Aujourd’hui, Savo Kusić se concentre sur les fenêtres en bois, fenêtres en bois-aluminium, fenêtres personnalisées, portes et demandes de devis. Ce texte reste une archive de la théorie structurelle et ne constitue pas une offre de conception statique, de calculs de stabilité ou de réhabilitation structurelle.
Équation différentielle de flambement en flexion
On suppose que toutes les idéalisations sont satisfaites, en particulier
- que la tige est parfaitement droite
- que la charge P agit dans l’arbre de la tige
- que les tensions restent inférieures à la limite de proportionnalité
- que les déformations sont suffisamment petites pour permettre les simplifications habituelles des calculs.
Si la tige se plie sous l’action de la force P et peut-être aussi du fait de la charge q agissant dans le sens transversal, alors les conditions connues d’équilibre entre les charges externes et les forces dans la section doivent être satisfaites. En dehors de cela, il est naturel qu’il y ait des relations connues entre les déformations et les forces dans la section.
Fig. 1 - Équilibre
Sur la fig. 1 est un élément de tige coudée de longueur ds. La pente de la tangente v’ est petite de sorte que jusqu’au deuxième ordre, la longueur de l’élément peut être fixée pour être égale à la projection ds=dz. De plus, dans les tests mentionnés ci-dessous, ne seront pas pris en compte les cas où P change constamment le long de l’axe de la tige, c’est-à-dire la force normale N≈P=const. Dans les trois conditions d’équilibre disponibles pour l’élément, un certain nombre de membres peuvent alors être négligés. Pour les marquages et les panneaux de la fig. 10 restent alors en première approximation de l’équation
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
La force transversale peut être éliminée, puis M’‘=Pv’’-q tient. La loi M=-EI/R de Bernoulli fournit l’équation manquante. La courbe de l’axe de la tige, comme d’habitude, issue de la théorie de la flexion des poutres, est simplifiée comme suit
Il est ainsi possible de supprimer le moment fléchissant ; et avec M=-EI*v’’ l’équation différentielle de la tige pliée
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Dans le cas particulier de rigidité en flexion constante EI=const. l’équation (1) est simplifiée, donc c’est
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Éq. (1) et (1a) sont linéaires en v selon les simplifications mentionnées.
En pratique, le cas le plus simple de rigidité en flexion constante EI=const. est particulièrement important, qui sert de base aux exemples ci-dessous.
Le cas d’Euler
Les hypothèses pour le cas classique de flambage sont, outre les idéalisations mentionnées : p=0, donc N=const.=P, ainsi qu’une raideur constante sans frottement, qui se situent exactement sur l’axe de la tige. L’équation différentielle ordinaire (1a) est du quatrième ordre, linéaire et homogène grâce à q=0. La solution générale est :
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
où A, B, C, D sont les quatre constantes d’intégration. Le paramètre est de taille finie du fait de l’hypothèse EI≠0. De plus, α≠0 pour P>0.
Fig. 2
Puisque l’équation différentielle linéaire (1a) est homogène, ce problème est également résolu par n_∙__v(z)_, où n est une constante arbitraire. Déjà à partir de la classification mathématique de l’équation différentielle (1a), on peut voir que l’ampleur de la flexion v ne peut pas être déterminée. Pour déterminer les constantes d’intégration A, B, C, D dans le cas Euler\ (fig. 2), les conditions de contour suivantes sont disponibles : Grâce au support articulé, le moment de flexion est nul aux deux extrémités de la tige, c’est-à-dire
v=0 et M=0 pour z=0
v=0 et M=0 pour z=s.
En raison de M=-EI_∙__v’‘_, il s’ensuit que M=0 est la valeur de v’’=0, donc les quatre conditions de contour se lisent comme suit :
v=0 et v’’=0 pour z=0
v=0 et v’’=0 pour z=s.
La solution (2) aboutit ainsi à quatre équations linéaires :
Éq. 3
Ces quatre équations homogènes ont la première solution dite triviale A=B=C=D=0, qui correspond à v(z)=0. La tige non pliée v_(z_)=0 est la position d’équilibre habituelle pour des valeurs arbitraires, particulièrement petites, de charge P. Ici, nous nous intéressons principalement aux conditions dans lesquelles la tige se plie, c’est-à-dire que v(z)≠0. Les équations (3) n’ont pas de solution aussi triviale avec A, B, C, D ≠ 0 seulement si le déterminant du coefficient est égal à zéro.
Un. 3a
A partir des conditions de flambement Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mon peut calculer les valeurs critiques PK de la charge. Cette équation n’est satisfaite que si sin αs = 0, soit pour αKms = mπ avec m=1,2,3,… Les valeurs correspondantes de la force de flambement de Euler\ sont PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pour chaque valeur de m, une certaine force de flambage est obtenue. Dans la plupart des cas, seule la plus petite de ces forces est intéressante, et elle
PK1=EI(π/s)2.
Dans la version suivante, il y aura un indice m, ou 1 en grande partie omis, faisant référence à la plus basse des charges critiques. La ligne élastique correspondante est intéressante. À partir d’un (2) les constantes B=C=D=0 sont obtenues. La condition restante est A∙sin__αs=0. La ligne de flambement élastique pour le cas ci-dessus m=1 est donc v(z) = A_∙sinπz/s_, où v(z) est pour αK resp. PK fonction propre correspondante. L’ampleur de A reste indéterminée.
Jetons un autre regard sur l’ensemble de la zone de chargement. Pour des valeurs arbitraires de P, notamment pour les forces P_<_PK1 soit v(z)=0, la tige reste droite.
Dans la théorie classique de la stabilité, sous charge P « progressivement croissante », on entend une série consécutive de valeurs P, où la stabilité du cas de charge observé sera testée encore et encore pour chaque niveau individuel de charge P. Lors du test de stabilité, la taille de P reste certainement inchangée. Si un état P est déterminé comme stable, alors la charge est augmentée de quelque chose et le test de stabilité est donc répété. Cette détermination précise est nécessaire pour qu’il n’y ait pas de confusion avec le type de charge, qui est à la base de l’effet Shanley, dans lequel il y a une augmentation de la charge tandis que de petites perturbations agissent en même temps. Lors de l’examen de la stabilité selon Shanley, dans le domaine du flambage plastique, une force de bifurcation plus petite se produit qu’avec la méthode de considération classique.
Les considérations suivantes supposent la première manière d’augmenter la charge : Lors d’une augmentation progressive de la charge P dans ce sens, on arrive pour PK1=EI_∙(π/s)_2 d’abord à un point de bifurcation de l’équilibre élastique, avec une simple ligne sinusoïdale comme ligne de flambement élastique
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A désigne l’amplitude indéterminée de la ligne élastique. Pour les charges _P*__>_PK1 est selon la théorie linéarisée Δ≠0, c’est-à-dire que l’équilibre n’y est pas possible. Uniquement pour des forces de flambement plus élevées PK2 etc. ce sera à nouveau Δ=0 et donc aussi v(z)≠0. La cause de cette conclusion théorique, qui ne correspond pas au comportement réel, réside dans la linéarisation de l’équation différentielle.
Flambage de tiges embouties composées de deux parties
Nous nous limitons aux bâtons pressés en deux parties, et pour les bâtons pressés composés de trois parties ou plus, des ratios similaires s’appliquent.
Fig. 3
Selon le type de connexion transversale, on distingue les tiges de treillis (fig. 3a) et les tiges de cadre (fig. 3e). Sans attaches croisées, chaque partie du bâton se plierait d’elle-même (fig. 3b). Si le remplissage est relativement faible, alors une seule tige de courroie peut se plier sans plier la tige dans son ensemble. Pour la tige de treillis fig. 3c peut être comparé : à gauche pour le système articulé, à droite pour les courroies continues ; et pour la tige du cadre fig. 3f à gauche pour les plaques de liaison souples, à droite pour les plaques de liaison rigides. De là, on peut voir que l’élancement λ__1_=s1/i1_ a une grande influence. Pour chaque partie individuelle de la tige, I1=F1_∙_i12 est défini, s1 est l’espacement des champs (fig. 3), i1 fait référence à l’axe 1-1 (voir fig. 4).
Fig. 4
La force de flambage des tiges composées correspondant aux lignes de flambement élastiques de la fig. 3d, ou 3g a fait l’objet d’investigations théoriques exhaustives. Si la tige était composée de sections uniques (par exemple avec une nervure) ou si les connexions transversales étaient si fréquentes qu’une tige pliée en deux parties ne diffère pas dans son effet d’une tige unique, alors elle serait σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Là, il désigne λ__y=sK/iy (fig. 4). Cependant, cette contrainte de flambement ne sera pas pleinement atteinte en pratique car il n’y a pas suffisamment de liaisons transversales pour cela, et elles sont également élastiques. Une approximation qui satisfait dans la plupart des cas est obtenue si l’on met selon la proposition F. Engesser\a que la contrainte de flexion d’une tige emboutie composée de deux parties est égale
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi est ce qu’on appelle l’élancement idéal.
Les traverses doivent être suffisamment nombreuses et suffisamment solides pour forcer les deux parties de la tige à agir ensemble. Hors contraintes secondaires, les maillons transversaux restent non sollicités tant que la tige reste droite. Ce n’est qu’en flexion qu’ils doivent recevoir des efforts, et ils doivent transmettre des efforts transversaux qui augmentent avec la flexion. Dans le cas où il s’agit d’une ligne élastique
force transversale à I=const. est égal
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Avec la fig. 5 m peut être immédiatement lu Q(z)=PK∙v’(z). La valeur la plus élevée à l’extrémité de la tige est
Fig. 5
Les liaisons transversales doivent pouvoir accueillir cet effort transversal. Étant donné que la charge correspondante est la force de flambage PK, il suffit que la limite de charge soit également atteinte dans les assemblages transversaux - c’est-à-dire simultanément avec l’ensemble de la tige. Évidemment, cela ne servirait à rien si les liaisons croisées étaient bien plus fortes que nécessaire pour recevoir Q0. A l’inverse, des liaisons croisées trop faibles entraîneraient une rupture prématurée de la tige.
L’équation ci-dessus ne peut pas être utilisée dès le début car l’ampleur de la flèche de flambage est inconnue. La tige est en équilibre indifférent sous PK et peut, au moins au premier degré d’approximation, prendre une valeur arbitraire. Il est donc utile, selon la proposition de F. Krohn-a, pour déterminer l’ampleur de ce flambement maxv auquel la tige pliée perd sa capacité portante en raison d’une défaillance due à la flexion. Cela se produira certainement si la limite d’élasticité est atteinte du côté concave du virage (fig. 6). La flexion pour cela augmente davantage et les moments de flexion correspondants ne peuvent pas être appliqués.
Fig. 6
La contrainte totale sur le côté concave du virage est conforme à la fig. 6 pour la matière plastique idéale
De là vient la plus grande flexion qui puisse encore être endurée
maxQ0 est la force transversale correspondante à l’extrémité de la tige.
Si utilisé pour la forme de σK Tetmaier\ et mettre σF=3,1 t/cm2 et sK=e/2 ∙ λy correspondant à iy≈e/2, alors Les Krohn\ sont obtenus en valeur approximative maxQ0=F/28 (Q en t, F en cm2).
Pour les lignes de contrainte de flambement arbitraires, nous obtenons
maxQ0=μK∙SK.
Le coefficient μK change avec l’élancement de la tige, il dépend aussi du matériau. Lorsque l’équation ci-dessus est divisée par le coefficient de sécurité contre le flambage, elle peut s’écrire
dozv__Q=μ∙dozvS.
Flambage des systèmes de lignes
Dans les systèmes linéaires, il est d’usage de déterminer à titre de comparaison la longueur de flexion sK=β∙h d’une tige articulée aux deux extrémités et dont la force de flexion PK=π2EI/s2K est également grande. Une « longueur de flambement » comparative sera donnée pour les exemples ci-dessous.
a) Tige serrée aux deux extrémités (EI=const.)
Fig. 7
Pour le cas de la fig. 7 de flambement est PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, la “longueur de flambement” comparative sK=h/2 et la ligne élastique de flambage v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Tige libre à une extrémité (fig. 8)
Sl. 8
On suppose que la direction de P ne change pas lorsque la tige se plie. Alors (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Les conditions de contour pour l’extrémité libre z=h lisent ici
M=0 ou v’’=0
Q=M’-Pv’=0 ou v’’’+a2∙v’=0.
c) Tige serrée à une extrémité (fig. 9)
Fig. 9
Avec conditions de contour
v=0 et v’=0 pour z=0
v=0 et v’’=0 pour z=h
est obtenu pour EI=const. état de flambement
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
ou équivalent
tgαh=αh. (4)
Les racines de cette équation transcendantale se trouvent dans les tableaux K. Hayashi. La force de flambement la plus faible est selon les tableaux PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
La longueur de flambage comparative est sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Tige pincée à une extrémité avec désordre (fig. 10)
Fig. 10
Nous observerons le cas d’un déplacement de pointe de taille constante. Les conditions de contour pour cela sont
v=0 et v’=0 pour z=0,
v=v1 et v’’=0 pour z=h.
C’est un problème d’équilibre avec une droite élastique
Le dénominateur du terme avant les crochets {} sera nul et le flambement augmente au-dessus de toutes les limites si P→PK (voir condition de flambement Eq. (4)). Il est caractéristique du comportement de la tige que les courbures aux extrémités médiane et inférieure de la tige soient initialement plus petites avec une charge P croissante et ne changent de signe que pour des charges plus élevées. Sl. 10 affiche les virages à mi-hauteur.
e) Stick continu sur deux champs
Fig. 11
Pour les deux zones de solution (fig. 11), nous appliquerons le paramètre
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Pour simplifier, soit (EI)1=(EI)2=EI. Pour trouver les huit constantes A1, …, A2, … les conditions de contour
v=0 et v’=0 pour z1=0,
v=0 et v’’=0 pour z2=h,
ainsi que les conditions de transition entre les zones I et II
v=0 pour z1=h et pour z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Les équations conditionnelles sont données dans le tableau ci-dessous
En définissant que le déterminant du coefficient est égal à zéro, la condition de flambement est obtenue
Longueur de flexion sK=0,878_h_, tandis que pour la fig. 35 ou β=0,699. La force de flambement a diminué par rapport à 2,046 : 1,297 en raison de l’ajout d’un deuxième champ articulé. Si l’autre champ était pincé plus haut, la force de flambage augmenterait à nouveau jusqu’à son maximum. 2,04 PE.
Cette présentation historique des formules n’est pas un projet ni une preuve de stabilité de la structure. Les hypothèses classiques de barre droite idéale, de charge centrée et de zone élastique n’incluent pas nécessairement les imperfections initiales, les contraintes résiduelles, l’excentricité, la rigidité des assemblages, la non-linéarité des matériaux, la stabilité latérale ni, le cas échéant, le feu, l’action sismique et les phases d’assemblage. Le calcul de la structure réelle doit être effectué par un ingénieur civil autorisé selon les réglementations et normes en vigueur.