Выпучивание при изгибе

Сегодня Саво Кусич специализируется на деревянных окнах, дерево-алюминиевых окнах, окнах на заказ, дверях и запросах цен. Этот текст остается архивом теории конструкций и не является предложением статического проектирования, расчетов устойчивости или восстановления конструкций.

Дифференциальное уравнение потери устойчивости при изгибе

Предполагается, что все идеализации удовлетворены, особенно

• что стержень совершенно прямой
• что нагрузка P действует на стержень стержня
• что напряжения остаются ниже предела пропорциональности
• что деформации достаточно малы, чтобы позволить обычные упрощения вычислений.

Если стержень изгибается под действием силы P, а возможно и за счет нагрузки q, действующей в поперечном направлении, то должны выполняться известные условия равновесия между внешними нагрузками и силами в сечении. Кроме того, естественно, что должны быть известны зависимости между деформациями и силами в сечении.

Рис. 1 - Баланс

На рис. 1 — изогнутый стержневой элемент длиной ds. Наклон касательной v’ мал, так что до второго порядка длину элемента можно установить равной проекции ds=dz. Кроме того, в упомянутых ниже испытаниях не будут учитываться случаи, когда P постоянно изменяется вдоль оси стержня, т.е. нормальная сила N≈P=const. Тогда в трех условиях равновесия, доступных для элемента, определенным количеством членов можно пренебречь. Для маркировки и знаков рис. 10 тогда останется в первом приближении уравнения

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

Поперечную силу можно устранить, и тогда M’‘=Pv’’-q сохраняется. Закон Бернулли M=-EI/R дает недостающее уравнение. Кривая оси стержня, как обычно, из теории изгиба балки, упрощается следующим образом

Таким образом можно устранить изгибающий момент; и при M=-EI*v’’ получается дифференциальное уравнение для изогнутого стержня

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

В частном случае постоянной жесткости при изгибе EI=const. уравнение (1) упрощается, поэтому оно равно

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Уравнение. (1) и (1a) линейны по v согласно упомянутым упрощениям.

Практически простейший случай постоянной изгибной жесткости EI=const. особенно важен, что послужило основой для приведенных ниже примеров.

Случай Эйлера

Допущениями для классического случая потери устойчивости, помимо упомянутых идеализаций, являются: p=0, поэтому N=const.=P, а также постоянная жесткость без трения, которые лежат точно на оси стержня. Обыкновенное дифференциальное уравнение (1a) имеет четвёртый порядок, линейное и однородное из-за q=0. Общее решение:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

где A, B, C, D — четыре константы интегрирования. Параметр имеет конечный размер из-за предположения EI≠0. Кроме того, α≠0 для P>0.

Рис. 2

Поскольку линейное дифференциальное уравнение (1a) однородно, эта задача также решается с помощью n_∙__v(z)_, где n — произвольная константа. Уже из математической классификации дифференциального уравнения (1a) видно, что величину изгиба v определить невозможно. Для определения констант интегрирования A, B, C, D в случае Euler\ (рис. 2) доступны следующие условия контура: Благодаря шарнирной опоре изгибающий момент равен нулю на обоих концах стержня, т.е.

v=0 и M=0 для z=0

v=0 и M=0 для z=s.

Из M=-EI_∙_v’‘ следует, что M=0 является значением v’’=0, поэтому четыре условия контура гласят:

v=0 и v’’=0 для z=0

v=0 и v’’=0 для z=s.

Таким образом, решение (2) приводит к четырем линейным уравнениям:

Уравнение. 3

Эти четыре однородных уравнения имеют первое так называемое тривиальное решение A=B=C=D=0, что соответствует v(z)=0. Разогнутый стержень v_(z_)=0 является обычным положением равновесия при произвольных, особенно малых значениях нагрузки Р. Здесь нас в первую очередь интересуют условия, при которых стержень изгибается, т. е. то, что v(z)≠0. Уравнения (3) не имеют такого тривиального решения с A, B, C, D ≠ 0 только в том случае, если определитель коэффициента равен нулю.

Один. 3а

Из условий потери устойчивости Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mможем рассчитать критические значения PK нагрузки. Это уравнение удовлетворяется только в том случае, если sin αs = 0, т.е. для αKms = mπ с m=1,2,3,… Соответствующие значения силы потери устойчивости Эйлера составляют PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Для каждого значения m получается определенная сила потери устойчивости. В большинстве случаев интерес представляют только наименьшие из этих сил, и это

PK1=EI(π/s)2.

В следующей версии индекс m или 1 обычно опускается, что относится к самой низкой из критических нагрузок. Интерес представляет соответствующая упругая линия. Из одной (2) получаются константы B=C=D=0. Оставшееся условие — A∙sin__αs=0. Линия упругого изгиба для вышеуказанного случая m=1, следовательно, равна v(z) = A_∙sinπz/s_, где v(z) соответствует αK соотв. PK соответствующая собственная функция. Величина A остается неопределенной.

Давайте еще раз посмотрим на всю зону нагрузки. При произвольных значениях P, особенно для сил P_<_PK1, равных v(z)=0, стержень остается прямым.

В классической теории устойчивости под «постепенно возрастающей» нагрузкой P понимается последовательный ряд значений P, где устойчивость наблюдаемого варианта нагрузки будет проверяться снова и снова для каждого отдельного уровня нагрузки P. Во время теста стабильности размер P, безусловно, остается неизменным. Если одно состояние P определяется как стабильное, то нагрузка на что-то увеличивается, и поэтому тест на стабильность повторяется. Это точное определение необходимо для того, чтобы не было путаницы с типом нагрузки, которая лежит в основе эффекта Шэнли, при котором происходит увеличение нагрузки при одновременном действии небольших возмущений. При исследовании устойчивости по Шэнли\ в зоне пластического выпучивания возникает меньшая сила бифуркации, чем при классическом методе рассмотрения.

Следующие соображения предполагают первый способ увеличения нагрузки: При постепенном увеличении нагрузки P в этом смысле мы приходим к PK1=EI_∙(π/s)_2 сначала к одной точке бифуркации упругого равновесия, с простой синусоидальной линией в качестве линии упругого изгиба

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A обозначает неопределенную амплитуду упругой линии. Для нагрузок _P*__>_PK1 по линеаризованной теории Δ≠0, т.е. баланс там невозможен. Только для более высоких сил продольного изгиба PK2 и т. д. снова будет Δ=0 ​​и, таким образом, также v(z)≠0. Причина этого теоретического вывода, не соответствующего реальному поведению, кроется в линеаризации дифференциального уравнения.

Выпучивание прессованных стержней, состоящих из двух частей

Мы ограничиваемся прессованными стержнями, состоящими из двух частей, а для прессованных стержней, состоящих из трех или более частей, применяются аналогичные соотношения.

Рис. 3

По типу поперечного соединения различают стержни решетчатые (рис. 3a) и стержни каркасные (рис. 3e). Без поперечных связей каждая часть палки сгибалась бы сама по себе (рис. 3b). Если наполнение сравнительно слабое, то одиночный стержень ремня может согнуться, не изгибая стержень целиком. Для решетчатого стержня рис. 3c можно сравнить: слева для навесной системы, справа для непрерывных лент; а для стержня рамы рис. 3f слева для мягких соединительных пластин, справа для жестких соединительных пластин. Отсюда видно, что большое влияние имеет гибкость λ__1_=s1/i1_. Для отдельной части стержня задается I1=F1_∙_i12, s1 — шаг поля (рис. 3), i1 — ось 1-1 (см. рис. 4).

Рис. 4

Сила выпучивания составных стержней, соответствующая линиям упругого выпучивания на рис. 3d или 3g был предметом исчерпывающих теоретических исследований. Если бы стержень состоял из уникальных участков (например, с ребром) или если бы поперечные соединения были настолько частыми, что стержень, согнутый из двух частей, по своему действию не отличался от одного стержня, то это было бы σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Там оно обозначает λ__y=sK/iy (рис. 4). Однако на практике это напряжение потери устойчивости не будет достигнуто в полной мере, так как для этого недостаточно поперечных связей, к тому же они упругие. Приближение, удовлетворяющее в большинстве случаев, получится, если положить по предложению F. Engesser\a, что изгибающее напряжение прессованного стержня, состоящего из двух частей, равно

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi – так называемая идеальная гибкость.

Поперечные связи должны быть достаточными по количеству и достаточно прочными, чтобы обеспечить совместную работу обеих частей стержня. Если исключить вторичные напряжения, поперечные звенья остаются ненапряженными до тех пор, пока стержень остается прямым. Только при изгибе они должны воспринимать силы, а передавать поперечные силы, увеличивающиеся при изгибе. В случае, если это эластичная линия

поперечная сила при I=const. равен

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

С рис. 5 m можно сразу прочитать как Q(z)=PK∙v’(z). Наибольшее значение на конце стержня равно

Рис. 5

Поперечные соединения должны выдерживать эту поперечную силу. Поскольку соответствующей нагрузкой является сила продольного изгиба PK, то достаточно, если предел несущей способности для этого будет достигнут и в поперечных соединениях - т.е. одновременно со всем стержнем. Очевидно, было бы бесполезно, если бы поперечные ссылки имели размер намного сильнее, чем необходимо для получения Q0. С другой стороны, слишком слабые поперечные связи могут привести к преждевременному выходу стержня из строя.

Приведенное выше уравнение нельзя использовать с самого начала, поскольку величина стрелы продольного изгиба неизвестна. Стержень находится в индифферентном равновесии относительно ПК и может, по крайней мере в первой степени приближения, принимать произвольное значение. Поэтому полезно, по предложению Ф. Крона-а, для определения величины той потери устойчивости maxv, при которой изогнутый стержень теряет несущую способность из-за разрушения из-за изгиба. Это обязательно произойдет, если точка текучести будет достигнута на вогнутой стороне изгиба (рис. 6). При этом изгиб увеличивается и соответствующие изгибающие моменты не могут быть приложены.

Рис. 6

Общее напряжение на вогнутой стороне изгиба соответствует рис. 6 для идеального пластика

Оттуда происходит самый большой изгиб, который еще можно выдержать

maxQ0 — соответствующая поперечная сила на конце стержня.

Если используется для формы σK Tetmaier, поставьте σF=3,1 t/cm2 и sK=e/2 ∙ λy, соответствующие iy≈e/2, то Крона получают приблизительное значение maxQ0=F/28 (Q в t, F в см2).

Для произвольных линий напряжения при продольном изгибе получаем

maxQ0=μK∙SK.

Коэффициент цК меняется в зависимости от тонкости стержня, а также зависит от материала. Если разделить приведенное выше уравнение на коэффициент устойчивости к короблению, можно записать:

dozv__Q=μ∙dozvS.

Потеря устойчивости линейных систем

В линейных системах принято для сравнения определять длину изгиба sK=β∙h стержня, шарнирно закрепленного с обоих концов и изгибающая сила которого PK=π2EI/s2K одинаково велика. Сравнительная «длина потери устойчивости» будет указана для примеров ниже.

a) Стержень зажат с обоих концов (EI=const.)

Рис. 7

Для случая рис. 7 потери устойчивости — это PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, сравнительная «длина потери устойчивости» sK=h/2 и упругая линия потери устойчивости v(z)=D(1-cos2πz/h).

b) Стержень свободен на одном конце (рис. 8)

Сл. 8

Предполагается, что направление P не меняется при изгибе стержня. Тогда (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

Условия контура для свободного конца z=h здесь читайте

M=0 или v’’=0

Q=M’-Pv’=0 или v’’’+a2∙v’=0.

c) Стержень зажат с одного конца (рис. 9)

Рис. 9

С условиями контура

v=0 и v’=0 для z=0

v=0 и v’’=0 для z=h

получается для EI=const. состояние коробления

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

или эквивалент

tgαh=αh.   (4)

Корни этого трансцендентного уравнения находятся в таблицах К. Хаяши. Наименьшая сила продольного изгиба соответствует таблицам PK1=4,49342/h2 ∙EI = 2,046 π2EI/h2.

Сравнительная длина продольного изгиба sK = h / √2,046 = 0,699h.

г) Стержень защемлен на одном конце с беспорядком (рис. 10)

Рис. 10

Мы рассмотрим случай смещения кончика постоянной величины. Контурные условия для этого:

v=0 и v’=0 для z=0,

v=v1 и v’’=0 для z=h.

Это задача о равновесии с упругой линией

Знаменатель члена перед {}-скобками будет равен нулю, а потеря устойчивости превысит все пределы, если P→PK (см. уравнение условия потери устойчивости (4)). Для поведения стержня характерно то, что изгибы среднего и нижнего конца стержня изначально меньше с увеличением нагрузки Р и меняют свой знак только при более высоких нагрузках. Сл. 10 показывает изгибы на половине высоты.

e) Непрерывное прикосновение к двум полям

Рис. 11

Для обеих областей решения (рис. 11) применим настройку

I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_

II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.

Для упрощения пусть это будет (EI)1=(EI)2=EI. Чтобы найти восемь констант A1, …, A2, … используются контурные условия

v=0 и v’=0 для z1=0,

v=0 и v’’=0 для z2=h,

, а также переходные условия между зонами I и II

v=0 для z1=h and для z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

Условные уравнения приведены в таблице ниже

Установив, что определитель коэффициента равен нулю, получается условие потери устойчивости

Длина изгиба sK=0,878_h_, а для рис. 35 или β=0,699. Сила выпучивания уменьшилась по сравнению с 2,046: 1,297 из-за добавления второго шарнирного поля. Если бы другое поле было зажато выше, то сила выпучивания снова увеличилась бы до пика. 2,04 PE.

Это историческое представление формул не является проектом или доказательством устойчивости структуры. Классические предположения об идеальном прямом элементе, центральной нагрузке и упругой площади не обязательно включают начальные дефекты, остаточные напряжения, эксцентриситет, жесткость соединения, нелинейность материала, боковую устойчивость, а также, когда это применимо, пожар, сейсмическое воздействие и этапы сборки. Расчет фактической конструкции должен быть выполнен уполномоченным инженером-строителем в соответствии с действующими правилами и стандартами.