झुकाउने बकलिंग

सम्बन्धित जानकारी: तपाईंको परियोजना अनुसार बनेको काठको झ्यालहरू। · मेड-टु-अर्डर काठ-आल्मुनियम विन्डो। · घरहरू, परियोजनाहरू र निर्यातका लागि अनुकूलन विन्डोज। · मेड-टू-अर्डर काठ र काठ-आल्मुनियम ढोका। · उद्धरण अनुरोध पठाउनुहोस्।

झुकाउने बकलिंगको भिन्न समीकरण

यो मानिन्छ कि सबै आदर्शीकरणहरू सन्तुष्ट छन्, विशेष गरी

• कि रड एकदम सीधा छ
• कि लोड P रडको शाफ्टमा कार्य गर्दछ
• कि भोल्टेजहरू समानुपातिकताको सीमा भन्दा तल रहन्छ
• विकृतिहरू गणनाको सामान्य सरलीकरणहरूलाई अनुमति दिन पर्याप्त सानो छन्।

यदि रड बल P को कार्य अन्तर्गत झुक्छ र सायद लोड q ट्रान्सभर्स दिशामा कार्य गर्ने कारणले गर्दा, तब बाहिरी भारहरू र खण्डमा बलहरू बीचको सन्तुलनको ज्ञात अवस्थाहरू सन्तुष्ट हुनुपर्छ। यसबाहेक, यो खण्डमा विकृति र शक्तिहरू बीच ज्ञात सम्बन्ध हुनु स्वाभाविक हो।

क्र. 1 - ब्यालेन्स

अंजीर मा।1लम्बाइ ds को बेन्ट रड तत्व प्रस्तुत गरिएको छ। v’ ट्यान्जेन्टको ढलान सानो छ त्यसैले दोस्रो क्रम सम्म, तत्वको लम्बाइ प्रक्षेपण ds=dz बराबर हुन सेट गर्न सकिन्छ। थप रूपमा, तल उल्लेख गरिएका परीक्षणहरूमा, P लगातार रडको अक्षमा परिवर्तन हुने अवस्थाहरूलाई ध्यानमा राखिने छैन, अर्थात् सामान्य बल N≈P=const। तत्वको लागि उपलब्ध तीन सन्तुलन अवस्थाहरूमा, सदस्यहरूको निश्चित संख्यालाई बेवास्ता गर्न सकिन्छ। फिगबाट चिन्हहरू र चिन्हहरूको लागि।10त्यसपछि समीकरणको पहिलो अनुमानमा रहनुहोस्

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’।

ट्रान्सभर्स बल हटाउन सकिन्छ, र त्यसपछि M’‘=Pv’’-q होल्ड गर्दछ। Bernoulli's Law M=-EI/R छुटेको समीकरण प्रदान गर्दछ। रडको अक्षको वक्र, सामान्य रूपमा, किरण झुकाउने सिद्धान्तबाट, निम्नानुसार सरलीकृत गरिएको छ

यो झुकाउने क्षण हटाउन सम्भव छ; र M=-EI*v’’ सँग बेन्ट रड

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q।   (1)

स्थिर झुकाउने कठोरताको विशेष अवस्थामा EI=const। समीकरण (1) सरलीकृत छ, त्यसैले यो

EIv’‘’’ + Pv’’ = q।   (1a)

Eq। (1) र (1a) उल्लेखित सरलीकरण अनुसार v मा रेखीय छन्।

व्यावहारिक रूपमा, स्थिर झुकाउने कठोरताको सरल अवस्था EI=const। विशेष गरी महत्त्वपूर्ण छ, जसले तलका उदाहरणहरूको आधारको रूपमा काम गर्दछ।

Euler’s case

बकलिंगको शास्त्रीय केसका लागि अनुमानहरू, उल्लेखित आदर्शीकरणहरू बाहेक: p=0, त्यसैले N=const.=P, साथै घर्षण बिना स्थिर कठोरता, जुन रडको अक्षमा ठ्याक्कै हुन्छ। साधारण विभेदक समीकरण (1a) चौथो क्रम, q=0 को कारणले रैखिक र समरूप हुन्छ। सामान्य समाधान हो:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

जहाँ A, B, C, D चार एकीकरण स्थिरांकहरू हुन्। मापदण्ड EI≠0 को कारणले परिमित आकारको छ। यसबाहेक, P>0 को लागि α≠0।

क्र.2

रैखिक भिन्नता समीकरण (1a) समरूप भएकोले, यो समस्या n_∙_v(z) द्वारा पनि हल हुन्छ, जहाँ n एक स्वेच्छाचारी स्थिरता हो। विभेदक समीकरण (1a) को गणितीय वर्गीकरणबाट पहिले नै यो देख्न सकिन्छ कि झुकाउने v को परिमाण निर्धारण गर्न सकिँदैन। Euler\ मामला (fig. 2) मा एकीकरण स्थिरांक A, B, C, D निर्धारण गर्न निम्न समोच्च अवस्थाहरू उपलब्ध छन्: अभिव्यक्त समर्थनको कारण, झुकाउने क्षण रडको दुबै छेउमा शून्य छ, अर्थात्।

v=0 र M=0 को लागि z=0

z=s को लागि v=0 र M=0।

M=-EI_∙_v’‘ को कारणले, यसले निम्नानुसार M=0 v’’=0 को मान हो, त्यसैले चार समोच्च अवस्थाहरू पढ्छन्:

v=0 र v’=0 को लागि z=0

v=0 र v’=0 z=s को लागि।

समाधान (2) यसरी चार रेखीय समीकरणहरूमा परिणाम दिन्छ:

एक।3

यी चार समान समीकरणहरूमा पहिलो तथाकथित तुच्छ समाधान A=B=C=D=0 छ, जुन v(z)=0 सँग मेल खान्छ। अनबेन्ट रड v_(z_)=0 मनमानी, विशेष गरी लोड P को सानो मानहरूको लागि सामान्य सन्तुलन स्थिति हो। यहाँ, हामी मुख्यतया ती अवस्थाहरूमा रुचि राख्छौं जसमा रड झुक्छ, अर्थात् त्यो v(z)≠0। समीकरणहरू (3) मा A, B, C, D ≠ 0 को साथमा त्यस्तो तुच्छ समाधान हुँदैन यदि गुणांकको निर्धारक शून्य बराबर हुन्छ।

एक। 3a

बकलिंग अवस्थाहरूबाट Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m हामी लोडको महत्वपूर्ण मानहरू PK गणना गर्न सक्छौं। यो समीकरण तब मात्र सन्तुष्ट हुन्छ यदि sin αs = 0, अर्थात् αKms = mπ को लागि m=1,2,3,… Euler's buckling force को सम्बन्धित मानहरू PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2। m को प्रत्येक मानको लागि, एक निश्चित बकलिंग बल प्राप्त हुन्छ। धेरैजसो अवस्थामा, यी शक्तिहरूमध्ये सबैभन्दा सानो मात्र चासोको हुन्छ, र त्यो

PK1=EI(π/s)2।

निम्न संस्करणमा, त्यहाँ एक अनुक्रमणिका m हुनेछ, वा 1 धेरै जसो मेटाइनेछ, सबैभन्दा कम महत्वपूर्ण भारहरूलाई जनाउँदै। चासो सम्बन्धित लोचदार रेखा हो। एउटाबाट (2) स्थिरांकहरू B=C=D=0 प्राप्त हुन्छन्। बाँकी अवस्था A∙sin__αs=0 हो। माथिको केस m=1 को लागि लोचदार बकलिंग लाइन, त्यसैले, v(z) = A_∙sinπz/s_, जहाँ v(z) αK resp को लागि हो। PK संगत eigenfunction। A को परिमाण अनिश्चित रहन्छ।

पूरै लोड क्षेत्रमा अर्को नजर राखौं। P को मनमानी मानहरूको लागि, विशेष गरी बलहरू P_<_PK1 को लागि v(z)=0, रड सीधा रहन्छ।

स्थिरताको शास्त्रीय सिद्धान्तमा, “बिस्तारै बढ्दै” लोड P को अर्थ मानहरूको लगातार श्रृंखला हो P, जहाँ अवलोकन गरिएको लोड केसको स्थिरता लोडको प्रत्येक व्यक्तिगत स्तरको लागि बारम्बार परीक्षण गरिनेछ P। स्थिरता परीक्षणको समयमा, P को आकार निश्चित रूपमा अपरिवर्तित रहन्छ। यदि एक राज्य P स्थिर हुन निर्धारित छ, त्यसपछि लोड केहि द्वारा बढेको छ, र त्यसैले स्थिरता परीक्षण दोहोर्याइएको छ। यो सही निर्धारण आवश्यक छ ताकि लोडको प्रकारसँग कुनै भ्रम नहोस्, जुन Shanley\ प्रभावको आधार हो, जसमा लोडमा वृद्धि हुन्छ जबकि साना गडबडीहरू एकै समयमा कार्य गर्दैछन्। Shanley\ अनुसार स्थिरता जाँच गर्दा, प्लास्टिक बकलिंगको क्षेत्रमा, विचारको शास्त्रीय विधिको तुलनामा सानो विभाजन बल हुन्छ।

निम्न विचारहरूले लोड बृद्धिको पहिलो तरिका मान्छन्: लोडको क्रमिक वृद्धिमा P यस अर्थमा, एक PK1=EI_∙(π/s)_2 को लागि पहिलो पटक आइपुग्छ, लोचदार रेखाको रूपमा लोचदार रेखाको एक द्विविभाजन बिन्दुमा। रेखा

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A ले लोचदार रेखाको अनिर्धारित आयामलाई जनाउँछ। लोडका लागि _P*__>_PK1 रेखीय सिद्धान्त Δ≠0 अनुसार हो, अर्थात् त्यहाँ ब्यालेन्स सम्भव छैन। केवल उच्च बकलिंग बलहरू PK2 आदिका लागि। यो फेरि Δ=0 ​​हुनेछ र यसरी v(z)≠0 पनि हुनेछ। यस सैद्धान्तिक निष्कर्षको कारण, जुन वास्तविक व्यवहारसँग मेल खाँदैन, भिन्नता समीकरणको रेखीयकरणमा निहित छ।

दुई भाग मिलेर बनेको थिचिएको रडको बकलिंग

हामी आफैंलाई दुई-भाग थिचिएको स्टिकहरूमा सीमित गर्छौं, र तीन वा बढी भागहरू मिलेर थिचिएको स्टिकहरूको लागि, समान अनुपात लागू हुन्छ।

क्र.3

ट्रान्सभर्स जडानको प्रकार अनुसार, जाली रडहरू फरक हुन्छन् (चित्र।3क) र फ्रेम रडहरू (चित्र।3e) क्रस टाई बिना, लट्ठीको प्रत्येक भाग आफैं झुक्नेछ (चित्र।3b) यदि फिलिंग अपेक्षाकृत कमजोर छ भने, एकल बेल्ट रडलाई सम्पूर्ण रूपमा रडलाई झुकाउन बिना झुकाउन सक्छ। जाली रड फिगको लागि।3c तुलना गर्न सकिन्छ: hinged प्रणाली को लागी बायाँ, निरन्तर बेल्ट को लागी दायाँ; र फ्रेम रड फिग को लागी।3f नरम जडान पानाहरूको लागि बाँयामा, कठोर जडान पानाहरूको लागि दायाँमा। त्यहाँबाट, यो देख्न सकिन्छ कि स्लिमनेस λ ठूलो प्रभाव छ1__=s1/i1_। रडको व्यक्तिगत भागको लागि, I राखिएको थियो1=F1_∙_i12, s1 फिल्ड स्पेसिङ हो (चित्र।3), i1 अक्षलाई जनाउँछ1-1(चित्र हेर्नुहोस्।4)।

क्र.4

फिगको लोचदार बकलिंग लाइनहरूसँग मिल्दोजुल्दो कम्पाउन्ड रडहरूको बकलिंग बल। 3d, वा 3g विस्तृत सैद्धान्तिक अनुसन्धानको विषय थियो। यदि रड अद्वितीय खण्डहरू (जस्तै रिबको साथ) मिलेर बनेको थियो वा यदि ट्रान्सभर्स जडानहरू यति बारम्बार थिए कि दुई भागबाट झुकेको रड एकल रडबाट यसको प्रभावमा भिन्न हुँदैन, तब यो σ__K=__π__2__E/λ__y__2. त्यहाँ यसले λ__y=sK/iy (fig. 4) लाई जनाउँछ। यद्यपि, यो बकलिंग तनाव अभ्यासमा पूर्ण रूपमा पुग्न सक्दैन किनभने त्यहाँ यसको लागि पर्याप्त ट्रान्सभर्स जडानहरू छैनन्, र तिनीहरू पनि लोचदार छन्। यदि हामीले प्रस्ताव F अनुसार राख्यौं भने प्रायजसो अवस्थामा सन्तुष्ट हुने अनुमान प्राप्त हुन्छ। Engesser\a दुई ​​भाग मिलेर बनेको थिचिएको रडको झुकाउने तनाव बराबर हुन्छ

σ__K=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi तथाकथित आदर्श पातलोपन हो।

क्रस सम्बन्धहरू संख्यामा पर्याप्त र बलियो हुनुपर्दछ रडका दुवै भागहरूलाई सँगै काम गर्न बलियो बनाउन। माध्यमिक तनावहरू बाहेक, ट्रान्सभर्स लिङ्कहरू तनावमुक्त रहन्छ जबसम्म रड सीधा रहन्छ। यो झुक्दा मात्र हो कि तिनीहरूले बलहरू प्राप्त गर्नुपर्दछ, र तिनीहरूले ट्रान्सभर्स फोर्सहरू प्रसारण गर्नुपर्दछ जुन झुक्दा बढ्छ। यदि यो एक लोचदार रेखा हो भने

I=const मा अनुप्रस्थ बल। बराबर छ

Q = M’ = - EI∙v’‘’।

अंजीर संग। 5 m तुरुन्तै पढ्न सकिन्छ Q(z)=PK∙v’(z)। रडको अन्त्यमा उच्चतम मूल्य हो

क्र.5

ट्रान्सभर्स जडानहरू यो ट्रान्सभर्स बल समायोजन गर्न सक्षम हुनुपर्छ। संगत लोड बकलिंग बल PK भएको हुनाले, ट्रान्सभर्स जडानहरूमा पनि लोड-असरको सीमा पुग्यो भने यो पर्याप्त हुन्छ - अर्थात् सम्पूर्ण रडको साथमा। स्पष्ट रूपमा, यदि क्रस-लिङ्कहरू Q0 प्राप्त गर्न आवश्यक भन्दा धेरै बलियो आकारको भएमा यो कुनै कामको हुनेछैन। अर्कोतर्फ, क्रस-लिङ्कहरू जुन धेरै कमजोर छन्, रडलाई समयभन्दा पहिले नै असफल हुने गर्दछ।

माथिको समीकरण सुरुमा प्रयोग गर्न सकिँदैन किनभने बकलिंग एरोको परिमाण अज्ञात छ। रड PK अन्तर्गत उदासीन सन्तुलनमा छ र कम्तिमा पनि अनुमानको पहिलो डिग्रीमा, स्वेच्छाचारी मान लिन सक्छ। F को प्रस्ताव अनुसार यो उपयोगी छ। Krohn-a, त्यो बकलिंग maxv को परिमाण निर्धारण गर्न जसमा झुकेको रडले झुकेको कारणले असफलताको कारणले यसको असर क्षमता गुमाउँछ। यो निश्चित रूपमा देखा पर्नेछ यदि उपज बिन्दु बेन्डको अवतल छेउमा पुग्यो (चित्र।6)। यसका लागि झुण्डहरू अझ बढ्छन् र सम्बन्धित झुकाउने क्षणहरू लागू गर्न सकिँदैन।

चित्र। 6

बेन्डको अवतल पक्षमा कुल तनाव फिग अनुसार छ।6आदर्श प्लास्टिक सामग्रीको लागि

त्यहाँबाट सबैभन्दा ठूलो स्वैगर आउँछ जुन अझै पनि सहन सकिन्छ

maxQ0 रडको छेउमा रहेको अनुप्रस्थ बल हो।

यदि σK Tetmeier's form को लागि प्रयोग गरियो र σF= राख्नुहोस्3,1t/cm2र sK=e/2∙ λy जुन iy≈e/ सँग मेल खान्छ2, त्यसपछि Krohn\ को maxQ को अनुमानित मान प्राप्त हुन्छ0=F/28(Q in t, F cm मा2)।

मनमानी रेखाहरूको लागि बकलिंग तनाव प्राप्त हुन्छ

maxQ0=μK∙SK.

गुणांक μK रडको पातलोपनको साथ परिवर्तन हुन्छ, यो सामग्रीमा पनि निर्भर गर्दछ। माथिको समीकरणलाई बकलिंग बिरूद्ध सुरक्षाको गुणांकले विभाजन गर्दा यो लेख्न सकिन्छ

dozv__Q=μ∙dozvS.

रैखिक प्रणालीहरूको बकलिंग

रैखिक प्रणालीहरूको मामलामा, तुलनाको लागि PK=π छ र दुबै छेउमा अड्किएको रडको झुकाउने लम्बाइ sK=β∙h निर्धारण गर्न सामान्य छ।2EI/s2K जत्तिकै ठूलो। तलका उदाहरणहरूको लागि तुलनात्मक “बकलिंग लम्बाइ” दिइनेछ।

a) रड दुबै छेउमा क्ल्याम्प गरिएको (EI=const.)

क्र.7

अंजीर को मामला को लागी।7बकलिंग को PK= हो4π2EI/h2=4,0∙PE, तुलनात्मक “बकलिंग लम्बाइ” sK=h/2र लोचदार बकलिंग रेखा v(z)=D(1- कारण2πz/h)।

ख) एक छेउमा रड फ्री (चित्र।8)

क्र. 8

यो मानिन्छ कि रड झुक्दा P को दिशा परिवर्तन हुँदैन। त्यसपछि (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h)।

नि:शुल्क अन्त्य z=h को लागि समोच्च सर्तहरू यहाँ छन्

M=0 वा v’’=0

Q=M’-Pv’=0 वा v’’+a2∙v’=0।

c) एउटा छेउमा टाँसिएको छ (चित्र 9)

क्र.9

समोच्च अवस्था संग

v=0 र v’=0 को लागि z=0

v=0 र v’=0 को लागि z=h

EI=const को लागि प्राप्त हुन्छ। बकलिंग अवस्था

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

वा बराबर

tgαh=αh।   (4)

यस ट्रान्सेन्डेन्टल समीकरणको जरा तालिका _K मा पाइन्छ। हयाशी_को। सबैभन्दा कम बकलिंग बल तालिका अनुसार हो PK1=4,49342/ घन्टा2∙ EI =2,046π2EI/h2।

तुलनात्मक बकलिंग लम्बाइ sK = h / √ हो2,046=0,699h.

घ) एक छेउमा एक अव्यवस्थाको साथ बाँधिएको रड (चित्र।10)

चित्र। 10

हामी स्थिर आकारको टिप विस्थापनको मामलालाई विचार गर्नेछौं। यसको लागि समोच्च अवस्थाहरू छन्

v=0र v’=0 z=का लागि0,

v=v1र v’’=0_z=h को लागि।

यो एक लोचदार रेखा संग एक सन्तुलन समस्या हो

(4))। यो रडको व्यवहारको विशेषता हो कि रडको बीचमा र तल्लो छेउमा झुण्डहरू सुरुमा बढ्दो लोड P संग सानो हुन्छन् र उच्च भारको लागि मात्र तिनीहरूको चिन्ह परिवर्तन गर्दछ। क्र.10आधा उचाइमा झुण्डिएको देखाउँछ।

e) दुई क्षेत्रहरूमा निरन्तर स्टिक

क्र.11

दुबै समाधान क्षेत्रहरूको लागि (चित्र।11) हामी सेटिङ लागू गर्नेछौं

र_। v(z1) = ए1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ सी1∙z1+ डी1,_

II। v(z2) = ए2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ सी2∙z2+ डी2.

सरलताको लागि यो हुन दिनुहोस् (EI)1=(EI)2=EI। आठ स्थिरांक पत्ता लगाउन A1, …, A2, … समोच्च अवस्थाको रूपमा सेवा गर्नुहोस्

_v=0र v’=0_का लागि z1=0,

_v=0र v’’=0_का लागि _z2= घन्टा, _

साथै क्षेत्र I र II बीचको संक्रमणकालीन अवस्थाहरू

_v=0_का लागि z1=h i for z2=0,

v’’ (z1=h)=v’(z2=0),

_v’’ (z1=h)=v’’(z2=0) _

सशर्त समीकरणहरू तलको तालिकामा दिइएको छ

गुणांकको निर्धारक शून्य बराबर सेट गरेर, बकलिंग अवस्था प्राप्त हुन्छ

झुकाउने लम्बाइ sK=0,878_h_, जबकि अंजीरको लागि।35या त β=0,699। बकलिंग बलको तुलनामा कम भयो2,046:1,297दोस्रो फिल्ड जोडिएको कारणले गर्दा। यदि अर्को क्षेत्र माथि पिन्च गरिएको थियो भने, बकलिंग बल फेरि शिखरमा बढ्छ।2,04_PE_।

सूत्रहरूको यो ऐतिहासिक प्रस्तुति कुनै परियोजना वा संरचनाको स्थिरताको प्रमाण होइन। आदर्श सीधा सदस्य, केन्द्रित भार र लोचदार क्षेत्रको शास्त्रीय मान्यताहरूले प्रारम्भिक त्रुटिहरू, अवशिष्ट तनावहरू, विलक्षणता, जडान कठोरता, सामग्री गैर-रेखीयता, पार्श्व स्थिरता वा लागू हुँदा, आगो, भूकम्पीय कार्य र विधानसभा चरणहरू समावेश गर्दैनन्। वास्तविक संरचनाको गणना वैध नियम र मापदण्ड अनुसार एक अधिकृत सिभिल इन्जिनियर द्वारा गरिनु पर्छ।