Gaur egun, Savo Kusić egurrezko leihoetan, egur-aluminiozko leihoak, leiho pertsonalizatuak, atea eta aurrekontu eskaerak. Testu hau egitura-teoriaren artxibo gisa geratzen da eta ez da diseinu estatiko, egonkortasun-kalkulu edo egitura-errehabilitazio eskaintza bat.
Tolestura-kanklearen ekuazio diferentziala
Suposatzen da idealizazio guztiak betetzen direla, batez ere
- haga guztiz zuzena dela
- P zamak hagatxoaren ardatzean jokatzen duela
- tentsioak proportzionaltasunaren mugaren azpitik geratzen direla
- deformazioak nahikoa txikiak direla kalkuluen ohiko sinplifikazioak ahalbidetzeko.
Hagatxoa P indarraren eraginez eta agian zeharkako noranzkoan eragiten duen q kargaren ondorioz ere makurtzen bada, kanpoko kargen eta sekzioko indarren arteko oreka-baldintza ezagunak bete behar dira. Gainera, naturala da sekzioan deformazioen eta indarren arteko erlazio ezagunak egotea.
Irudia. 1 - Balantzea
irudian.1_ds_ luzera duen haga tolestu baten elementu bat irudikatzen da. v’ ukitzailearen malda txikia da, beraz, bigarren ordenara arte, elementuaren luzera ds=dz proiekzioaren berdina izan daiteke. Gainera, jarraian aipatzen diren probetan, hagaxkaren ardatzean etengabe aldatzen den P kasuak ez dira kontuan hartuko, hau da, indar normala N≈P=konst. Elementuarentzat eskuragarri dauden hiru oreka-baldintzetan, orduan kide kopuru jakin bat alde batera utzi daiteke. Irudiko marka eta seinaleetarako.10geratu orduan ekuazioaren lehen hurbilketan
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Zeharkako indarra ezabatu daiteke, eta orduan M’‘=Pv’’-q eusten da. Bernoulli\ren M=-EI/R legeak falta den ekuazioa ematen du. Hagatxoaren ardatzaren kurba, ohi bezala, habe-tolestearen teoriatik, honela sinplifikatzen da
Horrela posible da makurdura momentua ezabatzea; eta M=-EI*v’’-rekin haga tolestuaren ekuazio diferentziala
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Tolestura etengabeko zurruntasunaren kasu berezian EI=konst. ekuazioa (1) sinplifikatuta dago, beraz,
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ek. (1) eta (1a) linealak dira v aipatutako sinplifikazioen arabera.
Praktikoki, tolestura etengabeko zurruntasunaren kasurik errazena EI=konst. bereziki garrantzitsua da, beheko adibideen oinarri gisa balio duena.
Eulerren kasua
Kubilketa-kasu klasikorako hipotesiak hauek dira, aipatutako idealizazioez gain: p=0, beraz, N=konst.=P, baita marruskadurarik gabeko zurruntasun etengabea ere, hagaren ardatzean zehazki daudenak. Ekuazio diferentzial arrunta (1a) laugarren ordenakoa da, lineala eta homogeneoa q=0 dela eta. Irtenbide orokorra hau da:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
non A, B, C, D lau integrazio-konstanteak diren. Parametroa tamaina finitua da EI≠0 hipotesiaren ondorioz. Gainera, α≠0 P>0.
Irudia. 2
Ekuazio diferentzial lineala (1a) homogeneoa denez, problema hau ere n_∙_v(z) bidez ebazten da, non n konstante arbitrarioa den. Dagoeneko ekuazio diferentzialaren sailkapen matematikotik (1a) ikus daiteke v tolesturaren magnitudea ezin dela zehaztu. Euler\ kasuko A, B, C, D integrazio-konstanteak zehazteko (2 irud.) sestra baldintza hauek daude eskuragarri: Euskarri artikulatuaren ondorioz, makurdura-momentua nulua da hagaren bi muturretan, hau da.
v=0 eta M=0 z=0
v=0 eta M=0 z=s-rentzat.
M=-EI_∙_v’‘ dela eta, M=0 v’’=0-ren balioa dela ondorioztatzen da, beraz, lau sestra-baldintzek honako hau adierazten dute:
v=0 eta v’’=0 z=0
v=0 eta v’’=0 z=s-rentzat.
Soluzioak (2) lau ekuazio lineal sortzen ditu:
Bat.3
Lau ekuazio homogeneo hauek A=B=C=D=0 lehen soluzio hutsala deritzona dute, v(z)=0-ri dagokiona. Tolestu gabeko haga v_(z_)=0 P kargaren balio arbitrarioetarako ohiko oreka-posizioa da. Hemen, hagatxoa tolesten den baldintzetan interesatzen zaigu batez ere, hau da, v(z)≠0. Ekuazioek (3) ez dute halako soluzio hutsala A, B, C, D ≠ 0-ekin soilik koefizientearen determinantea zeroren berdina bada.
Bat. 3a
Pantaila-baldintzetatik Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog kargaren PK balio kritikoak kalkulatzeko. Ekuazio hau sin αs = bada bakarrik betetzen da0, hau da αKms = mπ m=-rekin1,2,3,… Euler-ren inflexio-indarraren balioak PKm=EI_∙_α dira2Km = EI(mπ/s)2. m-ren balio bakoitzerako, inflexio-indar jakin bat lortzen da. Kasu gehienetan, indar horietatik txikienak baino ez du interesatzen, eta hori
PK1=EI(π/s)2.
Hurrengo bertsioan, m indize bat egongo da, edo 1 gehienetan baztertua, karga kritikoen artean baxuenari erreferentzia eginez. Interesgarria da dagokion lerro elastikoa. B=C=D=0 konstante batetik (2) lortzen dira. Gainerako baldintza A∙sin__αs=0 da. Goiko kasurako m=1 flexio-lerro elastikoa, beraz, v(z) = A_∙sinπz/s_ da, non v(z) αK-rako da. PK dagokion funtzio propioa. A-ren magnitudeak zehaztu gabe jarraitzen du.
Ikus dezagun beste begirada bat karga-eremu osoa. P-ren balio arbitrarioetarako, batez ere P_<_PK1 v(z)=0 indarretarako, haga zuzena izaten jarraitzen du.
Karga “pixkanaka handituz” P egonkortasunaren teoria klasikoan P tamainaren ondoz ondoko seriea esan nahi da, non behatutako karga-kasuaren egonkortasuna behin eta berriz probatuko den P karga-maila indibidual bakoitzeko. Egonkortasun-proban zehar, P-ren tamainak aldaketarik gabe jarraitzen du. Egoera bat P egonkorra dela zehazten bada, orduan karga zerbait handitzen da, eta, beraz, egonkortasun-proba errepikatzen da. Zehaztasun zehatz hau beharrezkoa da karga-motarekin nahasketarik egon ez dadin, hau da, Shanley\ efektuaren oinarria, zeinetan karga areagotzen baita asaldura txikiak aldi berean eragiten ari diren bitartean. Shanley-ren arabera egonkortasuna aztertzean, plastikozko zirkulazioaren eremuan, bifurkazio-indar txikiagoa gertatzen da kontuan hartzeko metodo klasikoarekin baino.
Ondoko gogoetak karga handitzeko lehen modua suposatzen du: P karga pixkanaka handituz zentzu honetan, PK lortzen da.1=EI_∙(π/s)_2lehenik, oreka elastikoko bifurkazio-puntu bakarrera, sinus-lerro soil batekin flexio-lerro elastiko gisa
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A lerro elastikoaren anplitude zehaztugabea adierazten du. _P*__>_PK zametarako1 Δ≠ teoria linealizatuaren araberakoa da0, hori da oreka ez da posible hor. PK inflexio-indar handiagoetarako soilik2 eta abar berriro Δ= izango da0eta horrela ere v(z)≠0. Benetako portaerarekin bat ez datorren ondorio teoriko honen kausa ekuazio diferentzialaren linealizazioan datza.
Bi zatiz osatutako hagaxkak sakatuta
Bi zatiko makil sakatuetara mugatzen gara, eta hiru zatiz edo gehiagoz osatutako makil prentsatuetarako, antzeko erlazioak aplikatzen dira.
Sl.3
Zeharkako konexio motaren arabera, sareko hagaxkak desberdinak dira (irudia.3a) eta marko hagaxkak (ir.3e). Gurutze-loturarik gabe, hagaren zati bakoitza berez tolestuko litzateke (irudia.3b). Betegarria nahiko ahula bada, gerriko hagaxka bakarra tolestu daiteke hagaxka osorik okertu gabe. Sarearen hagarako irud.3c alderatu daiteke: ezkerreko bisagra sistemarako, eskuineko gerriko jarraituetarako; eta markoaren hagarako.3f ezkerrean konexio xafla bigunetarako, eskuinaldean konexio xafla zurrunetarako. Hortik, argaltasunak λ_ eragin handia duela ikusten da1__=s1/i1_. Hagatxoaren banakako zatirako, ni jarri nintzen1=F1_∙_i12, s1 eremuen tartea da (Irud.3), i1 ardatzari egiten dio erreferentzia1-1(ikus irudia.4).
Sl.4
Irudiko flexio-lerro elastikoei dagokien haga konposatuen inflexio-indarra. 3d, edo 3g ikerketa teoriko zehatzen gaia izan zen. Hagaxka sekzio bereziz osatuta egongo balitz (adibidez, saihets batekin) edo zeharkako konexioak hain maiz balira bi zatitako makurtuta dagoen hagatxo bat haga bakarretik bere eragina desberdina ez bada, orduan σ__K_=_π__2__E/λ__y__2 izango litzateke. Bertan λ__y=sK/iy adierazten du (4. irud.). Dena den, flexio-tentsio hori ez da praktikan guztiz lortuko, horretarako zeharkako lotura nahikorik ez dagoelako, eta elastikoak ere badira. Kasu gehienetan betetzen duen hurbilketa lortzen da F proposamenaren arabera jartzen badugu. Engesser\a bi zatiz osatutako hagatxo sakatu baten makurtze-esfortzua berdina dela
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi lerdentasun ideala deritzona da.
Gurutze-loturak nahikoa izan behar dute eta nahiko sendoak izan behar dute hagaaren bi zatiak elkarrekin jardutera behartzeko. Esfortzu sekundarioak alde batera utzita, zeharkako loturak esfortzurik gabe geratzen dira hagaxka zuzen jarraitzen duen bitartean. Tolesturarekin bakarrik jaso behar dituzte indarrak, eta tolestu ahala areagotzen diren zeharkako indarrak transmititu behar dituzte. Marra elastikoa bada
zeharkako indarra I=konst. berdina da
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
pikuarekin. 5 m berehala irakur daiteke Q(z)=PK∙v’(z). Barraren amaieran baliorik altuena da
Sl.5
Zeharkako loturek zeharkako indar hori jasotzeko gai izan behar dute. Dagokion karga PK flexio-indarra denez, nahikoa da horretarako karga-muga iristea zeharkako konexioetan ere, hau da, haga osoarekin aldi berean. Jakina, ez litzateke onurarik izango lotura gurutzatuak Q0 jasotzeko beharrezkoa baino askoz ere handiagoa izango balitz. Bestalde, ahulegi dauden gurutze-loturak hagatxoa goiztiarra eragingo luke.
Goiko ekuazioa ezin da erabili hasiera batean, inklinazio-geziaren magnitudea ezezaguna delako. Hagatxoa oreka axolagabean dago PKren azpian eta, lehen hurbilketa mailan behintzat, balio arbitrarioa har dezake. Baliagarria da, beraz, Fren proposamenaren arabera. Krohn-a, tolestutako hagaxkak euskarri-ahalmena galtzen duen maxv bihurgunearen magnitudea zehazteko, tolestearen ondoriozko hutsegitearen ondorioz. Hori gertatuko da, zalantzarik gabe, bihurgunearen alde ahurra iristen bada (irudia.6). Honetarako bihurguneak gehiago hazten dira eta dagozkion makurdura-momentuak ezin dira aplikatu.
Irudia. 6
Bihurgunearen alde ahurreko tentsio osoa irudiaren araberakoa da.6material plastiko ideala lortzeko
Hortik dator oraindik jasan daitekeen harrokeriarik handiena
maxQ0 hagaxka muturrean dagokion zeharkako indarra da.
σK Tetmeier\ren formarako erabiltzen bada eta σF= jarri3,1t/cm2eta sK=e/2∙ λy iy≈e/ri dagokiona2, orduan Krohn-ren maxQ-ren gutxi gorabeherako balioa lortzen da0=F/28(Q t-tan, F cm-tan2).
Lerro arbitrarioetarako inflexio-tentsioa lortzen da
maxQ0=μK∙SK.
μK koefizientea hagatxoaren lirainarekin batera aldatzen da, materialaren araberakoa ere bada. Goiko ekuazioa ezkutatzearen aurkako segurtasun-koefizientearekin zatitzen denean idatz daiteke
dozv__Q=μ∙dozvS.
Sistema linealen inflexioa
Sistema linealen kasuan, ohikoa da bi muturretan bisagra duen eta toleste-indarra PK=π den haga baten sK=β∙h tolestura-luzera zehaztea konparaziorako.2EI/s2K bezain handia. Beheko adibideetarako “buckling luzera” konparatiboa emango da.
a) Hagatxoa bi muturretan estutua (EI=konst.)
Sl.7
irudiaren kasuan.7inflexioa PK= da4π2EI/h2=4,0∙PE, “Kinketa-luzera” konparatiboa sK=h/2eta inklinazio-lerro elastikoa v(z)=D(1- kos2πz/h).
b) Mutur batean haga librea (irudia.8)
Sl. 8
Suposatzen da P-ren norabidea ez dela aldatzen hagatxoa makurtzean. Ondoren (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Mutur librearen sestra baldintzak z=h hemen irakurri
M=0 edo v’’=0
Q=M’-Pv’=0 edo v’’’+a2∙v’=0.
c) Hagatxoa mutur batean lotua (9 irudia)
Sl.9
Sestra-baldintzekin
v=0 eta v’=0 z=0
v=0 eta v’’=0 z=h
EI=konst. paketatze egoera
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
edo baliokidea
tgαh=αh. (4)
Ekuazio transzendental honen erroak K tauletan aurkitzen dira. Hayashi’s. Indar txikiena PK taulen araberakoa da1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
Konparaziozko paketa-luzera sK = h / √ da2,046=0,699h.
d) Mutur batean nahasmendu batekin loturiko haga bat (irudia.10)
Irudia. 10
Tamaina konstanteko punta-desplazamenduaren kasua hartuko dugu kontuan. Horretarako sestra baldintzak dira
v=0eta v’=0 z=rentzat0,
v=v1 eta v’’=0 z=h-rentzat.
Oreka-problema bat da lerro elastiko batekin
{}-kokoteen aurreko terminoaren izendatzailea zero izango da eta inklinazioa muga guztien gainetik handitzen da P→PK bada (ikus paketatze-baldintza ekuazioa (4)). Hagaxkaren portaeraren ezaugarria da hagaren erdiko eta beheko muturreko bihurguneak hasieran txikiagoak izatea P karga handitzen denean eta karga handiagoetarako soilik aldatzen duten seinalea. Sl. 10 altuera erdiko bihurguneak erakusten ditu.
e) Etengabeko makila bi eremutan
Sl.11
Bi soluzio-eremuetarako (11 irudia) ezarpena aplikatuko dugu
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 D2.
Sinplifikaziorako, izan bedi (EI)1=(EI)2=EI. Zortzi konstanteak aurkitzeko A1, …, A2, … sestra baldintzak
v=0 eta v’=0 z1=0,
v=0 eta v’’=0 z2=h,
baita I eta II eremuen arteko trantsizio baldintzak
v=0 z1=h eta z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Baldintzazko ekuazioak beheko taulan ematen dira
Koefizientearen determinantea zeroren berdina dela ezarriz, paketatze-baldintza lortzen da
Tolestura-luzera sK=0,878_h_, berriz. 35 edo β=0,699. Adarkatze-indarra 2,046-rekin alderatuta gutxitu egin da: 1,297, bisagra den bigarren eremu bat gehituta. Beste eremua gorago apurtzen bazen, orduan bulkling indarra berriro handituko litzateke gailurreraino. 2,04 PE.
Formulen aurkezpen historiko hau ez da proiektu bat edo egituraren egonkortasunaren froga bat. Kide zuzen idealaren, karga zentrikoaren eta eremu elastikoen hipotesi klasikoek ez dute zertan sartzen hasierako inperfekzioak, hondar-esfortzuak, eszentrikotasuna, konexio-zurruntasuna, materialaren ez-linealtasuna, alboko egonkortasuna, ezta, hala badagokio, sua, ekintza sismikoa eta muntaketa faseak ere. Benetako egituraren kalkulua baimendutako ingeniari zibil batek egin behar du, indarrean dauden arau eta arauen arabera.