Jodi a, Savo Kusić konsantre sou fenèt an bwa, fenèt bwa-aliminyòm, fenèt koutim, pòt ak demann pou sitasyon pi ba. Tèks sa a rete kòm yon achiv nan teyori estriktirèl epi li pa yon òf nan konsepsyon estatik, kalkil estabilite oswa reyabilitasyon estriktirèl.
Ekwasyon diferans nan koube flambe
Li sipoze ke tout idealizasyon yo satisfè, espesyalman
- ke baton an se parfe dwat
- ke chaj la P aji nan arbr a nan baton an
- ke vòltaj rete pi ba pase limit pwopòsyonèl
- ke deformations yo piti ase pou pèmèt senplifikasyon nòmal yo nan kalkil.
Si baton an pliye anba aksyon fòs la P e petèt tou akòz chaj la q aji nan direksyon transverse, Lè sa a, kondisyon yo li te ye nan ekilib ant chaj yo ekstèn ak fòs yo nan seksyon an dwe satisfè. Anplis, li natirèl ke ta dwe gen relasyon li te ye ant deformation ak fòs nan seksyon an.
Fig. 1 - Balans
Nan fig.1yo prezante yon eleman baton koube ki gen longè ds. Pant tanjant v’ a piti pou jiska dezyèm lòd, longè eleman an ka egal ak pwojeksyon ds=dz. Anplis de sa, nan tès yo mansyone anba a, ka kote P toujou ap chanje sou aks baton an pa pral pran an kont, sa vle di fòs nòmal N≈P=const. Nan twa kondisyon ekilib ki disponib pou eleman an, yon sèten kantite manm ka Lè sa a, dwe neglije. Pou mak ak siy ki soti nan fig.10Lè sa a, rete nan premye apwoksimasyon ekwasyon an
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Fòs transverse a ka elimine, ak Lè sa a, M’‘=Pv’’-q kenbe. Lwa Bernoulli's M=-EI/R bay ekwasyon ki manke a. Koub la nan aks baton an, kòm dabitid, soti nan teyori a nan koube gwo bout bwa, se senplifye jan sa a
Li posib pou elimine moman koube a; epi ak M=-EI*v’’ yo jwenn ekwasyon diferans lan pou baton koube a
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Nan ka espesyal nan rèd koube konstan EI=const. ekwasyon an (1) senplifye, kidonk li se
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) ak (1a) yo lineyè nan v dapre senplifikasyon mansyone yo.
Prattikman, ka ki pi senp nan rèd koube konstan EI=const. se patikilyèman enpòtan, ki sèvi kòm baz pou egzanp ki anba yo.
Ka Euler
Sipozisyon yo pou ka klasik flambe a se, apa de idealizasyon mansyone yo: p=0, kidonk N=const.=P, osi byen ke rèd konstan san friksyon, ki kouche egzakteman sou aks baton an. Ekwasyon diferans òdinè (1a) se katriyèm lòd, lineyè ak omojèn akòz q=0. Solisyon jeneral la se:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kote A, B, C, D se kat konstan entegrasyon yo. Paramèt la gen yon gwosè fini akòz sipozisyon EI≠0. Anplis de sa, α≠0 pou P>0.
Fig. 2
Piske ekwasyon diferans lineyè (1a) omojèn, pwoblèm sa a rezoud tou pa n_∙__v(z)_, kote n se yon konstan abitrè. Deja nan klasifikasyon matematik ekwasyon diferans lan (1a) ou ka wè ke grandè koube v pa ka detèmine. Pou detèmine konstan entegrasyon A, B, C, D nan ka Euler\ (fig. 2) kondisyon kontou sa yo disponib: Akòz sipò atikile a, moman koube a se zewo nan tou de bout baton an, i.e.
v=0 ak M=0 pou z=0
v=0 ak M=0 pou z=s.
Akòz M=-EI_∙__v’‘_, li swiv ke M=0 se valè v’’=0, kidonk kat kondisyon kontou yo li:
v=0 ak v’’=0 pou z=0
v=0 ak v’’=0 pou z=s.
Solisyon an (2) kidonk rezilta nan kat ekwasyon lineyè:
Youn.3
Kat ekwasyon omojèn sa yo gen premye sa yo rele solisyon trivial A=B=C=D=0, ki koresponn ak v(z)=0. Baton ki pa koube v_(z_)=0 se pozisyon ekilib nòmal pou abitrè, espesyalman ti valè chaj P. Isit la, nou enterese prensipalman nan kondisyon yo anba ki baton an pliye, sa vle di ke v(z)≠0. Ekwasyon yo (3) pa genyen yon solisyon trivial ak A, B, C, D ≠ 0 sèlman si detèminan koyefisyan an egal a zewo.
Youn. 3a
Soti nan kondisyon yo flambe Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog pou kalkile valè kritik PK chaj la. Ekwasyon sa a satisfè sèlman si sin αs =0, sa vle di pou αKms = mπ ak m=1,2,3,… Valè korespondan fòs flambe Euler\ se PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pou chak valè m, yo jwenn yon sèten fòs flambe. Nan pifò ka yo, se sèlman pi piti a nan fòs sa yo ki enterese, e sa
PK1=EI(π/s)2.
Nan vèsyon sa a, pral gen yon endèks m, oswa 1 sitou omisyon, refere li a pi ba a nan chaj kritik yo. Enterè se liy elastik ki koresponn lan. Nan youn (2) konstan B=C=D=0 yo jwenn. Kondisyon ki rete a se A∙sin__αs=0. Liy boukle elastik pou ka ki anwo a m=1 se, kidonk, v(z) = A_∙sinπz/s_, kote v(z) se pou αK resp. PK fonksyon pwòp korespondan. Magnitid A rete endetèmine.
Ann pran yon lòt gade nan zòn nan chaj tout antye. Pou valè abitrè P, espesyalman pou fòs P_<_PK1 se v(z)=0, baton an rete dwat.
Pa “gradyèlman ogmante” loading P vle di nan teyori klasik estabilite a yon seri siksesif nan gwosè P, kote estabilite nan ka a chaj obsève yo pral teste ankò e ankò pou chak nivo endividyèl nan loading P. Pandan tès estabilite a, gwosè P rete sètènman san chanjman. Si yon eta P detèmine ki estab, Lè sa a, chaj la ogmante pa yon bagay, ak Se poutèt sa tès la estabilite repete. Detèminasyon egzat sa a nesesè pou pa gen okenn konfizyon ak kalite chaj la, ki se baz pou efè a Shanley, nan ki gen yon ogmantasyon nan chaj la pandan y ap ti twoub yo ap aji an menm tan an. Lè w ap egzamine estabilite dapre Shanley, nan zòn nan flambe plastik, yon fòs bifurcation pi piti rive pase ak metòd la klasik nan konsiderasyon.
Konsiderasyon sa yo sipoze premye fason pou ogmante chaj la: Avèk yon ogmantasyon gradyèl nan chaj la P nan sans sa a, PK rive1=EI_∙(π/s)_2premye nan yon sèl pwen bifurcation nan ekilib elastik, ak yon liy sinis senp kòm liy lan flambe elastik
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A vle di anplitid ki pa detèmine nan liy elastik la. Pou chay _P*__>_PK1 se dapre teyori linearize Δ≠0, se sa ki balans pa posib la. Sèlman pou pi gwo fòs flambe PK2 elatriye li pral Δ= ankò0e konsa tou v(z)≠0. Kòz konklizyon teyorik sa a, ki pa matche ak konpòtman aktyèl la, se nan linearizasyon ekwasyon diferans lan.
Buckling nan baton bourade ki konpoze de de pati
Nou limite tèt nou a de-pati baton bourade, ak pou baton bourade ki konpoze de twa oswa plis pati, relasyon ki sanble aplike.
Sl.3
Dapre kalite koneksyon transverse, branch bwa lasi diferan (fig.3a) ak baton ankadreman (fig.3e). San lyen kwa, chak pati nan bwa a ta pliye pou kont li (fig.3b). Si ranpli a se relativman fèb, Lè sa a, yon sèl baton senti ka pliye san yo pa koube baton an kòm yon antye. Pou baton lasi fig.3c ka konpare: gòch pou sistèm gon, dwa pou senti kontinyèl; ak pou baton ankadreman an fig.3f sou bò gòch la pou fèy koneksyon mou, sou bò dwat la pou fèy koneksyon rijid. Soti nan la, li ka wè ke mens λ_ gen gwo enfliyans1__=s1/ mwen1_. Pou pati endividyèl baton an, yo te plase mwen1=F1_∙_mwen12, s1 se espasman jaden an (fig.3), i1 refere a aks la1-1(gade Fig.4).
Sl.4
Fòs flambage nan branch bwa konpoze ki koresponn ak liy yo flambe elastik nan fig frans. 3d, oswa 3g te sijè ankèt teyorik konplè. Si baton an te konpoze de seksyon inik (egzanp ak yon kòt) oswa si koneksyon transverse yo te tèlman souvan ke yon baton bese soti nan de pati pa diferan nan efè li yo ak yon sèl baton, Lè sa a, li ta σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. La li vle di λ__y=sK/iy (fig. 4). Sepandan, estrès flambe sa a pa pral konplètman rive nan pratik paske pa gen ase koneksyon transverse pou sa, epi yo tou elastik. Yon apwoksimasyon ki satisfè nan pifò ka yo jwenn si nou mete dapre pwopozisyon an F. Engesser\a ke estrès koube yon baton bourade ki konpoze de de pati egal
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi se sa yo rele mens ideyal la.
Lyen kwa yo dwe ase nan kantite ak fò ase pou fòse tou de pati nan baton an aji ansanm. Eksepte estrès segondè, lyen transverse yo rete unstressed osi lontan ke baton an rete dwat. Se sèlman ak koube ke yo dwe resevwa fòs, epi yo gen transmèt fòs transverse ki ogmante ak koube. Nan ka li se yon liy elastik
fòs transverse nan I=const. se egal
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Avèk fig frans. 5 m ka imedyatman li Q(z)=PK∙v’(z). Valè ki pi wo nan fen baton an se
Sl.5
Koneksyon transverse yo dwe kapab akomode fòs transverse sa a. Depi chay ki koresponn lan se fòs la flambe PK, li se ase si limit la chaj-pote rive jwenn pou sa a tou nan koneksyon yo transverse - sa vle di ansanm ak baton an antye. Li evidan, li pa ta itil si lyen kwa yo te gwosè pi fò pase sa nesesè pou resevwa Q0. Nan lòt men an, kwa-lyen ki twò fèb ta lakòz baton an echwe prematireman.
Ekwasyon ki pi wo a pa ka itilize okòmansman paske grandè flèch la flambe yo pa konnen. Baton an se nan ekilib endiferan anba PK epi li ka, omwen nan premye degre nan apwoksimasyon, pran yon valè abitrè. Se poutèt sa itil, dapre pwopozisyon F. Krohn-a, pou detèmine grandè sa maxv flambe nan ki baton koube a pèdi kapasite portant li akòz echèk akòz koube. Sa a pral sètènman rive si pwen sede a rive sou bò konkav nan pliye a (Fig.6). Viraj yo pou sa a grandi pi lwen ak moman koube korespondan yo pa ka aplike.
Fig. 6
Estrès total la sou bò konkav nan pliye a se dapre fig.6pou materyèl plastik ideyal
Soti nan pi gwo swagger ki ka toujou andire
maxQ0 se fòs transverse korespondan nan bout baton an.
Si yo itilize pou fòm σK Tetmeier\ epi mete σF=3,1t/cm2ak sK=e/2∙ λy ki koresponn ak iy≈e/2, Lè sa a, yo jwenn valè apwoksimatif Krohn\ maxQ0=F/28(Q nan t, F nan cm2).
Pou liy abitrè yo jwenn estrès la flambe
maxQ0=μK∙SK.
Koefisyan μK a chanje ak slenderness baton an, li tou depann de materyèl la. Lè ekwasyon ki anwo a divize pa koyefisyan sekirite kont flambe, li ka ekri
dozv__Q=μ∙dozvS.
Boukle sistèm lineyè
Nan ka sistèm lineyè, li komen pou detèmine longè koube sK=β∙h yon baton ki gon nan tou de bout e ki gen fòs koube se PK=π pou konparezon.2EI/s2K menm jan ak gwo. Y ap bay yon konparatif “longè boukle” pou egzanp ki anba yo.
a) Baton kole nan tou de bout (EI=const.)
Sl.7
Pou ka fig frans.7nan flambe se PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, konparatif “longè boukle” sK=h/2ak liy flambe elastik la v(z)=D(1- kos2πz/h).
b) Baton gratis nan yon bout (fig.8)
Sl. 8
Li sipoze ke direksyon P pa chanje pandan baton an bese. Lè sa a (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Kondisyon kontou yo pou fen gratis z=h isit la li
M=0 oswa v’’=0
Q=M’-Pv’=0 oswa v’’’+a2∙v’=0.
c) Baton kole nan yon bout (fig. 9)
Sl.9
Avèk kondisyon kontou
v=0 ak v’=0 pou z=0
v=0 ak v’’=0 pou z=h
jwenn pou EI=const. kondisyon flambe
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
oswa ekivalan
tgαh=αh. (4)
Yo jwenn rasin ekwasyon transandantal sa a nan tablo K. Hayashi's. Fòs flambe ki pi ba a se dapre tablo PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Longè flambe konparatif la se sK = h / √2,046=0,699h.
d) Yon baton kole nan yon bout ak yon maladi (fig.10)
Fig. 10
Nou pral konsidere ka a nan deplasman pwent nan gwosè konstan. Kondisyon yo kontou pou sa se
v=0ak v’=0 pou z=0,
v=v1ak v’’=0 pou z=h.
Li se yon pwoblèm ekilib ak yon liy elastik
Denominatè tèm anvan parantèz {} yo pral zewo epi flambe a ap ogmante pi wo pase tout limit yo si P→PK (gade kondisyon flambe Eq. (4)). Li se karakteristik nan konpòtman an nan baton an ke viraj yo nan mitan an ak pi ba fen nan baton an yo okòmansman pi piti ak ogmante chaj P ak chanje siy yo sèlman pou pi wo chaj. Sl.10montre viraj nan mwatye wotè.
e) Baton kontinyèl atravè de jaden
Sl.11
Pou tou de zòn solisyon yo (fig.11) nou pral aplike anviwònman an
E_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Pou senplisite kite li dwe (EI)1=(EI)2=EI. Pou jwenn uit konstan yo A1, …, A2, … sèvi kòm kondisyon kontou
v=0 ak v’=0 pou z1=0,
v=0 ak v’’=0 pou z2=h,
ansanm kondisyon tranzisyon ant zòn I ak II
v=0 pou z1=h and pou z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Ekwasyon kondisyonèl yo bay nan tablo ki anba a
Fiske detèminan koyefisyan an egal a zewo, yo jwenn kondisyon flambe a
Lontè koube sK=0,878_h_, pandan ke pou fig. 35 oswa β=0,699. Fòs flambe a diminye konpare ak 2,046 : 1,297 akòz adisyon yon dezyèm jaden ki gon. Si lòt jaden an te kwense pi wo, Lè sa a, fòs la flambage ta ogmante ankò nan pik la. 2,04 PE.
Prezantasyon istorik fòmil yo pa yon pwojè oswa yon prèv estabilite estrikti a. Sipozisyon klasik yo nan manb dwat ideyal, chaj santre ak zòn elastik pa nesesèman gen ladan enpèfeksyon inisyal, estrès rezidyèl, eksantrisite, rèd koneksyon, materyèl ki pa lineyè, estabilite lateral ni, lè sa aplikab, dife, aksyon sismik ak faz asanble. Kalkil estrikti aktyèl la dwe fèt pa yon enjenyè sivil otorize dapre règleman ak estanda ki valab.