موڙ ۾ بڪاءُ لاءِ، توازن جي تبديليءَ وقت راڊ هڪ مکيه جهاز ۾ موڙجي وڃي ٿو.
پر اهڙا به استحڪام جا حالتون آهن جن ۾ راڊ، يعني بيم، توازن بدلجڻ وقت نه رڳو وڪرن ٿا پر مڙي به وڃن ٿا (شڪل 60a). بيمن ۾ هن کي پاسي وارو بڪجڻ چيو وڃي ٿو، جڏهن ته دٻيل راڊن ۾، جيڪي بڪجڻ دوران ٽورشن جو به شڪار ٿين ٿا، ٽورشن سان بڪجڻ جي ڳالهه ڪئي وڃي ٿي._
ٻنهي واقعن لاءِ موڙ خلاف سختي C، يعني وڪڙجڻ جي مزاحمت C*، فيصلائتي اهميت رکي ٿي. تنهن ڪري ٽورشن سان لاڳاپيل توازن جي تبديلي تي پهرين نمبر تي انهن قدمن سان اثر وڌائي سگهجي ٿو، جيڪي مروڙ خلاف سختي وڌائين ٿا (مناسب ڪراس سيڪشن جي شڪل، عرضي فريم، پاسن کان سهارو وغيره). ٻئي طرف، کليل ڪراس سيڪشن وارا پٽي نما راڊ خاص طور تي ٽورشن دوران بڪلهڻ لاءِ حساس هوندا آهن.
پاسي واري بڪجڻ لاءِ تفاضلي مساوات
شڪل 1a
فرض ڪريو هڪ سڌي بيم جا جڙت جا لمحات مستقل آهن ۽ سندن قدر تمام گهڻو مختلف آهن Ix >> Iy. لوڊ y-z-ميدان ۾ واقع آهي، تنهنڪري بيم هن مکيه ميدان ۾ موڙيندي (u=ϑ=0). تجربي ۽ نظريي ٻنهي مان ظاهر ٿئي ٿو ته هي توازن واري حالت شروع ۾ مستحڪم هوندي آهي، پر وڌيڪ لوڊن تي غير مستحڪم ٿي وڃي ٿي. هي ٻي توازن واري حالت عرضي موڙڻ u ۽ ٽورشن ϑ سان لاڳاپيل آهي.
هيٺ طرفي بڪنگ لاءِ تفاضلي مساوات نڪالي ويندي. u ۽ ϑ لاءِ مساواتون هموگين آهن. جيڪڏهن ڪنٽور شرطون به هموگين هجن ته پوءِ ڪِر جي طرفي بڪنگ صرف مسئلي جي سُوئي ويلوز لاءِ ممڪن هوندي، يعني مٿي بيان ڪيل، بغير خلل واري ڪِر لاءِ u ۽ ϑ پهرين صفر ئي رهن ٿا. طرفي بڪنگ جي شرط ـ ساڳي طرح جيئن ڇڙي جي بڪنگ ۾ ـ تڏهن حاصل ٿئي ٿي جڏهن هموگين شرط مساواتن جي ڪوفيشيَنٽ جي تعين کي، انٽيگريشن مستقلن لاءِ، صفر برابر رکيو وڃي. اسان ڏسنداسين ته طرفي بڪنگ ۾ به ايلسٽڪ توازن جو صحيح شاخ بندي وارو نقطو موجود آهي.
شڪل 1b
شڪل 1b ۾ dz ڊگھائي وارو بيم جو عنصر ڏيکاريل آهي. دٻائن جا نتيجي قوتون N1, Q1, M1, ۽ وڪڙ κ__1 لوڊ تي دارومدار رکن ٿا ۽ محدود قدر آهن. Q, M, MD ابتدائي توازن واري حالت ۾ صفر آهن، ۽ فقط تڏهن صفر کان هٽندا جڏهن پاسي واري بڪلنگ شروع ٿيندي. شروعاتي پاسي واري بڪلنگ سان لاڳاپيل محدود قدر انتهائي ننڍا آهن، جيئن لاڳاپيل بگاڙ κ ۽ d__ϑ/dz به.
عنصر dz جا ٻئي آخري ڪراس سيڪشن ڇٽيءَ جي ٻٽي وڪريل محور تي عمودي ميدان ۾ واقع آهن ۽ انهن عمودي ميدانن ۾ مروڙيل هوندا.
ڇو ته اسان کي — بلڪل ڏنڊي جي موڙجڻ وانگر — سڀ کان پهرين نازڪ لوڊ جي مقدار، يعني پاسي واري موڙجڻ جي شروعات، ۽ گهٽ حد تائين بگاڙن جي مقدار دلچسپيءَ جو موضوع آهي، تنهنڪري Q, M, MD جا κ يا ϑ’ سان ضربيل حاصل ضرب ٻي درجي جي ننڍين مقدارن طور نظرانداز ڪري سگهجن ٿا. تنهنڪري وڌيڪ سادگي لاءِ اسان مکيه وڪڙ κ1 کي به بي انتها ننڍو فرض ڪنداسين ۽ ان کي κ ۽ ϑ’ طور سمجهيو ويندو.
نوٽ: κ__1 جو اثر نظرياتي طور تي به هڪ سادي خاص حالت ۾ (لوڊ طور خمائڻ وارو مستقل مومنٽ M) جي حساب سان اندازو لڳائي سگهجي ٿو. تعميراتي ٽيڪنڪ جي گهڻن ضرورتن ۾ κ__1 کي نظرانداز ڪري سگهجي ٿو. مثال طور، اسين ائين سمجهي سگهون ٿا ڄڻ ته لاڳاپيل لوڊ جي حالت لاءِ گيڙو ايترو „اڀاريل“ هجي جو نازڪ لوڊ لاءِ بلڪل κ__1=0.
ξ, η, ζ رخن ۾ قوتن جي جزن جي توازن ۽ ساڳين ئي محورَن بابت مومينٽ جي شرطن مان، مٿي ذڪر ڪيل نظراندازين کان پوءِ، حاصل ٿئي ٿو
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
مساوات (1c, d i b) مان حاصل ٿئي ٿو
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1 کي مساوات (1a) مان ختم ڪرڻ سان حاصل ٿئي ٿو
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
مساوات. (1e) مان اهڙيءَ طرح Q ختم ڪيو ويندو، پوءِ u ’’ کي u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ ذريعي
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ لاءِ تفاضلي مساوات حاصل ڪرڻ لاءِ، مومنٽن ۽ بگاڙن جي وچ ۾ هيٺيان لاڳاپا متعارف ڪرايا ويندا
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
جتي B1=EIx ۽ B=EIy شعاع جي موڙجڻ خلاف سختي کي ظاهر ڪري ٿو، C موڙجڻ خلاف سختي، ۽ C* وڪڙجڻ جي مزاحمت کي. اسان جي اڳين حسابن ۾ سادگي لاءِ C* وارا حدفا ڇڏي ڏبا. جيڪڏهن مساواتن کي مثلاً I-پروفائلن تي لاڳو ڪرڻو هجي ته انهن کي مناسب نموني سان مڪمل ڪرڻ ضروري آهي. v’’ جي حدف کي نظرانداز ڪرڻ جو مطلب ساڳيو آهي جيئن B1=∞ سمجهڻ.
جيڪڏهن M ۽ MD کي مساوات 4 جي مدد سان ختم ڪيو وڃي ته مسلسل سيڪشن واري شعاع جي پاسي واري موڙ لاءِ تفاضلي مساوات ملي ٿي
تفاضلي مساوات (5) ϑ جي لحاظ کان هموگينس ۽ چوٿين درجي جي آهي. M1 لوڊ جي تابع z جو هڪ معلوم فنڪشن آهي.
مسلسل موڙيندڙ لمحي واري گرهه
فرض ڪيو p=N1=0، ان کان علاوه Mx=ɱ=const. سيڪشن بغير فليج جي (گهاٽو) آهي ۽ بيم عرضي سيڪشن جي ماپن جي ڀيٽ ۾ ڊگهي آهي، تنهنڪري اسان رکي سگهون ٿا ته C*=0. پوءِ مساوات. (5) سادي ٿي وڃي ٿي، M1=ɱ سبب، تنهنڪري:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
يا انهيءَ مخفف λ2_=ɱ__2/BC_ سان
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) ٻنهي سرن تي ڪانٽو-شڪل سهاري واري گرڊر
سل.2
z=0 ۽ z=l تي سهارو فورڪ جي صورت ۾ آهي (شڪل 2), جيڪي u ۽ v موڙڻ جي اجازت ڏين ٿا، پر آخري ڪٽن جي ڦرڻ کي روڪين ٿا; ϑ=0. ڇاڪاڻتہ x جي رخ ۾ ڪو به جڪڙڻ ناهي (يعني M=0, يا مساوات (4) موجب پڻ u’’=0), تنهنڪري u’’ لاءِ مساوات مان: MD’_=0 ۽ اهڙيءَ طرح مساوات (4c) مان ٻئي ڪناري واري شرط طور ϑ’’=0.
مساوات 6a) جو عام حل آهي
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
حدي حالتن مان حاصل ڪيو وڃي ٿو
هي هم جنس مساواتن جو نظام هيٺ ڏنل آهي:
- ٽرائيول حل A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, جنهن سان ϑ=0, u’’=0 يا u=0 لاڳو ٿئي ٿو، جنهن ۾ بيم پاسي کان نٿو وڪڙي.
- ذاتي حل Δ=0 يا sin λ__l=0. بغلِي وڪري جي هن شرط جا پاڙا λ__l=n__π (سان n=1,2,3,∙∙∙) آهن ۽ لاڳاپيل نازڪ مومينٽ لوڊون
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
پاسي واري بڪلڻ جو گهٽ ۾ گهٽ مومينٽ
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
پيدا ٿئي ٿو جڏهن n=1. مناسب حل مساوات (1f) جي استعمال سان آهي:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) ٻيا سڀ عرضي ٽِرڻ وارا ڪيس
c) جهڪڻ واري لمحي ۽ دٻاءُ واري قوت سبب پاسيرو ٻرڻ
شڪل ۾ ڏيکاريل مثال لاءِ 3 آهي N1=-D (دٻاءُ)، p=0, پوءِ C*=0 رکيو ويو آهي. تڏهن تفريقي مساوات (5) سادي ٿي ۽ هن ريت ٿئي ٿي
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
جتي λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
تفاضلي مساوات (9) جو حل وري مساوات (8) ذريعي ڏنو ويو آهي، فقط هاڻي λ ٻي قيمت کي ظاهر ڪري ٿو.
سل.3
مثال شڪل 3 لاءِ، a) وانگر ئي ڪنٽرول شرطون ϑ=0 ۽ ϑ’’=0 لاءِ z=0 ۽ z=l. تنهن ڪري A1 لاءِ شرطي مساواتون به رسمي طور ساڳيون آهن، ۽ پاسا وارِي جهڪڻ جي شرط Δ=sin λl=0 پڻ. نازڪ بار جو تعلق λl=nπ (n=1,2,3) سان پورو ٿئي ٿو ۽ سڀ کان ننڍي قيمت هي آهي
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 لاءِ اتان کان پاسي واري ڦِرڻ جو لمحو مساوات (8c) موجب ملي ٿو ۽ خالص دٻائڻ واري لوڊ (ɱ=0) لاءِ Euler- جو ڦرڻ وارو زور _DK=B(π/l)_2.
شڪل 3 ۾ ڏيکاريل حالت کي y-z جهاز ۾ مرڪزي وڪڙڻ طور ظاهر ڪرڻو آهي. اڳ ۾ ڏسڻ ۾ آيل استحڪام واري حالت، تنهنڪري، وڪڙڻ جي جهاز کان ٻاهر جي مڙجڻ آهي، جيڪا پاسيري وڪڙڻ u ۽ ٽورشن ϑ سان لاڳاپيل آهي.
جيڪڏهن ٻئي ڇيڙا جڪڙيل هجن (ϑ=0 ۽ ϑ’=0) ته پوءِ ڪنٽور شرطَن مان، Δ=0 جي مدد سان، پاسن کان ٻاهر جهڪڻ جي شرط ملي ٿي
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
m=2,4,∙∙∙) ۽ پاسي واري موڙ جي قوتن وارن جڙڪن سان
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.