Sot, Savo Kusić është i fokusuar në dritaret prej druri, dritare prej druri-alumini, dritare të personalizuara, dera dhe kërkesat për kuotim. Ky tekst mbetet si një arkiv i teorisë strukturore dhe nuk është një ofertë e projektimit statik, llogaritjeve të qëndrueshmërisë apo rehabilitimit strukturor.
Ekuacioni diferencial i përkuljes së përkuljes
Supozohet se të gjitha idealizimet janë të kënaqura, veçanërisht
- se shufra është krejtësisht e drejtë
- që ngarkesa P vepron në boshtin e shufrës
- që tensionet të mbeten nën kufirin e proporcionalitetit
- se deformimet janë mjaft të vogla për të lejuar thjeshtimet e zakonshme të llogaritjeve.
Nëse shufra përkulet nën veprimin e forcës P dhe ndoshta edhe për shkak të ngarkesës q që vepron në drejtim tërthor, atëherë duhet të plotësohen kushtet e njohura të ekuilibrit midis ngarkesave të jashtme dhe forcave në seksion. Përveç kësaj, është e natyrshme që të ketë marrëdhënie të njohura midis deformimeve dhe forcave në seksion.
Sl.1- Bilanci
Në fig.1paraqitet një element i një shufre të përkulur me gjatësi ds. Pjerrësia e tangjentes v’ është e vogël, kështu që deri në rendin e dytë, gjatësia e elementit mund të vendoset të jetë e barabartë me projeksionin ds=dz. Përveç kësaj, në provat e përmendura më poshtë, nuk do të merren parasysh rastet në të cilat P ndryshon vazhdimisht përgjatë boshtit të shufrës, pra forca normale N≈P=konst. Në tre kushtet e ekuilibrit të disponueshëm për elementin, atëherë mund të neglizhohet një numër i caktuar anëtarësh. Për shenjat dhe shenjat nga fig.10mbeten atëherë në përafrimin e parë të ekuacionit
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Forca tërthore mund të eliminohet, dhe atëherë qëndron M’‘=Pv’’-q. Ligji i _Bernoulli_s M=-EI/R jep ekuacionin që mungon. Lakorja e boshtit të shufrës, si zakonisht, nga teoria e lakimit të rrezes, thjeshtohet si më poshtë
Kështu është e mundur të eliminohet momenti i përkuljes; dhe me M=-EI*v’’ marrim ekuacionin diferencial për shufrën e përkulur
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Në rastin e veçantë të ngurtësisë së përkuljes konstante EI=konst. ekuacioni (1) është thjeshtuar, pra është
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) dhe (1a) janë lineare në v sipas thjeshtimeve të përmendura.
Praktikisht, rasti më i thjeshtë i ngurtësisë së përkuljes konstante EI=konst., i cili shërben si bazë për shembujt e mëposhtëm, është veçanërisht i rëndësishëm.
Rasti i Euler
Supozimet për rastin klasik të përkuljes janë, përveç idealizimeve të përmendura: p=0, pra N=konst.=P, si dhe ngurtësi konstante pa fërkim, të cilat shtrihen pikërisht në boshtin e shufrës. Ekuacioni diferencial i zakonshëm (1a) është i rendit të katërt, linear dhe homogjen për shkak të q=0. Zgjidhja e përgjithshme është:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
ku A, B, C, D janë katër konstantat e integrimit. Parametri është me madhësi të fundme për shkak të supozimit EI≠0. Për më tepër, α≠0 është e vlefshme për P>0.
Fig. 2
Meqenëse ekuacioni diferencial linear (1a) është homogjen, ky problem zgjidhet gjithashtu nga n_∙__v(z)_, ku n është një konstante arbitrare. Tashmë nga klasifikimi matematik i ekuacionit diferencial (1a) shihet se madhësia e përkuljes v nuk mund të përcaktohet. Për të përcaktuar konstantet e integrimit A, B, C, D në rastin Euler\ (fig. 2) janë të disponueshme këto kushte konturore: Për shkak të mbështetjes së artikuluar, momenti i përkuljes është zero në të dy skajet e shufrës, d.m.th.
v=0 dhe M=0 për z=0
v=0 dhe M=0 për z=s.
Për shkak të M=-EI_∙__v’‘_, rrjedh se M=0 është vlera e v’’=0, kështu që katër kushtet e konturit lexojnë:
v=0 dhe v’’=0 për z=0
v=0 dhe v’’=0 për z=s.
Zgjidhja (2) rezulton kështu në katër ekuacione lineare:
Një.3
Këto katër ekuacione homogjene kanë zgjidhjen e parë të ashtuquajtur triviale A=B=C=D=0, e cila korrespondon me v(z)=0. Shufra e palakuar v_(z_)=0 është pozicioni i zakonshëm i ekuilibrit për vlera arbitrare, veçanërisht të vogla të ngarkesës P. Këtu, ne jemi të interesuar kryesisht për kushtet në të cilat shufra përkulet, d.m.th. se v(z)≠0. Ekuacionet (3) nuk kanë një zgjidhje kaq të parëndësishme me A, B, C, D ≠ 0 vetëm nëse përcaktorja e koeficientit është e barabartë me zero.
Një. 3a
Nga kushtet e përkuljes Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog për të llogaritur vlerat kritike PK të ngarkesës. Ky ekuacion plotësohet vetëm nëse sin αs =0, që është për αKms = mπ me m=1,2,3,… Vlerat përkatëse të forcës lakuese të Euler janë PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Për çdo vlerë të m, fitohet një forcë e caktuar përkulëse. Në shumicën e rasteve, vetëm më e vogla nga këto forca është me interes, dhe kjo
PK1=EI(π/s)2.
Në versionin e mëposhtëm, do të ketë një indeks m, ose 1 më së shumti i anashkaluar, duke iu referuar ngarkesave më të ulëta kritike. Me interes është linja elastike përkatëse. Nga një (2) konstante fitohen B=C=D=0. Kushti i mbetur është A∙sin__αs=0. Linja e përkuljes elastike për rastin e mësipërm m=1 është, pra, v(z) = A_∙sinπz/s_, ku v(z) është për αK përkatësisht. PK eigenfunksioni përkatës. Madhësia e A mbetet e pacaktuar.
Le të hedhim një vështrim tjetër në të gjithë zonën e ngarkesës. Për vlerat arbitrare të P, veçanërisht për forcat P_<_PK1 është v(z)=0, shufra mbetet e drejtë.
Në teorinë klasike të qëndrueshmërisë, nën ngarkesën “gradualisht në rritje” P nënkuptohet një seri e njëpasnjëshme vlerash P, ku qëndrueshmëria e rastit të ngarkesës së vëzhguar do të testohet vazhdimisht për çdo nivel individual të ngarkesës P. Gjatë testit të stabilitetit, madhësia e P mbetet sigurisht e pandryshuar. Nëse një gjendje P përcaktohet të jetë e qëndrueshme, atëherë ngarkesa rritet me diçka, dhe për këtë arsye testi i qëndrueshmërisë përsëritet. Ky përcaktim i saktë është i nevojshëm në mënyrë që të mos ketë konfuzion me llojin e ngarkesës, i cili është baza për efektin Shanley, në të cilin ka një rritje të ngarkesës ndërsa shqetësimet e vogla veprojnë në të njëjtën kohë. Kur shqyrtohet qëndrueshmëria sipas Shanley, në zonën e përkuljes plastike, ndodh një forcë më e vogël e bifurkacionit sesa me metodën klasike të shqyrtimit.
Konsideratat e mëposhtme supozojnë mënyrën e parë të rritjes së ngarkesës: Me një rritje graduale të ngarkesës P në këtë kuptim, arrihet në PK1=EI_∙(π/s)_2 së pari në një pikë bifurkacioni të vijës së elasticitetit të thjeshtë, me elastic equis. linja
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A tregon amplituda e papërcaktuar e vijës elastike. Për ngarkesat _P*__>_PK1 është sipas teorisë së linearizuar Δ≠0, pra bilanci nuk është i mundur atje. Vetëm për forcat më të larta të përkuljes PK2 etj. do të jetë përsëri Δ=0 dhe kështu edhe v(z)≠0. Shkaku i këtij përfundimi teorik, i cili nuk përputhet me sjelljen aktuale, qëndron në linearizimin e ekuacionit diferencial.
Përkulja e shufrave të shtypura e përbërë nga dy pjesë
Ne kufizohemi në shkopinj të presuar me dy pjesë, dhe për shkopinjtë e shtypur të përbërë nga tre ose më shumë pjesë, zbatohen marrëdhënie të ngjashme.
Sl.3
Sipas llojit të lidhjes tërthore, shufrat e grilave ndryshojnë (fig.3a) dhe shufrat e kornizës (fig.3e). Pa lidhje kryq, secila pjesë e shufrës do të përkulej vetvetiu (fig.3b). Nëse mbushja është relativisht e dobët, atëherë një shufër rripi i vetëm mund të përkulet pa e përkulur shufrën në tërësi. Për shufrën e grilës fig.3c mund të krahasohet: majtas për sistemin e varur, djathtas për rripat e vazhdueshëm; dhe për shufrën e kornizës fig.3f në të majtë për fletët e lidhjeve të buta, në të djathtë për fletët e lidhjes së ngurtë. Nga atje, mund të shihet se hollësia λ_ ka një ndikim të madh1__=s1/i1_. Për pjesën individuale të shufrës, u vendosa1=F1__∙_i12, s1 është hapësira e fushës (Fig.3), i1 i referohet boshtit1-1(shih Fig.4).
Sl.4
Forca përkulëse e shufrave të përbëra që korrespondon me vijat e përkuljes elastike të fig.3d, ose3g ishte objekt i hetimeve shteruese teorike. Nëse shufra ishte e përbërë nga seksione unike (p.sh. me një brinjë) ose nëse lidhjet tërthore ishin aq të shpeshta sa që një shufër e përkulur nga dy pjesë nuk ndryshon në efektin e saj nga një shufër e vetme, atëherë do të ishte σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Atje shënon λ__y=sK/iy (Fig.4). Megjithatë, ky sforcim i përkuljes nuk do të arrihet plotësisht në praktikë, sepse nuk ka lidhje të mjaftueshme tërthore për këtë, dhe ato janë gjithashtu elastike. Një përafrim që kënaq në shumicën e rasteve fitohet nëse vendosim sipas propozimit F. Engesser\a se sforcimi i përkuljes së një shufre të shtypur të përbërë nga dy pjesë është i barabartë
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi është e ashtuquajtura hollësi ideale.
Lidhjet e kryqëzuara duhet të jenë të mjaftueshme në numër dhe mjaft të forta për të detyruar të dyja pjesët e shufrës të veprojnë së bashku. Duke përjashtuar sforcimet dytësore, lidhjet tërthore mbeten të patheksuara për sa kohë që shufra mbetet e drejtë. Vetëm me përkulje ata duhet të marrin forca dhe duhet të transmetojnë forca tërthore që rriten me përkuljen. Në rast se është një linjë elastike
forca tërthore në I=konst. është e barabartë
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Me fig. 5 m mund të lexohet menjëherë Q(z)=PK∙v’(z). Vlera më e lartë në fund të shufrës është
Sl.5
Lidhjet tërthore duhet të jenë në gjendje të akomodojnë këtë forcë tërthore. Meqenëse ngarkesa përkatëse është forca përkulëse PK, mjafton që për këtë të arrihet kufiri i ngarkesës edhe në lidhjet tërthore - d.m.th., njëkohësisht me të gjithë shufrën. Natyrisht, nuk do të kishte asnjë përfitim nëse lidhjet e kryqëzuara do të ishin shumë më të forta se sa duhet për të marrë Q0. Nga ana tjetër, lidhjet e kryqëzuara që janë shumë të dobëta do të shkaktonin që shufra të dështojë para kohe.
Ekuacioni i mësipërm nuk mund të përdoret fillimisht sepse madhësia e shigjetës së përkuljes është e panjohur. Shufra është në ekuilibër indiferent nën PK dhe mund, të paktën në shkallën e parë të përafrimit, të marrë një vlerë arbitrare. Prandaj është e dobishme, sipas propozimit të F. Krohn-a, për të përcaktuar madhësinë e atij përkuljeje maxv në të cilën shufra e përkulur humb kapacitetin mbajtës për shkak të dështimit për shkak të përkuljes. Kjo me siguri do të ndodhë nëse pika e kthimit arrihet në anën konkave të kthesës (fig. 6). Kthesat për këtë rriten më tej dhe momentet përkatëse të përkuljes nuk mund të aplikohen.
Fig. 6
Sforcimi total në anën konkave të kthesës është sipas fig.6për material plastik ideal
Prej andej vjen shaka më e madhe që ende mund të durohet
maxQ0 është forca tërthore përkatëse në skajin e shufrës.
Nëse përdoret për formën σK Tetmeier\ dhe vendosni σF=3,1t/cm2dhe sK=e/2∙ λy që korrespondon me iy≈e/2, atëherë merret vlera e përafërt e _maxQ e Krohn_0=F/28(Q në t, F në cm2).
Për linjat arbitrare fitohet sforcimi i përkuljes
maxQ0=μK∙SK.
Koeficienti μK ndryshon me hollësinë e shufrës, varet edhe nga materiali. Kur ekuacioni i mësipërm pjesëtohet me koeficientin e sigurisë kundër përkuljes, ai mund të shkruhet
dozv__Q=μ∙dozvS.
Përkulja e sistemeve lineare
Në rastin e sistemeve lineare, është e zakonshme të përcaktohet gjatësia e përkuljes sK=β∙h e një shufre që është e varur në të dy skajet dhe forca e përkuljes së së cilës është PK=π për krahasim2EI/s2K po aq i madh. Një “gjatësi e përkuljes” krahasuese do të jepet për shembujt e mëposhtëm.
a) Shufra e mbërthyer në të dy skajet (EI=konst.)
Fig. 7
Për rastin e fig.7i përkuljes është PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, “gjatësia e përkuljes” krahasuese sK=h/2dhe linja e lakimit elastik v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Pa shufra në një skaj (fig.8)
Sl. 8
Supozohet se drejtimi i P nuk ndryshon kur shufra përkulet. Pastaj (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Kushtet e konturit për fundin e lirë z=h këtu lexoni
M=0 ose v’’=0
Q=M’-Pv’=0 ose v’’’’+a2∙v’=0.
c) Shufra e mbërthyer në njërin skaj (fig. 9)
Fig. 9
Me kushte konturi
v=0 dhe v’=0 për z=0
v=0 dhe v’’=0 për z=h
është marrë për EI=konst. gjendja e përkuljes
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ose ekuivalente
tgαh=αh. (4)
Rrënjët e këtij ekuacioni transcendental gjenden në tabelat _K. Hayashi_s. Forca më e ulët e përkuljes është sipas tabelave PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Gjatësia krahasuese e përkuljes është sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Shufra e mbërthyer në njërin skaj me çrregullim (fig. 10)
Fig. 10
Ne do të vëzhgojmë rastin e një zhvendosjeje kulmore me madhësi konstante. Kushtet konturore për këtë janë
v=0 dhe v’=0 për z=0,
v=v1 dhe v’’=0 për z=h.
Është një problem ekuilibri me një vijë elastike
Emëruesi i termit para kllapave {} do të jetë zero dhe përkulja rritet mbi të gjitha kufijtë nëse P→PK (shih kushtin e përkuljes eq. (4)). Karakteristikë e sjelljes së shufrës është që kthesat në skajin e mesit dhe të poshtëm të shufrës janë fillimisht më të vogla me rritjen e ngarkesës P dhe ndryshojnë shenjën e tyre vetëm për ngarkesa më të mëdha. Sl. 10 tregon kthesa në gjysmën e lartësisë.
e) Shufra e vazhdueshme mbi dy fusha
Sl.11
Për të dy zonat e zgjidhjes (fig.11) do të zbatojmë cilësimin
Dhe_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Për thjeshtësi le të jetë (EI)1=(EI)2=EI. Për të gjetur tetë konstantet A1, …, A2, … shërbejnë si kushte konturore
v=0dhe v’=0 për z1=0,
v=0dhe v’’=0 për z2=h,
si dhe kushtet kalimtare midis zonave I dhe II
v=0 për z1=h i për z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
Ekuacionet e kushtëzuara janë dhënë në tabelën më poshtë
Duke vendosur që përcaktori i koeficientit të jetë i barabartë me zero, fitohet kushti i përkuljes
Gjatësia e përkuljes sK=0,878_h_, ndërsa për fig. 35 ose β=0,699. Forca e përkuljes është ulur në krahasim me 2,046 : 1,297 për shkak të shtimit të një fushe të dytë që është e varur. Nëse fusha tjetër do të shtypej më lart, atëherë forca e përkuljes do të rritej përsëri në kulm. 2,04 PE.
Ky prezantim historik i formulave nuk është një projekt apo një provë e qëndrueshmërisë së strukturës. Supozimet klasike të pjesës ideale të drejtë, ngarkesës qendrore dhe zonës elastike nuk përfshijnë domosdoshmërisht papërsosmëritë fillestare, sforcimet e mbetura, ekscentricitetin, ngurtësinë e lidhjes, jolinearitetin e materialit, stabilitetin anësor dhe as, kur është e aplikueshme, zjarrin, veprimin sizmik dhe fazat e montimit. Llogaritja e strukturës aktuale duhet të bëhet nga një inxhinier civil i autorizuar sipas rregulloreve dhe standardeve të vlefshme.