Oghje, Savo Kusić hè focu annantu à finestre di legnu, finestre di legnu-aluminiu, finestri persunalizati, porta è richieste di quotazione. Stu testu ferma cum’è un archiviu di a teoria strutturale è ùn hè micca una offerta di design staticu, calculi di stabilità o riabilitazione strutturale.
Equazione differenziale di flessione in curvatura
Si assume chì tutte l’idealizazione sò soddisfatte, in particulare
- chì u bastone hè perfettamente drittu
- chì a carica P agisce in l’arbulu di a verga
- chì a tensione resta sottu à u limitu di proporzionalità
- chì i deformazioni sò abbastanza chjuchi per permette e simplifiche di solitu di i calculi.
Se a verga si piega sottu à l’azzione di a forza P è forsi ancu per a carica q chì agisce in a direzzione trasversale, allora e cundizioni cunnisciute di equilibriu trà e carichi esterni è e forze in a seccione deve esse soddisfatte. Inoltre, hè naturali chì ci deve esse cunnisciuta relazioni trà deformazioni è forze in a rùbbrica.
Fig. 1 - Balance
In fig.1hè rapprisintatu un elementu di un bastone curvatu di lunghezza ds. A pendenza di a tangente v’ hè chjuca cusì chì finu à u sicondu ordine, a lunghezza di l’elementu pò esse uguali à a prughjezzione ds=dz. Inoltre, in i testi citati quì sottu, i casi in quale P cambia constantemente longu l’assi di u bastone ùn saranu micca cunsiderati, vale à dì a forza nurmale N≈P=const. In i trè cundizioni di equilibriu dispunibuli per l’elementu, un certu numaru di membri pò esse trascurati. Per marcature è segni da fig.10resta tandu in a prima approssimazione di l’equazioni
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
A forza trasversali pò esse eliminata, è dopu M’‘=Pv’’-q mantene. A lege di Bernoulli M=-EI/R furnisce l’equazione mancante. A curva di l’assi di u bastone, cum’è di solitu, da a teoria di a curvatura di u fasciu, hè simplificata cusì
Hè cusì pussibule di eliminà u mumentu di curvatura; et avec M=-EI*v’’ l’équation différentielle pour la tige pliée
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
In u casu particulari di rigidità a flessione constante EI=const. l’equazioni (1) hè simplificata, cusì hè
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) è (1a) sò lineari in v secondu e simplificazioni citate.
Pràticamente, u casu più simplice di rigidità di curvatura constante EI=const. hè particularmente impurtante, chì serve com’è a basa per l’esempii sottu.
U casu di Euler
L’assunzioni per u casu classicu di buckling sò, fora di l’idealizazione citate: p=0, cusì N=const.=P, è ancu una rigidità constante senza attritu, chì si trovanu esattamente nantu à l’assi di l’asta. L’equazione differenziale ordinaria (1a) hè di quartu ordine, lineare è omogenea per via di q=0. A suluzione generale hè:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
induve A, B, C, D sò i quattru custanti di integrazione. U paràmetru hè di dimensione finita per via di l’assunzione EI≠0. Inoltre, α≠0 per P>0.
Fig. 2
Siccomu l’equazioni differenziali lineari (1a) hè omogenea, stu prublema hè ancu risolta da n_∙__v(z)_, induve n hè una constante arbitraria. Dighjà da a classificazione matematica di l’equazioni differenziali (1a) si pò vede chì a magnitudine di curvatura v ùn pò esse determinata. Per determinà e custanti d’integrazione A, B, C, D in u casu Euler\ (fig. 2) sò dispunibuli i seguenti cundizioni di cuntorni: A causa di u supportu articulatu, u mumentu di curvatura hè zero à i dui estremità di a barra, i.e.
v=0 è M=0 per z=0
v=0 è M=0 per z=s.
A causa di M=-EI_∙__v’‘_, segue chì M=0 hè u valore di v’’=0, cusì e quattru cundizioni di cuntorni leghje:
v=0 è v’’=0 per z=0
v=0 è v’’=0 per z=s.
A suluzione (2) risulta dunque in quattru equazioni lineari:
Unu.3
Queste quattru equazioni omogenee anu a prima suluzione chjamata A=B=C=D=0, chì currisponde à v(z)=0. L’asta incurvata v_(z_)=0 hè a pusizione di equilibriu abituale per i valori arbitrarii, in particulare i picculi di carica P. Quì, ci interessa principalmente in e cundizioni in quale a barra si piega, vale à dì chì v(z)≠0. L’equazioni (3) ùn anu micca una suluzione cusì triviale cù A, B, C, D ≠ 0 solu se u determinante di u coefficient hè uguali à zero.
Unu. 3a
Da e condizioni di flambamento Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog per calculà i valori critichi PK di a carica. Cette équation n’est satisfaite que si sin αs =0, vale à dì per αKms = mπ cù m=1,2,3,… I valori currispundenti di a forza di deformazione di Euler sò PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Per ogni valore di m, hè ottenuta una certa forza di deformazione. In a maiò parte di i casi, solu u più chjucu di sti forze hè di interessu, è questu
PK1=EI(π/s)2.
In a versione seguente, ci sarà un indice m, o 1 soprattuttu omessi, riferite à a più bassa di e carichi critichi. Interessante hè a linea elastica currispundente. Da una (2) custanti B=C=D=0 sò ottenute. A cundizione restante hè A∙sin__αs=0. La ligne de flambage élastique pour le cas ci-dessus m=1 est donc v(z) = A_∙sinπz/s_, où v(z) est pour αK resp. PK autofunzione currispundente. A magnitudine di A resta indeterminata.
Fighjemu un altru sguardu à tutta l’area di carica. Per i valori arbitrarii di P, in particulare per e forze P_<_PK1 hè v(z)=0, a barra ferma dritta.
Per “aumentà gradualmente” a carica P hè intesa in a teoria classica di a stabilità una serie successiva di dimensioni P, induve a stabilità di u casu di carica osservatu serà pruvata una volta è volta per ogni livellu individuale di carica P. Durante a prova di stabilità, a dimensione di P ferma certamente invariata. Se un statu P hè determinatu à esse stabile, allura a carica hè aumentata da qualcosa, è per quessa a prova di stabilità hè ripetuta. Sta determinazione precisa hè necessariu per chì ùn ci hè micca cunfusione cù u tipu di carica, chì hè a basa per l’effettu Shanley, in quale ci hè un aumentu di a carica mentre chì i picculi disturbi agiscenu à u stessu tempu. Quandu esaminendu a stabilità secondu Shanley, in l’area di u buckling plasticu, si verifica una forza di bifurcazione più chjuca chè cù u metudu classicu di cunsiderazione.
E seguenti considerazioni assumenu a prima manera di aumentà a carica: Cù un aumentu graduali di a carica P in questu sensu, PK hè righjuntu.1=EI_∙(π/s)_2prima à un puntu di bifurcazione unicu di equilibriu elasticu, cù una linea sinusoidale simplice cum’è a linea di buckling elastica
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A denota l’amplitude indeterminata di a linea elastica. Per carichi _P*__>_PK1 hè secondu a teoria linearizzata Δ≠0, chì hè equilibriu ùn hè micca pussibule quì. Solu per forze di deformazione più elevate PK2 etc. serà Δ= di novu0è cusì ancu v(z)≠0. A causa di sta cunclusione teorica, chì ùn currisponde micca à u cumpurtamentu propiu, si trova in a linearizazione di l’equazioni differenziali.
Buckling di verghe pressate cumpostu da duie parti
Ci limitemu à i bastoni pressati in dui parti, è per i bastoni pressati cumposti da trè o più parti, si applicanu relazioni simili.
Sl.3
Sicondu u tipu di cunnessione trasversale, i bastoni di lattice sò diffirenti (fig.3a) e barre di telaio (fig.3e). Sans traverse, chaque partie de la tige se plierait d’elle-même (fig.3b). Se u riempimentu hè relativamente debule, allora una sola verga di cinturione pò piegà senza piegà u bastone in tuttu. Per a verga di lattice fig.3c pò esse paragunatu: manca per sistema di cerniere, ghjustu per cinture cuntinui; è per u bastone di tela fig.3f à manca per i fogli di cunnessione soft, à a diritta per i fogli di cunnessione rigida. Da quì, si pò vede chì a slimness λ_ hè di grande influenza1__=s1/i1_. Per a parte individuale di u bastone, I hè stata postu1=F1_∙_i12, s1 hè a spaziatura di i campi (Fig.3), i1 si riferisce à l’assi1-1(vede Fig.4).
Sl.4
A forza di buckling di verghe cumposti currisponde à e linee elastiche di buckling di fig. 3d, o 3g era u sughjettu di investigazioni teorichi exhaustive. Si la tige était composée de sections uniques (par exemple avec une nervure) ou si les connexions transversales étaient si fréquentes qu’une tige pliée à partir de deux parties ne diffère pas dans son effet d’une seule tige, alors elle serait σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Quì si denota λ__y=sK/iy (fig. 4). In ogni casu, stu stress di buckling ùn serà micca cumplettamente righjuntu in pratica perchè ùn ci sò micca abbastanza cunnessione trasversali per quessa, è sò ancu elastici. Un’approssimazione chì satisface in a maiò parte di i casi hè ottenuta s’ellu si mette secondu a pruposta F. Engesser\a chì u sforzu di flessione di una barra pressata cumpostu di duie parti hè uguale
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi è la cosiddetta sveltezza ideale.
I ligami incruciati deve esse abbastanza in numeru è abbastanza forte per furzà e duie parti di u bastone à agisce inseme. Escludendu e tensioni secondarie, i ligami trasversali ùn restanu micca stressati finu à chì u bastone resta drittu. Hè solu cù a curvatura chì anu da riceve e forze, è anu da trasmette e forze trasversali chì aumentanu cù a curvatura. In casu hè una linea elastica
forza trasversale à I=const. hè uguale
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Cù fig. 5 m pò esse leghje immediatamente Q(z)=PK∙v’(z). U valore più altu à a fine di u bastone hè
Sl.5
I cunnessi trasversali devenu esse capaci di accoglie sta forza trasversale. Siccomu a carica currispondente hè a forza di buckling PK, hè abbastanza chì u limitu di carica hè righjuntu per questu ancu in e cunnessione trasversali - vale à dì simultaneamente cù tutta a barra. Ovviamente, ùn ci saria micca benefiziu se i ligami incruciati eranu dimensionati assai più forti di ciò chì hè necessariu per riceve Q0. Per d ’altra banda, i ligami incruciati chì sò troppu debbuli pruvucanu u bastone per fallu prematuremente.
L’equazione sopra ùn pò esse usata inizialmente perchè a magnitudine di a freccia di buckling hè scunnisciuta. U bastone hè in equilibriu indifferente sottu PK è pò, almenu in u primu gradu di apprussimazione, piglià un valore arbitrariu. Hè dunque utile, secondu a pruposta di F. Krohn-a, per determinà a magnitudine di quellu buckling maxv à quale a barra piegata perde a so capacità portante per fallimentu dovutu à a curvatura. Questu hè certamente accadutu se u puntu di cedimentu hè righjuntu nantu à u latu cuncavu di a curva (Fig.6). E curve per questu crescenu più è i momenti di curvatura currispundenti ùn ponu micca esse appiicati.
Fig. 6
U stress tutale nantu à u latu cuncavu di a curva hè secondu a fig.6per u materiale plasticu ideale
Da quì vene u più grande spavalda chì pò ancu esse suppurtatu
maxQ0 hè a forza trasversale currispundente à l’estremità di u bastone.
Se usatu per a forma di σK Tetmeier\ è mette σF=3,1t/cm2è sK=e/2∙ λy qui correspond à iy≈e/2, allura u valore apprussimativu di Krohn di maxQ hè ottenutu0=F/28(Q in t, F in cm2).
Per linee arbitrarie si ottiene la tensione di deformazione
maxQ0=μK∙SK.
U coefficient μK cambia cù a slenderness di u bastone, dipende ancu da u materiale. Quandu l’equazioni di sopra hè divisa da u coefficient di sicurità contru à u buckling pò esse scrittu
dozv__Q=μ∙dozvS.
Buckling di sistemi lineari
Dans le cas des systèmes linéaires, il est fréquent de déterminer la longueur de flexion sK=β∙h d’une tige articulée aux deux extrémités et dont la force de flexion est PK=π à titre de comparaison.2EI/s2K cum’è grande. Una “lunghezza di buckling” comparativa serà datu per l’esempii sottu.
a) Asta serrata a entrambe le estremità (EI=const.)
Sl.7
Per u casu di fig.7di deformazione hè PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, comparative “longueur de flambage” sK=h/2è a linea elastica di flambamentu v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Canna libera da una estremità (fig.8)
Sl. 8
Si assume chì a direzzione di P ùn cambia micca cum’è u bastone si curva. Allora (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
E cundizioni di cuntorni per a fine libera z=h quì leghje
M=0 o v’’=0
Q=M’-Pv’=0 o v’’’+a2∙v’=0.
c) Asta serrata à una estremità (fig. 9)
Sl.9
Cù cundizioni di cuntorni
v=0 è v’=0 per z=0
v=0 è v’’=0 per z=h
hè ottenutu per EI=const. cundizione d’inclinazione
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
o equivalente
tgαh=αh. (4)
I radichi di sta equazione trascendentale si trovanu in i tavule K. Hayashi's. A forza di buckling più bassu hè sicondu i tavule PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
A lunghezza comparativa di flambamentu hè sK = h / √2,046=0,699h.
d) Una verga serrata à una estremità cù un disordine (fig.10)
Fig. 10
Avemu da cunsiderà u casu di spustamentu di punta di dimensione constante. E cundizioni di cuntorni per questu sò
v=0è v’=0 per z=0,
v=v1è v’’=0 per z=h.
Hè un prublema di equilibriu cù una linea elastica
U denominatore di u termu prima di i {}-parentesi serà zero è u flambamentu aumenta sopra tutti i limiti se P→PK (vede a cundizione di flambamentu Eq.4)). Hè caratteristicu di u cumpurtamentu di u bastone chì e curve in l’estremità media è bassa di u bastone sò inizialmente più chjuchi cù a carica crescente P è cambianu u so signu solu per carichi più altu. Sl.10mostra curve à meza altezza.
e) Bâton continu à travers deux champs
Sl.11
Per entrambe le zone di soluzione (fig.11) applicheremu u paràmetru
E_. v (z1) = A1∙sinαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v (z2) = A2∙sinαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Per simplicità lasciate esse (EI)1=(EI)2=EI. Per truvà l’ottu custanti A1, …, A2, … serve cum’è cundizioni di cuntorni
v=0 è v’=0 per z1=0,
v=0 è v’’=0 per z2=h,
in quantu à e cundizioni di transizione trà e zone I è II
v=0 per z1=h è per z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Equazioni cundiziunali sò datu in a tavula sottu
Settendu chì u determinante di u coefficientu hè uguali à cero, a cundizione di buckling hè ottenuta
Lunghezza di curvatura sK=0,878_h_, mentre per a fig. 35 o β=0,699. A forza di deformazione hè diminuita cumparatu cù 2,046 : 1,297 per via di l’aghjunzione di un secondu campu chì hè incernieratu. Se l’altru campu era pinzatu più altu, allora a forza di buckling aumenterebbe torna à u piccu. 2,04 PE.
Questa presentazione storica di e formule ùn hè micca un prughjettu o una prova di a stabilità di a struttura. L’assunzioni classiche di u membru drittu ideale, a carica centrica è l’area elastica ùn includenu micca necessariamente imperfezioni iniziali, stress residuali, eccentricità, rigidità di cunnessione, non-linearità di materiale, stabilità laterale nè, quandu applicabile, u focu, l’azzione sismica è e fasi di assemblea. U calculu di a struttura attuale deve esse fattu da un ingegnere civile autorizatu in cunfurmità cù regulamenti è standard validi.