Dnes sa Savo Kusić zameriava na drevené okná, drevo-hliníkové okná, vlastné okná, dvere a žiadosti o cenovú ponuku. Tento text zostáva archívom konštrukčnej teórie a nie je ponukou statického návrhu, stabilitných výpočtov alebo sanácie konštrukcií.
Diferenciálna rovnica vzpierania
Predpokladá sa, že všetky idealizácie sú splnené, najmä
- že tyč je dokonale rovná
- že zaťaženie P pôsobí v hriadeli tyče
- že napätia zostávajú pod hranicou proporcionality
- že deformácie sú dostatočne malé na to, aby umožnili obvyklé zjednodušenia výpočtov.
Ak sa tiahlo pôsobením sily P a možno aj zaťažením q pôsobiacim v priečnom smere ohne, potom musia byť splnené známe podmienky rovnováhy medzi vonkajšími zaťaženiami a silami v reze. Okrem toho je prirodzené, že by mali byť známe vzťahy medzi deformáciami a silami v reze.
Obr. 1 – Zostatok
Na obr.1je prezentovaný ohnutý tyčový prvok dĺžky ds. Sklon tangenty v’ je malý, takže až do druhého rádu možno dĺžku prvku nastaviť tak, aby sa rovnala priemetu ds=dz. Okrem toho sa v testoch uvedených nižšie nebudú brať do úvahy prípady, v ktorých sa P neustále mení pozdĺž osi tyče, t.j. normálová sila N≈P=konšt. V troch rovnovážnych podmienkach dostupných pre prvok môže byť potom určitý počet členov zanedbaný. Pre značky a značky z obr.10potom zostanú v prvej aproximácii rovnice
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Priečna sila môže byť eliminovaná a potom platí M’‘=Pv’’-q. _Bernoulliho zákon M=-EI/R poskytuje chýbajúcu rovnicu. Krivka osi tyče, ako obvykle, z teórie ohýbania lúča, je zjednodušená takto
Takto je možné eliminovať ohybový moment; a s M=-EI*v’’ získame diferenciálnu rovnicu pre ohnutú tyč
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
V špeciálnom prípade konštantnej tuhosti v ohybe EI=konšt. rovnica (1) je zjednodušená, takže je
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ekv. (1) a (1a) sú lineárne v v podľa uvedených zjednodušení.
Prakticky najjednoduchší prípad konštantnej tuhosti v ohybe EI=konšt. je obzvlášť dôležité, čo slúži ako základ pre nižšie uvedené príklady.
Eulerov prípad
Predpoklady pre klasický prípad vybočenia sú okrem spomínaných idealizácií: p=0 teda N=konšt.=P, ako aj konštantná tuhosť bez trenia, ktoré ležia presne na osi tyče. Obyčajná diferenciálna rovnica (1a) je štvrtého rádu, lineárna a homogénna vďaka q=0. Všeobecné riešenie je:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kde A, B, C, D sú štyri integračné konštanty. Parameter má konečnú veľkosť kvôli predpokladu EI≠0. Okrem toho α≠0 za P>0.
Obr. 2
Keďže lineárna diferenciálna rovnica (1a) je homogénna, tento problém rieši aj n_∙__v(z)_, kde n je ľubovoľná konštanta. Už z matematickej klasifikácie diferenciálnej rovnice (1a) je vidieť, že veľkosť ohybu v sa nedá určiť. Na určenie integračných konštánt A, B, C, D v prípade Euler\ (obr. 2) sú k dispozícii nasledujúce obrysové podmienky: Vďaka kĺbovej podpore je ohybový moment na oboch koncoch tyče nulový, t.j.
v=0 a M=0 za z=0
v=0 a M=0 pre z=s.
Kvôli M=-EI_∙_v’‘ z toho vyplýva, že M=0 je hodnota v’’=0, takže štyri podmienky obrysu znejú:
v=0 a v’’=0 za z=0
v=0 a v’’=0 pre z=s.
Výsledkom riešenia (2) sú teda štyri lineárne rovnice:
Jeden.3
Tieto štyri homogénne rovnice majú prvé takzvané triviálne riešenie A=B=C=D=0, čo zodpovedá v(z)=0. Neohnutá tyč v_(z_)=0 je obvyklá rovnovážna poloha pre ľubovoľné, najmä malé hodnoty zaťaženia P. Tu nás v prvom rade zaujímajú podmienky, za ktorých sa tyč ohýba, t.j. že v(z)≠0. Rovnice (3) nemajú také triviálne riešenie s A, B, C, D ≠ 0 iba vtedy, ak je determinant koeficientu rovný nule.
Jeden. 3a
Z podmienok vybočenia Δ = α4∙s∙sinαs =0 mna výpočet kritických hodnôt PK záťaže. Táto rovnica je splnená iba vtedy, ak sin αs =0, teda pre αKms = mπ s m=1,2,3,… Zodpovedajúce hodnoty vzpernej sily Euler\ sú PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pre každú hodnotu m sa získa určitá vzperná sila. Vo väčšine prípadov je zaujímavá len najmenšia z týchto síl, a to
PK1=EI(π/s)2.
V nasledujúcej verzii bude index m alebo 1 väčšinou vynechaný, vzťahujúci sa na najnižšie kritické zaťaženie. Zaujímavosťou je zodpovedajúca elastická línia. Z jednej (2) konštanty sa získajú B=C=D=0. Zostávajúca podmienka je A∙sin__αs=0. Pružná čiara vybočenia pre vyššie uvedený prípad m=1 je teda v(z) = A_∙sinπz/s_, kde v(z) je pre αK resp. PK zodpovedajúca vlastná funkcia. Veľkosť A zostáva neurčená.
Pozrime sa ešte raz na celú ložnú plochu. Pre ľubovoľné hodnoty P, najmä pre sily P_<_PK1 je v(z)=0, tyč zostáva rovná.
V klasickej teórii stability sa pod “postupne rastúcim” zaťažením P rozumie po sebe idúci rad hodnôt P, kde sa stabilita pozorovaného zaťažovacieho stavu bude testovať znova a znova pre každú jednotlivú úroveň zaťaženia P. Počas testu stability zostáva veľkosť P určite nezmenená. Ak sa určí, že jeden stav P je stabilný, zaťaženie sa o niečo zvýši, a preto sa test stability opakuje. Toto presné určenie je potrebné, aby nedošlo k zámene s typom zaťaženia, ktorý je základom pre Shanley\ efekt, pri ktorom dochádza k zvýšeniu zaťaženia pri súčasnom pôsobení malých porúch. Pri skúmaní stability podľa Shanley\ v oblasti plastického vybočenia vzniká menšia bifurkačná sila ako pri klasickom spôsobe uvažovania.
Nasledovné úvahy predpokladajú prvý spôsob zvyšovania zaťaženia: Pri postupnom zvyšovaní zaťaženia P v tomto zmysle sa k PK1=EI_∙(π/s)_2 najskôr dospeje k jednému bifurkačnému bodu pružnej rovnováhy ako k pružnej línii
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A označuje neurčenú amplitúdu elastickej čiary. Pre záťaže _P*__>_PK1 je podľa linearizovanej teórie Δ≠0, t.j. vyváženie tam nie je možné. Len pre vyššie vzperné sily PK2 atď. bude opäť Δ=0 a teda aj v(z)≠0. Príčina tohto teoretického záveru, ktorý sa nezhoduje so skutočným správaním, spočíva v linearizácii diferenciálnej rovnice.
Vybočenie lisovaných tyčí zložených z dvoch častí
Obmedzujeme sa na dvojdielne lisované palice a pre lisované palice zložené z troch alebo viacerých častí platia podobné pomery.
Sl.3
Podľa typu priečneho spojenia sa mriežkové tyče líšia (obr.3a) a tyče rámu (obr.3e). Bez krížových väzieb by sa každá časť palice sama ohýbala (obr.3b). Ak je výplň relatívne slabá, potom sa jedna pásová tyč môže ohnúť bez ohýbania tyče ako celku. Pre mriežkovú tyč obr.3c možno porovnať: vľavo pre kĺbový systém, vpravo pre priebežné pásy; a pre tyč rámu obr.3f vľavo pre mäkké spojovacie plechy, vpravo pre pevné spojovacie plechy. Odtiaľ je vidieť, že štíhlosť λ_ má veľký vplyv1__=s1/i1_. Pre jednotlivú časť prúta bola umiestnená I1=F1_∙_i12, s1 je rozostup polí (obr.3), i1 odkazuje na os1-1(pozri obr.4).
Sl.4
Vzperná sila zložených prútov zodpovedajúca elastickým líniám vybočenia z obr. 3d alebo 3g bolo predmetom vyčerpávajúcich teoretických výskumov. Ak by bola tyč zložená z jedinečných sekcií (napr. s rebrom) alebo ak by boli priečne spojenia také časté, že tyč ohnutá z dvoch častí sa svojim účinkom nelíši od tyče jednej, potom by to bolo σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Tam označuje λ__y=sK/iy (obr. 4). Toto vzperné napätie sa však v praxi úplne nedosiahne, pretože na to nie je dostatok priečnych spojení a sú tiež elastické. Aproximáciu, ktorá vo väčšine prípadov vyhovuje, získame, ak dáme podľa návrhu F. Engesser\a, že napätie v ohybe lisovanej tyče zloženej z dvoch častí je rovnaké
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi je takzvaná ideálna štíhlosť.
Krížové spojky musia byť dostatočne početné a dostatočne pevné, aby prinútili obe časti prútu, aby spolupracovali. S vylúčením sekundárnych napätí zostávajú priečne články nenapäté, pokiaľ tyč zostáva rovná. Len pri ohýbaní musia prijímať sily a musia prenášať priečne sily, ktoré sa ohýbaním zväčšujú. V prípade, že ide o elastickú linku
priečna sila pri I=konšt. je rovné
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
S obr. 5 m možno okamžite prečítať Q(z)=PK∙v’(z). Najvyššia hodnota na konci tyče je
Sl.5
Priečne spojenia musia byť schopné túto priečnu silu zvládnuť. Keďže zodpovedajúcim zaťažením je vzperná sila PK, stačí, ak sa na to dosiahne medza únosnosti aj v priečnych spojeniach - t.j. súčasne s celou tyčou. Je zrejmé, že by bolo zbytočné, keby boli priečne väzby dimenzované oveľa silnejšie, ako je potrebné na získanie Q0. Na druhej strane, príliš slabé priečne väzby by spôsobili predčasné zlyhanie prúta.
Vyššie uvedená rovnica nemôže byť použitá na začiatku, pretože veľkosť šípky vybočenia nie je známa. Tyč je pod PK v indiferentnej rovnováhe a môže, aspoň v prvom stupni priblíženia, nadobúdať ľubovoľnú hodnotu. Preto je podľa návrhu F užitočné. Krohn-a, určiť veľkosť vybočenia maxv, pri ktorej ohnutá tyč stratí svoju únosnosť v dôsledku poruchy v dôsledku ohybu. K tomu určite dôjde, ak sa medza klzu dosiahne na konkávnej strane ohybu (obr.6). Ohyby k tomu ďalej rastú a príslušné ohybové momenty sa nedajú použiť.
Obr. 6
Celkové napätie na konkávnej strane ohybu je podľa obr.6pre ideálny plastový materiál
Odtiaľ pochádza ten najväčší chvastúň, aký sa dá ešte vydržať
maxQ0 je zodpovedajúca priečna sila na konci tyče.
Ak sa použije pre formulár σK Tetmeier\ a vložte σF=3,1t/cm2a sK=e/2∙ λy čo zodpovedá iy≈e/2, potom sa získa _Krohnova približná hodnota maxQ0=F/28(Q v t, F v cm2).
Pre ľubovoľné línie sa získa vzperné napätie
maxQ0=μK∙SK.
Koeficient μK sa mení so štíhlosťou tyče, závisí aj od materiálu. Keď sa vyššie uvedená rovnica vydelí koeficientom bezpečnosti proti vybočeniu, môže sa zapísať
dozv__Q=μ∙dozvS.
Vybočenie lineárnych systémov
V prípade lineárnych systémov je pre porovnanie bežné určiť ohybovú dĺžku sK=β∙h tyče, ktorá je kĺbovo spojená na oboch koncoch a ktorej ohybová sila je PK=π.2EI/s2K just as big. Pre nižšie uvedené príklady bude uvedená porovnávacia “dĺžka vzperu”.
a) Tyč upnutá na oboch koncoch (EI=konšt.)
Sl.7
Pre prípad obr.7vzpierania je PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, porovnávacia “dĺžka vzperu” sK=h/2a pružná čiara vybočenia v(z)=D(1- čos2πz/h).
b) Na jednom konci voľná tyč (obr.8)
Sl. 8
Predpokladá sa, že smer P sa pri ohýbaní tyče nemení. Potom (EI=konšt.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, SK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Podmienky obrysu pre voľný koniec z=h tu si prečítajte
M=0 alebo v’’=0
Q=M’-Pv’=0 alebo v’’’+a2∙v’=0.
c) Tyč upnutá na jednom konci (obr. 9)
Sl.9
S obrysovými podmienkami
v=0 a v’=0 za z=0
v=0 a v’’=0 za z=h
sa získa pre EI=konšt. stav vybočenia
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
alebo ekvivalent
tgαh=αh. (4)
Korene tejto transcendentálnej rovnice sa nachádzajú v tabuľkách K. Hayashi's. Najnižšia vzperná sila je podľa tabuliek PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Porovnávacia vzperná dĺžka je sK = h / √2,046=0,699h.
d) Tyč upnutá na jednom konci s poruchou (obr.10)
Obr. 10
Budeme uvažovať prípad posunutia hrotu konštantnej veľkosti. Na to sú obrysové podmienky
v=0a v’=0 pre z=0,
v=v1a v’’=0 pre z=h.
Je to problém rovnováhy s elastickou čiarou
Menovateľ člena pred {}-zátvorkami bude nula a vzpier sa zvýši nad všetky limity, ak P→PK (pozri podmienku vzperu Eq. (4)). It is characteristic of the behavior of the rod that the bends in the middle and lower end of the rod are initially smaller with increasing load P and change their sign only for higher loads. Sl.10ukazuje ohyby v polovičnej výške.
e) Súvislá palica cez dve polia
Sl.11
Pre obe oblasti riešenia (obr.11) použijeme nastavenie
And_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Pre jednoduchosť nech je to (EI)1=(EI)2=EI. Ak chcete nájsť osem konštánt A1, …, A2, … slúžia ako podmienky obrysu
v=0 a v’=0 pre z1=0,
v=0 a v’’=0 pre z2=h,
ako aj prechodné podmienky medzi oblasťami I a II
v=0 pre z1=h a pre z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Podmienené rovnice sú uvedené v tabuľke nižšie
Ak nastavíte, že determinant koeficientu je rovný nule, získa sa podmienka vzperu
Dĺžka ohybu sK=0,878_h_, zatiaľ čo pre obr. 35 alebo β=0,699. Vzperná sila sa v porovnaní s 2,046 znížila: 1,297 v dôsledku pridania druhého poľa, ktoré je otočné. Ak by bolo druhé pole zovreté vyššie, potom by vzperná sila opäť vzrástla na vrchol. 2,04 PE.
Táto historická prezentácia vzorcov nie je projektom ani dôkazom stability konštrukcie. Klasické predpoklady ideálneho priameho prvku, centrického zaťaženia a pružnej oblasti nemusia nevyhnutne zahŕňať počiatočné nedokonalosti, zvyškové napätia, excentricitu, tuhosť spoja, nelinearitu materiálu, bočnú stabilitu a prípadne požiar, seizmické pôsobenie a montážne fázy. Výpočet skutočnej stavby musí vykonať autorizovaný stavebný inžinier podľa platných predpisov a noriem.