Haut konzentréiert de Savo Kusić sech op Holzfenster, Holz-Aluminiumfenster, personaliséiert Fënsteren, Dier an Demande fir Zitat. Dësen Text bleift als Archiv vun der Strukturtheorie an ass net eng Offer vun statesch Design, Stabilitéit Berechnungen oder strukturell Rehabilitatioun.
Differentialgleichung vum Béie Knëppel
Et gëtt ugeholl datt all Idealiséierungen zefridden sinn, besonnesch
- datt d’Staang perfekt riicht ass
- datt d’Laascht P am Schaft vun der Staang Akten
- datt Spannungen ënner der Proportionalitéitsgrenz bleiwen
- datt d’Deformatiounen kleng genuch sinn fir déi üblech Vereinfachunge vu Berechnungen z’erméiglechen.
Wann d’Staang sech ënner der Handlung vun der Kraaft P béien a vläicht och duerch d’Laascht q déi an der transversaler Richtung handelt, da mussen déi bekannte Gläichgewiichtsbedingunge tëscht den externen Lasten an de Kräften an der Sektioun zefridden sinn. Ausserdeem ass et natierlech datt et bekannte Relatiounen tëscht Deformatiounen a Kräften an der Sektioun solle sinn.
Abb. 1 - Balance
An der Fig.1en Element vun engem gebéit Staang vun Längt ds vertrueden. Den Hang vum Tangent v’ ass kleng, sou datt bis zur zweeter Uerdnung d’Längt vum Element gläichgestallt ka ginn mat der Projektioun ds=dz. Zousätzlech, an den Tester hei ënnendrënner, Fäll, wou P dauernd laanscht d’Achs vun der Staang ännert ginn net berücksichtegt, dh normal Kraaft N≈P=const. An den dräi Gläichgewiichtbedéngungen, déi fir d’Element verfügbar sinn, kann eng gewëssen Zuel vu Memberen dann vernoléissegt ginn. Fir Markéierungen a Schëlder aus Fig.10bleiwen dann an der éischter Approximatioun vun der Equatioun
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Déi transversal Kraaft kann eliminéiert ginn, an dann M’‘=Pv’’-q hält. Dem Bernoulli's Gesetz M=-EI/R gëtt déi fehlend Equatioun. D’Kurve vun der Achs vun der Staang, wéi gewinnt, aus der Theorie vum Strahlbéien, ass vereinfacht wéi follegt
Et ass also méiglech de Béiemoment ze eliminéieren; a mat M=-EI*v’’ gëtt d’Differentialgleichung fir de gebogen Staang
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Am spezielle Fall vun konstanter Béie Steifheit EI=const. d’Equatioun (1) ass vereinfacht, also ass et
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) an (1a) sinn linear am v no den ernimmten Vereinfachungen.
Praktesch ass deen einfachste Fall vu konstante Béiesteifheet EI=const. ass besonnesch wichteg, wat als Basis fir d’Beispiller hei drënner déngt.
Eulers Fall
D’Annahme fir de klassesche Fall vu Knëppel sinn, ofgesi vun den ernimmten Idealisatiounen: p=0, also N=const.=P, souwéi konstant Steifheit ouni Reibung, déi genee op der Staangachs leien. Déi ordinär Differentialgleichung (1a) ass véierter Uerdnung, linear an homogen wéinst q=0. Déi allgemeng Léisung ass:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
wou A, B, C, D déi véier Integratiounskonstanten sinn. De Parameter ass endlech Gréisst wéinst der Viraussetzung EI≠0. Ausserdeem, α≠0 fir P>0.
Sl.2
Well déi linear Differentialgleichung (1a) homogen ass, gëtt dëse Problem och duerch n_∙_v(z) geléist, wou n eng arbiträr Konstant ass. Scho vun der mathematescher Klassifikatioun vun der Differentialgleichung (1a) kann ee gesinn datt d’Gréisst vum Béi v net bestëmmt ka ginn. Fir d’Integratiounskonstanten A, B, C, D am Fall Euler\ (Fig. 2) ze bestëmmen, sinn déi folgend Konturbedéngungen verfügbar: Wéinst der artikuléierter Ënnerstëtzung ass de Béiemoment null op béide Enden vun der Staang, d.h.
v=0 an M=0 fir z=0
v=0 an M=0 fir z=s.
Wéinst M=-EI_∙__v’‘_, folgt et datt M=0 de Wäert vun v’’=0 ass, sou datt déi véier Konturbedéngungen liesen:
v=0 an v’’=0 fir z=0
v=0 an v’’=0 fir z=s.
D’Léisung (2) resultéiert also a véier linear Equatiounen:
Eent.3
Dës véier homogen Equatiounen hunn déi éischt sougenannt trivial Léisung A=B=C=D=0, déi dem v(z)=0 entsprécht. D’unbent Staang v_(z_) = 0 ass déi üblech Gläichgewiicht Positioun fir arbiträr, besonnesch kleng Wäerter vun Laascht P. Hei si mir virun allem un d’Konditiounen interesséiert, ënner deenen d’Staang béien, dat heescht datt v(z)≠0. D’Equatioune (3) hu keng sou eng trivial Léisung mat A, B, C, D ≠ 0 nëmme wann den Determinant vum Koeffizient gläich ass null.
Eent. 3a
Aus de Knéckbedéngungen Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog fir déi kritesch Wäerter PK vun der Laascht ze berechnen. Dës Equatioun ass nëmmen zefridden wann sin αs =0, dat ass fir αKms = mπ mat m=1,2,3,… Déi entspriechend Wäerter vun der Knéckkraaft vum Euler sinn PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Fir all Wäert vu m gëtt eng gewësse Knéckkraaft kritt. Am meeschte Fäll sinn nëmmen déi klengst vun dëse Kräften vun Interessi, an dat
PK1=EI(π/s)2.
An der folgender Versioun gëtt et en Index m, oder 1 meeschtens ewechgelooss, bezitt sech op déi ënnescht vun de kriteschen Lasten. Interessant ass déi entspriechend elastesch Linn. Vun engem (2) Konstanten B=C=D=0 ginn kritt. Déi reschtlech Konditioun ass A∙sin__αs=0. D’elastesch Knécklinn fir den uewe genannte Fall m=1 ass also v(z) = A_∙sinπz/s_, wou v(z) fir αK resp. PK entspriechend eigenfunktioun. D’Gréisst vun A bleift onbestëmmt.
Loosst eis de ganze Laaschtberäich nach eng Kéier kucken. Fir arbiträr Wäerter vun P, besonnesch fir Kräften P_<_PK1 ass v(z)=0, bleift d’Staang riicht.
An der klassescher Theorie vun der Stabilitéit, ënner “graduell eropgoen” Belaaschtung P ass eng konsekutiv Serie vu Wäerter P gemengt, wou d’Stabilitéit vum observéierte Lastfall ëmmer erëm fir all eenzel Lastniveau P getest gëtt. Wärend dem Stabilitéitstest bleift d’Gréisst vum P sécher onverännert. Wann ee Staat P bestëmmt ass stabil ze sinn, da gëtt d’Laascht ëm eppes erhéicht, an dofir gëtt de Stabilitéitstest widderholl. Dës genee Determinatioun ass néideg fir datt et keng Verwirrung mat der Aart vun der Belaaschtung ass, déi d’Basis fir den Shanley\ Effekt ass, an deem et eng Erhéijung vun der Belaaschtung gëtt, während kleng Stéierunge gläichzäiteg handelen. Bei der Untersuchung vun der Stabilitéit laut Shanley, am Beräich vun der Plastikschnokkel, entsteet eng méi kleng Bifurkatiounskraaft wéi bei der klassescher Berücksichtegungsmethod.
Déi folgend Considératiounen huelen un den éischte Wee vun der Belaaschtungserhéijung: Bei enger gradueller Erhéijung vun der Belaaschtung P an dësem Sënn kënnt een fir PK1=EI_∙(π/s)_2 fir d’éischt bei engem Bifurkatiounspunkt vun der elastescher Linn, mat engem einfachen Equilibrium, mat engem Equilibrium Linn
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A bezeechent déi onbestëmmten Amplitude vun der elastescher Linn. Fir Lasten _P*__>_PK1 ass laut der lineariséierter Theorie Δ≠0, d.h. Gläichgewiicht ass do net méiglech. Nëmme fir méi héich Knëppelkräften PK2 etc. gëtt et erëm Δ=0 an domat och v(z)≠0. D’Ursaach vun dëser theoretescher Conclusioun, déi net mam eigentleche Verhalen entsprécht, läit an der Lineariséierung vun der Differentialgleichung.
Buckling vun gepresste Staang aus zwee Deeler
Mir limitéieren eis op zwee-Deel gepresste Stécker, a fir gepresste Stécker aus dräi oder méi Deeler gëllen ähnlech Verhältnisser.
Sl.3
Ofhängeg vun der Aart vun der transversaler Verbindung ënnerscheede Gitterstäbchen (Fig.3a) und Framestangen (Fig.3e). Ouni Kräizverbindunge géif all Deel vun der Stab sech selwer béien (Fig.3b). Wann d’Füllung relativ schwaach ass, da kann eng eenzeg Gürtelstab biegen ouni d’Staang als Ganzt ze béien. Fir d’Gitter Staang Fig.3c kann verglach ginn: lénks fir hinged System, riets fir kontinuéierlech Rimmer; a fir de Frame Staang Fig.3f lénks fir mëll Verbindungsplacken, riets fir steif Verbindungsplacke. Vun do aus kann ee gesinn datt d’Schlankheet λ_ e groussen Afloss huet1__=s1/ech1_. Fir den eenzelnen Deel vun der Staang, I war gesat1=F1_∙i12, s1 ass d’Feldabstand (Fig.3), ech1 bezitt sech op d’Achs1-1(kuckt Fig.4).
Sl.4
D’Knéckkraaft vu Verbindungsstäben entsprécht den elastesche Knécklinnen vun Fig. 3d, oder 3g war de Sujet vun ustrengenden theoreteschen Ermëttlungen. Wann d’Staang aus eenzegaartege Sektiounen (zB mat enger Ripp) besteet oder wann déi transversal Verbindunge sou heefeg waren, datt eng Staang aus zwee Deeler gebéit ass net a senger Wierkung vun enger eenzeger Staang ënnerscheet, da wier et σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Do bezeechent et λ__y=sK/iy (Fig. 4). Allerdéngs wäert dëse Knëppelspannung an der Praxis net voll erreecht ginn, well et net genuch Querverbindungen dofir gëtt, a si sinn och elastesch. Eng Approximatioun déi an de meeschte Fäll entsprécht gëtt kritt wa mir no der Propositioun F setzen. Engesser\a datt de Béiespannung vun enger gedréckter Staang aus zwee Deeler gläich ass
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi ass déi sougenannt ideal Schlankheet.
D’Kräizverbindunge musse genuch an der Zuel sinn a staark genuch sinn fir béid Deeler vun der Staang ze zwéngen zesummen ze handelen. Ausgeschloss sekundär Spannungen, bleiwen déi transversal Links onbestänneg soulaang d’Staang riicht bleift. Et ass nëmme mat Biegen datt se Kräfte musse kréien, a si musse transversal Kräfte iwwerdroen, déi mam Biegen eropgoen. Am Fall ass et eng elastesch Linn
transversal Kraaft bei I=konst. ass gläich
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Mat Fig. 5 m kann direkt gelies ginn Q(z)=PK∙v’(z). Den héchste Wäert um Enn vun der Staang ass
Sl.5
Déi transversal Verbindunge mussen dës transversal Kraaft ophuelen. Well déi entspriechend Belaaschtung d’Knéckkraaft PK ass, ass et duer, wann och an de Querverbindungen d’Laaschtgrenz fir dëst erreecht gëtt - also gläichzäiteg mat der ganzer Staang. Natierlech wier et kee Virdeel wann d’Kräizverbindunge vill méi staark gi wéi néideg fir Q0 ze kréien. Op der anerer Säit, Kräiz-Verbindungen, déi ze schwaach sinn, géifen d’Staang virzäiteg ausfalen.
Déi uewe genannte Equatioun kann net am Ufank benotzt ginn, well d’Gréisst vum Knëppelpfeil onbekannt ass. D’Staang ass am indifferent Gläichgewiicht ënner PK a kann, op d’mannst am éischte Grad vun Approximatioun, en arbiträr Wäert huelen. Et ass also nëtzlech, laut der Propositioun vum F. Krohn-a, fir d’Gréisst vun deem Knëppel maxv ze bestëmmen, bei deem de gebéite Staang seng Drogefäegkeet verléiert duerch Ausfall duerch Béi. Dëst wäert sécher geschéien wann de Rendementpunkt op der konkav Säit vun der Béi erreecht gëtt (Fig.6). D’Biege dofir wuessen weider an déi entspriechend Béiemomenter kënnen net applizéiert ginn.
Abb. 6
De Gesamtspannung op der konkav Säit vun der Béi ass no Fig.6fir ideal Plastiksmaterial
Vun do aus kënnt dee gréisste Schwamm, deen nach kann aushale ginn
maxQ0 ass déi entspriechend transversal Kraaft um Staang Enn.
Wann benotzt fir σK Tetmeier's Form a setzt σF=3,1t/cm2an sK=e/2∙ λy dat entsprécht iy≈e/2, da gëtt dem Krohn's geschätzte Wäert vun maxQ kritt0=F/28(Q an t, F an cm2).
Fir arbiträr Linnen gëtt de Knëppelspannung kritt
maxQ0=μK∙SK.
De Koeffizient μK ännert sech mat der Schlankheet vun der Staang, et hänkt och vum Material of. Wann déi uewe genannte Equatioun gedeelt gëtt duerch de Sécherheetskoeffizient géint Knollen, kann et geschriwwe ginn
dozv__Q=μ∙dozvS.
Buckling vun linear Systemer
Am Fall vu linearem Systemer ass et üblech d’Biegelängt sK=β∙h vun enger Staang ze bestëmmen déi op béide Enden scharnéiert ass an deem seng Béikraaft PK=π ass fir de Verglach2EI/s2K grad esou grouss. Eng vergläichend “Knécklängt” gëtt fir d’Beispiller hei ënnen uginn.
a) Staang op béide Enden ageklemmt (EI=const.)
Sl.7
Fir de Fall vun Fig.7vun buckling ass PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, comparative “Knécklängt” sK=h/2an déi elastesch Knécklinn v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Staang fräi op engem Enn (Fig.8)
Sl. 8
Et gëtt ugeholl datt d’Richtung vum P net ännert wéi d’Staang béit. Dann (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
D’Konturbedéngungen fir de fräien Enn z=h hei liesen
M=0 oder v’’=0
Q=M’-Pv’=0 oder v’’’+a2∙v’=0.
c) Staang an engem Enn ageklemmt (Fig. 9)
Sl.9
Mat Konturbedéngungen
v=0 an v’=0 fir z=0
v=0 an v’’=0 fir z=h
gëtt fir EI=const. buckling Zoustand
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
oder gläichwäerteg
tgαh=αh. (4)
D’Wuerzelen vun dëser transzendentaler Equatioun sinn an Tabellen K fonnt. Hayashi’s. Déi niddregst Knëppelkraaft ass laut Tabellen PK1=4,49342/h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Déi vergläichend Knécklängt ass sK = h / √2,046=0,699h.
d) Eng Staang op engem Enn mat enger Stéierung ageklemmt (Fig.10)
Abb. 10
Mir wäerten de Fall vun Tipp Verschiebung vun konstante Gréisst betruecht. D’Konturbedéngungen dofir sinn
v=0an v =0 fir z=0,
v=v1an v’’=0 fir z=h.
Et ass e Gläichgewiichtsproblem mat enger elastescher Linn
Den Nenner vum Begrëff virun de {}-Klammeren wäert null sinn an d’Knéckung erhéicht iwwer all Grenzen wann P→PK (kuckt Knéckbedingung Eq.4)). Et ass charakteristesch fir d’Behuele vun der Staang, datt d’Biegen am Mëttelpunkt an am ënneschten Enn vun der Staang am Ufank méi kleng sinn mat enger Erhéijung vun der Belaaschtung P an hir Zeechen nëmme fir méi héich Lasten änneren. Sl.10weist Béi op Halschent Héicht.
e) Kontinuéierlech Stéck iwwer zwee Felder
Sl.11
Fir béid Léisungsberäicher (Fig.11) wäerte mir d’Astellung uwenden
An_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+C2∙z2+ D2.
Fir Einfachheet loosst et sinn (EI)1=(EI)2=EI. Fir déi aacht Konstanten A ze fannen1, …, A2, … als Konturbedéngungen déngen
v=0an v =0_fir z1=0,
v=0an v’’=0_fir z2=h,
souwéi Iwwergangsbedéngungen tëscht Beräicher I an II
v=0_fir z1=h i fir z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
D’bedingte Equatioune ginn an der Tabell hei ënnen uginn
Andeems Dir den Determinant vum Koeffizient gläich op Null setzt, gëtt de Knëppelkonditioun kritt
Béilängt sK=0,878_h_, während fir Fig.35entweder β=0,699. D’Buckling Kraaft ofgeholl am Verglach zu2,046:1,297wéinst der Zousatz vun engem zweete Feld dat hinged ass. Wann dat anert Feld méi héich geknuppt gouf, da géif d’Knéckkraaft erëm op den Héichpunkt eropgoen.2,04_PE_.
Dës historesch Presentatioun vun de Formelen ass kee Projet oder e Beweis vun der Stabilitéit vun der Struktur. Déi klassesch Viraussetzunge vun ideal riichtaus Member, centric Belaaschtung an elastesche Beräich enthalen net onbedéngt initial imperfections, Reschtoffall Spannungen, Exzentrizitéit, Verbindung Steiffness, Material Net-Linearitéit, lateral Stabilitéit nach, wann zoutreffend, Feier, seismesch Aktioun an Assemblée Phasen. Berechnung vun der aktueller Struktur muss vun engem autoriséierten Bauingenieur no valabel Reglementer a Standarden gemaach ginn.