Illum, Savo Kusić huwa ffukat fuq twieqi tal-injam, twieqi tal-injam-aluminju, twieqi tad-dwana, bieb u talbiet għal kwotazzjoni. Dan it-test jibqa’ bħala arkivju tat-teorija strutturali u mhuwiex offerta ta’ disinn statiku, kalkoli ta’ stabbiltà jew riabilitazzjoni strutturali.
Ekwazzjoni differenzjali tal-buckling tal-liwi
Huwa preżunt li l-idealizzazzjonijiet kollha huma sodisfatti, speċjalment
- li l-virga hija perfettament dritta
- li t-tagħbija P taġixxi fix-xaft tal-virga
- li l-vultaġġi jibqgħu taħt il-limitu tal-proporzjonalità
- li d-deformazzjonijiet huma żgħar biżżejjed biex jippermettu s-simplifikazzjonijiet tas-soltu tal-kalkoli.
Jekk il-virga titgħawweġ taħt l-azzjoni tal-forza P u forsi wkoll minħabba t-tagħbija q li taġixxi fid-direzzjoni trasversali, allura l-kundizzjonijiet magħrufa ta ’ekwilibriju bejn it-tagħbijiet esterni u l-forzi fis-sezzjoni għandhom jiġu sodisfatti. Barra minn hekk, huwa naturali li għandu jkun hemm relazzjonijiet magħrufa bejn deformazzjonijiet u forzi fis-sezzjoni.
Fig. 1 - Bilanċ
Fil-fig.1element ta ‘virga mgħawweġ ta’ tul ds huwa rappreżentat. L-inklinazzjoni tat-tanġent v’ hija żgħira sabiex sat-tieni ordni, it-tul tal-element jista ’jiġi ssettjat biex ikun ugwali għall-projezzjoni ds=dz. Barra minn hekk, fit-testijiet imsemmija hawn taħt, każijiet li fihom P tinbidel kontinwament tul l-assi tal-virga mhux se jitqiesu, jiġifieri forza normali N≈P=const. Fit-tliet kundizzjonijiet ta ‘ekwilibriju disponibbli għall-element, ċertu numru ta’ membri jistgħu mbagħad jiġu traskurati. Għal marki u sinjali mill-fig.10jibqgħu imbagħad fl-ewwel approssimazzjoni ta ’l-ekwazzjoni
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Il-forza trasversali tista ‘tiġi eliminata, u mbagħad M’‘=Pv’‘-q żżomm. Il-liġi ta’ Bernoulli M=-EI/R tipprovdi l-ekwazzjoni nieqsa. Il-kurva tal-assi tal-virga, bħas-soltu, mit-teorija tal-liwi tar-raġġ, hija ssimplifikata kif ġej
Huwa għalhekk possibbli li jiġi eliminat il-mument tal-liwi; u bi M=-EI*v’’ tinkiseb l-ekwazzjoni differenzjali għall-virga mgħawġa
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Fil-każ speċjali ta’ ebusija kostanti tal-liwi EI=const. l-ekwazzjoni (1) hija ssimplifikata, għalhekk hija
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) u (1a) huma lineari f’v skont is-simplifikazzjonijiet imsemmija.
Prattikament, l-aktar każ sempliċi ta ’ebusija kostanti tal-liwi EI=const. hija partikolarment importanti, li sservi bħala l-bażi għall-eżempji hawn taħt.
Il-każ ta’ Euler
Is-suppożizzjonijiet għall-każ klassiku ta ‘buckling huma, apparti l-idealizzazzjonijiet imsemmija: p=0, hekk N=const.=P, kif ukoll ebusija kostanti mingħajr frizzjoni, li jinsabu eżattament fuq l-assi tal-virga. L-ekwazzjoni differenzjali ordinarja (1a) hija r-raba’ ordni, lineari u omoġenja minħabba q=0. Is-soluzzjoni ġenerali hija:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
fejn A, B, C, D huma l-erba ‘kostanti ta’ integrazzjoni. Il-parametru huwa ta ’daqs finit minħabba l-assunzjoni EI≠0. Barra minn hekk, α≠0 għal P>0.
Fig. 2
Peress li l-ekwazzjoni differenzjali lineari (1a) hija omoġenja, din il-problema tissolva wkoll b’n_∙__v(z)_, fejn n hija kostanti arbitrarja. Diġà mill-klassifikazzjoni matematika tal-ekwazzjoni differenzjali (1a) wieħed jista’ jara li l-kobor tal-liwi v ma jistax jiġi determinat. Biex tiddetermina l-kostanti ta ’integrazzjoni A, B, C, D fil-każ Euler\ (fig. 2) il-kundizzjonijiet tal-kontorn li ġejjin huma disponibbli: Minħabba l-appoġġ artikolat, il-mument tal-liwi huwa żero fiż-żewġt itruf tal-virga, i.e.
v=0 u M=0 għal z=0
v=0 u M=0 għal z=s.
Minħabba M=-EI_∙__v’‘_, jirriżulta li M=0 huwa l-valur ta’ v’‘=0, għalhekk l-erba’ kundizzjonijiet tal-kontorn jaqraw:
v=0 u v’’=0 għal z=0
v=0 u v’’=0 għal z=s.
Is-soluzzjoni (2) għalhekk tirriżulta f’erba’ ekwazzjonijiet lineari:
Wieħed.3
Dawn l-erba’ ekwazzjonijiet omoġenji għandhom l-ewwel hekk imsejħa soluzzjoni trivjali A=B=C=D=0, li tikkorrispondi għal v(z)=0. Il-virga mhux mgħawweġ v_(z_)=0 hija l-pożizzjoni ta ‘ekwilibriju tas-soltu għal valuri arbitrarji, speċjalment żgħar tat-tagħbija P. Hawnhekk, aħna primarjament interessati fil-kundizzjonijiet li taħthom il-virga titgħawweġ, jiġifieri li v(z)≠0. L-ekwazzjonijiet (3) m’għandhomx tali soluzzjoni trivjali b’A, B, C, D ≠ 0 biss jekk id-determinant tal-koeffiċjent ikun ugwali għal żero.
Wieħed. 3a
Mill-kundizzjonijiet tal-buckling Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog biex tikkalkula l-valuri kritiċi PK tat-tagħbija. Din l-ekwazzjoni hija sodisfatta biss jekk sin αs =0, jiġifieri għal αKms = mπ ma m=1,2,3,… Il-valuri korrispondenti tal-forza tal-buckling ta’ Euler huma PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Għal kull valur ta ‘m, tinkiseb ċerta forza ta’ buckling. Fil-biċċa l-kbira tal-każijiet, l-iżgħar minn dawn il-forzi biss huwa ta ’interess, u dak
PK1=EI(π/s)2.
Fil-verżjoni li ġejja, se jkun hemm indiċi m, jew 1 l-aktar barra, li jirreferi għall-aktar baxx tat-tagħbijiet kritiċi. Ta ‘interess hija l-linja elastika korrispondenti. Minn kostanti waħda (2) B=C=D=0 jinkisbu. Il-kundizzjoni li fadal hija A∙sin__αs=0. Il-linja elastika tal-buckling għall-każ ta’ hawn fuq m=1 hija, għalhekk, v(z) = A_∙sinπz/s_, fejn v(z) hija għal αK resp. PK funzjoni proprja korrispondenti. Il-kobor ta’ A jibqa’ mhux determinat.
Ejja nagħtu ħarsa oħra lejn iż-żona kollha tat-tagħbija. Għal valuri arbitrarji ta ‘P, speċjalment għal forzi P_<_PK1 huwa v(z)=0, il-virga tibqa’ dritta.
Permezz ta ‘“żieda gradwali” tagħbija P hija mfissra fit-teorija klassika ta’ stabbiltà serje suċċessiva ta ‘daqsijiet P, fejn l-istabbiltà tal-każ tat-tagħbija osservata tiġi ttestjata għal darb’oħra għal kull livell individwali ta’ tagħbija P. Matul it-test tal-istabbiltà, id-daqs ta ‘P ċertament jibqa’ mhux mibdul. Jekk stat wieħed P jiġi ddeterminat li jkun stabbli, allura t-tagħbija tiżdied b’xi ħaġa, u għalhekk it-test tal-istabbiltà jiġi ripetut. Din id-determinazzjoni preċiża hija meħtieġa sabiex ma jkun hemm l-ebda konfużjoni mat-tip ta ’tagħbija, li hija l-bażi għall-effett Shanley, li fih hemm żieda fit-tagħbija filwaqt li disturbi żgħar qed jaġixxu fl-istess ħin. Meta teżamina l-istabbiltà skond Shanley, fil-qasam tal-buckling tal-plastik, isseħħ forza ta ‘bifurcation iżgħar milli bil-metodu klassiku ta’ konsiderazzjoni.
Il-kunsiderazzjonijiet li ġejjin jassumu l-ewwel mod kif tiżdied it-tagħbija: B’żieda gradwali fit-tagħbija P f’dan is-sens, tintlaħaq PK1=EI_∙(π/s)_2l-ewwel għal punt ta ‘bifurcation wieħed ta’ ekwilibriju elastiku, b’linja sine sempliċi bħala l-linja ta ’buckling elastika
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A tindika l-amplitudni mhux determinata tal-linja elastika. Għal tagħbijiet _P*__>_PK1 huwa skond it-teorija linearizzata Δ≠0, jiġifieri bilanċ mhuwiex possibbli hemmhekk. Biss għal forzi ogħla ta ‘buckling PK2 eċċ se jerġa’ jkun Δ=0u għalhekk ukoll v(z)≠0. Il-kawża ta ’din il-konklużjoni teoretika, li ma taqbilx mal-imġieba attwali, tinsab fil-linearizzazzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali.
Buckling ta ’vireg ippressati komposti minn żewġ partijiet
Aħna nillimitaw lilna nfusna għal stikek ippressati f’żewġ partijiet, u għal stikek ippressati komposti minn tliet partijiet jew aktar, japplikaw relazzjonijiet simili.
Sl.3
Skont it-tip ta ’konnessjoni trasversali, il-vireg tal-kannizzata jvarjaw (fig.3a) u vireg tal-qafas (fig.3e). Mingħajr irbit, kull parti tal-virga titgħawweġ waħedha (fig.3b). Jekk il-mili huwa relattivament dgħajjef, allura virga waħda taċ-ċinturin tista ’tgħawweġ mingħajr ma tgħawweġ il-virga kollha kemm hi. Għall-virga tal-kannizzata fig.3c jista ’jitqabbel: xellug għal sistema biċ-ċappetti, dritt għal ċinturini kontinwi; u għall-virga tal-qafas fig.3f fuq ix-xellug għal folji ta ‘konnessjoni artab, fuq il-lemin għal folji ta’ konnessjoni riġidi. Minn hemm, wieħed jista ‘jara li slimness λ_ hija ta’ influwenza kbira1__=s1/i1_. Għall-parti individwali tal-virga, I kien imqiegħed1=F1_∙_i12, s1 hija l-ispazjar tal-kamp (Fig.3), i1 tirreferi għall-assi1-1(ara Fig.4).
Sl.4
Il-forza tal-buckling tal-vireg komposti li tikkorrispondi mal-linji elastiċi tal-buckling tal-fig. 3d, jew 3g kien is-suġġett ta’ investigazzjonijiet teoretiċi eżawrjenti. Jekk il-virga kienet magħmula minn sezzjonijiet uniċi (eż. b’kustilja) jew jekk il-konnessjonijiet trasversali kienu tant frekwenti li virga mgħawweġ minn żewġ partijiet ma tvarjax fl-effett tagħha minn virga waħda, allura tkun σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Hemmhekk tindika λ__y=sK/iy (fig. 4). Madankollu, dan l-istress tal-buckling mhux se jintlaħaq bis-sħiħ fil-prattika minħabba li m’hemmx biżżejjed konnessjonijiet trasversali għal dan, u huma wkoll elastiċi. Approssimazzjoni li tissodisfa fil-biċċa l-kbira tal-każijiet tinkiseb jekk inpoġġu skont il-proposta F. Engesser\a li l-istress tal-liwi ta ’virga ippressat magħmul minn żewġ partijiet huwa ugwali
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi hija l-hekk imsejħa slenderness ideali.
L-irbit għandhom ikunu biżżejjed fin-numru u b’saħħithom biżżejjed biex iġġiegħel iż-żewġ partijiet tal-virga jaġixxu flimkien. Esklużi tensjonijiet sekondarji, ir-rabtiet trasversali jibqgħu mhux stressati sakemm il-virga tibqa dritta. Huwa biss bil-liwi li għandhom jirċievu forzi, u għandhom jittrasmettu forzi trasversali li jiżdiedu mal-liwi. Fil-każ li hija linja elastika
forza trasversali f’I=const. huwa ugwali
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Bil-fig. 5 m jista’ jinqara immedjatament Q(z)=PK∙v’(z). L-ogħla valur fit-tarf tal-virga huwa
Sl.5
Il-konnessjonijiet trasversali għandhom ikunu kapaċi jakkomodaw din il-forza trasversali. Peress li t-tagħbija korrispondenti hija l-forza tal-buckling PK, huwa biżżejjed jekk il-limitu li jġorr it-tagħbija jintlaħaq għal dan ukoll fil-konnessjonijiet trasversali - jiġifieri simultanjament mal-virga kollha. Ovvjament, ma jkun hemm l-ebda benefiċċju jekk il-cross-links kellhom daqs ferm aktar b’saħħtu milli meħtieġ biex jirċievu Q0. Min-naħa l-oħra, cross-links li huma dgħajfa wisq jikkawżaw li l-virga tfalli qabel iż-żmien.
L-ekwazzjoni ta ‘hawn fuq ma tistax tintuża inizjalment minħabba li l-kobor tal-vleġġa tal-buckling mhix magħrufa. Il-virga tinsab f’ekwilibriju indifferenti taħt PK u tista’, għall-inqas fl-ewwel grad ta’ approssimazzjoni, tieħu valur arbitrarju. Għalhekk huwa utli, skont il-proposta ta’ F. Krohn-a, biex tiddetermina l-kobor ta ‘dak il-buckling maxv li fih il-virga mgħawweġ titlef il-kapaċità ta’ ġarr tagħha minħabba falliment minħabba liwi. Dan ċertament se jseħħ jekk il-punt ta ’rendiment jintlaħaq fuq in-naħa konkava tal-liwja (Fig.6). Il-liwjiet għal dan jikbru aktar u l-mumenti ta ’liwi korrispondenti ma jistgħux jiġu applikati.
Fig. 6
L-istress totali fuq in-naħa konkava tal-liwja hija skond il-fig.6għal materjal tal-plastik ideali
Minn hemm ġej l-akbar swagger li għad jista’ jissaporti
maxQ0 hija l-forza trasversali korrispondenti fit-tarf tal-virga.
Jekk jintuża għall-forma σK Tetmeier\ u poġġi σF=3,1t/ċm2u sK=e/2∙ λy li jikkorrispondi għal iy≈e/2, imbagħad jinkiseb il-valur approssimattiv ta’ Krohn\ ta’ maxQ0=F/28(Q f’t, F f’ċm2).
Għal linji arbitrarji jinkiseb l-istress tal-buckling
maxQ0=μK∙SK.
Il-koeffiċjent μK jinbidel mal-slenderness tal-virga, jiddependi wkoll fuq il-materjal. Meta l-ekwazzjoni ta ‘hawn fuq hija diviża bil-koeffiċjent tas-sigurtà kontra l-buckling tista’ tinkiteb
dozv__Q=μ∙dozvS.
Tibdil tas-sistemi lineari
Fil-każ ta ‘sistemi lineari, huwa komuni li jiġi ddeterminat it-tul tal-liwi sK=β∙h ta’ virga li hija biċ-ċappetti fiż-żewġt itruf u li l-forza tal-liwi tagħha hija PK=π għal tqabbil2EI/s2K daqstant kbir. Se jingħata “tul tal-buckling” komparattiv għall-eżempji hawn taħt.
a) Virga kklampjata fiż-żewġt itruf (EI=kost.)
Sl.7
Għall-każ tal-fig.7ta ’buckling huwa PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, “tul tal-buckling” komparattiv sK=h/2u l-linja elastika tal-buckling v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Virga ħielsa f’tarf wieħed (fig.8)
Sl. 8
Huwa preżunt li d-direzzjoni ta ’P ma tinbidilx hekk kif il-virga tgħawweġ. Imbagħad (EI=kost.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Il-kundizzjonijiet tal-kontorn għat-tarf ħieles z=h hawn aqra
M=0 jew v’’=0
Q=M’-Pv’=0 jew v’’’+a2∙v’=0.
c) Virga kklampjata f’tarf wieħed (fig. 9)
Sl.9
B’kundizzjonijiet tal-kontorn
v=0 u v’=0 għal z=0
v=0 u v’’=0 għal z=h
jinkiseb għal EI=const. kundizzjoni tal-bukkjar
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
jew ekwivalenti
tgαh=αh. (4)
L-għeruq ta ’din l-ekwazzjoni traxxendentali jinstabu fit-tabelli K. Hayashi's. L-inqas forza ta ’buckling hija skont it-tabelli PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
It-tul komparattiv tal-buckling huwa sK = h / √2,046=0,699h.
d) Virga kklampjata f’tarf wieħed b’disturb (fig.10)
Fig. 10
Aħna se nikkunsidraw il-każ ta ‘spostament tal-ponta ta’ daqs kostanti. Il-kundizzjonijiet tal-kontorn għal dak huma
v=0u v’=0 għal z=0,
v=v1u v’’=0 għal z=h.
Hija problema ta ’ekwilibriju b’linja elastika
Id-denominatur tat-terminu qabel il-{}-parentesi jkun żero u l-buckling jiżdied fuq il-limiti kollha jekk P→PK (ara l-kondizzjoni tal-buckling Eq. (4)). Hija karatteristika tal-imġieba tal-virga li l-liwjiet fin-nofs u t-tarf t’isfel tal-virga huma inizjalment iżgħar b’tagħbija P dejjem tiżdied u jibdlu s-sinjal tagħhom biss għal tagħbijiet ogħla. Sl.10turi liwjiet f’nofs għoli.
e) Twaħħal kontinwa fuq żewġ għelieqi
Sl.11
Għaż-żewġ żoni tas-soluzzjoni (fig.11) aħna se napplikaw l-issettjar
U_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Għas-sempliċità ħalliha tkun (EI)1=(EI)2=EI. Biex issib it-tmien kostanti A1, …, A2, … iservu bħala kundizzjonijiet tal-kontorn
v=0 u v’=0 għal z1=0,
v=0 u v’’=0 għal z2=h,
kif ukoll kundizzjonijiet transitorji bejn iż-żoni I u II
v=0 għal z1=h u għal z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Ekwazzjonijiet kundizzjonali huma mogħtija fit-tabella hawn taħt
L-issettjar li d-determinant tal-koeffiċjent huwa ugwali għal żero, tinkiseb il-kundizzjoni tal-buckling
Tul tal-liwi sK=0,878_h_, filwaqt li għall-fig. 35 jew β=0,699. Il-forza tal-buckling naqset meta mqabbla ma’ 2,046 : 1,297 minħabba ż-żieda tat-tieni qasam li huwa biċ-ċappetti. Jekk il-qasam l-ieħor kien maqrusa ogħla, allura l-forza tal-buckling terġa tiżdied sal-quċċata. 2,04 PE.
Din il-preżentazzjoni storika tal-formuli mhijiex proġett jew prova tal-istabbiltà tal-istruttura. Is-suppożizzjonijiet klassiċi ta ’membru dritta ideali, tagħbija ċċentrata u żona elastika mhux neċessarjament jinkludu imperfezzjonijiet inizjali, tensjonijiet residwi, eċċentriċità, ebusija tal-konnessjoni, non-linearità tal-materjal, stabbiltà laterali u lanqas, meta applikabbli, fażijiet tan-nar, azzjoni sismika u assemblaġġ. Il-kalkolu tal-istruttura attwali għandu jsir minn inġinier ċivili awtorizzat skont regolamenti u standards validi.