สำหรับ การโก่งตัวเนื่องจากการดัด แท่งจะโค้งงออยู่ในระนาบหลักหนึ่งเมื่อเกิดการเปลี่ยนสมดุล
แต่ก็มีกรณีของเสถียรภาพบางอย่างที่แท่งหรือคาน เมื่อสมดุลเปลี่ยนไป ไม่เพียงแต่โค้งงอเท่านั้น แต่ยังบิดตัวด้วย (รูป 60a) สำหรับชิ้นส่วนรับแรงอัด ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การโก่งด้านข้าง ส่วนแท่งที่ถูกอัด ซึ่งระหว่างการโก่งยังเกิดแรงบิดด้วย จะเรียกว่า การโก่งตัวร่วมกับแรงบิด
สำหรับปรากฏการณ์ทั้งสอง ความสำคัญชี้ขาดอยู่ที่ค่าความแข็งต้านการบิด C หรือค่าความต้านทานต่อการโก่งงอ C*. ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงสมดุลที่เกี่ยวข้องกับการบิดจึงควรได้รับอิทธิพลเป็นอันดับแรกด้วยมาตรการที่เพิ่มความแข็งต้านการบิด (รูปทรงหน้าตัดที่เหมาะสม โครงค้ำขวาง การค้ำยันด้านข้าง ฯลฯ) ในทางกลับกัน แท่งรูปแถบที่มีหน้าตัดเปิดมีความไวต่อการโก่งตัวจากการบิดเป็นพิเศษ
สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการโก่งด้านข้าง
รูป 1a
ให้คานตรงมีโมเมนต์ความเฉื่อยคงที่ซึ่งมีขนาดต่างกันมาก Ix >> Iy แรงกระทำอยู่ในระนาบ y-z- ทำให้คานจะโค้งงอในระนาบหลักนี้ (u=ϑ=0). ทั้งจากประสบการณ์และทฤษฎีแสดงให้เห็นว่า ตำแหน่งสมดุลนี้ในตอนแรกมีเสถียรภาพ แต่สำหรับแรงที่มากขึ้นจะกลายเป็นไม่เสถียร ตำแหน่งสมดุลที่สองนี้เกี่ยวข้องกับการโก่งงอด้านขวางใน u และกับแรงบิด ϑ
ด้านล่างนี้จะได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการโก่งเดาะด้านข้าง สมการสำหรับ u และ ϑ เป็นสมการเอกพันธ์ หากเงื่อนไขขอบเขตเป็นเอกพันธ์ด้วย การโก่งเดาะด้านข้างของคานจะเกิดขึ้นได้เฉพาะสำหรับค่าเฉพาะของปัญหาเท่านั้น กล่าวคือ u และ ϑ จะยังคงเป็นศูนย์ก่อนในกรณีของคานที่ไม่ถูกรบกวนดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เงื่อนไขการโก่งเดาะด้านข้างได้มาด้วยวิธีคล้ายกับการโก่งเดาะของแท่ง โดยกำหนดให้ดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์ในสมการเงื่อนไขเอกพันธ์สำหรับค่าคงที่อินทิเกรชันเท่ากับศูนย์ จะเห็นได้ว่าแม้ในการโก่งเดาะด้านข้างก็ยังมีจุดแยกจริงของสมดุลยืดหยุ่นอยู่
รูป 1b
ในรูป 1b แสดงองค์ประกอบของคานยาว dz. ผลรวมของความเค้น N1, Q1, M1 รวมทั้งความโค้ง κ__1 ขึ้นอยู่กับภาระและเป็นปริมาณจำกัด Q, M, MD มีค่าเป็นศูนย์ในสภาวะสมดุลเดิม และจะไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเกิดการโก่งด้านข้างเท่านั้น ปริมาณจำกัดซึ่งเกี่ยวข้องกับจุดเริ่มต้นของการโก่งด้านข้างมีค่าน้อยเป็นอนันต์ เช่นเดียวกับการเสียรูปที่สอดคล้องกัน κ และ d__ϑ/dz.
ปลายหน้าตัดทั้งสองขององค์ประกอบ dz อยู่ในระนาบปกติต่อแกนของแท่งที่โค้งสองชั้น และจะบิดตัวในระนาบปกติเหล่านี้
เนื่องจากเราสนใจเป็นลำดับแรกที่ขนาดของโหลดวิกฤต เช่น จุดเริ่มต้นของการโก่งด้านข้าง มากกว่าขนาดของการเสียรูป เราจึงสามารถละผลคูณของขนาด Q, M, MD กับ κ หรือ ϑ’ ได้ว่าเป็นปริมาณลำดับสองที่เล็กมาก ดังนั้นเพื่อความง่ายเพิ่มเติม เราจะสมมติให้ความโค้งหลัก κ1 เล็กเป็นอนันต์ และจะถือปฏิบัติเช่นเดียวกับ κ และ ϑ’
หมายเหตุ: อิทธิพลของ κ__1 ควรได้รับการประเมินในเชิงทฤษฎีด้วยในกรณีพิเศษอย่างง่าย (โมเมนต์ดัดคงที่ M เป็นภาระ) สำหรับความต้องการส่วนใหญ่ในงานวิศวกรรมก่อสร้าง สามารถละเลย κ__1 ได้ เราอาจจินตนาการได้ว่า คานสำหรับกรณีรับแรงดังกล่าวถูก “ยกโค้ง” ไว้จนสำหรับภาระวิกฤตจะมี κ__1=0_ พอดี
จากสมดุลขององค์ประกอบแรงในทิศ ξ, η, ζ และเงื่อนไขโมเมนต์รอบแกนเดียวกันเหล่านี้ หลังจากละเลยดังกล่าวแล้วได้ว่า
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
จากสมการ (1c, d และ b) ได้ว่า
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
เมื่อตัด Q1 ออกจากสมการ (1a) จะได้
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
จากสมการ (1e) จะทำให้ Q ถูกกำจัดออกไป จากนั้นหา u ’’ ได้จาก u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
เพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับ ϑ จะกำหนดความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างโมเมนต์และการเสียรูป
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
โดยที่ B1=EIx และ B=EIy หมายถึงความแข็งแกร่งต้านการดัดของคาน, C คือความแข็งแกร่งต้านการบิด และ C* คือความต้านทานต่อการโก่งงอ ในการคำนวณต่อไปนี้ของเรา จะตัดเทอมที่มี C* ออกเพื่อให้เรียบง่าย หากต้องการนำสมการไปใช้ เช่น กับหน้าตัดรูปตัว I ก็จำเป็นต้องปรับแก้เพิ่มเติมให้เหมาะสม การละเลยเทอม v’’ ก็มีความหมายเช่นเดียวกับการสมมติว่า B1=∞
ถ้าตัด M และ MD ออกโดยใช้สมการ 4 จะได้ สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการโก่งเดาะด้านข้าง ของคานหน้าตัดคงที่
สมการเชิงอนุพันธ์ (5) เป็นสมการเอกพันธ์และเป็นอันดับสี่ตาม ϑ M1 เป็นฟังก์ชันที่ทราบของ z โดยขึ้นอยู่กับโหลด
คานที่มีโมเมนต์ดัดคงที่
ให้เป็น p=N1=0 นอกจากนี้ Mx=ɱ=const. หน้าตัดไม่มีปีก (แน่นทึบ) และคานยาวเมื่อเทียบกับมิติของหน้าตัด จึงกำหนดให้ C*=0. แล้วสมการ (5) จะง่ายขึ้น เนื่องจาก M1=ɱ จึงได้ว่า:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
หรือเขียนย่อเป็น λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) คานรองรับแบบส้อมที่ปลายทั้งสองข้าง
รูปที่. 2
การรองรับที่ z=0 และ z=l เป็นแบบส้อม (รูป 2) ซึ่งเอื้อให้เกิดการโก่งตัว u และ v แต่ป้องกันการหมุนของหน้าตัดปลาย; ϑ=0. เนื่องจากในทิศ x ไม่มีการยึดแน่น (กล่าวคือ M=0, หรืออ้างอิงตามสมการ. (4) ก็ได้ u’’=0) จึงได้จากสมการสำหรับ u’’: MD’=0 และจากสมการ. (4c) เป็นเงื่อนไขขอบเขตข้อที่สอง ϑ’’=0.
คำตอบทั่วไปของสมการ (6a) คือ
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
จากเงื่อนไขขอบเขตได้
ระบบสมการเอกพันธ์นี้มี:
- คำตอบอย่างง่าย A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ซึ่งสอดคล้องกับ ϑ=0, u’’=0 หรือ u=0, โดยคานไม่เกิดการบิดโก่งด้านข้าง
- คำตอบเอกฐานตามเงื่อนไข Δ=0 หรือ sin λ__l=0. รากของเงื่อนไขการโก่งด้านข้างนี้คือ λ__l=n__π (โดย n=1,2,3,∙∙∙) และค่ามอเมนต์วิกฤตที่สอดคล้องกัน
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
โมเมนต์ต่ำสุดของการโก่งงอด้านข้าง
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
เกิดขึ้นที่ n=1 คำตอบที่เหมาะสมได้จากการใช้สมการ (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) กรณีอื่น ๆ ของการโก่งเดาะด้านข้าง
c) การโก่งตัวด้านข้างเนื่องจากโมเมนต์ดัดและแรงอัด
สำหรับตัวอย่างที่แสดงในรูป 3 จะได้ N1=-D (แรงอัด), p=0, จากนั้นกำหนด C*=0 สมการเชิงอนุพันธ์ (5) จึงย่อให้สั้นลงและมีรูป
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
โดยที่ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (9) ได้จากสมการ (8) อีกครั้ง เพียงแต่คราวนี้ λ แทนค่าอีกค่า
รูปที่. 3
สำหรับตัวอย่างรูป 3 ใช้เงื่อนไขขอบเช่นเดียวกับในข้อ a) คือ ϑ=0 และ ϑ’’=0 สำหรับ z=0 และ z=l. ดังนั้นสมการเงื่อนไขสำหรับ A1 จึงเหมือนกันในเชิงรูปแบบ และเงื่อนไขการโก่งเดาะด้านข้าง Δ=sin λl=0 ก็เช่นกัน โหลดวิกฤตเป็นไปตามความสัมพันธ์ λl=nπ (n=1,2,3) และค่าต่ำสุดคือ
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
สำหรับ D=0 จะได้โมเมนต์การโก่งตัวด้านข้างตามสมการ (8c) และสำหรับแรงอัดล้วน (ɱ=0) แรงโก่งวิกฤตของ Euler คือ _DK=B(π/l)_2.
ในรูป 3 กรณีที่แสดงไว้นี้ต้องเรียกว่าเป็นการดัดเยื้องศูนย์ในระนาบ y-z ดังนั้นกรณีเสถียรภาพที่พิจารณามาก่อนจึงเป็นการโก่งตัวออกจากระนาบการดัดซึ่งสัมพันธ์กับการดัดด้านข้าง u และการบิด ϑ
ถ้าปลายทั้งสองด้านถูกยึดแน่น (ϑ=0 และ ϑ’=0) แล้วจากเงื่อนไขขอบเขต โดยใช้ Δ=0 จะได้เงื่อนไขการโก่งเดาะด้านข้าง
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
ที่มีราก λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) และแรงจากการโก่งเดาะด้านข้าง
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.