Бүгінгі күні Саво Кусич ағаш терезелерге, ағаш-алюминий терезелер, арнайы терезелер, есік және баға ұсыныстарын сұрау. Бұл мәтін құрылымдық теорияның мұрағаты ретінде қалады және статикалық дизайн, тұрақтылық есептеулері немесе құрылымдық қалпына келтіру ұсынысы емес.
Иілудің дифференциалдық теңдеуі
Барлық идеализациялар қанағаттандырылды деп есептеледі, әсіресе
- шыбықтың мінсіз түзу екенін
- P жүктемесі өзекшенің білігінде әрекет ететінін
- кернеулер пропорционалдылық шегінен төмен болып қалады
- деформациялар есептеулерді әдеттегі оңайлатуға мүмкіндік беретіндей аз екенін.
Егер стержень P күшінің әсерінен және көлденең бағытта әрекет ететін q жүктің әсерінен де иілсе, онда сыртқы жүктемелер мен қимадағы күштер арасындағы тепе-теңдіктің белгілі шарттары орындалуы керек. Сонымен қатар, кесіндідегі деформациялар мен күштер арасында белгілі байланыстардың болуы заңды.
Cурет. 1 - Баланс
Суретте.1ұзындығы ds иілген өзекшенің элементі көрсетілген. v’ жанамасының еңісі кішкентай, сондықтан екінші ретке дейін элементтің ұзындығын ds=dz проекциясына тең етіп орнатуға болады. Сонымен қатар, төменде көрсетілген сынақтарда P өзек осі бойымен үнемі өзгеретін жағдайлар ескерілмейді, яғни қалыпты күш N≈P=const. Элемент үшін қол жетімді үш тепе-теңдік жағдайында мүшелердің белгілі бір санын елемеуге болады. Таңбалар мен белгілер үшін күріш.10теңдеудің бірінші жуықтауында қалады
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Көлденең күшті жоюға болады, содан кейін M’‘=Pv’’-q ұстайды. Бернулли заңы M=-EI/R жетіспейтін теңдеуді береді. Өзек осінің қисығы, әдеттегідей, арқалықтың иілу теориясынан келесідей жеңілдетілген.
Осылайша иілу моментін жоюға болады; және M=-EI*v’’ кезінде иілген өзек
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Тұрақты иілу қаттылығының ерекше жағдайында EI=const. (1) теңдеуі жеңілдетілген, сондықтан ол
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Теңдеу. (1) және (1a) аталған жеңілдетулерге сәйкес v тілінде сызықты.
Іс жүзінде тұрақты иілу қаттылығының қарапайым жағдайы EI=const. әсіресе маңызды, ол төмендегі мысалдарға негіз болады.
Эйлердің ісі
Классикалық иілу жағдайына арналған болжамдар аталған идеализациялардан бөлек: p=0, сондықтан N=const.=P, сонымен қатар өзек осінде дәл жататын үйкеліссіз тұрақты қаттылық. Қарапайым дифференциалдық теңдеу (1a) төртінші ретті, q=0 арқасында сызықтық және біртекті. Жалпы шешім:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
мұндағы A, B, C, D төрт интеграциялық константа. Параметр EI≠0 болжамына байланысты шекті өлшемге ие. Сонымен қатар, P>0 үшін α≠0.
Sl.2
Сызықтық дифференциалдық теңдеу (1a) біртекті болғандықтан, бұл есеп n_∙_v(z) арқылы да шешіледі, мұндағы n ерікті тұрақты. Қазірдің өзінде дифференциалдық теңдеудің математикалық жіктелуінен (1a) v иілу шамасын анықтау мүмкін еместігін көруге болады. Эйлер\ жағдайда (2-сурет) A, B, C, D интегралдау константаларын анықтау үшін келесі контур жағдайлары қол жетімді: Артикуляцияланған тірекке байланысты иілу моменті өзекшенің екі шетінде нөлге тең, яғни.
v=0 және M=0 z=0 үшін
v=0 және z=s үшін M=0.
M=-EI_∙_v’‘ байланысты, M=0 v’’=0 мәні болып табылады, сондықтан төрт контур шарты оқылады:
v=0 және v’’=0 z=0 үшін
v=0 және v’’=0 z=s үшін.
Шешім (2) осылайша төрт сызықтық теңдеу береді:
Бір.3
Бұл төрт біртекті теңдеулерде v(z)=0 мәніне сәйкес келетін A=B=C=D=0 деп аталатын бірінші тривиальды шешімі бар. Майылмаған өзек v_(z_)=0 - бұл ерікті, әсіресе P жүктемесінің шағын мәндері үшін әдеттегі тепе-теңдік жағдайы. Бұл жерде бізді ең алдымен шыбықтың иілу жағдайлары қызықтырады, яғни v(z)≠0. (3) теңдеулерде A, B, C, D ≠ 0 бар мұндай тривиальды шешім болмайды, егер коэффициенттің анықтауышы нөлге тең болса ғана.
Бір. 3a
Бұрылу жағдайларынан Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mжүктеменің PK сыни мәндерін есептей аламыз. Бұл теңдеу sin αs = 0 болған жағдайда ғана орындалады, яғни αKms = mπ үшін m=1,2,3,… Эйлердің иілу күшінің сәйкес мәндері PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. m әрбір мәні үшін белгілі бір иілу күші алынады. Көп жағдайда осы күштердің ең кішісі ғана қызығушылық тудырады және бұл
PK1=EI(π/с)2.
Келесі нұсқада m индексі болады немесе 1 сыни жүктемелердің ең төменгісіне сілтеме жасайды. Сәйкес серпімді сызық қызығушылық тудырады. Бір (2) константасынан B=C=D=0 алынады. Қалған шарт – A∙sin__αs=0. Жоғарыдағы m=1 жағдайының серпімді иілу сызығы, демек, v(z) = A_∙sinπz/s_, мұндағы v(z) αK үшін. PK сәйкес меншікті функция. A шамасы анықталмаған болып қалады.
Бүкіл жүктеме аймағын тағы бір рет қарастырайық. P ерікті мәндері үшін, әсіресе P_<_PK1 күштері үшін v(z)=0 болса, өзек түзу болып қалады.
«Біртіндеп ұлғайту» жүктемесі P орнықтылықтың классикалық теориясында P өлшемдерінің дәйекті қатарын білдіреді, мұнда бақыланатын жүктеме жағдайының орнықтылығы P жүктеменің әрбір жеке деңгейі үшін қайта-қайта тексерілетін болады. Тұрақтылық сынағы кезінде P өлшемі, әрине, өзгеріссіз қалады. Егер бір күй P тұрақты деп анықталса, онда жүктеме бір нәрсеге артады, сондықтан тұрақтылық сынағы қайталанады. Бұл дәл анықтау жүктеме түрімен шатаспау үшін қажет, бұл Шанли\ эффектінің негізі болып табылады, бұл кезде кішігірім бұзылулар бір уақытта әрекет еткен кезде жүктеменің ұлғаюы байқалады. Шанли\ сәйкес тұрақтылықты зерттегенде, пластикалық иілу аймағында классикалық есептеу әдісіне қарағанда бифуркациялық күш азырақ болады.
Келесі ойлар жүктемені ұлғайтудың бірінші әдісін болжайды: Бұл мағынада P жүктемені біртіндеп арттыру арқылы PK жетеді.1=EI_∙(π/с)_2алдымен серпімді тепе-теңдіктің бір бифуркация нүктесіне дейін, серпімді иілу сызығы ретінде қарапайым синус сызығымен
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A серпімді сызықтың анықталмаған амплитудасын білдіреді. _P*__>_PK жүктер үшін1 сызықтық теорияға сәйкес Δ≠0, яғни ол жерде тепе-теңдік мүмкін емес. Тек жоғары иілу күштері үшін PK2 т.б. ол қайтадан Δ= болады0және осылайша v(z)≠0. Нақты мінез-құлыққа сәйкес келмейтін бұл теориялық қорытындының себебі дифференциалдық теңдеуді сызықтық етуде жатыр.
Екі бөліктен тұратын престелген өзекшелердің ілінісуі
Біз екі бөліктен тұратын сығымдалған таяқшалармен шектелеміз, ал үш немесе одан да көп бөліктерден тұратын сығылған таяқшалар үшін ұқсас қатынастар қолданылады.
Sl.3
Көлденең қосылым түріне қарай торлы өзектер ерекшеленеді (сур.3а) және рамалық шыбықтар (сур.3e). Айқас байлаусыз таяқтың әрбір бөлігі өздігінен майысып қалатын (сур.3б). Егер толтыру салыстырмалы түрде әлсіз болса, онда бір белдік штангасы өзекшені тұтастай майыстырмай майыстыруы мүмкін. Торлы өзек үшін күріш.3c салыстыруға болады: топсалы жүйе үшін сол жақ, үздіксіз белдіктер үшін оң жақ; және жақтау штангасы үшін сур.3f жұмсақ қосылым парақтары үшін сол жақта, қатты қосылым парақтары үшін оң жақта. Осыдан-ақ арық λ_ үлкен әсер ететінін көруге болады1__=с1/і1_. Таяқтың жеке бөлігі үшін Мен орналастырылды1=F1_∙_i12, с1 – өріс аралығы (сур.3), i1 осіне қатысты1-1(суретті қараңыз.4).
Sl.4
Күрделі шығыршықтардың иілу күші күріш.3d, немесе3g жан-жақты теориялық зерттеулердің тақырыбы болды. Егер өзек бірегей бөліктерден тұрса (мысалы, қабырғасы бар) немесе көлденең қосылыстар екі бөліктен иілген өзек бір өзекшеден айырмашылығы болмайтындай жиі болса, онда ол σ__K_=π болар еді.2__E/λ__y__2. Мұнда ол λ__y=sK/iy_ білдіреді (Cурет.4). Дегенмен, бұл иілу кернеуіне іс жүзінде толық қол жеткізілмейді, өйткені бұл үшін көлденең байланыстар жеткіліксіз және олар да серпімді. Егер F ұсынысына сәйкес қойсақ, көп жағдайда қанағаттандыратын жуықтау алынады. Engesser\a екі бөліктен тұратын престелген өзекшенің иілу кернеуі тең
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi – идеалды сымбаттылық деп аталады.
Айқас байланыстардың саны жеткілікті және өзекшенің екі бөлігін бірге әрекет етуге мәжбүрлеу үшін жеткілікті күшті болуы керек. Қайталама кернеулерді қоспағанда, стержень түзу болғанша көлденең буындар кернеусіз қалады. Иілу кезінде ғана олар күштерді қабылдауы керек, ал иілу кезінде өсетін көлденең күштерді беруі керек. Бұл серпімді сызық болған жағдайда
I=const кезіндегі көлденең күш. тең
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
сур. 5 m бірден оқуға болады Q(z)=PK∙v’(z). Таяқтың соңындағы ең жоғары мән
Sl.5
Көлденең қосылыстар осы көлденең күшке бейімделуі керек. Сәйкес жүктеме PK иілу күші болғандықтан, бұл үшін көлденең қосылыстарда да, яғни бүкіл стерженьмен бір мезгілде жүк көтеру шегіне жеткенде жеткілікті. Егер көлденең сілтемелер Q0 алу үшін қажетті мөлшерден әлдеқайда күшті болса, бұл пайдасыз болатыны анық. Екінші жағынан, тым әлсіз көлденең байланыстар штанганың мерзімінен бұрын істен шығуына әкеледі.
Жоғарыдағы теңдеуді бастапқыда пайдалану мүмкін емес, себебі иілу көрсеткісінің шамасы белгісіз. Таяқша PK кезінде немқұрайлы тепе-теңдікте және, ең болмағанда, жақындаудың бірінші дәрежесінде ерікті мән қабылдай алады. Сондықтан бұл F ұсынысына сәйкес пайдалы. Krohn-a, иілу maxv шамасын анықтау үшін, бұл кезде иілу салдарынан иілу сәтсіздігінен иілген өзек өзінің көтеру қабілетін жоғалтады. Бұл, әрине, иілудің ойыс жағындағы аққыштық нүктесіне жеткенде орын алады (Cурет 1).6). Бұл үшін иілу одан әрі өседі және сәйкес иілу моменттерін қолдану мүмкін емес.
Cурет. 6
Иілудің ойыс жағындағы жалпы кернеу күріш.6идеалды пластикалық материал үшін
Сол жерден әлі де төтеп беруге болатын ең үлкен ақымақтық келеді
maxQ0 - өзек ұшындағы сәйкес көлденең күш.
σK Tetmeier\ пішіні үшін қолданылса және σF= қойыңыз3,1т/см2және sK=e/2∙ λy, ол iy≈e/ сәйкес келеді2, содан кейін Krohn-ның maxQ жуық мәні алынады0=F/28(Q t, F см2).
Ерікті сызықтар үшін иілу кернеуі алынады
maxQ0=μK∙SK.
μК коэффициенті өзекшенің жіңішкелігіне қарай өзгереді, ол материалға да байланысты. Жоғарыдағы теңдеуді бұрылысқа қарсы қауіпсіздік коэффициентіне бөлгенде, оны жазуға болады
dozv__Q=μ∙dozvS.
Сызықтық жүйелердің тоқырауы
Сызықтық жүйелер жағдайында салыстыру үшін екі ұшы топсалы және иілу күші PK=π болатын өзекшенің иілу ұзындығын sK=β∙h анықтау әдеттегідей.2EI/s2K дәл сондай үлкен. Төменде келтірілген мысалдар үшін салыстырмалы «бұрылу ұзындығы» беріледі.
а) Екі ұшынан қысылған өзек (EI=const.)
Sl.7
Суреттегі жағдай үшін.7иілу PK=4π2EI/сағ2=4,0∙PE, салыстырмалы «бұрылу ұзындығы» sK=h/2және серпімді иілу сызығы v(z)=D(1- cos2πz/сағ).
б) Таяқшаның бір ұшы бос (сур.8)
Sl. 8
P бағыты стержень иілу кезінде өзгермейді деп есептеледі. Содан кейін (EI=const.)
PK=π2Е.И/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Бос ұшына арналған контур шарттары z=h мұнда оқылады
M=0 немесе v’’=0
Q=M’-Pv’=0 немесе v’’’+a2∙v’=0.
c) Бір ұшынан қысылған өзек (9-сурет)
Sl.9
Контур шарттарымен
v=0 және v’=0 z=0
v=0 және v’’=0 z=h
EI=const үшін алынады. иілу жағдайы
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
немесе баламасы
tgαh=αh. (4)
Бұл трансценденттік теңдеудің түбірлері K кестелерінде берілген. Хаяши. Ең төменгі иілу күші PK кестелеріне сәйкес1=4,49342/ сағ2∙ EI =2,046π2EI/сағ2.
Салыстырмалы иілу ұзындығы sK = h / √2,046=0,699сағ.
d) Бір ұшы бұзылған қысылған таяқша (сур.10)
Cурет. 10
Тұрақты өлшемдегі ұшты ауыстыру жағдайын қарастырамыз. Ол үшін контур шарттары
v=0және v’=0 z= үшін0,
v=v1және v’’=0 z=h үшін.
Бұл серпімді сызығы бар тепе-теңдік мәселесі
{}-жақшалар алдындағы терминнің бөлгіші нөлге тең болады және егер P→PK болса, иілу барлық шектен жоғары болады (бұзу шартын қараңыз.4)). Штанганың мінез-құлқына тән, стерженнің ортаңғы және төменгі ұшындағы иілулер бастапқыда P жүктің жоғарылауымен кішірейеді және олардың таңбасын тек жоғары жүктемелер үшін өзгертеді. Sl.10жарты биіктікте иілулерді көрсетеді.
e) Екі өрістегі үздіксіз таяқша
Sl.11
Екі шешім аймағы үшін (сур.11) біз параметрді қолданамыз
Және_. v(z1) = А1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ Д1,_
II. v(z2) = А2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ Д2.
Қарапайымдылық үшін (EI)1=(EI)2=EI. Сегіз тұрақтыны табу үшін A1, …, А2, … контур шарттары ретінде қызмет етеді
v=0және v’=0 үшін z1=0,
v=0және v’’=0 үшін z2=сағ,
сондай-ақ I және II аймақтар арасындағы өтпелі жағдайлар
v=0 үшін z1=h i z үшін2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
Шартты теңдеулер төмендегі кестеде берілген
Коэффициенттің анықтаушысын нөлге тең етіп қою арқылы иілу шарты алынады
Иілу ұзындығы sK=0,878_h_, ал сурет үшін.35не β=0,699. салыстырғанда иілу күші төмендеді2,046:1,297топсалы екінші өрістің қосылуына байланысты. Егер басқа өріс жоғарырақ қысылса, иілу күші қайтадан шыңға дейін артады.2,04_PE_.
Формулалардың бұл тарихи көрсетілімі жоба немесе құрылым тұрақтылығының дәлелі емес. Идеал түзу мүшенің, центрлік жүктеменің және серпімді ауданның классикалық болжамдары міндетті түрде бастапқы кемшіліктерді, қалдық кернеулерді, эксцентристіктерді, қосылыстардың қаттылығын, материалдың сызықты еместігін, бүйірлік тұрақтылықты, сондай-ақ қолданылған кезде өрт, сейсмикалық әрекетті және құрастыру фазаларын қамтымайды. Нақты құрылымды есептеуді қолданыстағы ережелер мен стандарттарға сәйкес уәкілетті құрылысшы жүргізуі керек.