פֿאַר ביקלונג בײַ בייגונג איז דער שטאַנגעלע בײַ דער ענדערונג פֿון עקוויליבריום געבויגן אין איין הויפּט־פּלאַן.
אָבער עס זײַנען אויך אַזעלכע פֿאַלן פֿון סטאַביליטעט, אין וועלכע דער שטאַנג, ריספּעקטיוו דער באַלקען, בײַ אַ ענדערונג פֿון גלײַכגעוויכט, ווערט ניט בלויז געבויגן, נאָר אויך פֿאַרדרייט (פֿיג. 60אַ). בײַ טראָגן־עלעמענטן רופֿט מען דאָס זײַטיקע בוקלירן, בײַ געדריקטע שטאַנגען, וואָס ווערן בײַם בוקלירן אויך אויסגעשטעלט צו טאָרזיע, רעדט מען פֿון בוקלירן בײַ טאָרזיע.
פֿאַר ביידע פּינקטן איז דער גרייס פֿון דער שטיפֿקייט קעגן טאָרזיע C, ר.ב. דער קעגנשטעל קעגן בייגונג C*, פֿון באַשטימענדיקער באַדײַטונג. אויף דער ענדערונג פֿון גלײַכגעוויכט פֿאַרבונדן מיט טאָרזיע קען מען דערפֿאַר אין ערשטן אָרט איינווירקן דורך מיטלען, וואָס פֿאַרגרעסערן די שטיפֿקייט קעגן פֿאַרדרייען (פּאַסיקע פֿאָרעם פֿונעם קראָס־סעקציע, טראַנסווערסאַלע ראַמען, זײַטיקע אָפּשטיצן אאַז״ו). פֿון דער אַנדערער זײַט זײַנען שטאַנגען אין דער פֿאָרעם פֿון אַ בענדל מיט אַן אָפֿענעם קראָס־סעקציע באַזונדערס סענסיטיוו צו אויסבויגן בײַ טאָרזיע.
דיפערענציעלע גלייכונג פֿאַר זײַטיקן בוקלונג
פֿיג. 1אַ
אַ גלײַכער טרעגער האָט קאָנסטאַנטע טרעג־מאָמענטן פֿון ינערציע מיט זייער אומגלײַכן גרייס Ix >> Iy. די לאַסט ליגט אין דער y-z-פּלאַן, אַזוי אַז דער טרעגער וועט זיך בייגן אין דעם הויפּטפּלאַן (u=ϑ=0). דערפֿאַרונג ווי אויך די טעאָריע ווײַזן, אַז די דאָזיקע גלײַכגעוויכט־שטעלע איז קודם סטאַביל, אָבער בײַ גרעסערע לאַסטן ווערט זי לאַביאַל. די צווייטע גלײַכגעוויכט־שטעלע איז פֿאַרבונדן מיט לענגס־בייגן אין u און מיט טאָרסיע ϑ.
ווייטער אונטן וועט אַרויסגעפֿירט ווערן די דיפערענציעלע גלײַכונג פֿאַר זײַטיקן בויגן. די גלײַכונגען פֿאַר u און ϑ זײַנען הומאָגען. אויב אויך די גרענעץ־באַדינגונגען זײַנען הומאָגען, דאַן איז זײַטיקער בויגן פֿון דער טראָגער מעגלעך נאָר פֿאַר די אייגענע ווערטן פֿונעם פּראָבלעם, הייסט דאָס, u און ϑ בלײַבן צום ערשטן מאָל נול בײַ דער אויבן באַשריבענער טראָגער אָן שטערונג. די באַדינגונג פֿונעם זײַטיקן בויגן ווערט געפֿונען — ענלעך ווי בײַם בויגן פֿון אַ שטאַנג — ווען מען שטעלט פֿאָר אַז די דיטערמינאַנטע פֿון די קאָעפֿיציענטן אין די הומאָגענע באַדינגונג־גלײַכונגען פֿאַר די אינטעגראַציע־קאָנסטן איז גלײַך נול. מיר וועלן זען, אַז אויך בײַ זײַטיקן בויגן עקזיסטירט אַ אמתער צווײַג־פּונקט פֿון עלאַסטישער גלײַכgewיכט.
פֿיג. 1b
אויף דער איל. 1b איז פֿאָרגעשטעלט אַ באַלק־עלעמענט מיט דער לענג dz. די רעזולטאַנטן פֿון די שפּאַנונגען N1, Q1, M1, ווי אויך די קריוּמונג κ__1 הענגען אָפּ פֿון דער באַלאַסטירונג און זײַנען ענדלעכע גרייסן. Q, M, MD זײַנען נול אין דעם אָריגינעלן גלײַכgewicht־צושטאַנד, און וועלן זיך בלויז דאַן אונטערשיידן פֿון נול ווען זייַטיקער אויסבויגונג טרעט אַרײַן. די ענדלעכע גרייסן, וואָס באַציִען זיך אויף דעם אָנהייב פֿון דער זייַטיקער אויסבויגונג, זײַנען אומבאַגרענעצט קליין, ווי אויך די באַטreffende דעפֿאָרמאַציעס κ און d__ϑ/dz.
ביידע ענדיקע קרײַזן פֿון דעם עלעמענט dz ליגן אין אַ נאָרמאַלער פֿלאַך צו דער דופֿלט געקרומטער אַקס פֿון שטאַנג און וועלן אין די דאָזיקע נאָרמאַלע פֿלאַכן זײַן פֿאַרדרייט.
ווײַל אונדז — ווי אויך בײַם בויגן פֿון אַ שטאַנג — אינטערעסירט אין ערשטן ריי די גרייס פֿון דער קריטישער בעלאַסטונג, ד.ה. דער אָנהייב פֿון זייטיקן בויגן, און ווייניקער די גרייס פֿון די דעפֿאָרמאַציעס, קענען מיר פֿאַרזאַמלטע גרייסן Q, M, MD מיט κ אָדער ϑ’ פֿאַררעכענען ווי קליינע גרייסן פֿון צווייטן סדר. דערפֿאַר וועלן מיר צוליב נאָך־פֿאַרפּשוטונג אויך די הויפּט־קרומונג κ1 אָננעמען ווי זייער קליין און זי באַהאַנדלען ווי κ און ϑ’.
נאָטיץ: דער השפּעה פֿון κ__1 דאַרף מען אויך טעאָרעטיש אָפּשאַצן אין אַ פּשוטן ספּעציעלן פֿאַל (קאָנסטאַנטער בייג־מאָמענט M ווי באַלעסטיקונג). אין די מערסטע באַדערפֿענישן פֿון דער בנין־טעכניק קען מען κ__1 פֿאַרנאַרן. מע קען, למשל, זיך פֿאָרשטעלן, אַז דער באַלקעלע פֿאַר דעם באַלעסטיקונג־פֿאַל איז אַזוי „אויפֿגעהויבן“, אַז פֿאַר דער קריטישער באַלעסטיקונג איז פּונקט κ__1=0.
פֿון דער וואָג־באַלאַנס פֿון די קאָמפּאָנענטן פֿון די כּוחות אין די ריכטונגען ξ, η, ζ און פֿון די מאָמענט־באדינגונגען קעגן די זעלבע אַקסן באַקומען מען נאָך די דערמאָנטע פֿאַרמיידונגען
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
פֿון גל. (1c, d און b) באַקומט מען
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
דורך עלימינירן Q1 פֿון גל. (1a) באַקומט מען
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
פֿון דער גל. (1e) וועט דערמיט עלימינירט ווערן Q, און דערנאָך u ’’ דורך u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
כּדי צו באַקומען די דיפערענציעלע גלײַכונג פֿאַר ϑ וועט מען אַרײַנפֿירן די ווײַטערדיקע באַציִונגען צווישן די מאָמענטן און די דעפֿאָרמאַציעס
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
וווּ באַדײַט B1=EIx און B=EIy די שטײַפֿקייטן קעגן בייגונג פֿונעם טראָגער, C די שטײַפֿקייט קעגן דרייונג, און C* דעם קעגנשטעל קעגן פֿאַרקרימונג. בײַ אונדזערע ווײַטערדיקע חשבונות וועלן מיר אויסלאָזן די מיטגלידער מיט C* צוליב פֿאַרפּשוטונג. אויב די גלײַכונגען דאַרפֿן למשל ווערן געווענדט אויף I־פּראָפֿילן, מוז מען זיי באַפֿעלן אויף פּאַסיק אופֿן. דאָס פֿאַרלאָזן פֿון דעם מיטגליד v’’ הייסט דאָס זעלבע ווי די הנחה B1=∞.
אויב מען עלימינירט M און MD מיט הילף פֿון גל. 4, באַקומט מען די דיפֿערענציעלע גלײַכונג פֿאַר זײַטלעכע בויגונג פֿון אַ בים מיט קאַנסטאַנטן קראָס־סעקציע
די דיפערענציעלע גלייכונג (5) איז האָמאָגען און פֿונעם פֿערטן אָרדן לויט ϑ. M1 איז אַ באַקאַנטע פֿונקציע פֿון z אין אָפענגיקייט פֿון דער בעלאַסטונג.
טראַגער מיט קעסיידערדיקן בויג־מאָמענט
זאָל זײַן p=N1=0, אויסער דעם Mx=ɱ=const. דער אָפּטייל איז אָן פֿלאַנשע (צוזאַמענגעדריקט) און דער טראָגער איז לאַנג אין באַציִונג צו די דימענסיעס פֿון קרײַז־אָפּטייל, אַזוי אַז מיר קענען שטעלן אַז C*=0. דאַן פֿאַרפּשוטעט זיך די גל. (5), צוליב M1=ɱ, און דאַן איז:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
אָדער מיט דער פֿאַרקירצונג λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) אײַנעם מיט גאָפּלדיקן אופֿהאַלט בײַ ביידע ענדן
אַביל. 2
די אָפּשטיצונג בײַ z=0 און z=l איז אין דער פֿאָרעם פֿון גאַבעלס (fig. 2), וואָס דערמעגלעכן די דורכצופֿלייגן u און v, אָבער פֿאַרהיטן דאָס דרייען פֿון די ענד־סעקציעס; ϑ=0. ווײַל אין דער ריכטונג x איז קיין איינקלעמונג נישטאָ (ד.ה. M=0, אָדער לויט גל. (4) אויך u’’=0), פֿאָלגט פֿון דער גל. פֿאַר u’’: MD’_=0 און אַזוי פֿון גל. (4c) ווי צווייטער גרענעץ־באַדינגונג ϑ’’=0.
דער אַלגעמיינער לייזונג פֿון גל. (6a) איז
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
פֿון די קאָנטור־באַדינגונגען באַקומט מען
דאָס דאָזיקע האָמאָגענע סיסטעם פֿון גלײַכונגען האָט:
- טּריוויאַלישע לייזונג A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, צו וועלכער פּאַסט ϑ=0, u’’=0 אָדער u=0, דערבײַ ביקלט זיך דער טראַגער ניט זײַטלעך.
- אייגענע לייזונגען לויט Δ=0 אָדער sin λ__l=0. די וואָרצלען פֿון דעם באַדינג פֿאַר זײַטיקן בוקן זיינען λ__l=n__π (מיט n=1,2,3,∙∙∙) און די צוגעפּאַסטע קריטישע מאָמענט־בעלאַסטונגען
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
דער קלענסטער מאָמענט פֿון זײַטיקן אָפּבויגן
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
עס שאַפֿט זיך בײַ n=1. די פּאַסיקע לייזונג איז דורך אָנווענדן גל. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) אַנדערע פאַלן פֿון זײַטיקן בוקן
c) זייטיקע אויסבייגונג צוליב בייגמאָמענט און דרוקקראַפט
פֿאַרן בײַשפּיל געוויזן אויף פֿיג. 3 איז N1=-D (דרוק), p=0, דערנאָך איז געשטעלט געוואָרן C*=0. דעמאָלט פֿאַרפּשוטעט זיך די דיפערענציעלע גל. (5) און לייענט זיך
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
וווּ איז λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
די לייזונג פֿון דער דיפערענציעלער גלײַכונג (9) איז ווידער געגעבן דורך גל. (8), נאָר איצט מיינט λ אַן אַנדער ווערט.
פֿיג. 3
פֿאַר דעם בײַשפּיל אויף בילד 3 זײַנען גילטיק, ווי אויך פֿאַר a), די קאָנטור־באדינגונגען ϑ=0 און ϑ’’=0 פֿאַר z=0 און z=l. דעריבער זײַנען אויך די באַדינגונג־גלייכונגען פֿאַר A1 פֿאָרמעל די זעלבע, און אויך די באַדינגונג פֿון זײַטלעכן בויגן Δ=sin λl=0. דער קריטישער לאַסט שטימט מיט דעם באַציִונג λl=nπ (n=1,2,3) און דער קלענסטער ווערט איז
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
פֿאַר D=0 באַקומען מיר פֿון דאָרטן דעם מאָמענט פֿון זײַטיקער אויסבייגונג לויט גל. (8c) און פֿאַר אַ ריין דרוקנדיקן לאַסט (ɱ=0) די Euler-שע אויסבייג־קראַפֿט _DK=B(π/l)_2.
אויף פֿיג. 3 ווערט דער פֿאָרגעשטעלטער פֿאַל באַצייכנט ווי עקסצענטרישע בייגן אין דער פּלאַנע y-z. דער פֿריִער באַטראַכטער פֿאַל פֿון סטאַביליטעט איז דעריבער קרומונג אַרויס פֿון דער בייגן־פּלאַנהע פֿאַרבונדן מיט זײַטיקער בייגן u און טאָרסיע ϑ.
אויב ביידע עקן זענען פֿאַרקלאַמערט (ϑ=0 און ϑ’=0), דאַן באַקומט מען פֿון די קאָנטור־באַדינגונגען, מיט Δ=0, דעם באַדינג פֿון זײַטליכן אויסבייגן
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
מיט די וואָרצלען λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) און מיט די כּוחות פֿון זײַטלעכער בויגונג
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.