Денес, Саво Кусиќ е фокусиран на дрвени прозорци, дрво-алуминиумски прозорци, прилагодени прозорци, врата и барања за понуда. Овој текст останува како архива на теоријата на структурата и не е понуда за статички дизајн, пресметки за стабилност или структурна рехабилитација.
Диференцијална равенка на свиткување на свиткување
Се претпоставува дека сите идеализации се задоволни, особено
- дека прачката е совршено исправена
- дека товарот P делува во вратилото на шипката
- дека напоните остануваат под границата на пропорционалност
- дека деформациите се доволно мали за да овозможат вообичаени поедноставувања на пресметките.
Ако шипката се свиткува под дејство на силата P, а можеби и поради оптоварувањето q што дејствува во попречната насока, тогаш мора да се задоволат познатите услови на рамнотежа помеѓу надворешните оптоварувања и силите во пресекот. Освен тоа, природно е да постојат познати односи помеѓу деформациите и силите во делот.
Сл.1- Биланс
На сл.1претставен е елемент на свиткана прачка со должина ds. Наклонот на тангентата v’ е мал, така што до вториот ред, должината на елементот може да се постави да биде еднаква на проекцијата ds=dz. Покрај тоа, во тестовите споменати подолу, нема да се земат предвид случаите во кои P постојано се менува по оската на шипката, т.е. нормална сила N≈P=const. Во трите рамнотежни услови достапни за елементот, одреден број членови може да се занемарат. За ознаки и знаци од сл.10остануваат тогаш во првото приближување на равенката
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Попречната сила може да се елиминира, а потоа важи M’‘=Pv’’-q. Законот на _Бернули M=-EI/R ја дава равенката што недостасува. Кривата на оската на шипката, како и обично, од теоријата на свиткување на зракот, е поедноставена на следниов начин
Така, можно е да се елиминира моментот на свиткување; а со M=-EI*v’’ се добива диференцијалната равенка за свитканата прачка
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Во посебниот случај на постојана крутост на свиткување EI=конст. равенката (1) е поедноставена, значи е
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ек. (1) и (1a) се линеарни во v според споменатите поедноставувања.
Практично, наједноставниот случај на постојана крутост на свиткување EI=const., кој служи како основа за примерите подолу, е особено важен.
Случај на Ојлер
Претпоставките за класичниот случај на свиткување се, освен споменатите идеализации: p=0, значи N=конст.=P, како и константна крутост без триење, кои лежат токму на оската на шипката. Обичната диференцијална равенка (1a) е од четврти ред, линеарна и хомогена поради q=0. Општото решение е:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
каде A, B, C, D се четирите константи на интеграција. Параметарот е со конечна големина поради претпоставката EI≠0. Понатаму, α≠0 важи за P>0.
Сл. 2
Бидејќи линеарната диференцијална равенка (1a) е хомогена, овој проблем е решен и со n_∙__v(z)_, каде што n е произволна константа. Веќе од математичката класификација на диференцијалната равенка (1a) може да се види дека големината на свиткување v не може да се одреди. За одредување на константите на интеграција A, B, C, D во случајот Euler\ (сл. 2) достапни се следните контурни услови: Поради зглобната потпора, моментот на свиткување е нула на двата краја на шипката, т.е.
v=0 и M=0 за z=0
v=0 и M=0 за z=s.
Поради M=-EI_∙__v’‘_, следува дека M=0 е вредноста на v’’=0, така што четирите контурни услови гласат:
v=0 и v’’=0 за z=0
v=0 и v’’=0 за z=s.
Така, решението (2) резултира со четири линеарни равенки:
Еден.3
Овие четири хомогени равенки го имаат првото таканаречено тривијално решение A=B=C=D=0, што одговара на v(z)=0. Несвитканата прачка v_(z_)=0 е вообичаената рамнотежна позиција за произволни, особено мали вредности на оптоварување P. Овде, првенствено нè интересираат условите под кои се свиткува шипката, односно тоа v(z)≠0. Равенките (3) немаат толку тривијално решение со A, B, C, D ≠ 0 само ако детерминантата на коефициентот е еднаква на нула.
Еден. 3a
Од условите на свиткување Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog да се пресметаат критичните вредности PK на товарот. Оваа равенка е задоволена само ако sin αs =0, тоа е за αKms = mπ со m=1,2,3,… Соодветните вредности на силата на свиткување на Euler се PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. За секоја вредност на m се добива одредена сила на свиткување. Во повеќето случаи, само најмалата од овие сили е од интерес и тоа
PK1=EI(π/s)2.
Во следната верзија, ќе има индекс m, или 1 главно изоставен, што се однесува на најниското од критичните оптоварувања. Од интерес е соодветната еластична линија. Од една (2) константи се добиваат B=C=D=0. Преостанатиот услов е A∙sin__αs=0. Еластичната линија на свиткување за горенаведениот случај m=1 е, според тоа, v(z) = A_∙sinπz/s_, каде што v(z) е за αK одт. PK соодветна сопствена функција. Магнитудата на A останува неодредена.
Ајде уште еднаш да ја разгледаме целата товарна област. За произволни вредности на P, особено за силите P_<_PK1 е v(z)=0, шипката останува исправена.
Во класичната теорија на стабилност, под „постепено растечко“ оптоварување P се подразбира последователна серија на вредности P, каде стабилноста на набљудуваниот случај на оптоварување ќе се тестира повторно и повторно за секое поединечно ниво на оптоварување P. За време на тестот за стабилност, големината на P останува секако непроменета. Ако една состојба P се утврди дека е стабилна, тогаш оптоварувањето се зголемува за нешто и затоа се повторува тестот за стабилност. Ова точно определување е неопходно за да нема забуна со типот на оптоварување, што е основа за ефектот Shanley, во кој има зголемување на оптоварувањето додека истовремено дејствуваат мали пречки. При испитување на стабилноста според Shanley, во областа на пластично свиткување, се јавува помала сила на бифуркација отколку со класичниот метод на разгледување.
Следниве размислувања го претпоставуваат првиот начин на зголемување на оптоварувањето: При постепено зголемување на оптоварувањето P во оваа смисла, се доаѓа до PK1=EI_∙(π/s)_2 прво на една бифуркациона точка на еластичната линија со еластична еквила линија
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A ја означува неодредената амплитуда на еластичната линија. За товари _P*__>_PK1 е според линеаризираната теорија Δ≠0, т.е. рамнотежата не е возможна таму. Само за повисоки сили на свиткување PK2 итн. повторно ќе биде Δ=0 и на тој начин исто така v(z)≠0. Причината за овој теоретски заклучок, кој не се совпаѓа со вистинското однесување, лежи во линеаризацијата на диференцијалната равенка.
Свиткување на пресувани прачки составено од два дела
Се ограничуваме на дводелни пресувани стапчиња, а за пресувани стапчиња составени од три или повеќе делови важат слични односи.
Сл.3
Според видот на попречно поврзување, се разликуваат решетките прачки (сл.3а) и шипки за рамка (сл.3д). Без вкрстени врски, секој дел од шипката би се свиткал сам по себе (сл.3б). Ако полнењето е релативно слабо, тогаш една прачка со појас може да се свитка без да ја свитка шипката како целина. За решетката прачка сл.3c може да се спореди: лево за систем со шарки, десно за континуирани ремени; а за рамката прачка сл.3f налево за меки листови за поврзување, надесно за цврсти листови за поврзување. Од таму се гледа дека виткоста λ_ има големо влијание1__=с1/i1_. За поединечниот дел од шипката, Бев поставен1=F1_∙_i12, с1 е растојанието на полето (сл.3), i1 се однесува на оската1-1(види Сл.4).
Сл.4
Силата на свиткување на сложените прачки што одговара на еластичните линии на свиткување на сл.3г, или3g беше предмет на исцрпни теоретски испитувања. Ако шипката била составена од уникатни делови (на пр. со ребро) или ако попречните врски биле толку чести што прачката свиткана од два дела не се разликува по својот ефект од една прачка, тогаш тоа би било σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Таму означува λ__y=sK/iy (Сл.4). Но, ова напрегање на свиткување нема целосно да се достигне во пракса бидејќи за тоа нема доволно попречни врски, а исто така се и еластични. Апроксимација која задоволува во повеќето случаи се добива ако ставиме според предлогот F. Engesser\a дека напрегањето на свиткување на притисната прачка составена од два дела е еднаква
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi е таканаречената идеална витка.
Вкрстените врски мора да бидат доволни по број и доволно силни за да ги принудат двата дела на шипката да дејствуваат заедно. Со исклучок на секундарните напрегања, попречните врски остануваат ненапрегнати се додека шипката останува исправена. Само со свиткување тие треба да примаат сили, а тие треба да пренесуваат попречни сили кои се зголемуваат со свиткување. Во случај да се работи за еластична линија
попречна сила при I=конст. е еднаков
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Со сл. 5 m може веднаш да се прочита Q(z)=PK∙v’(z). Највисоката вредност на крајот на шипката е
Сл.5
Попречните врски мора да бидат способни да ја сместат оваа попречна сила. Бидејќи соодветното оптоварување е силата на свиткување PK, доволно е да се достигне носечката граница за ова и во попречните врски - т.е. истовремено со целата прачка. Очигледно, нема да има корист доколку вкрстените врски се со големина многу посилни отколку што е потребно за да се добие Q0. Од друга страна, вкрстените врски кои се премногу слаби би предизвикале шипката да пропадне предвреме.
Горенаведената равенка не може да се користи првично бидејќи големината на стрелката за свиткување е непозната. Прачката е во индиферентна рамнотежа под PK и може, барем во првиот степен на приближување, да земе произволна вредност. Затоа е корисно, според предлогот на Ф. Krohn-a, за да се одреди големината на тоа свиткување maxv при кое свитканата прачка ја губи носивоста поради дефект поради свиткување. Ова секако ќе се случи ако се достигне точката на попуштање на конкавната страна на свиокот (сл. 6). Свитувањата за ова растат дополнително и не може да се применат соодветните моменти на свиткување.
Сл. 6
Вкупниот напон на конкавната страна на свиокот е според сл.6за идеален пластичен материјал
Оттаму доаѓа најголемото клеветење кое сè уште може да се издржи
maxQ0 е соодветната попречна сила на крајот на прачката.
Ако се користи за формата на σK Tetmeier\ и се става σF=3,1t/cm2и sK=e/2∙ λy што одговара на iy≈e/2, тогаш се добива приближната вредност на Krohn’ на maxQ0=F/28(Q во t, F во см2).
За произволни линии се добива напрегање на свиткување
maxQ0=μK∙SK.
Коефициентот μK се менува со виткоста на шипката, зависи и од материјалот. Кога горната равенка е поделена со коефициентот на сигурност од свиткување, може да се запише
dozv__Q=μ∙dozvS.
Свиткување на линеарни системи
Во случај на линеарни системи, вообичаено е да се одреди должината на свиткување sK=β∙h на прачка што е обвиткана на двата краја и чија сила на свиткување е PK=π за споредба2EI/s2К исто толку голема. Ќе биде дадена компаративна „должина на свиткување“ за примерите подолу.
а) Стисната прачка на двата краја (EI=конст.)
Сл. 7
За случајот на сл.7на свиткување е PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, компаративна „должина на свиткување“ sK=h/2и еластична линија на свиткување v(z)=D(1- кос2πz/h).
б) Без прачка на едниот крај (сл.8)
Сл. 8
Се претпоставува дека насоката на P не се менува додека прачката се наведнува. Потоа (EI=конст.)
PK=π2ЕИ/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2ж).
Контурните услови за слободниот крај z=h овде прочитајте
M=0 или v’’=0
Q=M’-Pv’=0 или v’’’’+a2∙v’=0.
в) Стисната прачка на едниот крај (сл. 9)
Сл. 9
Со контурни услови
v=0 и v’=0 за z=0
v=0 и v’’=0 за z=h
се добива за EI=const. состојба на свиткување
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
или еквивалент
tgαh=αh. (4)
Корените на оваа трансцендентална равенка се наоѓаат во табелите _K. Хајаши. Најмалата сила на свиткување е според табелите PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Компаративна должина на свиткување е sK = h / √2,046 = 0,699h.
г) Стисната прачка на едниот крај со нарушување (сл. 10)
Сл. 10
Ќе го набљудуваме случајот на поместување на врвот со константна големина. Контурните услови за тоа се
v=0 и v’=0 за z=0,
v=v1 и v’’=0 за z=h.
Тоа е проблем на рамнотежа со еластична линија
Именителот на членот пред заградите {} ќе биде нула и свиткувањето се зголемува над сите граници ако P→PK (види услов за свиткување равенство (4)). Карактеристично за однесувањето на шипката е тоа што свиоците на средишниот и долниот крај на прачката првично се помали со зголемување на оптоварувањето P и го менуваат својот знак само за поголеми оптоварувања. Сл. 10 покажува свиоци на половина висина.
д) Континуирана прачка преку две полиња
Сл.11
За двете области на решение (сл.11) ќе ја примениме поставката
И_. v(z1) = А1∙synαz1+ Б1∙cosαz1+ В1∙z1+ Д1,_
II. v(z2) = А2∙synαz2+ Б2∙cosαz2+ В2∙z2+ Д2.
За едноставност нека биде (EI)1=(EI)2=EI. Да се најдат осумте константи A1, …, А2, … служат како контурни услови
v=0и v’=0 за з1=0,
v=0и v’’=0 за з2=ч,
како и преодни услови меѓу областите I и II
v=0 за з1=h i за z2=0,
v“ (з1=h)=v’(z2=0),
v“ (з1=h)=v’’(z2=0).
Условните равенки се дадени во табелата подолу
Со поставување на детерминантата на коефициентот еднаква на нула, се добива услов за свиткување
Должина на свиткување sK=0,878_h_, додека за сл.35или β=0,699. Силата на свиткување се намали во споредба со2,046:1,297поради додавање на второ поле кое е со шарки. Ако другото поле се стегнело повисоко, тогаш силата на свиткување повторно би се зголемила до врвот.2,04_PE_.
Оваа историска презентација на формулите не е проект или доказ за стабилноста на градбата. Класичните претпоставки за идеален правилен член, центрично оптоварување и еластична површина не мора да ги вклучуваат почетните несовршености, резидуални напрегања, ексцентричност, вкочанетост на поврзувањето, нелинеарност на материјалот, странична стабилност, ниту, кога е применливо, пожар, сеизмичко дејство и фази на склопување. Пресметката на реалната градба мора да ја направи овластен градежен инженер според важечки прописи и стандарди.