Idag är Savo Kusić fokuserad på träfönster, trä-aluminiumfönster, anpassade fönster, dörr och offertförfrågningar. Denna text finns kvar som ett arkiv för strukturteori och är inte ett erbjudande om statisk design, stabilitetsberäkningar eller strukturell rehabilitering.
Differentialekvation för böjning
Det antas att alla idealiseringar är uppfyllda, särskilt
- att spöet är helt rakt
- att lasten P verkar i stavens axel
- att spänningarna förblir under proportionalitetsgränsen
- att deformationerna är tillräckligt små för att tillåta de vanliga förenklingarna av beräkningar.
Om stången böjer sig under inverkan av kraften P och kanske också på grund av att lasten q verkar i tvärriktningen, så måste de kända jämviktsvillkoren mellan de yttre lasterna och krafterna i sektionen vara uppfyllda. Dessutom är det naturligt att det finns kända samband mellan deformationer och krafter i sektionen.
Sl.1- Balans
I fig.1ett element av en böjd stång med längden ds representeras. Lutningen på tangenten v’ är liten så att upp till andra ordningen kan längden på elementet ställas in till att vara lika med projektionen ds=dz. Dessutom, i de tester som nämns nedan, kommer fall där P ständigt ändras längs stavens axel inte att tas med i beräkningen, dvs normalkraft N≈P=konst. I de tre jämviktsförhållanden som finns för elementet kan ett visst antal medlemmar då försummas. För markeringar och skyltar från fig.10kvarstår då i den första approximationen av ekvationen
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Tvärkraften kan elimineras och då håller M’‘=Pv’’-q. Bernoulli's lag M=-EI/R tillhandahåller den saknade ekvationen. Kurvan för stavens axel, som vanligt, från teorin om balkböjning, förenklas enligt följande
Det är alltså möjligt att eliminera böjmomentet; och med M=-EI*v’’ får vi differentialekvationen för den böjda stången
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
I det speciella fallet med konstant böjstyvhet EI=konst. ekvationen (1) är förenklad, så det är
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ekv. (1) och (1a) är linjära i v enligt de nämnda förenklingarna.
Praktiskt taget är det enklaste fallet med konstant böjstyvhet EI=konst., som fungerar som grund för exemplen nedan, särskilt viktigt.
Eulers fodral
Antagandena för det klassiska fallet med buckling är, förutom de nämnda idealiseringarna: p=0, alltså N=konst.=P, samt konstant styvhet utan friktion, som ligger exakt på stavens axel. Den ordinarie differentialekvationen (1a) är fjärde ordningen, linjär och homogen på grund av q=0. Den allmänna lösningen är:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
där A, B, C, D är de fyra integrationskonstanterna. Parametern är av ändlig storlek på grund av antagandet EI≠0. Dessutom är α≠0 giltig för P>0.
Sl.2
Eftersom den linjära differentialekvationen (1a) är homogen, löses även detta problem med n_∙__v(z)_, där n är en godtycklig konstant. Redan från den matematiska klassificeringen av differentialekvationen (1a) kan man se att storleken på böjningen v inte kan bestämmas. För att bestämma integrationskonstanterna A, B, C, D i fallet Euler\ (fig. 2) finns följande konturförhållanden tillgängliga: På grund av det ledade stödet är böjmomentet noll i båda ändarna av stången, dvs.
v=0 och M=0 för z=0
v=0 och M=0 för z=s.
På grund av M=-EI_∙__v’‘_, följer det att M=0 är värdet av v’’=0, så de fyra konturvillkoren lyder:
v=0 och v’’=0 för z=0
v=0 och v’’=0 för z=s.
Lösningen (2) resulterar alltså i fyra linjära ekvationer:
En.3
Dessa fyra homogena ekvationer har den första så kallade triviala lösningen A=B=C=D=0, vilket motsvarar v(z)=0. Den oböjda stången v_(z_)=0 är den vanliga jämviktspositionen för godtyckliga, särskilt små värden på lasten P. Här är vi främst intresserade av de förhållanden under vilka spöet böjs, dvs att v(z)≠0. Ekvationerna (3) har inte en sådan trivial lösning med A, B, C, D ≠ 0 endast om determinanten för koefficienten är lika med noll.
En. 3a
Från bucklingsförhållandena Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog för att beräkna de kritiska värdena PK för lasten. Denna ekvation är uppfylld endast om sin αs =0, det vill säga för αKms = mπ med m=1,2,3,… Motsvarande värden på Euler\s bucklingskraft är PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. För varje värde på m erhålls en viss bucklingskraft. I de flesta fall är bara den minsta av dessa krafter av intresse, och det
PK1=EI(π/s)2.
I följande version kommer det att finnas ett index m, eller 1 för det mesta utelämnat, vilket hänvisar till den lägsta av de kritiska belastningarna. Av intresse är motsvarande elastiska linje. Från en (2) erhålls konstanterna B=C=D=0. Det återstående villkoret är A∙sin__αs=0. Den elastiska bucklingslinjen för ovanstående fall m=1 är därför v(z) = A_∙sinπz/s_, där v(z) är för αK resp. PK motsvarande egenfunktion. Storleken på A förblir obestämd.
Låt oss ta en ny titt på hela lastområdet. För godtyckliga värden på P, speciellt för krafter P_<_PK1 är v(z)=0, förblir stången rak.
I den klassiska stabilitetsteorin menas under “gradvis ökande” belastning P en på varandra följande värdeserie P, där stabiliteten hos det observerade belastningsfallet kommer att testas om och om igen för varje individuell nivå av belastning P. Under stabilitetstestet förblir storleken på P förvisso oförändrad. Om ett tillstånd P bestäms vara stabilt, så ökas belastningen med något, och därför upprepas stabilitetstestet. Denna noggranna bestämning är nödvändig för att det inte ska uppstå någon förväxling med typen av belastning, som ligger till grund för Shanley-effekten, där det sker en ökning av belastningen samtidigt som små störningar verkar. Vid undersökning av stabiliteten enligt Shanley, i området för plastisk buckling, uppstår en mindre bifurkationskraft än med den klassiska betraktningsmetoden.
Följande överväganden antar det första sättet att öka belastningen: Vid en gradvis ökning av belastningen P i denna mening, kommer man till PK1=EI_∙(π/s)_2 först vid en bifurkationspunkt av den elastiska linjen, med en enkel sinusbuckling som jämvikt linje
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A betecknar den obestämda amplituden för den elastiska linjen. För laster är _P*__>_PK1 enligt den linjäriserade teorin Δ≠0, dvs balans är inte möjlig där. Endast för högre bucklingskrafter PK2 etc. blir det igen Δ=0 och därmed även v(z)≠0. Orsaken till denna teoretiska slutsats, som inte stämmer överens med det faktiska beteendet, ligger i lineariseringen av differentialekvationen.
Böjning av pressade stavar som består av två delar
Vi begränsar oss till tvådelade pressade pinnar och för pressade pinnar som består av tre eller flera delar gäller liknande förhållanden.
Sl.3
Beroende på typen av tvärgående anslutning skiljer sig gallerstänger (fig.3a) och ramstänger (fig.3e). Utan korsband skulle varje del av stången böjas av sig själv (fig.3b). Om fyllningen är relativt svag kan en enda remstång böjas utan att böja staven som helhet. För gallerstaven fig.3c kan jämföras: vänster för gångjärnssystem, höger för kontinuerliga remmar; och för ramstången fig.3f till vänster för mjuka kopplingsskivor, till höger för styva kopplingsskivor. Därifrån kan man se att smalhet λ_ har stor inverkan1__=s1/i1_. För den enskilda delen av spöet placerades jag1=F1_∙_i12, s1 är fältavståndet (fig.3), i1 avser axeln1-1(se fig.4).
Sl.4
Knäckkraften hos sammansatta stavar som motsvarar de elastiska bucklingslinjerna fig. 3d, eller 3g var föremål för uttömmande teoretiska undersökningar. Om staven var sammansatt av unika sektioner (t.ex. med en ribba) eller om de tvärgående anslutningarna var så frekventa att en stav böjd från två delar inte skiljer sig i sin effekt från en enda stav, då skulle det vara σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Där betecknar det λ__y=sK/iy (fig. 4). Denna knäckspänning kommer dock inte att uppnås helt i praktiken eftersom det inte finns tillräckligt med tvärgående anslutningar för det, och de är dessutom elastiska. En uppskattning som tillfredsställer i de flesta fall erhålls om vi sätter enligt förslaget F. Engesser\a att böjspänningen för den pressade stången som består av två delar är lika med
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi är den så kallade idealiska smalheten.
Tvärstag måste vara tillräckligt många och starka nog att tvinga båda delarna av stången att samverka. Exklusive sekundära spänningar förblir tvärlänkarna obelastade så länge stången förblir rak. Det är bara med böjning som de måste ta emot krafter, och de måste överföra tvärkrafter som ökar med böjning. Om den elastiska linjen
tvärkraft vid I=konst. är lika med
Q = M’ = - EI∙v’’’.
Med fig. 5 m kan omedelbart läsas Q(z)=PK∙v’(z). Det högsta värdet i slutet av spöet är
Sl.5
Tvärförbindelserna måste kunna ta emot denna tvärkraft. Eftersom motsvarande belastning är knäckkraften PK räcker det om bärighetsgränsen nås för detta även i tvärförbindelserna - d.v.s. samtidigt med hela stången. Uppenbarligen skulle det inte vara någon fördel om tvärlänkarna dimensionerades mycket starkare än nödvändigt för att ta emot Q0. Å andra sidan skulle tvärbindningar som är för svaga göra att staven misslyckas i förtid.
Ovanstående ekvation kan inte användas initialt eftersom storleken på bucklingspilen är okänd. Staven är i likgiltig jämvikt under PK och kan åtminstone i den första approximationen ta ett godtyckligt värde. Det är därför nyttigt, enligt förslaget av F. Krohn-a, för att bestämma storleken på den buckling maxv vid vilken den böjda stången förlorar sin bärighet på grund av brott på grund av böjning. Detta kommer säkert att inträffa om sträckgränsen nås på den konkava sidan av kröken (fig. 6). Böjningarna för detta växer ytterligare och motsvarande böjmoment kan inte appliceras.
Fig. 6
Den totala spänningen på den konkava sidan av kröken är enligt fig.6för idealiskt plastmaterial
Därifrån kommer det största tjafset som fortfarande kan uthärdas
maxQ0 är motsvarande tvärkraft vid stavänden.
Om det används för σK Tetmeier\s form och lägg σF=3,1t/cm2och sK=e/2∙ λy som motsvarar iy≈e/2, då erhålls Krohn\s ungefärliga värde på maxQ0=F/28(Q i t, F i cm2).
För godtyckliga linjer erhålls bucklingsspänningen
maxQ0=μK∙SK.
Koefficienten μK ändras med stavens slankhet, det beror också på materialet. När ovanstående ekvation divideras med säkerhetskoefficienten mot buckling kan den skrivas
dozv__Q=μ∙dozvS.
Knäckning av linjära system
När det gäller linjära system är det vanligt att bestämma böjlängden sK=β∙h för en stång som är gångjärnsförsedd i båda ändar och vars böjkraft är PK=π för jämförelse2EI/s2K lika stor. En jämförande “bucklingslängd” kommer att ges för exemplen nedan.
a) Stång klämd i båda ändar (EI=konst.)
Fig. 7
För fallet med fig.7av buckling är PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, jämförande “buckling length” sK=h/2och den elastiska bucklingslinjen v(z)=D(1- för2πz/h).
b) Stångfri i ena änden (fig.8)
Sl. 8
Det antas att riktningen för P inte ändras när stången böjs. Sedan (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Konturvillkoren för den fria änden z=h här läs
M=0 eller v’’=0
Q=M’-Pv’=0 eller v’’’’+a2∙v’=0.
c) Stång klämd i ena änden (fig. 9)
Fig. 9
Med konturförhållanden
v=0 och v’=0 för z=0
v=0 och v’’=0 för z=h
erhålls för EI=const. knäckande skick
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
eller motsvarande
tgαh=αh. (4)
Rötterna till denna transcendentala ekvation finns i tabellerna K. Hayashi’s. Den lägsta bucklingskraften är enligt tabeller PK1=4,49342/h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Den jämförande bucklingslängden är sK = h / √2,046=0,699h.
d) En stång klämd i ena änden med en störning (fig.10)
Fig. 10
Vi kommer att överväga fallet med spetsförskjutning av konstant storlek. Konturförhållandena för det är
v=0och v’=0 för z=0,
v=v1och v’’=0 för z=h.
Det är ett jämviktsproblem med en elastisk linje
Nämnaren för termen före {}-parenteserna kommer att vara noll och bucklingen ökar över alla gränser om P→PK (se bucklingsvillkor Ekv. (4)). Det är karakteristiskt för stavens beteende att böjarna i mitten och nedre änden av staven initialt är mindre med ökande belastning P och byter tecken endast vid högre belastning. Sl.10visar böjar på halv höjd.
e) Kontinuerlig stick över två fält
Sl.11
För båda lösningsområdena (fig.11) kommer vi att tillämpa inställningen
Och_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Låt det för enkelhetens skull vara (EI)1=(EI)2=EI. För att hitta de åtta konstanterna A1, …, A2, … tjäna som konturförhållanden
v=0och v’=0 för z1=0,
v=0och v’’=0 för z2=h,
samt övergångsförhållanden mellan områden I och II
v=0 för z1=h i för z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
Konditionella ekvationer ges i tabellen nedan
Genom att ställa in att determinanten för koefficienten är lika med noll erhålls bucklingsvillkoret
Böjlängd sK=0,878_h_, medan för fig. 35 eller β=0,699. Böjningskraften har minskat jämfört med 2,046: 1,297 på grund av tillägget av ett andra fält som är gångjärn. Om det andra fältet klämdes högre, skulle bucklingskraften öka igen till toppen. 2,04 PE.
Denna historiska presentation av formlerna är inte ett projekt eller ett bevis på strukturens stabilitet. De klassiska antagandena om ideal rak del, centrisk belastning och elastisk yta inkluderar inte nödvändigtvis initiala defekter, restspänningar, excentricitet, anslutningsstyvhet, materialolinjäritet, sidostabilitet och inte heller, när så är tillämpligt, brand, seismisk verkan och monteringsfaser. Beräkning av den faktiska konstruktionen ska göras av en auktoriserad civilingenjör enligt gällande föreskrifter och standarder.