彎曲屈曲

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彎曲屈曲微分方程

假設所有理想化都滿足，特別是

• 桿完全筆直
• 負載_P_作用在桿的軸上
• 電壓保持低於比例限制
• 變形足夠小，可以進行通常的簡化計算。

如果桿在力 P 的作用下彎曲，並且可能還由於作用在橫向方向上的載荷 q 彎曲，則必須滿足外部載荷與截面中的力之間的已知平衡條件。除此之外，截面中的變形和力之間自然應該存在著已知的關係。

圖。 1 - 平衡

在圖中。1給出了長度為 ds 的彎曲桿元件。 v’ 切線的斜率很小，因此直到二階，單元的長度都可以設定為等於投影 ds=dz。另外，在下面提到的測試中，將不考慮_P_沿桿的軸線不斷變化的情況，即法向力_N_≈P=const。在該單元可用的三個平衡條件中，可以忽略一定數量的成員。對於圖 1 中的標記和標誌。10則保留在方程式的第一個近似值中

N=P，   M’=Q，   Q’=-q+Pv’’。

可以消除橫向力，則_M’‘_=Pv’’-_q_成立。伯努利定律 M=-EI/R 提供了缺失的方程式。像往常一樣，根據梁彎曲理論，桿的軸線​​的曲線簡化如下

因此可以消除彎矩；並用 M=-EI*v’’ 得到彎桿

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q。   (1)

在恆定彎曲剛度的特殊情況下_EI_=const。方程式(1)被簡化，所以它是

EIv’‘’’ + Pv’’ = q。   (1a)

方程式。根據上述簡化，(1) 和 (1a) 在 v 中是線性的。

實際上，恆定彎曲剛度的最簡單情況_EI_=const。尤其重要，它是下面例子的基礎。

歐拉案例

除了上述理想化之外，經典屈曲情況的假設為：p=0，因此 N=const.=P，以及無摩擦的恆定剛度，其恰好位於桿的軸線上。 由於 q=0，常微分方程 (1a) 是四階、線性且齊次的。一般的解決方案是：

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

其中_A、B、C、D_為四個積分常數。由於假設 EI≠0，此參數的大小是有限的。此外，對於_P_>0，α≠0。

圖2

由於線性微分方程式 (1a) 是齊次的，因此該問題也可以透過 n_∙_v(z) 來求解，其中 n 是任意常數。從微分方程 (1a) 的數學分類可以看出，彎曲_v_的大小無法確定。 為了確定 Euler\ 情況下的積分常數 A、B、C、D（圖 2），可以使用以下輪廓條件： 由於鉸接支撐，桿兩端的彎矩為零，即

v=0 且 M=0 對於 z=0

v=0 和 M=0 對於 z=s。

由於_M=-EI__∙__v’‘，所以_M=0是_v’’_=0的值，所以四個輪廓條件為：

v=0 且 v’’=0 對於 z=0

v=0 和 v’’=0 對於 z=s。

因此，解 (2) 產生四個線性方程式：

一。3

這四個齊次方程式有第一個所謂的平凡解_A_=B=C=D=0，對應於_v_(z)=0。未彎曲的桿 v_(z_)=0 是任意負載 P 的通常平衡位置，尤其是小值負載 P。 在這裡，我們主要感興趣的是桿彎曲的條件，即 v(z)≠0。只有當係數的行列式等於 0 時，方程式 (3) 才有 A、B、C、D ≠ 0 的平凡解。

一。 3a

根據屈曲條件 Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog 計算負載的臨界值_PK_。只有當 sin αs = 時，方程式才滿足0，即 αKms = mπ 且 m=1,2,3,… Euler\屈曲力對應的值為_PKm_=EI_∙_α2公里 = EI(mπ/s)2。 對於每個 m 值，都會獲得一定的屈曲力。在大多數情況下，只有這些力量中最小的才值得關注，並且

PK1=EI(π/s)2。

在接下來的版本中，將會有一個索引m，或說1大部分被省略，指的是臨界負載中的最低值。 感興趣的是相應的彈性線。由一個 (2) 個常數 B=C=D=0 獲得。剩下的條件是_A_∙sin__αs=0。 因此，上述情況 m=1 的彈性屈曲線為 v(z) = A_∙sinπz/s_，其中 v(z) 分別對應於 αK。 _PK_對應的特徵函數。 A 的大小仍未確定。

讓我們再看一下整個裝載區域。對於任意的 P 值，特別是對力 P_<_PK1 為 v(z)=0，桿保持直。

在經典穩定性理論中，「逐漸增加」載荷_P_意味著一系列連續的尺寸_P_，其中對於每個單獨的載荷_P_水平，將一次又一次地測試觀察到的載荷情況的穩定性。在穩定性測試過程中，_P_的大小當然保持不變。如果確定一種狀態_P_是穩定的，則將負載增加一些，因此重複穩定性測試。 這種準確的確定是必要的，這樣就不會與負載類型混淆，這是 Shanley\ 效應的基礎，其中負載增加，同時產生小擾動。當根據 Shanley\ 檢查穩定性時，在塑性屈曲區域中，會出現比經典考慮方法更小的分叉力。

以下考慮因素假設採用第一種增加負荷的方式： 從這個意義上講，隨著負載 P 的逐漸增加，達到 PK1=EI_∙(π/s)_2首先到彈性平衡的單一分叉點，用簡單的正弦線作為彈性屈曲線

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s。

f=A 表示彈性線的未定振幅。 對於負載 _P*__>PK1 根據線性化理論 Δ≠0，也就是說那裡不可能達到平衡。僅適用於較高的屈曲力_PK2_等等，又會是_Δ=0因此 v(z)≠0。 造成這個理論結論與實際情況不符的原因在於微分方程的線性化。

由兩部分組成的壓桿的屈曲

我們將自己限制為由兩部分組成的壓制棒，對於由三個或更多部分組成的壓制棒，也適用類似的關係。

SL。3

根據橫向連接的類型，格子桿有所不同（圖1）。3a) 和框架桿（圖 1）3e).如果沒有橫木，棍子的每個部分都會自行彎曲（圖 1）。3b).如果填充物相對較弱，則單一帶桿可以彎曲，而無需使桿整體彎曲。對於格子棒圖。3c 可比較：左為鉸接系統，右為連續帶；對於框架桿，如圖所示。3f 左側為軟連接片，右側為剛性連接片。 從這裡可以看出，苗條_λ__的影響很大1__=s1/我1_。對於桿的各個部分，I 被放置1=F1_·_i12，s1 是字段間距（圖 2）3）， 我1 指的是軸1-1（見圖。4）。

圖4

複合桿的屈曲力對應於圖 2 的彈性屈曲線。 3d 或3g 是詳盡的理論研究的主題。如果桿由獨特的部分（例如帶有肋骨）組成，或者如果橫向連接如此頻繁，以至於從兩個部分彎曲的桿與單個桿的效果沒有區別，那麼它將是_σ__K__=π__2__E/λ__y__2。在那裡它表示_λ__y=sK/iy（圖4）。然而，在實踐中，這種屈曲應力不會完全達到，因為沒有足夠的橫向連接，而且它們也是有彈性的。如果我們根據提議_F進行放置，則可以獲得在大多數情況下滿足的近似值。 Engesser_\a由兩部分組成的壓桿的彎曲應力相等

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi 就是所謂的理想細長度。

橫拉桿的數量和強度必須足夠，以迫使桿的兩個部分一起作用。排除二次應力，只要桿保持筆直，橫向連桿就保持無應力。只有在彎曲時它們才必須承受力，並且它們必須傳遞隨著彎曲而增加的橫向力。 如果是彈力線

I=const 處的橫向力。是平等的

Q = M’ = - EI∙v’‘’。

與圖。 5 m可以立即讀取_Q(z)=PK∙v’(z)_。桿末端的最高值為

SL。5

橫向連接必須能夠承受該橫向力。由於相應的載荷是屈曲力_PK_，因此如果在橫向連接中也達到了承載極限（即與整個桿同時），就足夠了。顯然，如果交叉連結的大小比接收_Q0_所需的強得多，那麼它是沒有用的。另一方面，太弱的交聯會導致桿過早失效。

上式從一開始就不能使用，因為屈曲箭頭的大小是未知的。桿在 PK 下處於無關平衡狀態，至少在第一級近似下可以取任意值。因此，根據 F 的提議，它是有用的。 Krohn-a，以確定彎曲桿因彎曲失效而失去承載能力時的屈曲_maxv_的大小。如果彎曲的凹側達到屈服點，這種情況肯定會發生（圖6）。由此彎曲進一步增大，無法施加相應的彎矩。

圖。 6​​

彎管凹側的總應力如圖2所示。 6理想的塑膠材質

由此而來的是仍可承受的最大彎曲

maxQ0 為桿端對應的橫向力。

如果用於_σK_ Tetmaier\的形式，並且把_σF_=3,1 t/cm2和_sK_=e/2 ∙ λy_對應_iy≈e/2，則_Krohn_得到近似值 maxQ0=F/28（Q_單位為_t，_F_單位為cm2（Q_單位為_t，_F_單位為cm2）。

對於任意屈曲應力線，我們得到

maxQ0=μK∙SK.

係數μK隨桿的細長變化而變化，也取決於材料。將上式除以抗屈曲安全係數可寫成

dozv__Q=μ∙dozvS.

線路系統屈曲

在線性系統中，通常確定兩端鉸接且其彎曲力 PK=π2EI/s2K 同樣大的桿的彎曲長度 sK=β∙h 以進行比較。下面的例子將給出比較“屈曲長度”。

a) 桿兩端夾緊（EI=常數）

SL。 7

對於圖1的情況。屈曲的7是_PK=4π2EI/h2=4,0∙PE,比較「屈曲長度”sK=h/2和屈曲彈性線_v(z)=D(1-cos2πz/h).

b) 一端無桿（圖 8）

！ 一端自由貼，圖 1。 34

SL。 8

假設_P_的方向不隨桿彎曲而改變。那麼 (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4，   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

自由端_z_=_h_的輪廓條件此處讀取

M=0 或 v’’=0

Q=M’-Pv’=0 或 v’’+a2∙v’=0.

c) 桿一端夾緊（圖9）

！ 棍子一端捏緊，圖 1。 35

圖9

有輪廓條件

v=0 和 v’=0 對於 z=0

v=0 且 v’’=0 對於 z=h

是針對 EI=const 所獲得的。屈曲條件

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

或同等水平

tgαh=αh。   （4）

此超越方程式的根可在表 K 中找到。林_的。最低屈曲力依表_PK1=4,49342/小時2∙ EI =2,046π2EI/小時2。

比較屈曲長度為 sK = h / √2,046=0,699h.

d) 一端被無序夾緊的桿（圖 1）10）

圖。 10

我們將考慮尖端位移大小恆定的情況。其輪廓條件是

v=0和 v’=0 為 z=0,

v=v1和 v’’=0 為 z=h。

這是一個彈性線平衡問題

如果 P→PK，則 {} 括號之前的項的分母將為零，且屈曲會增加到高於所有限制（請參閱屈曲條件方程式。（4））。 桿的行為特徵是桿的中端和下端的彎曲最初隨著負載_P_的增加而變小，並且僅在更高的負載時改變它們的符號。 SL。10顯示半高彎曲。

e) 連續堅持跨越兩個領域

SL。11

對於兩個解決方案領域（圖 1）11）我們將應用該設置

和_。 v(z1)=A1∙synαz1+B1∙cosαz1+ C1∙z1+D1,_

二. v(z2)=A2∙synαz2+B2∙cosαz2+ C2∙z2+D2.

為了簡單起見，就這樣吧（EI）1=(EI)2=EI。 求八個常數_A1_, …, A2, … 作為輪廓條件

v=0 且 v’=0 對於 z1=0,

v=0 且 v’’=0 對於 z2=h,

以及I區和II區之間的過渡條件

v=0 對於 z1=h 和 對於 z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

條件方程式如下表所示

透過將係數的行列式設為零，得到屈曲條件

彎曲長度_sK_=0,878_h_，而對於圖。 35 β=0,699。由於增加了第二個鉸接區域，與 2,046 相比，屈曲力降低：1,297。如果另一個場被壓得更高，那麼屈曲力將再次增加到峰值。 2,04_PE_。

公式的歷史呈現不是一個項目或結構穩定性的證明。理想直桿、中心載重和彈性面積的經典假設不一定包括初始缺陷、殘餘應力、偏心、連接剛度、材料非線性、橫向穩定性，也不一定包括火災、地震作用和組裝階段。實際結構的計算必須由授權土木工程師根據有效的法規和標準進行。