کمش خمشی

اطلاعات مرتبط: پنجره های چوبی ساخته شده بر اساس پروژه شما. · پنجره های چوبی آلومینیومی سفارشی. · پنجره های سفارشی برای خانه ها، پروژه ها و صادرات. · دربهای چوبی و چوبی آلومینیومی سفارشی. · یک درخواست قیمت ارسال کنید.

معادله دیفرانسیل کمانش خمشی

فرض می‌رود که همه ایده‌آل‌سازی‌ها برآورده می‌شوند، به ویژه

• که میله کاملاً مستقیم است
• که بار P در شفت میله عمل می کند
• که ولتاژها زیر حد تناسب باقی بمانند
• که تغییر شکل‌ها به اندازه‌ای کوچک هستند که امکان ساده‌سازی معمول محاسبات را فراهم کنند.

اگر میله تحت تأثیر نیروی P و شاید به دلیل اعمال بار q در جهت عرضی خم می شود، در این صورت باید شرایط شناخته شده تعادل بین بارهای خارجی و نیروهای وارد بر مقطع برقرار باشد. علاوه بر این، طبیعی است که بین تغییر شکل ها و نیروها در مقطع باید روابط مشخصی وجود داشته باشد.

Sl.1- تعادل

در شکل1عنصری از یک میله خمیده به طول ds نشان داده شده است. شیب مماس v’ کوچک است به طوری که می توان تا مرتبه دوم طول عنصر را برابر با برجستگی ds=dz تنظیم کرد. علاوه بر این، در آزمایش‌های ذکر شده در زیر، مواردی که P دائماً در امتداد محور میله تغییر می‌کند، در نظر گرفته نمی‌شود، یعنی نیروی نرمال N≈P=const. در سه شرایط تعادلی موجود برای عنصر، تعداد معینی از اعضا می توانند نادیده گرفته شوند. برای علامت گذاری و علائم از شکل.10سپس در تقریب اول معادله باقی می ماند

N=P،   M’=Q،   Q’=-q+Pv’’.

نیروی عرضی را می توان حذف کرد و سپس M’‘=Pv’’-q باقی می ماند. قانون M=-_EI/R_برنولی معادله گم شده را ارائه می کند. منحنی محور میله طبق معمول از تئوری خمش تیر به صورت زیر ساده شده است.

بنابراین حذف ممان خمشی امکان پذیر است. و با M=-EI*v’’ معادله دیفرانسیل میله خم شده را بدست می آوریم

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

در حالت خاص سختی خمشی ثابت EI=const. معادله (1) ساده شده است، بنابراین

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

معادله (1) و (1a) با توجه به ساده سازی های ذکر شده در v خطی هستند.

از لحاظ عملی، ساده‌ترین حالت سفتی خمشی ثابت EI=const.، که به عنوان پایه‌ای برای مثال‌های زیر عمل می‌کند، اهمیت ویژه‌ای دارد.

مورد اویلر

مفروضات حالت کلاسیک کمانش، جدا از ایده‌آل‌سازی‌های ذکر شده عبارتند از: p=0، بنابراین N=const.=P و همچنین سختی ثابت بدون اصطکاک، که دقیقاً روی محور میله قرار دارند. معادله دیفرانسیل معمولی (1a) مرتبه چهارم، خطی و همگن به دلیل q=0 است. راه حل کلی این است:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

که در آن A، B، C، D چهار ثابت ادغام هستند. اندازه پارامتر به دلیل فرض EI≠0 محدود است. علاوه بر این، α≠0 برای P>0 معتبر است.

شکل. 2

از آنجایی که معادله دیفرانسیل خطی (1a) همگن است، این مسئله نیز با n_∙_v(z) حل می شود، جایی که n یک ثابت دلخواه است. قبلاً از طبقه بندی ریاضی معادله دیفرانسیل (1a) می توان دریافت که بزرگی خمش v را نمی توان تعیین کرد. برای تعیین ثابت های ادغام A، B، C، D در مورد Euler\ (شکل 2) شرایط کانتور زیر موجود است: به دلیل پشتیبانی مفصلی، ممان خمشی در هر دو انتهای میله صفر است، یعنی.

v=0 و M=0 برای z=0

v=0 و M=0 برای z=s.

با توجه به M=-EI_∙__v’‘_، نتیجه می شود که M=0 مقدار v’’=0 است، بنابراین چهار شرط کانتور خوانده می شود:

v=0 و v’’=0 برای z=0

v=0 و v’’=0 برای z=s.

بنابراین راه حل (2) به چهار معادله خطی منجر می شود:

یکی3

این چهار معادله همگن اولین راه حل به اصطلاح بی اهمیت A=B=C=D=0 را دارند که با v(z)=0 مطابقت دارد. میله خم نشده v_(z_)=0 موقعیت تعادل معمول برای مقادیر دلخواه، به خصوص کوچک بار P است. در اینجا، ما در درجه اول به شرایطی علاقه مندیم که تحت آن میله خم می شود، یعنی v(z)≠0. معادلات (3) با A، B، C، D ≠ 0 تنها در صورتی که تعیین کننده ضریب برابر با صفر باشد، چنین جواب ساده ای ندارند.

یکی 3a

از شرایط کمانش Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog برای محاسبه مقادیر بحرانی PK بار. این معادله فقط در صورتی برآورده می شود که sin αs = باشد0، یعنی برای αKms = mπ با m=1,2,3,… مقادیر مربوط به نیروی کمانش اولر__PKm=EI_∙_α است.2Km = EI(mπ/s)2. برای هر مقدار m نیروی کمانشی مشخصی به دست می آید. در بیشتر موارد، تنها کوچکترین این نیروها مورد توجه است و آن

PK1=EI(π/s)2.

در نسخه زیر، یک شاخص m یا 1 بیشتر حذف شده است که به کمترین بارهای بحرانی اشاره دارد. مورد توجه خط الاستیک مربوطه است. از یک (2) ثابت B=C=D=0 بدست می آید. شرط باقی مانده A∙sin__αs=0 است. خط کمانش الاستیک برای حالت بالا m=1 است، بنابراین، v(z) = A_∙sinπz/s_، جایی که v(z) برای αK است. PK تابع ویژه مربوطه. قدر A نامشخص باقی مانده است.

بیایید نگاهی دیگر به کل منطقه بار بیاندازیم. برای مقادیر دلخواه P، به ویژه برای نیروهای P_<_PK1__v(z)=0 است، میله صاف می ماند.

در تئوری کلاسیک پایداری، تحت بار “تدریج افزایشی” P یک سری مقادیر متوالی P منظور می شود، که در آن پایداری مورد بار مشاهده شده بارها و بارها برای هر سطح فردی از بار P آزمایش می شود. در طول تست پایداری، اندازه P مطمئناً بدون تغییر باقی می ماند. اگر یک حالت P ثابت باشد، بار مقداری افزایش می یابد و بنابراین آزمایش پایداری تکرار می شود. این تعیین دقیق ضروری است تا با نوع بار اشتباه نشود، که مبنای اثر شانلی است که در آن افزایش بار وجود دارد در حالی که اختلالات کوچک همزمان عمل می کنند. هنگام بررسی پایداری طبق شانلی، در ناحیه کمانش پلاستیک، نیروی انشعاب کوچکتری نسبت به روش کلاسیک در نظر گرفته می شود.

ملاحظات زیر اولین راه افزایش بار را فرض می‌کنند: در یک افزایش تدریجی بار P به این معنا، به PK1=EI_∙(π/s)_2 ابتدا در یک نقطه انشعاب از خط انشعاب الاستیک با الاستیک الاستیک می‌رسد. خط

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A دامنه نامشخص خط الاستیک را نشان می دهد. برای بارهای _P*__>_PK1 طبق نظریه خطی شده Δ≠0 است، یعنی تعادل در آنجا امکان پذیر نیست. فقط برای نیروهای کمانش بالاتر PK2 و غیره دوباره Δ=0 و بنابراین همچنین v(z)≠0 خواهد بود. علت این نتیجه‌گیری نظری که با رفتار واقعی مطابقت ندارد، در خطی‌سازی معادله دیفرانسیل نهفته است.

خم شدن میله های فشرده متشکل از دو قسمت

ما خود را به چوب های فشرده دو قسمتی محدود می کنیم و برای چوب های فشرده که از سه قسمت یا بیشتر تشکیل شده اند، روابط مشابهی اعمال می شود.

Sl.3

با توجه به نوع اتصال عرضی، میله های شبکه متفاوت است (شکل 1).3الف) و میله های قاب (شکل.3ه) بدون اتصالات ضربدری، هر قسمت از میله به خودی خود خم می شود (شکل 2).3ب). اگر پر کردن نسبتاً ضعیف باشد، یک میله تسمه می تواند بدون خم شدن کل میله خم شود. برای میله مشبک انجیر.3ج را می توان مقایسه کرد: سمت چپ برای سیستم لولایی، سمت راست برای تسمه های پیوسته. و برای میله قاب انجیر.3f در سمت چپ برای ورق های اتصال نرم، در سمت راست برای ورق های اتصال صلب. از آنجا می توان دریافت که لاغری λ_ تأثیر زیادی دارد1__=s1/i1_. برای قسمت تکی میله، من قرار گرفتم1=F1_∙_من12، s1 فاصله میدان است (شکل.3), i1 اشاره به محور دارد1-1(نگاه کنید به شکل4).

Sl.4

نیروی کمانش میله های مرکب مربوط به خطوط کمانش الاستیک شکل.3د، یا3g موضوع بررسی های نظری جامع بود. اگر میله از بخش‌های منحصربه‌فرد تشکیل شده بود (مثلاً با یک دنده) یا اگر اتصالات عرضی آنقدر زیاد بود که میله‌ای که از دو قسمت خم می‌شود با یک میله تفاوتی نداشت، آنگاه می‌شد σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. در آنجا نشان دهنده λ__y=sK/iy است (شکل.4). با این حال، این تنش کمانشی در عمل به طور کامل به دست نخواهد آمد زیرا اتصالات عرضی کافی برای آن وجود ندارد و همچنین کشسان هستند. تقریبی که در بیشتر موارد راضی کننده است به دست می آید اگر طبق پیشنهاد F قرار دهیم. Engesser\a که تنش خمشی یک میله فشرده مرکب از دو قسمت برابر است

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi به اصطلاح لاغری ایده آل است.

پیوندهای متقاطع باید از نظر تعداد کافی و به اندازه کافی قوی باشند تا هر دو قسمت میله را مجبور به عمل با هم کنند. بدون در نظر گرفتن تنش های ثانویه، پیوندهای عرضی تا زمانی که میله مستقیم باقی می ماند بدون تنش باقی می مانند. فقط با خمش است که باید نیروها را دریافت کنند و باید نیروهای عرضی را که با خمش افزایش می یابد منتقل کنند. در صورتی که یک خط کشسان باشد

نیروی عرضی در I=const. برابر است

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

با انجیر 5 m را می توان بلافاصله Q(z)=PK∙v’(z) خواند. بالاترین مقدار در انتهای میله است

Sl.5

اتصالات عرضی باید بتوانند این نیروی عرضی را در خود جای دهند. از آنجایی که بار مربوطه نیروی کمانش PK است، کافی است در اتصالات عرضی نیز به حد تحمل بار برسد - یعنی همزمان با کل میله. بدیهی است که اگر پیوندهای متقابل بسیار قوی تر از اندازه لازم برای دریافت Q0 باشند، هیچ سودی نخواهد داشت. از طرف دیگر، اتصالات عرضی بسیار ضعیف باعث از کار افتادن زودرس میله می شود.

معادله بالا را نمی توان در ابتدا استفاده کرد زیرا اندازه فلش کمانش ناشناخته است. میله تحت PK در تعادل بی تفاوت است و حداقل در درجه اول تقریب می تواند مقدار دلخواه را بگیرد. بنابراین با توجه به پیشنهاد F مفید است. Krohn-a، برای تعیین مقدار کمانش maxv که در آن میله خم شده ظرفیت باربری خود را به دلیل شکست در اثر خمش از دست می دهد. اگر به نقطه تسلیم در سمت مقعر خم برسد، مطمئناً این اتفاق می افتد (شکل 6). خم ها برای این بیشتر رشد می کنند و ممان خمشی مربوطه را نمی توان اعمال کرد.

شکل. 6

تنش کل در سمت مقعر خم مطابق شکل 1 است.6برای مواد پلاستیکی ایده آل

از آنجا می‌آید که بزرگ‌ترین فحاشی است که هنوز می‌توان تحمل کرد

maxQ0 نیروی عرضی مربوطه در انتهای میله است.

اگر برای فرم σK Tetmeier\ استفاده شد و σF= را بگذارید3,1t/cm2و sK=e/2∙ λy که با iy≈e/ مطابقت دارد2، سپس مقدار تقریبی maxQ_Krohn\ به دست می آید0_=F/28(Q در t، F در سانتی متر2).

برای خطوط دلخواه تنش کمانش به دست می آید

maxQ0=μK∙SK.

ضریب μK با باریکی میله تغییر می کند، به جنس آن نیز بستگی دارد. وقتی معادله فوق بر ضریب ایمنی در برابر کمانش تقسیم شود می توان آن را نوشت

dozv__Q=μ∙dozvS.

کمانش سیستم های خطی

در مورد سیستم های خطی، تعیین طول خمش sK=β∙h میله ای که در هر دو انتها لولا شده و نیروی خمشی آن PK=π است برای مقایسه معمول است.2EI/s2K به همان اندازه بزرگ یک “طول کمانش” مقایسه ای برای مثال های زیر ارائه خواهد شد.

الف) میله در دو انتها بسته شده است (EI=const.)

شکل. 7

برای مورد انجیر.7کمانش PK= است4π2EI/h2=4,0∙PE، “طول کمانش” مقایسه ای sK=h/2و خط کمانش الاستیک v(z)=D(1- cos2πz/h).

ب) بدون میله در یک انتها (شکل.8)

Sl. 8

فرض بر این است که جهت P با خم شدن میله تغییر نمی کند. سپس (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

شرایط کانتور برای انتهای آزاد z=h در اینجا بخوانید

M=0 یا v’’=0

Q=M’-Pv’=0 یا v’’’’+a2∙v’=0.

ج) میله در یک سر بسته شده است (شکل 9)

شکل. 9

با شرایط کانتور

v=0 و v’=0 برای z=0

v=0 و v’’=0 برای z=h

برای EI=const به دست می‌آید. وضعیت کمانش

sin_αh - αh∙cos_αh=0_،_

یا معادل آن

tgαh=αh.   (4)

ریشه های این معادله ماورایی در جداول _K یافت می شود. هایاشی. کمترین نیروی کمانش طبق جداول PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2 است.

طول کمانش مقایسه ای sK = h / √2,046 = 0,699h است.

د) میله در یک سر با اختلال نیشگون گرفته شده است (شکل 10)

شکل. 10

مورد جابجایی پیک با اندازه ثابت را مشاهده خواهیم کرد. شرایط کانتور برای آن

v=0 و v’=0 برای z=0،

v=v1 و v’’=0 برای z=h.

مسئله تعادلی با خط کشسان است

مخرج عبارت قبل از براکت‌های {} صفر خواهد بود و در صورت P→PK، کمانش بالاتر از همه حدها افزایش می‌یابد (به شرط کمانش معادله (4) مراجعه کنید). از ویژگی های رفتار میله است که خم های انتهای وسط و پایین میله در ابتدا با افزایش بار P کوچکتر می شوند و علامت خود را فقط برای بارهای بالاتر تغییر می دهند. Sl. 10 خم ها را در نیم ارتفاع نشان می دهد.

ه) میله پیوسته روی دو میدان

Sl.11

برای هر دو ناحیه محلول (شکل.11) تنظیمات را اعمال می کنیم

و_. v(z1) = A1∙synαz1+ ب1∙cosαz1+ سی1∙z1+ دی1،_

II. v(z2) = A2∙synαz2+ ب2∙cosαz2+ سی2∙z2+ دی2.

برای سادگی بگذارید (EI)1=(EI)2=EI. برای پیدا کردن هشت ثابت A1، …، _ الف2_، … به عنوان شرایط کانتور خدمت می کنند

v=0و v’=0 برای z1=0،

v=0و v’’=0 برای z2=h،

و همچنین شرایط انتقالی بین مناطق I و II

v=0 برای z1=h i برای z2=0،

v“ (z1=h)=v’(z2=0)

v“ (z1=h)=v’’(z2=0).

معادلات شرطی در جدول زیر آمده است

با تنظیم اینکه تعیین کننده ضریب برابر با صفر باشد، شرط کمانش به دست می آید

طول خمش sK=0,878_h_، در حالی که برای شکل. 35 یا β=0,699. نیروی کمانش در مقایسه با 2,046 : 1,297 به دلیل اضافه شدن میدان دوم که لولا شده است، کاهش یافته است. اگر میدان دیگر بیشتر فشرده شود، نیروی کمانش دوباره تا اوج افزایش می یابد. 2,04 PE.

این ارائه تاریخی فرمول ها پروژه یا اثباتی بر پایداری سازه نیست. مفروضات کلاسیک عضو مستقیم ایده آل، بار مرکزی و ناحیه الاستیک لزوماً شامل عیوب اولیه، تنش های پسماند، خروج از مرکز، سختی اتصال، غیرخطی بودن مواد، پایداری جانبی و در صورت لزوم، آتش سوزی، کنش لرزه ای و مراحل مونتاژ نمی شود. محاسبه سازه واقعی باید توسط مهندس عمران مجاز طبق مقررات و استانداردهای معتبر انجام شود.