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弯曲屈曲微分方程
假设所有理想化都满足，特别是
- 杆完全笔直
- 负载_P_作用在杆的轴上
- 电压保持低于比例限制
- 变形足够小，可以进行通常的简化计算。
如果杆在力 P 的作用下弯曲，并且可能还由于作用在横向方向上的载荷 q 弯曲，则必须满足外部载荷与截面中的力之间的已知平衡条件。除此之外，截面中的变形和力之间自然应该存在已知的关系。
图。 1 - 平衡
如图。 1 是长度为 ds 的弯曲杆元件。切线_v’_ 的斜率很小，因此直到二阶，单元的长度都可以设置为等于投影_ds=dz_。另外，在下面提到的测试中，将不考虑_P_沿杆的轴线不断变化的情况，即法向力_N_≈P=const。在该单元可用的三个平衡条件中，可以忽略一定数量的成员。对于图 1 中的标记和标志。 10 然后保持方程的第一个近似值
N=P， M’=Q， Q’=-q+Pv’’。
可消除横向力，则_M’‘_=Pv’’-_q_成立。伯努利定律 M=-EI/R 提供了缺失的方程。杆的轴线的曲线，像往常一样，根据梁弯曲理论，简化如下
因此可以消除弯矩；并用 M=-EI*v’’ 得到弯杆
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q。 (1)
在恒定弯曲刚度的特殊情况下_EI_=const。方程(1)被简化，所以它是
EIv’‘’’ + Pv’’ = q。 (1a)
方程。根据上述简化，(1) 和 (1a) 在 v 中是线性的。
实际上，恒定弯曲刚度的最简单情况_EI_=const。尤其重要，它是下面例子的基础。
欧拉案例
除了上述理想化之外，经典屈曲情况的假设为：p=0，因此 N=const.=P，以及无摩擦的恒定刚度，其恰好位于杆的轴线上。 由于 q=0，常微分方程 (1a) 是四阶、线性且齐次的。一般的解决方案是：
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
其中_A、B、C、D_是四个积分常数。由于假设 EI≠0，该参数的大小是有限的。此外，对于_P_>0，α≠0。
图2
由于线性微分方程 (1a) 是齐次的，因此该问题也可以通过 n_∙_v(z) 来求解，其中 n 是任意常数。从微分方程 (1a) 的数学分类可以看出，弯曲_v_的大小无法确定。 为了确定 Euler\ 情况下的积分常数 A、B、C、D（图 2），可以使用以下轮廓条件： 由于铰接支撑，杆两端的弯矩为零，即
v=0 和 M=0 对于 z=0
v=0 和 M=0 对于 z=s。
由于_M=-EI__∙__v’‘，所以_M=0是_v’’_=0的值，所以四个轮廓条件为：
v=0 和 v’’=0 对于 z=0
v=0 和 v’’=0 对于 z=s。
因此，解 (2) 产生四个线性方程：
一。 3
这四个齐次方程有第一个所谓的平凡解_A_=B=C=D=0，对应于_v_(z)=0。未弯曲的杆 v_(z_)=0 是任意负载 P 的通常平衡位置，尤其是小值负载 P。 在这里，我们主要感兴趣的是杆弯曲的条件，即 v(z)≠0。仅当系数的行列式等于 0 时，方程 (3) 才具有 A、B、C、D ≠ 0 的平凡解。
一。 3a
由屈曲条件_Δ_ = α4∙s∙sinαs = 0 m去计算载荷的临界值_PK_。仅当 sin αs = 0 时，即满足 αKms = mπ 且 m=1,2,3，… Euler\ 屈曲力的对应值为 PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2。 对于每个 m 值，都会获得一定的屈曲力。在大多数情况下，只有这些力量中最小的才值得关注，并且
PK1=EI(π/s)2。
在接下来的版本中，将会有一个索引m，或者说1大部分被省略，指的是临界负载中的最低值。 感兴趣的是相应的弹性线。从一个 (2) 个常数 B=C=D=0 获得。剩下的条件是_A_∙sin__αs=0。 因此，上述情况 m=1 的弹性屈曲线为 v(z) = A_∙sinπz/s_，其中 v(z) 分别对应于 αK。 _PK_对应的特征函数。 A 的大小仍未确定。
让我们再看一下整个装载区域。对于任意的 P 值，特别是对于力 P_<_PK1 为 v(z)=0，杆保持直。
在经典稳定性理论中，“逐渐增加”的负载_P_意味着一系列连续的值_P_，其中对于每个单独的负载_P_级别，将一次又一次地测试观察到的负载情况的稳定性。在稳定性测试过程中，_P_的大小当然保持不变。如果确定一种状态_P_是稳定的，则将负载增加一些，因此重复稳定性测试。 这种准确的确定是必要的，这样就不会与负载类型混淆，这是 Shanley\ 效应的基础，其中负载增加，同时产生小扰动。当根据 Shanley\ 检查稳定性时，在塑性屈曲区域，会出现比经典考虑方法更小的分叉力。
以下考虑假设采用第一种载荷增加方式：在这种意义上，载荷_P_逐渐增加时，首先在弹性平衡的一个分叉点到达_PK1=EI__∙(π/s)_2，用一条简单的正弦线作为弹性屈曲线
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s。
f=A 表示弹性线的未定振幅。 对于负载 _P*__>_PK1 根据线性化理论 Δ≠0，即那里不可能实现平衡。仅对于较高的屈曲力 PK2 等，它将再次 Δ=0 ，因此也 v(z)≠0。 造成这一理论结论与实际情况不符的原因在于微分方程的线性化。
由两部分组成的压杆的屈曲
我们仅限于由两部分组成的压制棒，对于由三个或更多部分组成的压制棒，适用类似的比例。
SL。 3
根据横向连接形式，可分为格子杆（图3a）和框架杆（图3e）。如果没有横梁，棍子的每个部分都会自行弯曲（图3b）。如果填充物相对较弱，则单个带杆可以弯曲，而无需使杆整体弯曲。对于格子棒图。 3c可以比较：左为铰链系统，右为连续带；对于框架杆，如图所示。左侧3f为软连接板，右侧为刚性连接板。 从这里可以看出，细长_λ__1__=s1/i1_影响很大。对于杆的各个部分，设置 I1=F1_∙_i12，s1 是场间距（图 3），i1 指的是轴1-1（见图4）。
图4
复合杆的屈曲力对应于图 2 的弹性屈曲线。 3d 或3g 是详尽的理论研究的主题。如果杆由独特的部分（例如带有肋）组成，或者如果横向连接如此频繁，以至于从两个部分弯曲的杆与单个杆的效果没有区别，那么它将是_σ__K__=π__2__E/λ__y__2。在那里它表示_λ__y=sK/iy（图4）。然而，在实践中，这种屈曲应力不会完全达到，因为没有足够的横向连接，而且它们也是弹性的。如果我们根据提议_F进行放置，则可以获得在大多数情况下满足的近似值。 Engesser_\a由两部分组成的压杆的弯曲应力相等
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi 就是所谓的理想细长度。
横拉杆的数量和强度必须足够，以迫使杆的两个部分一起作用。排除二次应力，只要杆保持笔直，横向连杆就保持无应力。只有在弯曲时它们才必须承受力，并且它们必须传递随着弯曲而增加的横向力。 如果是弹力线
I=const 处的横向力。是平等的
Q = M’ = - EI∙v’‘’。
与图。 5 m可以立即读取_Q(z)=PK∙v’(z)_。杆末端的最高值为
SL。 5
横向连接必须能够承受该横向力。由于相应的载荷是屈曲力_PK_，因此如果在横向连接中也达到了承载极限（即与整个杆同时），就足够了。显然，如果交叉链接的大小比接收 Q0 所需的强得多，则不会有任何好处。另一方面，太弱的交联会导致杆过早失效。
上式从一开始就不能使用，因为屈曲箭头的大小是未知的。杆在 PK 下处于无关平衡状态，并且至少在第一级近似下可以取任意值。因此，根据 F 的提议，它是有用的。 Krohn-a，以确定弯曲杆因弯曲失效而失去承载能力时的屈曲_maxv_的大小。如果弯曲的凹侧达到屈服点，这种情况肯定会发生（图6）。由此弯曲进一步增大，无法施加相应的弯矩。
图。 6
弯管凹侧的总应力如图2所示。 6理想的塑料材料
由此而来的是仍可承受的最大弯曲
maxQ0 为杆端对应的横向力。
如果用于_σK_ Tetmaier\的形式，并把_σF_=3,1 t/cm2和_sK_=e/2 ∙ λy_对应于_iy≈e/2，则_Krohn_获得近似值 maxQ0=F/28（Q_单位为_t，_F_单位为cm2）。
对于任意屈曲应力线，我们得到
maxQ0=μK∙SK.
系数μK随杆的细长变化而变化，也取决于材料。将上式除以抗屈曲安全系数可写为
dozv__Q=μ∙dozvS.
线路系统屈曲
在线性系统中，通常确定两端铰接且其弯曲力 PK=π2EI/s2K 同样大的杆的弯曲长度 sK=β∙h 以进行比较。下面的例子将给出比较“屈曲长度”。
a) 杆两端夹紧（EI=常量）
SL。 7
对于图1的情况。屈曲的7是_PK=4π2EI/h2=4,0∙PE,比较“屈曲长度”sK=h/2和屈曲弹性线_v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) 一端无杆（图 8）
SL。 8
假设_P_的方向不随杆弯曲而改变。那么 (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4， sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
自由端_z_=_h_的轮廓条件此处读取
M=0 或 v’’=0
Q=M’-Pv’=0 或 v’’’+a2∙v’=0.
c) 杆一端夹紧（图9）
图9
有轮廓条件
v=0 和 v’=0 对于 z=0
v=0 和 v’’=0 对于 z=h
是针对 EI=const 获得的。屈曲条件
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
或同等
tgαh=αh。 (4)
这个超越方程的根可以在表_K中找到。林_的。最低屈曲力根据表格计算 PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
比较屈曲长度为 sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) 杆一端被挤压且紊乱（图10）
图。 10
我们将观察尖端位移大小恒定的情况。其轮廓条件为
v=0 和 v’=0 对于 z=0,
v=v1 和 v’’=0 对于 z=h。
是一个弹性线的平衡问题
如果 P→PK，则 {} 括号之前的项的分母将为零，并且屈曲会增加到高于所有限制（参见屈曲条件方程 (4)）。 杆的行为特征是杆的中端和下端的弯曲最初随着负载_P_的增加而变小，并且仅在更高的负载时改变它们的符号。 SL。 10 显示半高弯曲。
e) 连续坚持两个区域
SL。 11
对于两个解决方案区域（图11），我们将应用设置
I_。 v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II。 v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
为了简化，将其设为(EI)1=(EI)2=EI。 为了找到八个常数 A1, …, A2, … 使用轮廓条件
v=0 和 v’=0 对于 z1=0,
v=0 和 v’’=0 对于 z2=h,
以及I区和II区之间的过渡条件
v=0 对于 z1=h 和 对于 z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
条件方程如下表
设置系数的行列式等于0，得到屈曲条件
弯曲长度_sK_=0,878_h_，而对于图。 35 或 β=0,699。由于增加了第二个铰接区域，与2,046相比，屈曲力有所降低：1,297。如果另一个场被压得更高，那么屈曲力将再次增加到峰值。 2,04_PE_.
公式的历史呈现不是一个项目或结构稳定性的证明。理想直杆、中心载荷和弹性面积的经典假设不一定包括初始缺陷、残余应力、偏心度、连接刚度、材料非线性、横向稳定性，也不一定包括火灾、地震作用和装配阶段。实际结构的计算必须由授权土木工程师根据有效的法规和标准进行。