Za izvijanje pri savijanju štap je pri promjeni ravnoteže savijen u jednoj glavnoj ravnini.
Ali postoje i takvi slučajevi stabilnosti kod kojih štap, odnosno greda, pri promjeni ravnoteže bivaju ne samo savijeni nego i uvijeni (sl. 60a). Kod nosača se ta pojava naziva bočno izvijanje, a kod tlačnih štapova, koji su pri izvijanju izloženi također torziji, govori se o izvijanju pri torziji.
Za obje pojave od odlučujućeg je značaja veličina krutosti protiv torzije C, odn. otpor krivljenju C*. Na promjenu ravnoteže povezanu s torzijom može se stoga ponajprije utjecati mjerama koje povećavaju krutost protiv uvijanja (odgovarajući oblik presjeka, poprečni okviri, bočno podupiranje itd.). S druge strane, štapovi u obliku trake s otvorenim presjekom osobito su osjetljivi na izvijanje pri torziji.
Diferencijalna jednadžba za bočno izvijanje
Slika 1a
Neka prava greda ima konstantne momente inercije vrlo nejednake veličine Ix >> Iy. Opterećenje leži u y-z-ravnini tako da će greda biti savijena u ovoj glavnoj ravnini (u=ϑ=0). Iskustvo kao i teorija pokazuju da je ovaj ravnotežni položaj najprije stabilan, ali da za veća opterećenja postaje labilan. Ovaj drugi ravnotežni položaj povezan je s poprečnim savijanjem u i s torzijom ϑ.
Niže će biti izvedena diferencijalna jednadžba za bočno izvijanje. Jednadžbe za u i ϑ su homogene. Ako su i konturni uvjeti homogeni onda je bočno izvijanje grede moguće samo za vlastite vrijednosti problema, tj. u i ϑ ostaju prvo nula kod gore opisane grede bez poremećaja. Uvjet bočnog izvijanja dobiva se – slično kao kod izvijanja štapa – ako se stavi da je jednaka nuli determinanta koeficijenata homogenih uvjetnih jednadžbi za integracijske konstante. Vidjet ćemo da i pri bočnom izvijanju postoji prava točka grananja elastične ravnoteže.
Prikaz 1b
Na sl. 1b prikazan je element grede dužine dz. Rezultante napona N1, Q1, M1, kao i zakrivljenost κ__1 ovise o opterećenju i konačne su veličine. Q, M, MD su nula u prvobitnom ravnotežnom položaju, a razlikovat će se od nule tek kad nastupi bočno izvijanje. Krajnje veličine, koje se odnose na početak bočnog izvijanja, beskonačno su male, kao i odgovarajuće deformacije κ i d__ϑ/dz.
Oba krajnja presjeka elementa dz leže u normalnoj ravnini na dvojno zakrivljenu os štapa i bit će uvijene u tim normalnim ravninama.
Pošto nas – kao i kod izvijanja štapa – ponajprije zanima veličina kritičnog opterećenja, dakle početak bočnog izvijanja, a manje veličina deformacija, možemo umnoške veličina Q, M, MD s κ ili ϑ’ zanemariti kao male veličine drugoga reda. Stoga ćemo radi daljnjeg pojednostavljenja i glavnu krivinu κ1 pretpostaviti kao beskonačno malu i ona će se tretirati kao κ i ϑ’.
Napomena: Utjecaj od κ__1 ima se i teorijski procijeniti u jednostavnom posebnom slučaju (konstantni moment savijanja M kao opterećenje). U većini potreba građevinske tehnike može se zanemariti _κ__1. Može se, recimo, zamisliti kao da je greda za dotični slučaj opterećenja tako „nadvišena” da je za kritično opterećenje baš κ__1=0.
Iz ravnoteže komponenata sila u smjerovima ξ, η, ζ i momentnih uvjeta u odnosu na iste te osi dobiva se nakon spomenutih zanemarivanja
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Iz jednadžbi (1c, d i b) dobiva se
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminiranjem Q1 iz jedn. (1a) dobiva se
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Iz jedn. (1e) time će biti eliminirano Q, zatim u ’’ putem u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Da bi se dobila diferencijalna jednadžba za ϑ, uvest će se sljedeći odnosi između momenata i deformacija
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
gdje označava B1=EIx i B=EIy krutosti protiv savijanja grede, C krutost protiv uvijanja, a C* otpor krivljenju. U našim daljnjim proračunima izostavit ćemo članove s C* radi pojednostavnjenja. Trebaju li se jednadžbe primijeniti npr. na I-profile, tada ih je potrebno dopuniti na odgovarajući način. Zanemarivanje člana v’’ znači isto što i pretpostavka B1=∞.
Ako se eliminiraju M i MD pomoću jedn. 4 dobiva se diferencijalna jednadžba za bočno izvijanje grede konstantnog presjeka
Diferencijalna jednadžba (5) je homogena i četvrtog reda po ϑ. M1 je poznata funkcija od z ovisno o opterećenju.
Greda s konstantnim momentom savijanja
Neka bude p=N1=0, osim toga Mx=ɱ=const. Presjek je bez prirubnice (zbijen) i greda dugačka u odnosu na dimenzije poprečnog presjeka, tako da možemo staviti da je C*=0. Tada se pojednostavljuje jedn. (5), zbog M1=ɱ, pa je:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ili sa skraćenicom λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Greda s viljuškastim osloncem na oba kraja
Slika 2
Oslonac kod z=0 i z=l je u obliku vilica (sl. 2), koje omogućuju progibe u i v, ali sprječavaju zakretanje krajnjih presjeka; ϑ=0. Budući da u smjeru x nema uklještenja (tj. M=0, odnosno prema jednadžbi (4) također u’’=0), iz jednadžbe za u’’ proizlazi: MD’_=0 i time iz jednadžbe (4c) kao drugi rubni uvjet ϑ’’=0.
Opće rješenje jednadžbe (6a) je
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Iz konturnih uvjeta dobiva se
Ovaj homogeni sustav jednadžbi ima:
- Trivijalno rješenje A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, čemu odgovara ϑ=0, u’’=0 ili u=0, pri čemu se greda bočno ne izvija.
- Vlastita rješenja prema Δ=0 ili sin λ__l=0. Korijeni ovog uvjeta bočnog izvijanja su λ__l=n__π (sa n=1,2,3,∙∙∙) i odgovarajuća kritična momentna opterećenja
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Minimalni moment bočnog izvijanja
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
nastaje pri n=1. Odgovarajuće rješenje je primjenom jednadžbe (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Ostali slučajevi bočnog izvijanja
c) Bočno izvijanje uslijed momenta savijanja i tlačne sile
Za primjer prikazan na sl. 3 je N1=-D (pritisak), p=0, zatim je stavljeno C*=0. Tada se diferencijalna jedn. (5) pojednostavnjuje i glasi
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
gdje je λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Rješenje diferencijalne jednadžbe (9) dano je opet jednadžbom (8), samo sada λ označava drugu vrijednost.
Slika 3
Za primjer sl. 3 vrijede kao i za a) konturni uvjeti ϑ=0 i ϑ’’=0 za z=0 i z=l. Prema tome su i uvjetne jednadžbe za A1 formalno iste a također i uvjet bočnog izvijanja Δ=sin λl=0. Kritično opterećenje zadovoljava odnos λl=nπ (n=1,2,3) i najmanja vrijednost je
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Za D=0 dobiva se odatle moment bočnog izvijanja prema jedn. (8c) i za čisto tlačno opterećenje (ɱ=0) Euler-ova sila izvijanja _DK=B(π/l)_2.
Na sl. 3 prikazani slučaj treba označiti kao ekscentrično savijanje u ravnini y-z. Naprijed promatrani slučaj stabilnosti jest, dakle, izvijanje iz ravnine savijanja povezano s bočnim savijanjem u i torzijom ϑ.
Ako su oba kraja ukliještena (ϑ=0 i ϑ’=0) onda se iz konturnih uvjeta, pomoću Δ=0, dobiva uvjet bočnog izvijanja
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
sa korijenima λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) i silama bočnog izvijanja
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.