs=0 आहे. वरील केस m=1 साठी लवचिक बकलिंग लाइन आहे, म्हणून, v(z) = A_∙sinπz/s_, जेथे v(z) αK resp साठी आहे. PK संबंधित eigenfunction. A ची तीव्रता अनिश्चित राहते.
संपूर्ण लोड क्षेत्रावर आणखी एक नजर टाकूया. P च्या अनियंत्रित मूल्यांसाठी, विशेषत: फोर्ससाठी P_<_PK1 v(z)=0 आहे, रॉड सरळ राहतो.
स्थिरतेच्या शास्त्रीय सिद्धांतामध्ये, “हळूहळू वाढणाऱ्या” भाराखाली P म्हणजे मूल्यांची सलग मालिका P, जिथे निरीक्षण केलेल्या लोड केसची स्थिरता लोडच्या प्रत्येक वैयक्तिक स्तरासाठी पुन्हा पुन्हा तपासली जाईल P. स्थिरता चाचणी दरम्यान, P चा आकार निश्चितच अपरिवर्तित राहतो. जर एक स्थिती P स्थिर असल्याचे निश्चित केले असेल, तर भार एखाद्याने वाढविला जातो आणि म्हणून स्थिरता चाचणीची पुनरावृत्ती होते. हे अचूक निर्धारण आवश्यक आहे जेणेकरून लोडच्या प्रकारात कोणताही गोंधळ होणार नाही, जो Shanley\ प्रभावाचा आधार आहे, ज्यामध्ये भार वाढतो आणि त्याच वेळी लहान अडथळे कार्य करत असतात. Shanley\ नुसार स्थिरतेचे परीक्षण करताना, प्लॅस्टिक बकलिंगच्या क्षेत्रामध्ये, विचार करण्याच्या शास्त्रीय पद्धतीपेक्षा एक लहान द्विभाजन बल आढळते.
खालील बाबी भार वाढवण्याचा पहिला मार्ग गृहीत धरतात: लोड P या अर्थाने हळूहळू वाढल्यावर, एक PK1=EI_∙(π/s)_2 साठी येतो प्रथम एका द्विभाजन बिंदूवर, लवचिक लवचिक असलेल्या लवचिक रेषेसह लवचिक बरी. line
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A लवचिक रेषेचा अनिर्धारित मोठेपणा दर्शवतो. लोडसाठी _P*__>_PK1 रेखीय सिद्धांतानुसार आहे Δ≠0, म्हणजे तेथे शिल्लक शक्य नाही. फक्त उच्च बकलिंग फोर्ससाठी PK2 इ. ते पुन्हा Δ=0 आणि अशा प्रकारे v(z)≠0 देखील असेल. या सैद्धांतिक निष्कर्षाचे कारण, जे वास्तविक वर्तनाशी जुळत नाही, ते भिन्न समीकरणाच्या रेखीयकरणामध्ये आहे.
दोन भागांनी बनलेल्या दाबलेल्या रॉडचे बकलिंग
आम्ही स्वतःला दोन भागांच्या दाबलेल्या काड्यांपुरते मर्यादित ठेवतो आणि तीन किंवा अधिक भागांनी बनलेल्या दाबलेल्या काड्यांसाठी समान गुणोत्तर लागू होतात.
क्र.3
ट्रान्सव्हर्स कनेक्शनच्या प्रकारानुसार, जाळीच्या रॉड्स भिन्न असतात (अंजीर.3अ) आणि फ्रेम रॉड्स (अंजीर.3e). क्रॉस टायशिवाय, काठीचा प्रत्येक भाग स्वतःच वाकलेला असेल (अंजीर.3b). जर फिलिंग तुलनेने कमकुवत असेल, तर सिंगल बेल्ट रॉड संपूर्णपणे रॉड न वाकता वाकवू शकतो. जाळीदार रॉड अंजीर साठी.3c तुलना केली जाऊ शकते: हिंग्ड सिस्टमसाठी डावीकडे, सतत बेल्टसाठी उजवीकडे; आणि फ्रेम रॉड अंजीर साठी.3सॉफ्ट कनेक्शन शीटसाठी डावीकडे f, कडक कनेक्शन शीटसाठी उजवीकडे. तिथून, हे दिसून येते की स्लिमनेस λ चा खूप प्रभाव आहे1__=से1/i1_. रॉडच्या वैयक्तिक भागासाठी, I ठेवले होते1=F1_∙_i12, से1 हे फील्डमधील अंतर आहे (अंजीर.3), i1 अक्षाचा संदर्भ देते1-1(चित्र पहा.4).
क्र.4
अंजीरच्या लवचिक बकलिंग रेषांशी संबंधित कंपाऊंड रॉडची बकलिंग बल. 3d, किंवा 3g हा संपूर्ण सैद्धांतिक तपासणीचा विषय होता. जर रॉड अद्वितीय विभागांनी बनलेला असेल (उदा. बरगडीसह) किंवा आडवा जोडणी इतक्या वारंवार होत असेल की दोन भागांपासून वाकलेला रॉड एका रॉडच्या प्रभावामध्ये भिन्न नसेल, तर ते σ__K_=__π__2__E/λ__y__2. तेथे ते λ__y=sK/iy (अंजीर 4) दर्शवते. तथापि, हा बकलिंग ताण व्यवहारात पूर्णपणे पोहोचू शकत नाही कारण त्यासाठी पुरेसे ट्रान्सव्हर्स कनेक्शन नाहीत आणि ते लवचिक देखील आहेत. आम्ही प्रस्ताव F नुसार ठेवल्यास बहुतेक प्रकरणांमध्ये समाधानकारक अंदाजे प्राप्त होते. Engesser\a की दोन भागांनी बनलेल्या दाबलेल्या रॉडचा वाकणारा ताण समान असतो
σ__K=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi हे तथाकथित आदर्श पातळपणा आहे.
क्रॉस टाय संख्येने पुरेसे आणि रॉडच्या दोन्ही भागांना एकत्र काम करण्यास भाग पाडण्यासाठी पुरेसे मजबूत असणे आवश्यक आहे. दुय्यम ताण वगळून, जोपर्यंत रॉड सरळ राहते तोपर्यंत आडवा दुवे तणावरहित राहतात. केवळ वाकण्यानेच त्यांना बल प्राप्त करावे लागतात आणि त्यांना वाकण्याने वाढणारी आडवा शक्ती प्रसारित करावी लागते. जर ती लवचिक रेषा असेल तर
I=const वर अनुप्रस्थ बल समान आहे
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
अंजीर सह. 5 m लगेच वाचता येते Q(z)=PK∙v’(z). रॉडच्या शेवटी सर्वोच्च मूल्य आहे
क्र.5
ट्रान्सव्हर्स कनेक्शन्स या ट्रान्सव्हर्स फोर्सला सामावून घेण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे. संबंधित भार हे बकलिंग फोर्स PK असल्याने, ट्रान्सव्हर्स कनेक्शनमध्ये - म्हणजे एकाच वेळी संपूर्ण रॉडसह लोड-असर मर्यादा गाठली असल्यास ते पुरेसे आहे. साहजिकच, Q0 प्राप्त करण्यासाठी क्रॉस-लिंकचा आकार आवश्यकतेपेक्षा जास्त मजबूत असल्यास त्याचा काही उपयोग होणार नाही. दुसरीकडे, खूप कमकुवत असलेल्या क्रॉस-लिंकमुळे रॉड अकाली निकामी होईल.
वरील समीकरण सुरुवातीला वापरले जाऊ शकत नाही कारण बकलिंग बाणाची विशालता अज्ञात आहे. रॉड पीके अंतर्गत उदासीन समतोल आहे आणि किमान अंदाजे पहिल्या अंशात, अनियंत्रित मूल्य घेऊ शकते. त्यामुळे F च्या प्रस्तावानुसार ते उपयुक्त आहे. Krohn-a, त्या बकलिंग maxv चे परिमाण निश्चित करण्यासाठी ज्यावर वाकलेला रॉड वाकल्यामुळे बिघाड झाल्यामुळे त्याची वहन क्षमता गमावते. बेंडच्या अवतल बाजूवर उत्पन्नाचा बिंदू गाठल्यास हे नक्कीच घडेल (चित्र.6). यासाठीचे बेंड आणखी वाढतात आणि संबंधित वाकण्याचे क्षण लागू केले जाऊ शकत नाहीत.
चित्र. 6
बेंडच्या अवतल बाजूला एकूण ताण अंजीर नुसार आहे.6आदर्श प्लास्टिक सामग्रीसाठी
तिथून सर्वात मोठा स्वैगर येतो जो अजूनही सहन केला जाऊ शकतो
maxQ0 हे रॉडच्या टोकाशी संबंधित आडवा बल आहे.
जर σK Tetmeier\ च्या फॉर्मसाठी वापरले आणि σF= ठेवले3,1टी/सेमी2आणि sK=e/2∙ λy जे iy≈e/ शी संबंधित आहे2, नंतर Krohn\ चे maxQ चे अंदाजे मूल्य प्राप्त होते0=F/28(Q मध्ये t, F सेमी2).
अनियंत्रित रेषांसाठी बकलिंग ताण प्राप्त होतो
maxQ0=μK∙SK.
रॉडच्या बारीकतेसह गुणांक μK बदलतो, ते सामग्रीवर देखील अवलंबून असते. जेव्हा वरील समीकरण बकलिंग विरूद्ध सुरक्षिततेच्या गुणांकाने विभाजित केले जाते तेव्हा ते लिहिले जाऊ शकते
dozv__Q=μ∙dozvS.
रेखीय प्रणालींचे बकलिंग
रेषीय प्रणालींच्या बाबतीत, दोन्ही टोकांना बिजागर असलेल्या रॉडची वाकण्याची लांबी sK=β∙h निर्धारित करणे सामान्य आहे आणि तुलना करण्यासाठी ज्याचे झुकण्याचे बल PK=π आहे2EI/s2के तेवढाच मोठा. खालील उदाहरणांसाठी तुलनात्मक “बकलिंग लांबी” दिली जाईल.
अ) दोन्ही टोकांना रॉड चिकटवलेला (EI=const.)
क्र.7
अंजीर च्या बाबतीत.7बकलिंगचे आहे PK=4π2EI/ता2=4,0∙PE, तुलनात्मक “बकलिंग लांबी” sK=h/2आणि लवचिक बकलिंग लाईन v(z)=D(1- cos2πz/h).
ब) एका टोकाला रॉड फ्री (अंजीर.8)
क्र. 8
रॉड वाकल्यामुळे P ची दिशा बदलत नाही असे गृहीत धरले जाते. नंतर (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
फ्री एंड z=h साठी समोच्च अटी येथे आहेत
M=0 किंवा v’’=0
Q=M’-Pv’=0 किंवा v’’+a2∙v’=0.
c) एका टोकाला चिकटलेली काठी (अंजीर 9)
क्र.9
समोच्च परिस्थितीसह
z=0 आणि v’=0 साठी z=0
z=h साठी v=0 आणि v’=0
EI=const साठी प्राप्त केले आहे. बकलिंग स्थिती
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
किंवा समतुल्य
tgαh=αh. (4)
या अतींद्रिय समीकरणाची मुळे _K मध्ये आढळतात. हयाशी_चे. टेबल्स PK नुसार सर्वात कमी बकलिंग फोर्स आहे1=4,49342/ ता2∙ EI =2,046π2EI/ता2.
तुलनात्मक बकलिंग लांबी sK = h / √ आहे2,046=0,699h.
d) विकाराने एका टोकाला चिकटलेली रॉड (अंजीर.10)
चित्र. 10
आम्ही स्थिर आकाराच्या टीप विस्थापनाच्या बाबतीत विचार करू. त्यासाठी समोच्च अटी आहेत
v=0आणि v’=0_z= साठी0,
v=v1आणि v’’=0_z=h साठी.
ही एक लवचिक रेषेसह समतोल समस्या आहे
(4)). रॉडच्या वर्तनाचे हे वैशिष्ट्य आहे की रॉडच्या मध्यभागी आणि खालच्या टोकावरील वाकणे सुरुवातीला वाढत्या भार P सह लहान असतात आणि केवळ उच्च भारांसाठी त्यांचे चिन्ह बदलतात. क्र.10अर्ध्या उंचीवर बेंड दाखवते.
e) दोन फील्डमध्ये सतत स्टिक
क्र.11
दोन्ही समाधान क्षेत्रांसाठी (अंजीर.11) आम्ही सेटिंग लागू करू
आणि_. v(z1) = ए1∙synαz1+ बी1∙cosαz1+ सी1∙z1+ डी1,_
II. v(z2) = ए2∙synαz2+ बी2∙cosαz2+ सी2∙z2+ डी2.
साधेपणासाठी ते असू द्या (EI)1=(EI)2=EI. आठ स्थिरांक शोधण्यासाठी A1, …, अ2, … समोच्च परिस्थिती म्हणून सर्व्ह करा
v=0आणि v’=0 साठी z1=0,
v=0आणि v’’=0 साठी z2=ता,
तसेच क्षेत्र I आणि II मधील संक्रमणकालीन परिस्थिती
v=0 साठी z1=h i साठी z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
सशर्त समीकरणे खालील तक्त्यामध्ये दिली आहेत
गुणांकाचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीने सेट करून, बकलिंग स्थिती प्राप्त होते
वाकण्याची लांबी sK=0,878_h_, तर अंजीर साठी.35एकतर β=0,699. च्या तुलनेत बकलिंग फोर्स कमी झाले2,046:1,297हिंगेड असलेले दुसरे फील्ड जोडल्यामुळे. जर इतर फील्ड वर चिमटा काढला असेल, तर बकलिंग फोर्स पुन्हा शिखरावर जाईल.2,04_PE_.
सूत्रांचे हे ऐतिहासिक सादरीकरण प्रकल्प किंवा संरचनेच्या स्थिरतेचा पुरावा नाही. आदर्श सरळ सदस्य, केंद्रीभूत भार आणि लवचिक क्षेत्राच्या शास्त्रीय गृहितकांमध्ये प्रारंभिक अपूर्णता, अवशिष्ट ताण, विक्षिप्तता, कनेक्शनची कडकपणा, सामग्री नसलेली रेखीयता, पार्श्व स्थिरता किंवा लागू झाल्यावर, अग्नि, भूकंपीय क्रिया आणि असेंबली टप्प्यांचा समावेश नाही. वास्तविक संरचनेची गणना वैध नियम आणि मानकांनुसार अधिकृत सिव्हिल इंजिनीअरने केली पाहिजे.