For knækning ved bøjning bøjes stangen i ét hovedplan ved ligevægtsændringen.
Men der findes også sådanne stabilitetstilfælde, hvor stangen, henholdsvis bjælken, ved ændring af ligevægten ikke blot bliver bøjet, men også vredet (fig. 60a). For bærere kaldes dette fænomen sideværts knæk, mens man for trykstænger, som under knækning også udsættes for torsion, taler om knækning ved torsion.
For begge fænomener er størrelsen af vridningsstivheden C, hhv. modstanden mod krumning C*, af afgørende betydning. Ændringer i ligevægten forbundet med torsion kan derfor først og fremmest påvirkes ved foranstaltninger, der øger stivheden mod vridning (passende tværsnitsform, tværgående rammer, lateral afstivning osv.). På den anden side er stangformede elementer med åbent tværsnit særligt følsomme over for bukning ved torsion.
Differentialligningen for lateral knækning
Fig. 1a
Lad en ret bjælke have konstante inertimomenter af meget forskellig størrelse Ix >> Iy. Belastningen ligger i y-z-planet, så bjælken vil blive bøjet i dette hovedplan (u=ϑ=0). Erfaring såvel som teori viser, at denne ligevægtsstilling først er stabil, men at den ved større belastninger bliver ustabil. Denne anden ligevægtsstilling er forbundet med tværbøjning i u og med torsion ϑ.
Nedenfor udledes differentialligningen for lateral bukning. Ligningerne for u og ϑ er homogene. Hvis også randbetingelserne er homogene, er lateral bukning af bjælken kun mulig for problemets egenværdier, dvs. u og ϑ forbliver først nul for den ovenfor beskrevne bjælke uden forstyrrelse. Betingelsen for lateral bukning opnås – ligesom ved bukning af en stang – ved at sætte determinanten for koefficienterne i de homogene betingelsesligninger for integrationskonstanterne lig nul. Vi vil se, at der også ved lateral bukning findes et egentligt knudepunkt for den elastiske ligevægt.
Fig. 1b
På fig. 1b er vist et bjelkeelement med længden dz. Resultanterne af spændingerne N1, Q1, M1, samt krumningen κ__1 afhænger af belastningen og er endelige størrelser. Q, M, MD er nul i den oprindelige ligevægtsstilling og vil først afvige fra nul, når den laterale udknækning indtræder. De endelige størrelser, som vedrører begyndelsen af den laterale udknækning, er uendeligt små, ligesom de tilsvarende deformationer κ og d__ϑ/dz.
Begge elementets endesnit dz ligger i et normalt plan til stangens dobbeltkrumme akse og vil blive drejet i disse normale planer.
Da det – ligesom ved knækning af en stang – først og fremmest er den kritiske belastnings størrelse, altså begyndelsen af sideudbøjningen, der interesserer os, og i mindre grad deformationernes størrelse, kan vi se bort fra produkterne af størrelserne Q, M, MD med κ eller ϑ’ som små størrelser af anden orden. Derfor vil vi for yderligere forenkling også antage hovedkrumningen κ1 som uendeligt lille, og den vil blive behandlet som κ og ϑ’.
Bemærk: Virkningen af κ__1 skal også vurderes teoretisk i det enkle specialtilfælde (konstant bøjningsmoment M som belastning). I de fleste anvendelser inden for byggeteknik kan κ__1 negligeres. Man kan for eksempel forestille sig, at bjælken for den pågældende belastningstilfælde er så “overhøjet”, at det kritiske tilfælde netop er κ__1=_0.
Ud fra ligevægten af kræfternes komponenter i retningerne ξ, η, ζ og momentbetingelserne med hensyn til de samme akser fås efter de nævnte forenklinger
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Af lign. (1c, d og b) fås
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Ved eliminering af Q1 fra lign. (1a) fås
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Fra lign. (1e) vil Q dermed blive elimineret, derefter u ’’ via u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
For at få differentialligningen for ϑ vil følgende sammenhænge mellem momenter og deformationer blive indført
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
hvor B1=EIx og B=EIy betegner bjælkens bøjningsstivhed, C vridningsstivheden, og C* vridningsmodstanden. I vore videre beregninger vil vi udelade led med C* for at forenkle. Hvis ligningerne f.eks. skal anvendes på I-profiler, må de tilpasses tilsvarende. At se bort fra ledet v’’ er det samme som at antage B1=∞.
Hvis M og MD elimineres ved hjælp af lign. 4, fås differentialligningen for den laterale knækning af en bjælke med konstant tværsnit
Differentialligningen (5) er homogen og af fjerde orden mht. ϑ. M1 er en kendt funktion af z afhængigt af belastningen.
Bjælke med konstant bøjningsmoment
Lad p=N1=0, desuden Mx=ɱ=konstant. Tværsnittet er uden flange (kompakt), og bjælken er lang i forhold til tværsnittets dimensioner, så vi kan sætte C*=0. Da forenkles lign. (5), på grund af M1=ɱ, og da er:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
eller med forkortelsen λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Bjælke med gaffeloplag i begge ender
Fig. 2
Oplaget ved z=0 og z=l er udført som gafler (fig. 2), som muliggør nedbøjningerne u og v, men forhindrer rotation af endesnittene; ϑ=0. Da der i x-retningen ikke er indspænding (dvs. M=0, eller ifølge lign. (4) også u’’=0), følger det af lign. for u’’: MD’_=0 og dermed af lign. (4c) som den anden randbetingelse ϑ’’=0.
Den generelle løsning af lign. (6a) er
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Af randbetingelserne fås
Dette homogene ligningssystem har:
- Triviel løsning A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, hvortil ϑ=0, u’’=0 eller u=0, hvorved bjælken ikke knækker sideværts.
- Egenløsninger efter Δ=0 eller sin λ__l=0. Rødderne til denne sideudbøjningsbetingelse er λ__l=n__π (med n=1,2,3,∙∙∙) og de tilhørende kritiske momentbelastninger
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Det mindste moment for sideværts udknækning
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
opstår ved n=1. Den tilsvarende løsning fås ved anvendelse af lign. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Andre tilfælde af sideværts udknækning
c) Sideværts bukning som følge af bøjningsmoment og trykkende kraft
For eksemplet vist på fig. 3 er N1=-D (tryk), p=0, derefter er C*=0 sat. Så forenkles differentialligningen (5) og lyder
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
hvor λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Løsningen til differentialligningen (9) er igen givet ved lign. (8), men nu betegner λ en anden værdi.
Fig. 3
For eksemplet i fig. 3 gælder som i a) randbetingelserne ϑ=0 og ϑ’’=0 for z=0 og z=l. Derfor er også betingelsesligningerne for A1 formelt de samme, og også betingelsen for sideværts bukning Δ=sin λl=0. Den kritiske belastning opfylder forholdet λl=nπ (n=1,2,3) og den mindste værdi er
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
For D=0 fås deraf momentet for lateral udbøjning ifølge lign. (8c), og for ren trykbelastning (ɱ=0) Euler-s udbøjningskraft _DK=B(π/l)_2.
På fig. 3 skal den viste situation betegnes som excentrisk bøjning i planet y-z. Den tidligere betragtede stabilitetstilfælde er således en udknækning ud af bøjningsplanet forbundet med sidebøjning u og torsion ϑ.
Hvis begge ender er indspændt (ϑ=0 og ϑ’=0) fås ud fra randbetingelserne ved hjælp af Δ=0 betingelsen for sideværts bukning
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
med rødderne λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) og kræfterne ved lateral knækning
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.