今日、サヴォ・クシッチは木製窓、木製アルミニウム窓、カスタム窓、ドア、および見積依頼に焦点を当てています。このテキストは構造理論のアーカイブとして残されており、静的設計、安定性計算、または構造修復を提供するものではありません。
曲げにおける座屈微分方程式
すべての理想化、特に
- ロッドが完全に真っ直ぐであること
- ロッドのシャフトに荷重_P_が作用すること
- 電圧が比例限界以下にとどまること
- 変形は通常の計算の単純化を可能にするのに十分小さいこと。
力 P の作用によりロッドが曲がり、おそらく横方向に作用する荷重 q によってロッドが曲がる場合、外部荷重とその部分の力の間の既知の平衡条件が満たされる必要があります。それとは別に、断面内の変形と力との関係が既知であることは当然です。
図1 - バランス
図中。 1 は、長さ ds の曲がったロッド要素です。 v’ 接線の傾きは小さいため、2 次までは要素の長さを投影 ds=dz と等しくなるように設定できます。さらに、以下で説明するテストでは、P がロッドの軸に沿って常に変化する場合、つまり垂直抗力 N≈P=const の場合は考慮されません。要素に利用可能な 3 つの平衡条件では、特定の数の要素を無視できます。マーキングと標識については図から。 10 は方程式
N=P、 M’=Q、 Q’=-q+Pv’’。
横力を除去すると、M’‘=Pv’’-q が成り立ちます。 Bernoulli の法則 M=-EI/R は、欠落している方程式を提供します。いつものように、梁の曲げ理論からロッドの軸の曲線は次のように単純化されます
したがって、曲げモーメントを排除することが可能です。 M=-EI*v’’ を使用すると、曲がったロッド
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q。 (1)
曲げ剛性が一定の特殊な場合、EI=const。方程式 (1) は簡略化されるので、
EIv’‘’’ + Pv’’ = q。 (1a)
等式(1) と (1a) は、前述の単純化に従って v で線形です。
実際には、曲げ剛性が一定の最も単純なケース EI=const。は特に重要であり、以下の例の基礎として機能します。
オイラーの場合
座屈の古典的なケースの仮定は、前述の理想化とは別に、p=0、つまり N=const.=P、および摩擦のない一定の剛性であり、ロッドの軸上に正確に存在します。 常微分方程式 (1a) は、q=0 により 4 次で線形かつ均一です。一般的な解決策は次のとおりです:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
ここで、A、B、C、D は 4 つの積分定数です。 EI≠0 という仮定により、パラメーターのサイズは有限です。なお、P>0の場合は、α≠0。
図2
線形微分方程式 (1a) は同次であるため、この問題も n_∙_v(z) によって解決されます。ここで、n は任意の定数です。微分方程式 (1a) の数学的分類からすでに、曲げ v の大きさを決定できないことがわかります。 Euler\ の場合 (図 2) の積分定数 A、B、C、D を決定するには、次の等高線条件が利用できます。 関節式サポートにより、ロッドの両端での曲げモーメントはゼロです。
v=0 および M=0 (z=0)
v=0 および M=0 (z=s の場合)。
M=-EI_∙_v’‘ により、M=0 は v’’=0 の値となるため、4 つの輪郭条件は次のようになります。
v=0 および v’’=0 (z=0)
v=0 および v’’=0 (z=s の場合)。
したがって、解 (2) は 4 つの線形方程式になります。
等式3
これら 4 つの同次方程式には、最初のいわゆる自明な解 A=B=C=D=0 があり、v(z)=0 に対応します。曲がっていないロッド v_(z_)=0 は、任意の、特に小さな値の荷重 P に対する通常の平衡位置です。 ここで、主にロッドが曲がる条件、つまり v(z)≠0 に興味があります。方程式 (3) は、係数の行列式がゼロに等しい場合にのみ、A、B、C、D ≠ 0 のような自明な解を持ちません。
1つ。 3a
座屈条件 Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m から、荷重の臨界値 PK を計算できます。この式は、sin αs = 0 の場合にのみ満たされます。つまり、αKms = mπ、m=1,2,3 の場合、…Euler\ の座屈力の対応する値は、PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2。 m の各値に対して、特定の座屈力が得られます。ほとんどの場合、これらの力のうち最も小さい力のみが対象となります。
PK1=EI(π/s)2。
次のバージョンでは、最も低い臨界荷重を指すインデックス m、つまり 1 がほとんど省略されます。 興味深いのは、対応する弾性線です。 1 つの (2) 定数から B=C=D=0 が得られます。残りの条件は_A_∙sin__αs=0です。 したがって、上記のケース m=1 の弾性座屈線は、v(z) = A_∙sinπz/s_ になります。ここで、v(z) は αK に対するものです。 PK に対応する固有関数。 A の大きさは未定のままです。
負荷領域全体をもう一度見てみましょう。 P の任意の値、特に力 P_<_PK1 が v(z)=0 の場合、ロッドは真っ直ぐのままです。
古典的な安定性理論では、「徐々に増加する」荷重 P は、連続する一連の値 P を意味し、観測された荷重ケースの安定性は、荷重 P の個々のレベルごとに何度も繰り返しテストされます。安定性テスト中、P のサイズは確かに変化しません。 1 つの状態 P が安定していると判定された場合、負荷が何らかの要因で増加するため、安定性テストが繰り返されます。 この正確な判定は、負荷の種類と混同しないようにするために必要です。これは、小さな外乱が同時に作用している間に負荷が増加する Shanley\ 効果の基礎となります。 Shanley\ に従って安定性を調べると、塑性座屈の領域では、古典的な検討方法よりも小さい分岐力が発生します。
以下の考察は、荷重増加の最初の方法を想定しています: この意味で、荷重 P が徐々に増加すると、まず弾性座屈線として単純な正弦線を使用して、弾性平衡の 1 つの分岐点で PK1=EI_∙(π/s)_2 に到達します
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A は弾性線の不定振幅を示します。 荷重 _P*__>_PK1 の場合、線形化理論 Δ≠0 に従います。つまり、そこではバランスが取れません。より高い座屈力 PK2 などの場合のみ、再び Δ=0 となり、したがって v(z)≠0 となります。 実際の動作と一致しないこの理論的結論の原因は、微分方程式の線形化にあります。
2つの部品からなるプレスロッドの座屈
2 つの部分からなるプレススティックに限定されますが、3 つ以上の部分から構成されるプレススティックの場合も同様の比率が適用されます。
図3
横接続のタイプに応じて、格子ロッド (図 3a) とフレームロッド (図 3e) が区別されます。クロスタイがないと、スティックの各部分が勝手に曲がってしまいます（図3b）。充填物が比較的弱い場合、ロッド全体を曲げることなく、単一のベルト ロッドが曲がることがあります。格子棒図の場合。 3c を比較できます。左はヒンジ付きシステム、右は連続ベルトです。そしてフレームロッドの図。 3f 左側はソフト接続プレート用、右側はリジッド接続プレート用です。 そこから、細さ λ__1_=s1/i1_ が大きな影響を与えていることがわかります。ロッドの個々の部分については、I1=F1_∙_i12 が設定され、s1 はフィールド間隔 (図 3)、i1 は軸を指します。 1-1 (図4を参照)。
図4
図の弾性座屈線に対応する複合ロッドの座屈力は次のようになります。 3d または 3g は徹底的な理論的調査の対象でした。ロッドが独特のセクション (リブ付きなど) で構成されている場合、または横方向の接続が頻繁に行われ、2 つの部分から曲げられたロッドの効果が単一のロッドと変わらない場合、σ__K=_π__2__E/λ__y__2 となります。そこでは λ__y=sK/iy を表します (図 4)。ただし、この座屈応力は実際には十分に達しません。これは、十分な横方向の接続が存在せず、また弾性があるためです。提案 F に従って入力すると、ほとんどの場合を満たす近似が得られます。 Engesser\a 2 つの部分から構成されるプレスされたロッドの曲げ応力は等しい
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi はいわゆる理想的な細さです。
クロスタイは、ロッドの両方の部分が一緒に動作するのに十分な数と十分な強度が必要です。二次応力を除いて、ロッドが真っ直ぐである限り、横リンクには応力がかかりません。力を受け取る必要があるのは曲げの場合のみであり、曲げによって増加する横方向の力を伝達する必要があります。 伸縮性のあるラインの場合
I=const における横力。等しい
Q = M’ = - EI∙v’‘’。
図付き。 5 m はすぐに Q(z)=PK∙v’(z) と読み取れます。ロッドの先端の最高値は
図5
横方向の接続は、この横方向の力に対応できなければなりません。対応する荷重は座屈力 PK であるため、横方向の接続でも、つまりロッド全体と同時に耐荷重限界に達すれば十分です。明らかに、クロスリンクのサイズが Q0 を受信するために必要なサイズよりもはるかに強い場合は役に立ちません。一方、架橋が弱すぎるとロッドが早期に破損する原因になります。
座屈矢印の大きさが不明なので上式は最初から使えません。ロッドは PK の下で無関心平衡状態にあり、少なくとも 1 次近似では任意の値を取ることができます。したがって、F の提案によれば、これは有用です。 Krohn-a を使用して、曲げられたロッドが曲げによる破損により支持力を失う座屈 maxv の大きさを決定します。これは、曲げの凹面側で降伏点に到達した場合に確実に発生します (図 6)。これによる曲げはさらに大きくなり、対応する曲げモーメントを加えることができなくなります。
図6
曲げの凹面側の総応力は図の通りです。 6 理想的なプラスチック材料用
そこからが耐えられる最大のしなり
maxQ0 は、ロッドの端での対応する横力です。
σK Tetmaier\ のフォームに使用し、σF=3,1 t/cm2 と sK=e/2 ∙ λy を置く場合_iy_≈e/2、その後、Krohn\ の近似値 maxQ0=F/28 (Q in t、F in cm2) が得られます。
任意の座屈応力線の場合、
maxQ0=μK∙SK.
係数μKはロッドの細さにより変化し、また材質によっても異なります。上式を座屈に対する安全係数で割ると
dozv__Q=μ∙dozvS.
ラインシステムの座屈
線形システムでは、両端がヒンジで固定され、曲げ力 PK=π2EI/s2K が等しい大きさのロッドの曲げ長さ sK=β∙h を比較のために決定するのが通例です。以下に「座屈長さ」の比較例を示します。
a) ロッド両端クランプ (EI=const.)
図7
図の場合座屈の 7 は PK=4π2EI/h2=4,0∙PE、 比較用の「座屈長さ」 sK=h/2 と座屈の弾性線です_v(z)=D(1-cos2πz/h)._
b) 片端ロッドフリー (図 8)
Sl. 8
ロッドが曲がっても_P_の方向は変わらないとします。次に (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
自由端の輪郭条件 z=h はこちら
M=0 または v’’=0
Q=M’-Pv’=0 または v’‘’‘+a2∙v’=0.
c) ロッドの一端をクランプ (図 9)
図9
輪郭条件あり
v=0 および v’=0 (z=0
v=0 および v’’=0 (z=h
が得られます。座屈状態
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
または同等品
tgαh=αh。 (4)
この超越方程式の根は表 _K にあります。林_さん。最低の座屈力は表に従っています PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
比較座屈長さは sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) ロッドの一端が挟まれて障害がある (図 10)
図10
一定サイズの先端変位の場合を観察します。その輪郭条件は
v=0 および v’=0 (z=0、
v=v1 および v’’=0 (z=h の場合)。
弾性線のつり合い問題です
{} 括弧の前の項の分母はゼロになり、P→PK の場合、座屈はすべての制限を超えて増加します (座屈条件式 (4) を参照)。 ロッドの挙動の特徴は、ロッドの中間および下端の曲がりが、負荷 P の増加に伴って最初は小さくなり、より高い負荷の場合にのみその符号が変化することです。 Sl. 10 は半分の高さでの曲がりを示します。
e) 2フィールドにわたる連続スティック
図11
両方のソリューション領域 (図 11) に設定
I_。 v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
Ⅱ. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
簡単にするために、(EI)1=(EI)2=EI とします。 8 つの定数 A1、…、A2、… を見つけるには、輪郭条件
v=0 および v’=0 (z1=0、
v=0 および v’’=0 (z2=h,
およびエリアIとIIの間の移行条件
v=0 z1=h および z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
条件式は下表の通りです
係数の行列式をゼロに設定すると、座屈条件が得られます
曲げ長さ sK=0,878_h_、図の場合35 または β=0,699。ヒンジ付きの 2 番目のフィールドが追加されたため、座屈力は 2,046 : 1,297 と比較して減少しました。他のフィールドがより高くつままれた場合、座屈力は再びピークに達するまで増加します。 2,04 PE.
この公式の歴史的表現は、プロジェクトや構造の安定性の証明ではありません。理想的な直線部材、中心荷重、および弾性領域の古典的な仮定には、必ずしも初期欠陥、残留応力、偏心、接続剛性、材料の非線形性、横方向の安定性、また該当する場合には火災、地震作用、組み立て段階が含まれるわけではありません。実際の構造の計算は、有効な規制と基準に従って、認定された土木技術者によって行われなければなりません。