Bøjning buk

I dag er Savo Kusić fokuseret på trævinduer, træ-aluminium vinduer, tilpassede vinduer, dør og anmodninger om tilbud. Denne tekst forbliver som et arkiv for strukturteori og er ikke et tilbud om statisk design, stabilitetsberegninger eller strukturel rehabilitering.

Differentialligning for bøjning

Det antages, at alle idealiseringer er opfyldt, især

• at stangen er helt lige
• at belastningen P virker i stangens aksel
• at spændingerne forbliver under proportionalitetsgrænsen
• at deformationerne er små nok til at tillade de sædvanlige forenklinger af beregninger.

Hvis stangen bøjer sig under påvirkning af kraften P og måske også på grund af belastningen q, der virker i tværretningen, så skal de kendte ligevægtsbetingelser mellem de ydre belastninger og kræfterne i sektionen være opfyldt. Desuden er det naturligt, at der er kendte sammenhænge mellem deformationer og kræfter i strækningen.

Fig. 1 - Balance

I fig.1et element af en bøjet stang med længden ds er repræsenteret. Hældningen af ​​tangenten v’ er lille, så op til anden orden kan længden af ​​elementet indstilles til at være lig med projektionen ds=dz. Derudover vil der i de nedenfor nævnte tests ikke blive taget højde for tilfælde, hvor P konstant ændrer sig langs stangens akse, dvs. normalkraft N≈P=konst. I de tre ligevægtsbetingelser, der er til rådighed for elementet, kan et vist antal medlemmer så negligeres. For markeringer og skilte fra fig.10forblive derefter i den første tilnærmelse af ligningen

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

Tværkraften kan elimineres, og så holder M’‘=Pv’’-q. Bernoulli's lov M=-EI/R giver den manglende ligning. Kurven af ​​stangens akse, som sædvanlig, fra teorien om bjælkebøjning, er forenklet som følger

Det er således muligt at eliminere bøjningsmomentet; og med M=-EI*v’’ opnås differentialligningen for den bøjede stang

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

I det specielle tilfælde med konstant bøjningsstivhed EI=konst. ligningen (1) er forenklet, så den er

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Eq. (1) og (1a) er lineære i v ifølge de nævnte forenklinger.

Praktisk talt er det enkleste tilfælde af konstant bøjningsstivhed EI=konst. er særligt vigtigt, hvilket tjener som grundlag for eksemplerne nedenfor.

Eulers sag

Antagelserne for det klassiske tilfælde af knækning er, bortset fra de nævnte idealiseringer: p=0, altså N=konst.=P, samt konstant stivhed uden friktion, som ligger nøjagtigt på stangens akse. Den almindelige differentialligning (1a) er fjerde orden, lineær og homogen på grund af q=0. Den generelle løsning er:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

hvor A, B, C, D er de fire integrationskonstanter. Parameteren er af begrænset størrelse på grund af antagelsen EI≠0. Desuden α≠0 for P>0.

Sl.2

Da den lineære differentialligning (1a) er homogen, løses dette problem også med n_∙__v(z)_, hvor n er en vilkårlig konstant. Allerede ud fra den matematiske klassifikation af differentialligningen (1a) kan det ses, at størrelsen af ​​bøjningen v ikke kan bestemmes. For at bestemme integrationskonstanterne A, B, C, D i Euler-tilfældet (fig. 2) er følgende konturbetingelser tilgængelige: På grund af den leddelte understøtning er bøjningsmomentet nul i begge ender af stangen, dvs.

v=0 og M=0 for z=0

v=0 og M=0 for z=s.

På grund af M=-EI_∙v’‘ følger det, at M=0 er værdien af ​​_v’’=0, så de fire konturbetingelser lyder:

v=0 og v’’=0 for z=0

v=0 og v’’=0 for z=s.

Løsningen (2) resulterer således i fire lineære ligninger:

En.3

Disse fire homogene ligninger har den første såkaldte trivielle løsning A=B=C=D=0, som svarer til v(z)=0. Den ubøjede stang v_(z_)=0 er den sædvanlige ligevægtsposition for vilkårlige, især små værdier af belastning P. Her er vi primært interesseret i de forhold, som stangen bøjer under, altså at v(z)≠0. Ligningerne (3) har ikke en sådan triviel løsning med A, B, C, D ≠ 0 kun hvis determinanten af ​​koefficienten er lig med nul.

En. 3a

Fra knækbetingelserne Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog for at beregne de kritiske værdier PK af belastningen. Denne ligning er kun opfyldt, hvis sin αs =0, det vil sige for αKms = mπ med m=1,2,3,… De tilsvarende værdier for Euler's knækkraft er PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. For hver værdi af m opnås en vis knækkraft. I de fleste tilfælde er det kun den mindste af disse kræfter, der er af interesse, og det

PK1=EI(π/s)2.

I den følgende version vil der være et indeks m, eller 1 for det meste udeladt, hvilket refererer til den laveste af de kritiske belastninger. Af interesse er den tilsvarende elastiske linje. Fra én (2) opnås konstanter B=C=D=0. Den resterende tilstand er A∙sin__αs=0. Den elastiske knæklinje for ovenstående tilfælde m=1 er derfor v(z) = A_∙sinπz/s_, hvor v(z) er for αK hhv. PK tilsvarende egenfunktion. Størrelsen af ​​_A_ forbliver ubestemt.

Lad os tage et nyt kig på hele lastområdet. For vilkårlige værdier af P, især for kræfter P_<_PK1 er v(z)=0, forbliver stangen lige.

I den klassiske stabilitetsteori menes der under “gradvis stigende” belastning P en fortløbende række af værdier P, hvor stabiliteten af ​​det observerede belastningstilfælde vil blive testet igen og igen for hvert enkelt niveau af belastning P. Under stabilitetstesten forbliver størrelsen af ​​_P_ bestemt uændret. Hvis en tilstand P er bestemt til at være stabil, så øges belastningen med noget, og derfor gentages stabilitetstesten. Denne nøjagtige bestemmelse er nødvendig, så der ikke opstår forvirring med typen af ​​belastning, som er grundlaget for Shanley-effekten, hvor der sker en stigning i belastningen, samtidig med at små forstyrrelser virker. Ved undersøgelse af stabiliteten i henhold til Shanley, i området for plastikbukning, opstår der en mindre bifurkationskraft end ved den klassiske betragtningsmetode.

De følgende betragtninger antager den første måde at øge belastningen på: Ved en gradvis stigning af belastningen P i denne forstand kommer man først til PK1=EI_∙(π/s)_2 ved et bifurkationspunkt af elastikken, med en simpel sinusudligning som ligevægt linje

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A angiver den ubestemte amplitude af den elastiske linje. For belastninger er _P*__>_PK1 ifølge den lineariserede teori Δ≠0, dvs. balance er ikke mulig der. Kun ved højere knækkræfter PK2 osv. bliver det igen Δ=0 og dermed også v(z)≠0. Årsagen til denne teoretiske konklusion, som ikke stemmer overens med den faktiske adfærd, ligger i lineariseringen af differentialligningen.

Knækning af pressede stænger bestående af to dele

Vi begrænser os til todelte pressede pinde, og for pressede pinde, der består af tre eller flere dele, gælder lignende forhold.

Sl.3

Afhængigt af typen af ​​tværgående forbindelse er gitterstængerne forskellige (fig.3a) og rammestænger (fig.3e). Uden krydsbindinger ville hver del af pinden bøje sig af sig selv (fig.3b). Hvis fyldningen er relativt svag, så kan en enkelt båndstang bøjes uden at bøje stangen som helhed. Til gitterstangen fig.3c kan sammenlignes: venstre for hængslet system, højre for kontinuerlige bælter; og for rammestangen fig.3f til venstre for bløde tilslutningsplader, til højre for stive tilslutningsplader. Derfra kan det ses, at slankhed λ_ har stor indflydelse1__=s1/jeg1_. For den enkelte del af stangen blev i anbragt1=F1_∙_i12, s1 er feltafstanden (fig.3), i1 henviser til aksen1-1(se fig.4).

Sl.4

Knækkraften af ​​sammensatte stænger svarende til de elastiske knæklinjer i fig. 3d eller 3g var genstand for udtømmende teoretiske undersøgelser. Hvis stangen var sammensat af unikke sektioner (f.eks. med en ribbe), eller hvis de tværgående forbindelser var så hyppige, at en stang bøjet af to dele ikke adskiller sig i sin virkning fra en enkelt stang, så ville det være σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Der angiver det λ__y=sK/iy (fig. 4). Denne knækspænding bliver dog ikke helt nået i praksis, fordi der ikke er nok tværgående forbindelser til det, og de er desuden elastiske. En tilnærmelse, der i de fleste tilfælde tilfredsstiller, opnås, hvis vi sætter efter forslaget F. Engesser\a at bøjningsspændingen af ​​en presset stang sammensat af to dele er ens

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi er den såkaldte ideelle slankhed.

Krydsbånd skal være tilstrækkeligt i antal og stærke nok til at tvinge begge dele af stangen til at virke sammen. Bortset fra sekundære spændinger forbliver de tværgående led ubespændte, så længe stangen forbliver lige. Det er kun ved bøjning, at de skal modtage kræfter, og de skal overføre tværkræfter, der øges ved bøjning. I tilfælde af at det er en elastisk linje

tværkraft ved I=konst. er lige

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

Med fig. 5 m kan straks læses Q(z)=PK∙v’(z). Den højeste værdi for enden af ​​stangen er

Sl.5

Tværforbindelserne skal kunne optage denne tværkraft. Da den tilsvarende belastning er knækkraften PK, er det tilstrækkeligt, at bæregrænsen er nået hertil også i tværforbindelserne - altså samtidigt med hele stangen. Det ville naturligvis ikke være til nogen nytte, hvis tværbindingerne blev dimensioneret meget stærkere end nødvendigt for at modtage Q0. På den anden side vil tværbindinger, der er for svage, få stangen til at svigte for tidligt.

Ovenstående ligning kan ikke bruges indledningsvis, fordi størrelsen af ​​knækpilen er ukendt. Stangen er i ligevægt under PK og kan i hvert fald i første tilnærmelsesgrad tage en vilkårlig værdi. Det er derfor nyttigt, ifølge Forslaget fra F. Krohn-a, for at bestemme størrelsen af ​​den knæk maxv ved hvilken den bøjede stang mister sin bæreevne på grund af svigt på grund af bøjning. Dette vil helt sikkert ske, hvis vigegrænsen nås på den konkave side af bøjningen (fig.6). Bøjningerne til dette vokser yderligere, og de tilsvarende bøjningsmomenter kan ikke anvendes.

Fig. 6

Den samlede spænding på den konkave side af bøjningen er ifølge fig.6for ideelt plastmateriale

Derfra kommer den største pral, der stadig kan udholdes

maxQ0 er den tilsvarende tværkraft ved stangenden.

Hvis det bruges til σK Tetmeier's form og sætter σF=3,1t/cm2og sK=e/2∙ λy som svarer til iy≈e/2, så opnås Krohn's omtrentlige værdi af maxQ0=F/28(Q i t, F i cm2).

For vilkårlige linjer opnås knækspændingen

maxQ0=μK∙SK.

Koefficienten μK ændres med stangens slankhed, det afhænger også af materialet. Når ovenstående ligning divideres med sikkerhedskoefficienten mod knæk, kan den skrives

dozv__Q=μ∙dozvS.

Knækning af lineære systemer

Ved lineære systemer er det almindeligt at bestemme bøjningslængden sK=β∙h af en stang, der er hængslet i begge ender, og hvis bøjningskraft er PK=π til sammenligning2EI/s2K lige så stor. En sammenlignende “knæklængde” vil blive givet for eksemplerne nedenfor.

a) Stang fastspændt i begge ender (EI=konst.)

Sl.7

For tilfældet med fig.7af knækning er PK=4π2EI/t2=4,0∙PE, komparativ “knæklængde” sK=h/2og den elastiske knæklinje v(z)=D(1- fordi2πz/h).

b) Stang fri i den ene ende (fig.8)

Sl. 8

Det antages, at retningen af ​​_P_ ikke ændrer sig, når stangen bøjes. Derefter (EI=konst.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

Konturbetingelserne for den frie ende z=h her læs

M=0 eller v’’=0

Q=M’-Pv’=0 eller v’’’+a2∙v’=0.

c) Stang fastspændt i den ene ende (fig. 9)

Sl.9

Med konturforhold

v=0 og v’=0 for z=0

v=0 og v’’=0 for z=h

er opnået for EI=const. bukketilstand

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

eller tilsvarende

tgαh=αh.   (4)

Rødderne til denne transcendentale ligning findes i tabellerne K. Hayashi’s. Den laveste knækkraft er ifølge tabellerne PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/t2.

Den komparative knæklængde er sK = h / √2,046=0,699h.

d) En stang fastspændt i den ene ende med en forstyrrelse (fig.10)

Fig. 10

Vi vil overveje tilfældet med spidsforskydning af konstant størrelse. Konturbetingelserne for det er

v=0og v’=0 for z=0,

v=v1og v’’=0 for z=h.

Det er et ligevægtsproblem med en elastisk linje

Nævneren af ​​udtrykket før {}-parenteserne vil være nul, og knækningen stiger over alle grænser, hvis P→PK (se knækbetingelse lign. (4)). Det er karakteristisk for stangens opførsel, at bøjningerne i stangens midterste og nederste ende i starten er mindre ved stigende belastning P og kun ændrer deres fortegn ved højere belastninger. Sl.10viser bøjninger i halv højde.

e) Kontinuerlig stik på tværs af to felter

Sl.11

For begge løsningsområder (fig.11) anvender vi indstillingen

Og_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_

II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.

Lad det være for nemheds skyld (EI)1=(EI)2=EI. For at finde de otte konstanter A1, …, A2, … tjene som konturbetingelser

v=0og v’=0 for z1=0,

v=0og v’’=0 for z2=h,

samt overgangsforhold mellem område I og II

v=0 for z1=h i for z2=0,

v’’ (z1=h)=v’(z2=0),

v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).

De betingede ligninger er angivet i tabellen nedenfor

Ved at sætte determinanten af ​​koefficienten lig med nul opnås knækningsbetingelsen

Bøjningslængde sK=0,878_h_, mens for fig.35enten β=0,699. Knækkraften faldt i forhold til2,046:1,297på grund af tilføjelsen af ​​et andet felt, der er hængslet. Hvis det andet felt blev klemt højere, ville knækkraften igen stige til toppen.2,04_PE_.

Denne historiske præsentation af formlerne er ikke et projekt eller et bevis på strukturens stabilitet. De klassiske antagelser om ideel lige element, centrisk belastning og elastisk areal inkluderer ikke nødvendigvis initiale ufuldkommenheder, restspændinger, excentricitet, forbindelsesstivhed, materialets ikke-linearitet, lateral stabilitet og heller ikke, når det er relevant, brand, seismisk handling og monteringsfaser. Beregning af den faktiske konstruktion skal foretages af en autoriseret civilingeniør i henhold til gældende forskrifter og standarder.