Heute konzentriert sich Savo Kusić auf Holzfenster, Holz-Aluminium-Fenster, kundenspezifische Fenster, Türen und Angebotsanfragen. Dieser Text bleibt ein Archiv der Strukturtheorie und stellt kein Angebot für statische Bemessung, Stabilitätsberechnungen oder strukturelle Sanierung dar.
Differentialgleichung des Knickens beim Biegen
Es wird davon ausgegangen, dass insbesondere alle Idealisierungen erfüllt sind
- dass der Stab vollkommen gerade ist
- dass die Last P in der Stabachse wirkt
- dass die Spannungen unterhalb der Proportionalitätsgrenze bleiben
- dass die Verformungen klein genug sind, um die üblichen Berechnungsvereinfachungen zu ermöglichen.
Verbiegt sich der Stab unter Einwirkung der Kraft P und ggf. auch aufgrund der in Querrichtung wirkenden Last q, so müssen die bekannten Gleichgewichtsbedingungen zwischen den äußeren Lasten und den Kräften im Abschnitt erfüllt sein. Darüber hinaus ist es selbstverständlich, dass im Querschnitt bekannte Zusammenhänge zwischen Verformungen und Kräften bestehen.
Abb. 1 – Gleichgewicht
In Abb. 1 ist ein gebogenes Stabelement der Länge ds. Die Steigung der Tangente v’ ist klein, so dass bis zur Größe zweiter Ordnung die Länge des Elements gleich der Projektion ds=dz eingestellt werden kann. Darüber hinaus werden in den unten genannten Tests Fälle nicht berücksichtigt, in denen sich P entlang der Stabachse ständig ändert, d. h. Normalkraft N≈P=const. In den drei für das Element vorliegenden Gleichgewichtsbedingungen kann dann eine bestimmte Anzahl von Mitgliedern vernachlässigt werden. Für Markierungen und Schilder aus Abb. 10 bleibt dann in erster Näherung der Gleichung
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Die Querkraft kann eliminiert werden, dann gilt M’’=Pv’’-q. Das Bernoulli-Gesetz M=-EI/R liefert die fehlende Gleichung. Die Kurve der Stabachse wird, wie aus der Theorie der Balkenbiegung üblich, wie folgt vereinfacht
Somit ist es möglich, das Biegemoment zu eliminieren; und mit M=-EI*v’’ erhält man die Differentialgleichung für den gebogenen Stab
(EI*v’’)’’ + Pv’’ = q. (1)
Im Sonderfall konstanter Biegesteifigkeit EI=const. vereinfacht sich Gleichung (1) zu
EIv’’’’ + Pv’’ = q. (1a)
Die Gleichungen (1) und (1a) sind unter den genannten Vereinfachungen linear in v.
Praktisch besonders wichtig ist der einfachste Fall der konstanten Biegesteifigkeit EI=const., der als Grundlage für die folgenden Beispiele dient.
Eulers Fall
Annahmen für den klassischen Knickfall sind neben den genannten Idealisierungen: p=0, also N=const.=P, sowie konstante Steifigkeit ohne Reibung, die genau auf der Achse des Stabes liegen. Die gewöhnliche Differentialgleichung (1a) ist von vierter Ordnung, sie ist linear und homogen aufgrund q=0. Die allgemeine Lösung lautet:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
wobei A, B, C, D die vier Integrationskonstanten sind. Der Parameter ist aufgrund der Annahme EI≠0 von endlicher Größe. Darüber hinaus gilt α≠0 für P>0.
Abb. 2
Da die lineare Differentialgleichung (1a) homogen ist, ist auch n_∙_v(z) eine Lösung, wobei n eine beliebige Konstante ist. Bereits aus der mathematischen Einordnung der Differentialgleichung (1a) folgt, dass die Größe der Auslenkung v nicht bestimmt werden kann. Zur Bestimmung der Integrationskonstanten A, B, C, D im Euler-Fall stehen folgende Randbedingungen zur Verfügung (Abb. 2): An beiden gelenkig gelagerten Stabenden sind Auslenkung und Biegemoment gleich Null, also
v=0 und M=0 für z=0
v=0 und M=0 für z=s.
Aus M=-EI_∙_v’’ folgt für M=0 auch v’’=0; die vier Randbedingungen lauten daher:
v=0 und v’’=0 für z=0
v=0 und v’’=0 für z=s.
Die Lösung (2) ergibt somit vier lineare Gleichungen:
Gl. 3
Diese vier homogenen Gleichungen haben die erste sogenannte triviale Lösung A=B=C=D=0, was v(z)=0 entspricht. Der ungebogene Stab v_(z_)=0 ist die übliche Gleichgewichtslage für beliebige, insbesondere kleinere Werte der Last P. Hier interessieren uns vor allem die Bedingungen, unter denen sich der Stab biegt, also dass v(z)≠0. Die Gleichungen (3) haben mit A, B, C, D ≠ 0 nur dann keine solche triviale Lösung, wenn die Determinante des Koeffizienten gleich Null ist.
Gl. 3a
Aus den Knickbedingungen Δ = α4∙s∙sinαs = 0 können die kritischen Werte der PK-Last berechnet werden. Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn sin αs = 0, d. h. für αKms = mπ mit m=1,2,3,… Die entsprechenden Werte der Knickkraft von Euler sind PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Für jeden Wert von m erhält man eine bestimmte Knickkraft. In den meisten Fällen ist nur die kleinste dieser Kräfte von Interesse, und zwar
PK1=EI(π/s)2.
In der folgenden Version wird ein Index m oder 1 größtenteils weggelassen, der sich auf die niedrigste der kritischen Lasten bezieht. Interessant ist die entsprechende elastische Linie. Aus einer (2) werden Konstanten B=C=D=0 erhalten. Die Bedingung A∙sin__αs=0 bleibt bestehen. Die elastische Knicklinie für den obigen Fall m=1 ist also v(z) = A_∙sinπz/s_, wobei v(z) für αK bzw. PK entsprechende Eigenfunktion. Die Größe von A bleibt unbestimmt.
Betrachten wir erneut den gesamten Lastbereich. Für beliebige Werte von P, insbesondere für Kräfte P_<_PK1, gilt v(z)=0 und der Stab bleibt gerade.
Mit „allmählich zunehmender“ Belastung P ist in der klassischen Stabilitätstheorie eine aufeinanderfolgende Reihe von Größen P gemeint, bei der die Stabilität des beobachteten Lastfalls immer wieder für jede einzelne Belastungsstufe P getestet wird. Während des Stabilitätstests bleibt die Größe von P sicherlich unverändert. Wenn sich herausstellt, dass ein Zustand P stabil ist, wird die Last um etwas erhöht und daher der Stabilitätstest wiederholt. Diese genaue Bestimmung ist notwendig, damit es nicht zu Verwechslungen mit der Art der Belastung kommt, die dem Shanley-Effekt zugrunde liegt, bei dem es zu einer Erhöhung der Belastung bei gleichzeitiger Einwirkung kleiner Störungen kommt. Bei der Untersuchung der Stabilität nach Shanley\ tritt im Bereich des plastischen Knickens eine geringere Bifurkationskraft auf als bei der klassischen Betrachtungsweise.
Die folgenden Überlegungen gehen von der ersten Möglichkeit der Belastungserhöhung aus: Bei einer allmählichen Erhöhung der Belastung P in diesem Sinne, für PK1=EI_∙(π/s)_2, gelangt man zunächst zu einem Bifurkationspunkt des elastischen Gleichgewichts, mit einer einfachen Sinuslinie als elastische Knicklinie
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A bezeichnet die unbestimmte Amplitude der elastischen Linie. Für Lasten _P*__>_PK1 gilt nach der linearisierten Theorie Δ≠0; ein Gleichgewicht ist dort also nicht möglich. Erst bei höheren Knickkräften PK2 usw. wird wieder Δ=0 und damit auch v(z)≠0. Die Ursache dafür, dass diese theoretische Folgerung nicht dem tatsächlichen Verhalten entspricht, liegt in der Linearisierung der Differentialgleichung.
Knicken zweiteiliger zusammengesetzter Druckstäbe
Die Betrachtung beschränkt sich auf zweiteilige Druckstäbe; für Druckstäbe aus drei oder mehr Teilen gelten ähnliche Beziehungen.
Abb. 3
Nach Art der Querverbindung werden Gitterstäbe (Abb. 3a) und Rahmenstäbe (Abb. 3e) unterschieden. Ohne Querverbindungen würde jeder Stabteil für sich ausknicken (Abb. 3b). Ist die Ausfachung relativ nachgiebig, kann ein einzelner Gurtstab ausknicken, ohne dass sich der Gesamtstab durchbiegt. Beim Gitterstab in Abb. 3c sind links das gelenkige System und rechts die durchlaufenden Gurte dargestellt; beim Rahmenstab in Abb. 3f links nachgiebige und rechts steife Verbindungsbleche. Die Schlankheit λ__1_=s1/i1_ hat daher großen Einfluss. Für den einzelnen Stabteil gilt I1=F1_∙_i12; s1 ist der Feldabstand (Abb. 3), i1 bezieht sich auf die Achse 1-1 (siehe Abb. 4).
Abb. 4
Die Knickkraft zusammengesetzter Stäbe, die den elastischen Knicklinien in Abb. 3d bzw. 3g entspricht, war Gegenstand umfangreicher theoretischer Untersuchungen. Hätte der Stab einen einheitlichen Querschnitt, etwa mit einem Steg, oder wären die Querverbindungen so eng angeordnet, dass sich der zweiteilige Stab in seiner Wirkung nicht von einem einteiligen Stab unterscheidet, ergäbe sich σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Dabei ist λ__y=sK/iy (Abb. 4). Diese Knickspannung wird in der Praxis jedoch nicht vollständig erreicht, weil die Querverbindungen weder unendlich dicht noch starr sind. Eine für die meisten Fälle ausreichende Näherung folgt dem Vorschlag von F. Engesser, wonach die Knickspannung eines zweiteiligen Druckstabs gleich ist
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi ist die sogenannte ideale Schlankheit.
Die Querverbindungen müssen in ausreichender Zahl vorhanden und stark genug sein, damit beide Stabteile gemeinsam wirken. Unter Vernachlässigung der Sekundärspannungen bleiben sie unbelastet, solange der Stab gerade ist. Erst beim Ausknicken müssen sie Kräfte aufnehmen und mit zunehmender Auslenkung wachsende Querkräfte übertragen. Lautet die elastische Linie
Querkraft bei I=const. ist gleich
Q = M’ = - EI∙v’’’.
Aus Abb. 5 kann Q(z)=PK∙v’(z) unmittelbar abgelesen werden. Der größte Wert am Stabende ist
Abb. 5
Die Querverbindungen müssen diese Querkraft aufnehmen können. Da die zugehörige Belastung die Knickkraft PK ist, genügt es, wenn die Querverbindungen ihre Traggrenze gleichzeitig mit dem Gesamtstab erreichen. Eine wesentlich stärkere Bemessung als zur Aufnahme von Q0 erforderlich bringt keinen Vorteil; zu schwache Querverbindungen würden dagegen zu einem vorzeitigen Versagen des Stabs führen.
Die obige Gleichung kann zunächst nicht verwendet werden, weil die Größe der seitlichen Auslenkung unbekannt ist. Unter PK befindet sich der Stab im indifferenten Gleichgewicht und kann zumindest in erster Näherung eine beliebige Auslenkung annehmen. Nach dem Vorschlag von F. Krohn ist es daher zweckmäßig, die Auslenkung maxv zu bestimmen, bei der der ausgeknickte Stab seine Tragfähigkeit infolge Biegeversagens verliert. Dies tritt ein, wenn auf der konkaven Seite der Biegung die Streckgrenze erreicht wird (Abb. 6). Die Auslenkung wächst danach weiter, während die entsprechenden Biegemomente nicht mehr aufgenommen werden können.
Abb. 6
Für einen ideal-plastischen Werkstoff beträgt die Gesamtspannung auf der konkaven Seite der Biegung nach Abb. 6
Daraus ergibt sich die größte noch tragbare Auslenkung
maxQ0 ist die entsprechende Querkraft am Ende des Stabes.
Wenn es für die Form von σK Tetmajer verwendet wird, setzen Sie σF=3,1 t/cm2 und sK=e/2 ∙ λy, was entspricht iy≈e/2, dann erhält man den ungefähren Wert von Krohn maxQ0=F/28 (Q in t, F in cm2).
Für beliebige Linien wird die Knickspannung ermittelt
maxQ0=μK∙SK.
Der Koeffizient μK ändert sich mit der Schlankheit des Stabes, er ist auch vom Material abhängig. Wenn die obige Gleichung durch den Sicherheitskoeffizienten gegen Knicken dividiert wird, kann sie geschrieben werden
dozv__Q=μ∙dozvS.
Knicken linearer Systeme
Bei Stabsystemen ist es üblich, zum Vergleich die Knicklänge sK=β∙h eines beidseitig gelenkig gelagerten Stabs zu bestimmen, dessen Knickkraft PK=π2EI/s2K gleich groß ist. Für die folgenden Beispiele wird diese vergleichbare „Knicklänge“ angegeben.
a) Stab an beiden Enden eingespannt (EI=const.)
Abb. 7
Für den Fall von Abb. 7 der Knickung ist PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, die vergleichende „Knicklänge“ sK=h/2 und die elastische Knicklinie v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Stab an einem Ende frei (Abb. 8)
Abb. 8
Es wird angenommen, dass sich die Richtung von P beim Biegen des Stabes nicht ändert. Dann (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Die Randbedingungen für das freie Ende z=h lauten
M=0 oder v’’=0
Q=M’-Pv’=0 oder v’‘’+a2∙v’=0.
c) Stab an einem Ende eingespannt (Abb. 9)
Abb. 9
Mit den Randbedingungen
v=0 und v’=0 für z=0
v=0 und v’’=0 für z=h
ergibt sich für EI=const. Knickzustand
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
oder gleichwertig
tgαh=αh. (4)
Die Wurzeln dieser transzendentalen Gleichung finden sich in den Tabellen K. Hayashi's. Die geringste Knickkraft ergibt sich aus den Tabellen PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Die Vergleichsknicklänge beträgt sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Einseitig eingespannter Stab mit vorgegebener Verschiebung (Abb. 10)
Abb. 10
Betrachtet wird eine Kopfverschiebung konstanter Größe. Die Randbedingungen lauten
v=0 und v’=0 für z=0,
v=v1 und v’’=0 für z=h.
Es handelt sich um ein Gleichgewichtsproblem mit einer elastischen Linie
Der Nenner des Terms vor den {}-Klammern wird Null und die Auslenkungen wachsen unbegrenzt, wenn P→PK (siehe Knickbedingung Gleichung (4)). Charakteristisch ist, dass die Auslenkungen im mittleren und unteren Stabbereich mit zunehmender Belastung P zunächst kleiner werden und erst bei höheren Lasten ihr Vorzeichen ändern. Abb. 10 zeigt die Auslenkung auf halber Höhe.
e) Durchlaufender Stab über zwei Felder
Abb. 11
Für beide Bereiche der Lösung (Abb. 11) werden wir die Einstellung anwenden
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Zur Vereinfachung sei (EI)1=(EI)2=EI. Die acht Konstanten A1, …, A2, … werden mit den Randbedingungen bestimmt.
v=0 und v’=0 für z1=0,
v=0 und v’’=0 für z2=h,
sowie Übergangsbedingungen zwischen den Bereichen I und II
v=0 für z1=h und für z2=0,
v’’(z1=h)=v’(z2=0),
v’’(z1=h)=v’’(z2=0).
Die Bedingungsgleichungen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt
Indem die Determinante des Koeffizienten gleich Null gesetzt wird, wird der Knickzustand erreicht
Die Knicklänge beträgt sK=0,878_h_, während sie für Abb. 35 β=0,699 betrug. Durch Hinzufügen eines zweiten gelenkig gelagerten Feldes sank die Knickkraft von 2,046 auf 1,297. Wäre das zweite Feld oben eingespannt, würde die Knickkraft wieder auf etwa 2,04 PE ansteigen.
Diese historische Darstellung der Formeln ist weder eine Planung noch ein Nachweis der Tragwerksstabilität. Die klassischen Annahmen eines vollkommen geraden Stabs, einer zentrischen Last und elastischen Verhaltens erfassen nicht zwingend Anfangsimperfektionen, Eigenspannungen, Exzentrizität, Anschlusssteifigkeit, Materialnichtlinearität, seitliche Stabilität oder, soweit relevant, Brand, seismische Einwirkungen und Montagezustände. Ein zugelassener Tragwerksplaner muss das tatsächliche Tragwerk nach den geltenden Vorschriften und Normen bemessen.